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反比例函数

反比例函数
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反比例函数解题一般方法总结

1、 函数性质题 1.1考察概念 一般地,形如 y = ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 注意:(1)常数 k 称为比例系数,k 是非零常数; (2)解析式有三种常见的表达形式: (A )y = (k ≠ 0) , (B )xy = k (k ≠ 0) (C )y=kx-1(k ≠0) 1.2考察图像性质 (1)形状:图象是双曲线。 (2)位置:(1)当k>0时,双曲线分别位于第________象限内;(2)当k<0时, 双 曲线分别位于第________象限内。 (3)增减性: 当k>0时,_________________,y 随x 的增大而________; 当k<0时,_________________,y 随x 的增大而______。 (4)变化趋势:双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交 (5)对称性:(1)对于双曲线本身来说,它的两个分支关于直角坐标系原点 ____________;(2)对于k 取互为相反数的两个反比例函数 (如:y = x 6 和y = x 6 )来说,它们是关于x 轴,y 轴___________。 (7)y = 图像上有点(X 1,Y 1),必有点(-X 1,-Y 1) 同时在y = 图像上有点(-X 1,Y 1)和点(X 1,-Y 1)

2、性质与计算结合题 2.1已知图像上的点求解析式或一直横坐标(纵坐标)求纵坐标(横坐标)带入一般式,求出k,并带入该点验证。 或带入坐标值 2.2与三角形结合 (1)作图,注意题中不同条件在图中位置或表示方法,注意函数定义域(2)利用所给条件列出等式 (3)求出解析式 (4)注意在不同分支上的不同情况,题目可能有两解。验算 2、反比例函数应用题和方程应用题的一般解法 (1)设x,y……。(在题中出现的易于带入的未知量,一般都不能再分解) (2)将所设未知数带入题目中,按照题目的含义列出所有方程或函数式 (3)用待定系数法求出函数解析式;或者列方程(方程组),求解 (4)用实验数据验证

初三数学反比例函数知识点归纳

反比例函数知识点归纳 (一)反比例函数的概念 1.()可以写成()的形式,注意自变量x的指数为, 在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件; 2.()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解 析式中的k,从而得到反比例函数的解析式; 3.反比例函数的自变量,故函数图象与x轴、y轴无交点.(二)反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,且x应对称取点(关于原点对称). (三)反比例函数及其图象的性质 1.函数解析式:() 2.自变量的取值范围: 3.图象: (1)图象的形状:双曲线. 越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直. 越小,图象的弯曲度越大. (2)图象的位置和性质: 与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线. 当时,图象的两支分别位于一、三象限; 在每个象限内,y随x的增大而减小; 当时,图象的两支分别位于二、四象限; 在每个象限内,y随x的增大而增大. (3)对称性:图象关于原点对称,即若(a,b)在双曲线的一支上, 则(,)在双曲线的另一支上. 图象关于直线对称,即若(a,b)在双曲线的一支上, 则(,)和(,)在双曲线的另一支上.

4.k的几何意义 如图1,设点P(a,b)是双曲线上任意一点,作PA⊥x轴于A点,PB⊥y轴于B点,则矩形PBOA的面积是(三角形PAO和三角形PBO的面 积都是). 如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC⊥PA的延长线于C,则有三角形PQC的面积为. 图1 图2 5.说明: (1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概而论. (2)直线与双曲线的关系: 当时,两图象没有交点; 当时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称. (3)反比例函数与一次函数的联系. (四)实际问题与反比例函数 1.求函数解析式的方法: (1)待定系数法;(2)根据实际意 义列函数解析式. (五)充分利用数形结合的思想解决问 题.

反比例函数(基础)知识讲解

反比例函数(基础) 【学习目标】 1. 理解反比例函数的概念和意义,能根据问题的反比例关系确定函数解析式. 2. 能根据解析式画出反比例函数的图象,初步掌握反比例函数的图象和性质. 3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式,进一步理解反比例函数的图象和性质. 【要点梳理】 要点一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成反比例.即xy k =,或表示为k y x = ,其中k 是不等于零的常数. 一般地,形如k y x = (k 为常数,0k ≠)的函数称为反比例函数,其中x 是自变量,y 是函数,定义域是不等于零的一切实数. 要点诠释:(1)在k y x = 中,自变量x 是分式k x 的分母,当0x =时,分式k x 无意义,所以自变量x 的取值范围是,函数y 的取值范围是0y ≠.故函 数图象与x 轴、y 轴无交点; (2)k y x = ()可以写成( )的形式,自变量x 的指数是 -1,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. (3)k y x = ()也可以写成 的形式,用它可以迅速地求出反比 例函数的比例系数k ,从而得到反比例函数的解析式. 要点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法,由于反比例函数k y x = 中,只有一个待定系数k ,因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标,即可求出k 的值,从而确定其解析式. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是: (1)设所求的反比例函数为:k y x = (0k ≠); (2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入关系式,得到关于待定系数的方程; (3)解方程求出待定系数k 的值; (4)把求得的k 值代回所设的函数关系式k y x = 中. 要点三、反比例函数的图象和性质

反比例函数中面积的常见处理方法

知识点一 反比例函数中面积的常见处理方法 1如图,A 、B 是双曲线 y =k x (k >0) 上的点, A 、B 两点的横坐标分别是a 、2a ,线段AB 的延长线交x 轴于点C ,若S △AOC =6.则k 的值为( ▲ ) A.1 B.2 C.4 D.无法确定 第3题 第4题 2如图,双曲线)0(>k x k y = 经过矩形QABC 的边BC 的中点E , 交AB 于点D 。若梯形ODBC 的面积为3,则双曲线的解析式为( ) (A )x y 1= (B )x y 2=(C ) x y 3= (D )x y 6 = 3如图,平行四边形ABCD 的顶点为A 、C 在双曲线y 1=﹣上,B 、D 在双曲线y 2= 上,k 1=2k 2 (k1>0),AB∥y 轴,S ?ABCD =24,则k 2= . 4如图,点A 、B 是双曲线3 y x = 上的点,分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段,若1S =阴影,则12S S += . 5如图,在平面直角坐标系xOy 中,菱形OABC 的顶点C 在x 轴上,顶点A 落在反比例 函数m y x = (0m ≠)的图象上.一次函数y kx b =+(0k ≠)的图象与该反比例函数的图象交于A 、D 两点,与x 轴交于点E .已知5AO =,20OABC S =菱形,点D 的 坐标为(4-,n ). (1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)连接CA 、CD ,求△ ACD 的面积.

x y A P B D C O 1 l 2 l 6如图,已知梯形ABCO的底边AO在x轴上,BC∥AO,AB⊥AO,过点C的双曲线 k y x = 交OB于D,且OD:DB=1:2,若△OBC的面积等于3,则k的值() A.等于2 B.等于 3 4 C.等于 24 5 D.无法确定 第7题第8题 7如图,点A在反比例函数)0 ( 4 > =x x y的图像上,点B在反比例函数)0 ( 9 < - =x x y的图像上,且∠AOB=90°,则tan∠OAB的值为▲ 8如图,两个反比例函数 1 y x =和 2 y x =-的图象分别是 1 l和 2 l.设点P在 1 l上,PC⊥x轴, 垂足为C,交 2 l于点A,PD⊥y轴,垂足为D,交 2 l于点B,则三角形PAB的面积为()(A)3 (B)4 (C) 9 2 (D)5 知识点二三角函数的综合应用 9如图,一次函数 1 y ax b =+的图象与反比例函数 2 k y x = 的图象交于,A B两点,已知OA= 1 tan, 3 AOC ∠=点B的坐标为 3 (,). 2 m - (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式; (2)观察图象,直接写出使函数值 12 y y <成立的自变量x的取值范围.

反比例函数知识点总结典型例题大全

反比例函数 (一)反比例函数的概念 1.()可以写成()的形式,注意自变量x的指数为,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件; 2.()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式; 3.反比例函数的自变量,故函数图象与x轴、y轴无交点. (二)反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,且x 应对称取点(关于原点对称). (三)反比例函数及其图象的性质 1.函数解析式:() 2.自变量的取值范围: 3.图象: (1)图象的形状:双曲线. 越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直.越小,图象的弯曲度越大. (2)图象的位置和性质: 与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线. 当时,图象的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y随x的增大而减小; 当时,图象的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,y随x的增大而增大. (3)对称性:图象关于原点对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)在双曲线的另一支上. 图象关于直线对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)和(,)在双曲线的另一支上. 4.k的几何意义 如图1,设点P(a,b)是双曲线上任意一点,作PA⊥x轴于A点,PB⊥y 轴于B点,则矩形PBOA的面积是(三角形PAO和三角形PBO的面积都是). 如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC⊥PA 的延长线于C,则有三角形PQC的面积为.

图1 图2 5.说明: (1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个 分支分别讨论,不能一概而论. (2)直线与双曲线的关系: 当时,两图象没有交点;当时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称 (3)反比例函数与一次函数的联系. (四)实际问题与反比例函数 1.求函数解析式的方法: (1)待定系数法;(2)根据实际意义列函数解析式. 2.注意学科间知识的综合,但重点放在对数学知识的研究上.(五)充分利用数形结合的思想解决问题. 三、例题分析 考点1.反比例函数的概念 (1)下列函数中,y是x的反比例函数的是(). A.y=3x B. C.3xy=1 D. (2)下列函数中,y是x的反比例函数的是(). A.B. C.D. 考点2.图象和性质 (1)已知函数是反比例函数, ①若它的图象在第二、四象限内,那么k=___________. ②若y随x的增大而减小,那么k=___________. (2)已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,则函数的图象位于第________象限.(3)若反比例函数经过点(,2),则一次函数的图象一定不经过第_____象限.(4)已知a·b<0,点P(a,b)在反比例函数的图象上, 则直线不经过的象限是(). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

第20课时-反比例函数在中考中的常见题型(含答案)

第20课时《反比例函数在中考中的常见题型》 ◆知识讲解:1.反比例函数的图像是双曲线,故也称双曲线y=k x (k≠0). 2.反比例函数y=k x (k≠0)的性质(1)当k>0时?函数图像的两个分支分别在第 一,三象限内?在每一象限内,y随x的增大而减小.(2)当k<0时?函数图像的两个分支分别在第二,四象限内?在每一象限内,y随x的增大而增大. (3)在反比例函数y=k x 中,其解析式变形为xy=k,故要求k的值,?也就是求其图 像上一点横坐标与纵坐标之积,?通常将反比例函数图像上一点的坐标当作某一元二 次方程的两根,运用两根之积求k的值.(4)若双曲线y=k x 图像上一点(a,b)满 足a,b是方程Z2-4Z-2=0的两根,求双曲线的解析式.由根与系数关系得ab=-2, 又ab=k,∴k=-2,故双曲线的解析式是y= 2 x - .(5)由于反比例函数中自变量x 和函数y的值都不能为零,所以图像和x轴,y?轴都没有交点,但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势. ◆经典例题:例1(2006,上海市)如图,在直角坐标 系中,O为原点,点A在第一象限,它的纵坐标是横坐标 的3倍,反比例函数y=12 x 的图像经过点A, (1)求点A的坐标;(2)如果经过点A的一次函数图像与y轴的正半轴交于点B,且OB=AB,?求这个一次函数的解析式. 例2 如图,已知Rt△ABC的顶点A是一次函数y=x+m 与反比例函数y=m x 的图像在第一象限内的交点,且 S△AOB=3.(1)该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定?如能确定,?请写出它们的解析式;如不能确定,请说明理由.(2)如果线段AC的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D点,过D作DE⊥x?轴于E,那么△ODE的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定?(3)请判断△AOD为何特殊三角形,并证明你的结论. ◆强化训练:一、填空题1.(2006,南通)如图1,直线y=kx(k>0)与双曲线y= 4 x 交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,?则2x1y2-7x2y1的值等于_______. 图1 图2 图3 2.(2006,重庆)如图2,矩形AOCB的两边OC,OA分别位于x轴,y轴上,点B的坐标为B(- 20 3 ,5),D是AB边上的一点,将△ADO沿直线OD翻折,使A 点恰好落在对角线OB上的点E处,若点E在一反比例函数的图像上,那么该函数的解析式是______. 3.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例,已知400?度近视眼镜镜片的焦距为0.25m,则y与x的函数关系式为_______. 4.若y= 21 31 a a a x-- + 中,y与x为反比例函数,则a=______.若图像经过第二象限内的某点,则a=______. 5.反比例函数y= k x 的图像上有一点P(a,b),且a,b是方程t2-4t-2=0的两个根,则k=_______;点P到原点的距离OP=_______.

巧用反比例函数的对称性解题

巧用反比例函数的对称性 反比例函数图象的对称性在解题时常荐会被忽略,但是事实上它的作用无处不在,而 且它让我们感受到数形结合是多么的奇妙. 一、求代数式的值 例1 如果一个正比例函数与一个反比例函数6y x = 的图象交于A 11()x y 、,22()x y 、 两点,那么2121()()x x y y --的值为 方法一 设正比例函数的解析式是y kx =,与反比例函数6y x = 联立方程,消去y 得到260kx -= 由韦达定理,可知121260,x x x x k +== 又1122.,y kx y kx == ∴2121()()x x y y -- 2121()()x x kx kx =-- 221()k x x =- 21212()4k x x x x ??=+-?? 604k k ??=- ?-? ? =24 方法二 反比例函数和正比例函数都关于原点成中心对称图形,所以, 12x x =-且,12y y =- ∴2121()()x x y y -- 2222()()x x y y =++ 22424x y == 这两种解题方法中明显是第二种方法比较简单、快捷、明了,可见反比例函数图形的

对称性不可忽视. 反比例函数的对称有两种.一种是关于原点的中心对称,另一种是关于直线y x =的轴对称.其实在解题过程中恰当地运用这两种对称性会快捷得多,下面再看几个例子来 体验一下. 二、求比例系数k 例2 如图1,已知直线2y x =-+分别与x 轴y 轴交于A ,B 两点,与双曲线k y x =交于E ,F 两点,若AB =2EF ,则k 的值是 方法一 将直线2y x =-+与反比例函数k y x = 联立方程,得到220x x k -+-= 由韦达定理,可知 12122,x x x x k +== 又EF = 12AB = 12x - 1== 解得34 k = 方法二 由图形的对称性可知,反比例函数和一次函数2y x =-+都关于直线y x = 对称,又AB =2EF ,故有BF =FM =ME =AE . 而A (2,0),B (0,2), 所以F 13(,)22,易得34k = . 三、图形面积问题 例3 如图2,过点O 作直线与双曲线(0)k y k x =≠交于A ,B 两点,过点B 作BC ⊥x 轴于点c ,作BD ⊥y 轴于点D .在x 轴,y 轴上分别取点E ,F ,使点A ,E ,F 在同一条直线上,且AE =AF 设图中矩形OCBD 的面积为1s ,△EOF 。的面积为2s ,则1s ,2s 的数量关系是 解析 设A (m ,一n ),过点O 的直线与双曲线k y x = 交于A ,B 两点,则A ,B 两点关 于原点对称,则B (一m ,n ). 矩形OCBD 中,易得 OD =n ,OC =m ,

反比例函数解析式的几种常用求法及详细答案

反比例函数解析式的几种常用求法及详细答案

反比例函数解析式的几种常用求法 确定反比例函数解析式是反比例函数部分考查的一个重要知识点,也是进一步求解反比例函数问题的需要,那么怎样确定反比例函数的解析式呢?下面介绍几种常用的求解方法. 一、 定义型: 例1、已知函数10 2 )3(--=m x m y 是反比函数,求其解析式? 分析:由反比例函数可知???-=-≠-1 100 32m m ∴? ??±=≠33m m ∴3-=m 即可写出函数解析式 利用定义求反比例x k y =解析式时,要保证k ≠0。如例1中应保证03≠-m 的条件。 二、 过点型: 例2、(浙江金华)已知图象经过点(1,1),的反比例函数解析式是 。 分析:函数图象过某一点,则该点坐标满足函数解析式。即可设函数解析式为x k y = 然后将该点坐标代入解析式求出K 值即可 (变式问法:已知反比例函数x k y =,当x=1时,y =1,求这个函数的解析式。) 三、 图象型: 例3、已知某个反比例函数的图像如图所示,则该函数的解析式为__________。 分析:如图将点P (1,2)代入反比例函数解析式x k y =中求出K 的值的即可。 四、面积型: 例4、(山东枣庄)反比例函数x k y = 的图象如图所示,点M 是该函数图象上一点,MN 垂直于x 轴,垂足是点N ,如果S △MON =2,则反比例函数解析式? 分析:由反比例函数)0(≠= k x k y 的图象上任一点P 与过这点作X 轴(或Y 轴)的垂线的垂足与坐标 原点三点间的三角形的面积“S=K 21 ”可知 1 2 P

∴ K 2 1 =2 故可求出K 值,即写出解析式。 例5、如图所示,设A 为反比例函数x k y =图象上一点,且矩形ABOC 的面积为3,则这个反比例函数解析式为 分析:由上面知识可知S 矩形ABOC =K ∴ K =3 即 K=±3 又∵ 反比例函数图象在第二象限 ∴K=-3 即可写出解析式。 五、应用型: 例6、某空调厂的装配车间原计划用2个月时间(每月以30天计算),组装1500台空 调. (1)从组装空调开始,每天组装的台数m (单位: 台/天)与生产的时间t (单位:天) 之间有怎样的函数关系? (2)由于气温提前升高、厂家决定这批空调提前十天上市,那么装配车间每天至少要组装多少空调? 分析:这一道工程问题,即“工作总量=工作时间×工作效率”要时确 ∴ 1500=mt 即 t m 1500 = (0<t ≤60) 之后的问题就可以用第一小问来解决了。 (注意:求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围) 例7、(福建福州)如图,已知直线x y 21=与双曲线)0(>=k x k y 交于两 点,且点 的横坐标为. (1)求k 的值; (2)若双曲线)0(>=k x k y 上一点的纵坐标为8,求△AOC 的面 积; 分析:这是反比例函数与正比例函数的综合应用,只要明确交点A 的坐标既满足 正比例函数也满足反比例函数,即可以把A 点的横坐标4代入x y 2 1 =中求出点A 点坐标。然后代入)0(>=k x k y 中求出K 值即可。

反比例函数知识点总复习

反比例函数知识点总复习 一、选择题 1.如图,若直线2y x n =-+与y 轴交于点B ,与双曲线()2 0y x x =- <交于点(),1A m ,则AOB V 的面积为( ) A .6 B .5 C .3 D .1.5 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据题意求出A 点坐标,再求出一次函数解析式,从而求出B 点坐标,则问题可解. 【详解】 解:由已知直线2y x n =-+与y 轴交于点B ,与双曲线()2 0y x x =-<交于点(),1A m ∴2 1m =- 则m=-2 把A (-2,1)代入到2y x n =-+,得 ()122n =-?-+ ∴n=-3 ∴23y x =-- 则点B (0,-3) ∴AOB V 的面积为1 32=32 ?? 故应选:C 【点睛】 本题考查的是反比例函数与一次函数的综合问题,解题关键是根据题意应用数形结合思想. 2.如图, 在同一坐标系中(水平方向是x 轴),函数k y x =和3y kx =+的图象大致是( )

A.B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答.【详解】 解:A、由函数y=k x 的图象可知k>0与y=kx+3的图象k>0一致,正确; B、由函数y=k x 的图象可知k>0与y=kx+3的图象k>0,与3>0矛盾,错误; C、由函数y=k x 的图象可知k<0与y=kx+3的图象k<0矛盾,错误; D、由函数y=k x 的图象可知k>0与y=kx+3的图象k<0矛盾,错误. 故选A. 【点睛】 本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质,要掌握它们的性质才能灵活解题. 3.已知反比例函数 2 y x - =,下列结论不正确的是() A.图象经过点(﹣2,1)B.图象在第二、四象限C.当x<0时,y随着x的增大而增大D.当x>﹣1时,y>2

初三数学九下反比例函数所有知识点总结和常考题型练习题

反比例函数知识点 1. 定义:一般地,形如x k y = (k 为常数,o k ≠)的函数称为反比例函数。x k y =还可 以写成kx y =1 -,xy=k , (k 为常数,o k ≠). 2. 反比例函数解析式的特征: ⑴等号左边是函数y ,等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k (也叫做比例系数 k ),分母中含有自变量x ,且指数为1. ⑵比例系数0≠k ⑶自变量x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数y 的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法:描点法 ① 列表(应以O 为中心,沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数) ② 描点(有小到大的顺序) ③ 连线(从左到右光滑的曲线) ⑵反比例函数的图像是双曲线,x k y = (k 为常数,0≠k )中自变量0≠x ,函数值0≠y ,所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延伸部分逐渐靠近坐标轴, 但是永远不与坐标轴相交。 ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是x y =或x y -=)。 ⑷反比例函数x k y = (0≠k )中比例系数k 的几何意义是:过双曲线x k y = (0≠k )上任意引x 轴y 轴的垂线,所得矩形面积为k 。 4.反比例函数性质与k 的符号有关:

5. 反比例函数解析式的确定:利用待定系数法(只需一组对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ) 6.“反比例关系”与“反比例函数”:成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比 例函数x k y =中的两个变量必成反比例关系。 反比例函数练习 一. 选择题 1. 函数y m x m m =+--()2229是反比例函数,则m 的值是( ) A. m =4或m =-2 B. m =4 C. m =-2 D. m =-1 2. 下列函数中,是反比例函数的是( ) A. y x =- 2 B. y x =- 12 C. y x =-1 1 D. y x = 12 3. 函数y kx =-与y k x = ( k ≠0)的图象的交点个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定 4. 函数y kx b =+与y k x kb = ≠()0的图象可能是( ) A B C D

北师版数学九年级 设而不求巧解反比例函数问题四例

北师版数学九年级 设而不求巧解反比例函数问题四例 设而不求是数学解题中的一种最高境界,我们今天就利用这种方法,来解决反比例函数条件下的相关问题,供学习时借鉴. 一、设而不求,探求两个图形的面积和 例1如图1,A 、B 两点在双曲线y=4x 上,分别经过A 、B 两点向轴作垂线段,已知S 阴影=1,则1S +2S 2=( ) (A ) 3. (B ) 4.(C ) 5.(D )6. 分析:设点A 的坐标为(a,b ), 设点B 的坐标为(m,n ),根据点的坐标与反比例函数图像之间的关系知道:ab=4,mn=4,结合图形,知道ab 表示的是四边形ADOC 的面积即1S 与S 阴影的面积和,因此1S +S 阴影=4;知道mn 表示的是四边形BFOE 的面积即2S 与S 阴影的面积和,因此2S +S 阴影=4;于是我们得到如下的结论:1S +S 阴影+2S +S 阴影=8,因为S 阴影=1, 所以1S + 2S =6. 解:选D. 点评:设出图像上点的坐标,用点的坐标表示图形的面积,是解题的基础所在,熟记图像上的点的横坐标与纵坐标的绝对值的积就是该点到两个坐标轴的垂足点与原点,这个点构成矩形的面积,这是解题的关键. 二、设而不求,探求三角形的面积 例2如图1,Rt△AOB 的一条直角边OB 在x 轴上,双曲线y= 经过斜边OA 的 中点C ,与另一直角边交于点D .若S △OCD =9,则S △OBD 的值为 6 .

分析:过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值,即S=|k|,所以只要确定了反比例函数解析式中k 的值,问题就迎刃而解. 解:设点A的坐标为(a,b), 所以OB=a,AB=b,过点C作CE⊥x轴,垂足为E,因为AB⊥x 轴,所以CE是三角形AOB的中位线,所以OE=1 2 a,CE= 1 2 b,所以点C的坐标为( 1 2 a, 1 2 b), 因为双曲线y=经过点C,所以k=1 4 ab,所以三角形BDO的面积等于 1 8 ab, 因为点C是AO的中点,所以三角形COD的面积等于三角形ADC的面积,因为S△OCD=9, 所以三角形ADC的面积为9,因为三角形AOB的面积为1 2 ab,所以 1 2 ab= 1 8 ab+18, 所以ab=48,所以三角形BDO的面积等于1 8 ×48=6. 点评:把求三角形的面积问题转化为求坐标的乘积,是转化思想的具体体现,也是数形结合思想的有力体现,更是设而不求的重要意义所在,希望同学们能熟练掌握这种基本思想. 三、设而不求,探求直线的解析式 例3 如图,已知在Rt△OAC中,O为坐标原点,直角顶点C在x轴的正半轴上,反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图象经过OA的中点B,交AC于点D,连接OD.若△OCD∽△ACO,则直线OA的解析式为.

反比例函数知识点归纳

反比例函数知识点归纳

九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题 一、基础知识 (一)反比例函数的概念 1.()可以写成()的形式,注意自变量x的指数为,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件; 2.()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式; 3.反比例函数的自变量,故函数图象与x轴、y轴无交点. (二)反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,且x应对称取点(关于原点对称). (三)反比例函数及其图象的性质 1.函数解析式:() 2.自变量的取值范围: 3.图象:

则矩形PBOA的面积是(三角形PAO和三角形PBO的面积都是). 如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC⊥PA的延长线于C,则有三角形PQC的面积为. 图1 图2 5.说明: (1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个 分支分别讨论,不能一概而论. (2)直线与双曲线的关系: 当时,两图象没有交点;当

时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称. (3)反比例函数与一次函数的联系.(四)实际问题与反比例函数 1.求函数解析式的方法: (1)待定系数法;(2)根据实际意义列函数解析式. 2.注意学科间知识的综合,但重点放在对数学知识的研究上. (五)充分利用数形结合的思想解决问题.三、例题分析 1.反比例函数的概念 (1)下列函数中,y是x的反比例函数的是(). A.y=3x B. C.3xy=1 D. (2)下列函数中,y是x的反比例函数的是(). A.B.C.D.

北师版数学九年级构造垂线巧解反比例函数问题

北师版数学九年级构造垂线巧解反比例函数问题 过反比例函数图像的一点,向x 轴引垂线,是解答反比例函数问题时经常用到一条重要辅助线,下面就举例说明这条辅助线的应用,供学习时借鉴. 1 过图像上的点向x 轴引垂线,根据三角形的面积求函数的解析式 例1 如图1,反比例函数y=x k (k ≠0)的图象上有一点A ,AB 平行于x 轴交y 轴于点B ,△ABO 的面积是1,则反比例函数的解析式是( ) A. y=x 21 B. y=x 1 C. y=x 2 D. y=4x 1 解析 过点A 作AD ⊥x 轴于点D .则四边形ABOD 是矩形,因为△ABO 的面积是1,所以三角形AOD 的面积是1,所以矩形ABOD 的面积为1+1=2. 根据|k|=矩形ABOD 的面积,得|k|=2,所以k=2或k=-2.因为函数图象位于第一象限, 所以k >0,所以k=2.所以反比函数解析式为y=x 2,所以选C . 点评 过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线,与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|,这是反比例函数系数k 的几何意义,也是求函数解析式经常用到的知识点,同学们应高度关注. 2 过图像上的点向x 轴引垂线,根据反比例函数的解析式求三角形的面积 例2 如图2,点P (a ,a )是反比例函数y=x 16在第一象限内的图象上的一个点,以点P 为顶点作等边△PAB ,使A 、B 落在x 轴上,则△POA 的面积是( ) A. 3 B. 4 C. 33412- D. 3 3824-

解析 过点P 作PD ⊥x 轴于点D .因为点P (a ,a )是反比例函数y=x 16在第一象限内的图象上的一个点,所以OD=PD=a ,且2a =16,解得a=4或a=-4(舍去). 所以PD=OD=4.因为三角形PAB 是等边三角形,所以PA=2AD ,根据勾股定理得 32AD =16,所以AD=334,所以OA=OD-AD=4-334=33412-,所以三角形PAO 的面积为: 4334-1221??=3 3824-,所以选择D . 点评 灵活处理点的坐标与线段长之间的关系是解题的关键,解答时要注意点的位置,这将决定线段长的具体表达方式. 3 过图像上的点向x 轴引垂线,根据菱形顶点的坐标求k 的值 例3 如图3,菱形OABC 的顶点C 的坐标为(3,4).顶点A 在x 轴的正半轴上,反比例函数y=x k (x >0)的图象经过顶点B ,则k 的值为( ) A. 12 B. 20 C. 24 D. 32 解析 过点B 作BD ⊥x 轴于点D, 过C 点作CE ⊥x 轴,垂足为E ,因为C 的坐标为(3,4), 所以OE=3,CE=4,在直角三角形EOC 中, OC=222243+=+OE CE =5, 所以菱形的边长为5,所以BC=5,易证四边形CEDB 为矩形,所以ED=BC=5, 所以OD=OED=3+5=8,BD=CE=4,所以点B 的坐标为(8,4),所以k=8×4=32. 所以选D . 点评 通过作出辅助线,借助菱形的性质,矩形的性质和勾股定理求得点B 的坐标是解题的关键.

专训1 求反比例函数解析式的六种方法

专训1求反比例函数解析式的六种方法名师点金: 求反比例函数的解析式,关键是确定比例系数k的值.求比例系数k的值,可以根据反比例函数的定义及性质列方程、不等式求解,可以根据图象中点的坐标求解,可以直接根据数量关系列解析式,也可以利用待定系数法求解,还可以利用比例系数k的几何意义求解.其中待定系数法是常用方法. 利用反比例函数的定义求解析式 1.若y=(m+3)xm2-10是反比例函数,试求其函数解析式. 利用反比例函数的性质求解析式 2.已知函数y=(n+3)xn2+2n-9是反比例函数,且其图象所在的每一个象限内,y随x的增大而减小,求此函数的解析式. 利用反比例函数的图象求解析式 3.【2017·广安】如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=m x的图象在第一象 限交于点A(4,2),与y轴的负半轴交于点B,且OB=6. (1)求函数y=m x和y=kx+b的解析式.

(2)已知直线AB 与x 轴相交于点C ,在第一象限内,求反比例函数y =m x 的图象上一点P ,使得S △POC =9. (第3题) 利用待定系数法求解析式 4.已知y 1与x 成正比例,y 2与x 成反比例,若函数y =y 1+y 2的图象经过点(1,2),??? ?2,12,求y 与x 的函数解析式. 利用图形的面积求解析式 5.如图,点A 在双曲线y =1x 上,点B 在双曲线y =k x 上,且AB ∥x 轴,C ,D 两点在x 轴上,若矩形ABCD 的面积为6,求点B 所在双曲线对应的函数解析式.

(第5题) 利用实际问题中的数量关系求解析式 6.某运输队要运300 t物资到江边防洪. (1)求运输时间t(单位:h)与运输速度v(单位:t/h)之间的函数关系式. (2)运了一半时,接到防洪指挥部命令,剩下的物资要在2 h之内运到江边,则运输速度至少为多少?

反比例函数常见几何模型

反比例函数常见模型邑? E- 、知识点回顾 k 1..反比例函数的图像是双曲线,故也称双曲线y=—(k≠0.其解析式有三种表示方法: X ① y =k ( k≠0);② y=kx' ( k≠0);③ xy = k X k 2.反比例函数y=—( k≠0的性质 X (1)当k>0时=函数图像的两个分支分别在第一,三象限内U 在每一象限内,y随X 的增大而减小. (2)当k<0时二函数图像的两个分支分别在第二,四象限内= 在每一象限内,y随X 的增大而增大. k (3)在反比例函数y=k中,其解析式变形为Xy=k ,故要求k的值(也就是求其图像上 X 一点横坐标与纵坐标之积). (4)若双曲线y=-图像上一点(a,b)满足a,b是方程Z2- 4Z —2=0的两根,求双 X 曲线的解析式.由根与系数关系得ab= 2 ,又ab=k,?? k= 2,故双曲线的解析式是y= . X (5)由于反比例函数中自变量X和函数y的值都不能为零,所以图像和X轴,y轴都没有交点,但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势. 】、新知讲解与例题训练 模型一: 如图,点A为反比例函数V 则有SOAB -Ikl

学习靠自觉,进步靠努力,每天比别人 m S AOB = 3 , (1)求m 的值 多付出一点点,将来比别人收获多许多 -一L - *例1 :如图RtLABC的锐角顶点是直线y=x+m与双曲线^y=— Jta-「—,j 变式题 1、如图所示,点A1, A2, A3在X轴上,且O A = AA2= A2 A3,分别过A∣, A2, A3作y轴平行 8 线,与反比例函数y= — (χ>0)的图像交于点B1, B2,B3 ,分别过点B1,B2, B3作X轴的平行 X 线,分别与y轴交于点C1,C2, C3,连结OB i ,OB2,OB3 ,那么图中阴影部分的面积之和为 1 y 上,点B在双曲线X 若四边形ABCD为矩形,则它的面积为 2 、 如图,点A在双曲线 模型二: , k 如图:点A、B是双曲线y = —(k=0)任意不重合的两点, X 点,交y轴于N点,再过A、B两点分别作AD — y轴于D点,BF — X轴于F

初中数学求反比例函数解析式的六种方法

求反比例函数解析式的六种方法 名师点金: 求反比例函数的解析式,关键是确定比例系数k的值.求比例系数k的值,可以根据反比例函数的定义及性质列方程、不等式求解,可以根据图象中点的坐标求解,可以直接根据数量关系列解析式,也可以利用待定系数法求解,还可以利用比例系数k的几何意义求解.其中待定系数法是常用方法. 利用反比例函数的定义求解析式 1.若y=(m+3)xm2-10是反比例函数,试求其函数解析式. 利用反比例函数的性质求解析式 2.已知函数y=(n+3)xn2+2n-9是反比例函数,且其图象所在的每一个象限内,y随x的增大而减小,求此函数的解析式. 利用反比例函数的图象求解析式 3.【2017·广安】如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=m x的图象在第一 象限交于点A(4,2),与y轴的负半轴交于点B,且OB=6. (1)求函数y=m x和y=kx+b的解析式.

(2)已知直线AB 与x 轴相交于点C ,在第一象限内,求反比例函数y =m x 的图象上一点P ,使得S △POC =9. (第3题) 利用待定系数法求解析式 4.已知y 1与x 成正比例,y 2与x 成反比例,若函数y =y 1+y 2的图象经过点(1,2),??? ?2,12,求y 与x 的函数解析式. 利用图形的面积求解析式 5.如图,点A 在双曲线y =1x 上,点B 在双曲线y =k x 上,且AB ∥x 轴,C ,D 两点在x 轴上,若矩形ABCD 的面积为6,求点B 所在双曲线对应的函数解析式.

(第5题) 6.某运输队要运300 t物资到江边防洪. (1)求运输时间t(单位:h)与运输速度v(单位:t/h)之间的函数关系式. (2)运了一半时,接到防洪指挥部命令,剩下的物资要在2 h之内运到江边,则运输速 度至少为多少?

反比例函数知识点总结

反比例函数知识点总结 知识点1 反比例函数的定义 一般地,形如x k y = (k 为常数,0k ≠)的函数称为反比例函数,它可以从以下几个方面来理解: ⑴x 是自变量,y 是x 的反比例函数; ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数,函数值的取值范围是0y ≠; ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分; ⑷反比例函数有三种表达式: ①x k y = (0k ≠), ②1 kx y -=(0k ≠), ③k y x =?(定值)(0k ≠); ⑸函数x k y = (0k ≠)与y k x =(0k ≠)是等价的,所以当y 是x 的反比例函数时,x 也是y 的反比例函数。 (k 为常数,0k ≠)是反比例函数的一部分,当k=0时,x k y =,就不是反比例函数了,由于反比例函数x k y = (0k ≠)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。 知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x k y = (0k ≠)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。 知识点3反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠,函数值 0y ≠,所以它的图像与x轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永 远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤:⑴列表;⑵描点;⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点: ①列表时选取的数值宜对称选取; ②列表时选取的数值越多,画的图像越精确; ③连线时,必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,切忌画成折线; ④画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交。 知识点4反比例函数的性质 ☆关于反比例函数的性质,主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况,如下表:

反比例函数常见几何模型

反比例函数常见模型 一、知识点回顾 1..反比例函数的图像是双曲线,故也称双曲线y=k x (k≠0).其解析式有三种表示方法:①x k y = (0≠k );②1-=kx y (0≠k );③k xy = 2.反比例函数y=k x (k≠0)的性质 (1)当k>0时?函数图像的两个分支分别在第一,三象限内?在每一象限内,y 随 x 的增大而减小. (2)当k<0时?函数图像的两个分支分别在第二,四象限内?在每一象限内,y 随x 的增大而增大. (3)在反比例函数y= k x 中,其解析式变形为xy=k ,故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积). (4)若双曲线y= k x 图像上一点(a ,b )满足a ,b 是方程Z 2 -4Z -2=0的两根,求双曲线的解析式.由根与系数关系得ab=-2,又ab=k ,∴k=-2,故双曲线的解析式是y=2 x -. (5)由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零,所以图像和x 轴,y 轴都没有交点,但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势. 二、新知讲解与例题训练 模型一: 如图,点A 为反比例函数x k y =图象上的任意一点,且AB 垂直于x 轴, 则有2||k S OAB = ?

例1:如图ABC Rt ?的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y= x m 在第一象限的交点,且3=?AOB S ,(1)求m 的值 (2)求ABC ?的面积 变式题 1、如图所示,点1A ,2A ,3A 在x 轴上,且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线,与反比例函数y= x 8 (x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ,分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线,分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________ 2、 如图,点A 在双曲线1y x = 上,点B 在双曲线3 y x =上,且AB ∥x 轴,C 、D 在x 轴上,若四边形ABCD 为矩形,则它的面积为 . 模型二: 如图:点A 、B 是双曲线)0(≠=k x k y 任意不重合的两点,直线AB 交x 轴于M 点,交y 轴于N 点,再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点,x BF ⊥轴于F 点,再连结DF 两点,则有:AB DF ||且BM =AN D F A B D F M N x y O

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