探索相似三角形的条件

4．4 探索三角形相似的条件

第1课时两角分别相等的判定方法基础题

知识点1 相似三角形的概念

1．下列说法中，错误的是( )

A．两个全等的三角形一定相似

B．两个钝角三角形一定相似

C．两个等边三角形一定相似

D．相似的两个三角形不一定全等

2．如图，若∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，且AB

A′B′＝

BC

B′C′

＝

AC

A′C′

，则__________．

知识点2 两角分别相等的两个三角形相似

3．下列说法正确的是( )

A．有一个角相等的两个等腰三角形相似

B．所有的直角三角形相似

C．有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似

D．所有的等腰三角形相似

4．如图，E是矩形ABCD的AB边上任意一点，F是AD边上一点，∠EFC＝90°，图中一定相似的三角形是( ) A．①与② B．③与④

C．②与③ D．①与④

5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，C D⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( )

A．1对 B．2对

C．3对 D．4对

6．如图，∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴________∽________.

7．已知40°和50°分别为两个直角三角形中的一个锐角，判定这两个直角三角形________(填“相似”或“不相似”)．

8．(怀化中考)如图，已知：在△ABC与△DEF中，∠C＝54°，∠A＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°.求证：△ABC∽△DEF.

9．(铜仁中考)如图所示，AD ，BE 是钝角△ABC 的边BC ，AC 上的高，求证：AD BE ＝AC

BC

.

中档题

10．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，且∠DCE＝∠B.那么下列判断中，错误的是( ) A ．△ADE ∽△AB C B ．△ADE ∽△ACD C ．△DEC ∽△CDB D ．△ADE ∽△DCB

11．(海南中考)如图，点P 是□ABCD 边AB 上的一点，射线CP 交DA 的延长线于点E ，则图中相似的三角形有( ) A ．0对 B ．1对 C ．2对 D ．3对

12．在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是边AB 上一点(不与点A ，B 重合)，过点D 作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条

13．(毕节中考)如图，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C ＝∠E，AD ∶DE ＝3∶5，AE ＝8，BD ＝4，则DC 的长等于( )

A.154

B.125

C.203

D.174

14．如图，△ABC 、△DEP 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠PDE＝90°.

(1)若将△DEP 的顶点P 放在BC 上(如图1)，PD 、PE 分别与AC 、AB 相交于点F 、G.求证：△PBG∽△FC P ；

(2)若使△DEP 的顶点P 与顶点A 重合(如图2)，PD 、PE 与BC 相交于点F 、G.试问△PBG 与△FCP 还相似吗？为什么？

综合题

15．在△ABC 中，∠C ＝90°.

(1)如图1，P 是AC 上的点，过点P 作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似．例如：过点P 作PD∥BC 交AB 于D ，则截得的△ADP 与△ABC 相似．请你在图中画出所有满足条件的直线；

(2)如图2，Q 是BC 上异于点B ，C 的动点，过点Q 作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，直接写出满足条件的直线的条数．(不要求画出具体的直线)

参考答案

1．B 2.△ABC∽△A′B′C′ 3.C 4.A 5.C 6.△ABC △DEF 7.相似 8.证明：在△DEF 中，∠D ＝180°－∠E－∠F＝180°－79°－54°＝47°，∵∠C ＝∠F＝54°，∠A ＝∠D＝47°，∴△ABC ∽△DEF. 9.证明：∵AD，BE 是钝角△ABC 的边BC ，AC 上的高，∴∠D ＝∠E＝90°.∵∠ACD ＝∠BCE，∴△ACD ∽△BCE.∴AD BE ＝AC

BC . 10.D 11.D

12.C 13.A 14.(1)证明：∵△ABC、△DEP 是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B ＝∠C＝∠DPE＝45°.

∴∠BPG ＋∠CPF＝135°.在△BPG 中，∵∠B ＝45°，∴∠BPG ＋∠BGP＝135°.∴∠BGP ＝∠CPF.∵∠B＝∠C，∴△PBG ∽△FCP.(2)△PBG 与△FCP 还相似．理由如下：∵△ABC、△DEP 是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B ＝∠C＝∠DPE＝45°.∵∠BGP ＝∠C＋∠CPG＝45°＋∠CAG，∠CPF ＝∠FPG＋∠CAG＝45°＋∠CAG，∴∠BGP ＝∠CPF.∵∠B ＝∠C，∴△PBG ∽△FCP. 15.(1)图略．(2)当0＜BQ ＜83时，满足条件的直线有3条；当8

3≤BQ ＜6时，满足条件的

直线有4条．

相似三角形解答题难题含答案个人精心整理

一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过 点B作射线BB1∥AC．动点D 从点A 出发沿射线AC方向 以每秒5 个单位的速度运动，同时动点E 从点C沿射线 AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB 于H，过点E作EF⊥ AC交射线BB1于F，G是EF中点， 连接DG．设点D 运动的时间为t 秒． （1）当t 为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB 相似时，求t 的值． 点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运 动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm 的速度向A 点运动，当P点到达B点时，Q 点随之停止运动．设运动 的时间为x． （1）当x 为何值时，PQ∥ BC？ （2）△APQ 与△CQB能否相似？若能，求出AP的长； 若不能说明理由． 2.如图，在△ ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m， 动点P 以2m/s 的速度从A 点出发，沿AC 向点C 移 动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向 点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移 动．设移动的时间为t 秒． （1）① 当t=2.5s 时，求△ CPQ的面积； ② 求△ CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数 解析式； （2）在P，Q 移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形 时，求出t 的值． 5.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点P 沿 AB 边从A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D开始向点A以1cm/s 的速度移动．如果P、Q 同 时出发，用t（s）表示移动的时间（0< t <6）。 （1）当t 为何值时，△ QAP为等腰直角三角形？（2） 当t 为何值时，以点Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？ 3.如图1，在Rt△ ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， 点D 在边AB 上运动，DE 平分CDB交边BC 于点E， EM⊥ BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N． （1）当AD＝CD 时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD 为何值时，△BME与△CNE相似？ 二、构造相似辅助线——双垂直模型 6.在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（2，1）， 正比例函数y=kx 的图象与线段OA 的夹角是45°，求这个 正比例函数的表达式． 7.在△ABC中，AB= ，AC=4， BC=2，以AB 为边在 C点的异侧作△ABD，使△ABD 为等腰直角三角形， 4.如图所示，在△ ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm ，

探索相似三角形的条件(三)教学设计

第四章图形的相似 4．探索三角形相似的条件（三） 山东省青岛市第四十二中学庄丽 一、学生知识状况分析 学生在七年级已学习过三角形的基础知识，掌握了基本的概念；在本章前面几节课中，又学习了成比例线段，相似多边形，相似三角形，并理解了它们的概念。学生在上两节课学习的基础上，进一步探索相似三角形的条件（三边成比例的两个三角形相似），已经有一定的探索经验；因此，本课时对学生来说，难度不是很大，关键是老师要用正确的方法，启发学生进行探索，做到师生互动，教师参加学生讨论并充分调动学生的学习积极性。使学生能充分的理解和掌握三角形的相似的判定方法，并能结合本节知识点，进行一些问题的解决，以巩固所学知识的运用。 二、教学任务分析 在复习上一节课所学的判定方法的基础上进一步学习三角形相似的条件，增加“三边对应成比例的两个三角形相似”判定定理，并对所学的各种三角形相似的判定方法进行梳理；使学生能掌握和综合利用相似三角形的判定条件来判定两个三角形的相似，让学生结合实际再次体会数学中的几何图形在生活中广泛存在并起到重要的作用；在教学中再辅以适量的练习使学生对所学的知识加深印象和增加解决问题的能力。 教学目标： 1、知识与技能： （1）掌握三角形相似的判定方法3。 （2）会用相似三角形的判定方法3来判断、证明及计算。 2、过程与方法： 以问题的形式引入，创设一个有利于学生动手和探究的情景，师生互动，从而达到掌握相似三角形判定的方法的目的。 3、情感与价值观要求： （1）通过探索相似三角形的判定方法3,体现数学活动充满着探索性和创造性.

（2）通过对判定方法的探索，发展学生思维的灵活性，进一步培养逻辑推理能力。 教学重点 掌握相似三角形的判定定理：“三边成比例的两个三角形相似” 。 教学难点 判定方法的推导及运用 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：第一环节：情景引入、合作探讨；第二环节：交流展示、揭示新知；第三环节：应用新知、练习提高；第四环节：梳理知识、自我升华；第五环节：课堂小结。 第一环节：情景引入、合作探讨 活动内容： 【师】我们上两节课学过什么定理? 师生共同回忆，在上两节课的探索中，我们知道：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例及夹角相等的两个三角形相似。 【师】那么判定三角形相似还有没有其它条件呢？今天我们再次踏上探索之旅途。 画△ABC 与△A ′B ′C ′，使B A AB ''、C B BC ''和A C CA ''都等于给定的值k. （1）设法比较∠A 与∠A ′的大小。 （2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？说说你的理由. 改变k 值的大小，再试一试。 【生】按照上面的步骤进行，这里的k 由自己定，为了节约时间，一个组取一个相同的k 值，不同的组取不同的k 值。 活动目的： 将学习空间还给学生，让学生在相互合作的过程中发现知识，掌握知识。 活动效果： 在一个开放的环境下，学生动手操作，自主探索，让学生对学习有很高的兴趣，小组之间互相竞争，气氛热烈,同时培养了学生们的合作交流精神。

八年级数学下册 10.4 探索三角形相似的条件(1)学案(无答案) 苏科版

10.4探索三角形相似的条件（1） 班级 姓名 学号 学习目标 1. 通过探索与交流，得出两个三角形只要具备有两个角对应相等，即可判断两个三角形相似的方法. 2. 尝试判断两个三角形相似，并能解决生活中一些简单的实际问题. 学习重点： 1. 两个三角形相似的条件（一）的应用. 2. 了解两个三角形相似的条件（一）的探究思路和应用. 学习难点： 经历“操作——观察——探索——说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力. 教学过程 一、情境引入： 我们知道，用相似三角形的定义可以判定两个三角形相似，涉及的条件较多.需要有三对对应角相等，三条对应边的比也都相等，显然用起来很不方便．那么能不能用较少的几个条件就能判定三角形相似呢？ 二、探究学习： 1．尝试： 小明用白纸遮住了3个三角形的一部分，你能画出这3个三角形吗？ 在图中，若∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′， AB ＝A ′B ′，那么（1）和（2）中的两个三角形全等吗？由两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，得△ABC ≌△A ′B ′C ′ 若∠A ＝∠A ″，∠B ＝∠B ″， A ″B ″＝2AB ，那么（1）和（3）中的两个三角形相似吗？由题意，图中的两个三角形的第3对角∠C ＝∠C ″相等，同时通过度量可得B ″C ″＝2BC ，C ″A ″＝2CA ，这样由相似三角形的概念可知△A ″B ″C ″∽△ABC ； 2．概括总结． A ′ B ′ A ″ B ″ A B （1） （2） （3）

由此得判定方法一：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 几何语言：在△ABC 与△A ″B ″C ″中， ∵∠A ＝∠A ″，∠B ＝∠B ″， ∴△A ″B ″C ″∽△ABC 3.概念巩固： 练习: 1、关于三角形相似下列叙述不正确的是 ( ) A 、有一个底角对应相等的两个等腰三角形相似; B 、有一个角对应相等的两个等腰三角形相似; C 、所有等边三角形都相似; D 、顶角对应相等的两个等腰三角形相似. 2、 判断题 ⑴所有的等腰三角形都相似。( ) ⑵所有的等腰直角三角形都相似。( ) ⑶所有的等边三角形都相似。( ) ⑷所有的直角三角形都相似。( ) ⑸有一个角是100°的两个等腰三角形相似。（ ） ⑹有一个角是70°的两个等腰三角形相似.（ ） 4.典型例题： 例1、在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A ＝50°,∠B ＝∠B ′＝60°,∠C ′＝70°，△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？ 例2、如图，在方格图中，画△A ′B ′C ′，使A ′C ′∥AC ，B ′C ′∥BC, (1)如果∠A ＝250 ,∠B ＝1350 ，那么∠A ′＝ ，∠B ′＝ ，∠C ′＝ ； (2) 测量两个三角形的三边长后判定△ABC 与A ′B ′C ′是否相似？ (3)发现：两角 的两三角形相似. 例1图 例2图 B′ C′ A′ C A A B C A ′ B C ′

相似三角形练习题

相似三角形 试题 一选择 已知A 、B 两地的实际距离AB ＝5km ，画在图上的距离 ，则该地图的比例尺为 ( )． A ．2:5 B ．1:2500 C ．250000:1 D. 1:250000 2．已知：线段a 、b ，且32=b a ,则下列说法错误的是( ) A ．a ＝2cm ，b ＝3cm B. a ＝2k ，b ＝3k(k ≠0) C ．3a ＝2b D ．b a 32= 3．如果x:(x+y)＝3:5，那么x:y ＝( ) A. B. C. D. 4．如图18—91，BE 、CD 相交于点O ，且∠l ＝∠2，图中有几组相似三角形( ) A.2组 B ．3组 C. 5组 D. 6组 5．能说明△ABC ∽△ ，C B A '''的条件是( ) A. C B BC C A AC B A AB ''''=''或 B. .C A C A B A AC AB '∠=∠''''=且 C. B B C B BC B A AB '∠=∠''=''且 D. A B C A BC B A AB '∠=∠''=''且 6．△ABC 中，BC ＝54cm ，CA ＝45cm ，AB ＝63cm ；另一个和它相似的三角形最短边长为15cm ， 则最长 边一定是( ) A.18cm B ．21cm C 24cm D. 1 9.5cm 7．两个相似三角形的面积比为1:4，那么它们的对应中线的比为( ) A ．1:2 B. 2:1 C. D. 8．有一个多边形的边长分别是4cm 、5cm 、6cm 、4cm 、5cm ，和它相似的一个多边形最长 边为8cm ， 那 么这个多边形的周长是( ) A ．12cm B ．18cm C. 32cm D. 48c m 9．如图18—92，小东设计两个直角，来测量河宽DE ，他量得AD ＝2m ，BD ＝3m ，CE ＝9m ，

第14讲 探索相似三角形相似的条件(提高)知识讲解

探索相似三角形相似的条件(提高) 【学习目标】 1.相似三角形的概念. 2.相似三角形的三个判定定理. 3.黄金分割. 4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力. 【要点梳理】 要点一、相似三角形的概念 相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 要点诠释： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 要点二、相似三角形的三个判定定理 定理：两角分别相等的两个三角形相似. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似. 要点诠释： （1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. （2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 要点三、相似三角形的常见图形及其变换：

要点四、黄金分割 1.定义： 一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC 两段,如果AC BC AB AC =,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比. 要点诠释： 512AC AB -=≈0.618AB (0.618是黄金分割的近似值，512 -是黄金分割的准确值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB ，按照如下方法作图： （1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =2 1A B. （2）连接AD ，在DA 上截取DE =D B. （3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. 要点诠释： 一条线段的黄金分割点有两个. 【典型例题】 类型一、相似三角形的概念 1、买西瓜为什么挑大个？ 思驰是一个好奇心很强的女孩，凡事都喜欢问个为什么．一天，思驰跟爸爸上街买西瓜．见爸爸选中的全是大个西瓜，她的小脑袋瓜又转开了：买西瓜为什么挑大个？ “你这个沈老师的得意门生，能用学过的数学知识解决吗？”，爸爸“将”了思驰一军． 回到学校，思驰就找来远兮一起商量．两人便开始了一番精彩对话． 思驰：西瓜可以近似看成球体，可以应用球的体积公式． 远兮：大西瓜和小西瓜的皮厚几乎相等． 思驰：人们买瓜是为了吃瓤． 远兮：瓤的体积在整个西瓜体积中占的比越大越好． 思驰：两者的体积比如何求呢？

相似三角形大题完整版

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三、.已知平行四边形ABCD 中，AE∶EB=1∶2， 求△AEF 与△CDF 的周长比，如果S △AEF =6cm 2,求S △CDF . 四.如下图，已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC,EM 是AD 的中垂线，交BC 延长线于 E.求证：DE 2=BE·CE. 五、已知如图，在平行四边形ABCD 中，DE=BF, 求证： DQ CD =PQ PD . 六、过△ABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中 线AD 分别交于点F 和E ，求证： AE∶ED=2AF∶FB. 七、如果四边形ABCD 的对角线交于O ，过O 作直线OG∥AB 交BC 于E ，交AD 于F ，交CD 的延长线于G ，求证：OG 2=GE·GF. 八、如下图，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 的三等分点，CM 为AB 上的中线，CM 分别交AE 、AD 于F 、G ，则CF∶FG∶GM=5∶3∶2 十、已知：线段AB ，分点C 将AB 分成3∶11两组，分点D 将AB 分成5∶9两段，且CD=4cm,求AB 的长. 九、如下图，△ABC 中，AD∥BC，连结CD 交AB 于E ，且AE∶EB=1∶3，过E 作EF∥BC，交AC 于F ，S △ADE =2cm 2，求S △BCE ，S △AEF . 十一、下图中，E 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点，AE∶EC=1∶3，BE 的延长线交CD 的延长线于G ，交AD 于F ，求证：BF∶FG=1∶2. 26．（2010年长沙）如图，在平面直角坐标系 中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上， OA =， OC=8cm ，现有两动点P 、Q 分 别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA 方 cm 的速度匀速运动，Q 在线段 CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运 动．设运动时间为t 秒． （1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ； （2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值； （3）当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时，抛物线214 y x bx c =++经过B 、P 两点，过线段BP 上 一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比． (2010湖北省荆门市)23．(本题满分10分)如 图，圆O 的直径为5，在圆O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ∶CA ＝4∶3，

相似三角形练习题精选

# 相似三角形练习题精选 相似三角形 例题： 1、（2007杭州）如图，用放大镜将图形放大，应该属于（ ） Ａ．相似 Ｂ．平移 Ｃ．对称 Ｄ．旋转 # 2、(2008天津)如图，已知△ABC 中，EF ∥GH ∥IJ ∥BC ，则图中相似三角形共有 对． 跟踪练习： 1、（2007韶关）如图1，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，则图中相似三角形的对数有（ ） 对 对 C. 2对 对 2、（2007上海）如图2，E 为平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结AE ，交边CD 于点F ．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形： ． 相似三角形的判定 例题： 1.下列各组图形有可能不相似的是( ). A ．各有一个角是50°的两个等腰三角形 B ．各有一个角是100°的两个等腰三角形 C ．各有一个角是50°的两个直角三角形 D ．两个等腰直角三角形 ~ 2、（2007永州）如图，添上条件：_______，则△ABC ∽△ADE 。 3. （2009新疆）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ） 4．（2010临沂） 如图，12∠=∠，添加一个条件使 得ADE ?∽ACB ? . 跟踪练习： 1．（2010陕西西安）如图，在ABC ?中，D 是AB 边上一点，连接CD ，要使ADC ?与 ~ ABC ?相似，应添加的条件是 。 （只需写出一个条件即可） 2、（2008 江西南昌）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ） 2 1E D C B A A. 图1 D C B A A B D \ F

《探索三角形相似的条件》教案1(鲁教版八年级上)

2.5探索三角形相似的条件 教学目标 （一）教学知识点 1．掌握三角形相似的判定方法1． 2．会用相似三角形的判定方法1来证明及计算． （二）能力训练要求 1．通过亲身体会得出相似三角形的判定方法，培养学生的动手能力； 2．利用相似三角形的判定方法1进行有关计算及证明，训练学生的灵活运用能力． （三）情感与价值观要求 1．经历对图形的观察、实验、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，并能有条理地、清晰地阐述自己的观点． 2．通过用三角形全等的判定方法类比得出三角形相似的判定方法，进一步领悟类比的思想方法．教学重点 相似三角形的判定方法以及推导过程，并会用判定方法来证明和计算． 教学难点 判定方法的运用 教学方法 探索——总结——运用法 教具准备 投影片三张 第一张（记作§2．5 A） 第二张（记作§2．5 B） 第三张（记作§2．5 C） 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 ［师］上节课我们学习了相似三角形的定义，即三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形是相似三角形，同时这也是相似三角形的一种判定方法，即定义法．那么，除此之外，还有没有其他方法呢？本节课开始我们将进行这方面的探索． Ⅱ．新课

［师］在三角形中有六个元素，即三个角和三条边，要进行相似的判断，就是要看在这两个三角形中角或边需满足什么条件，两个三角形就相似，而在判断两个三角形全等时，也是讨论边、角关系的．下面我们先回忆一下全等三角形的判定方法，然后进行类比，好吗？ ［生］好 全等三角形的判定方法有：ASA ，AAS ，SAS ，SSS ，直角三角形除此之外再加HL ． ［师］那么，相似三角形应该如何判断呢？ 1．做一做． 投影片（§2．5 A ） ［师］请大家按照要求动手画图，然后进行交流． ［生］在（1）中，只有一对角相等，其他角和边没有确定，因此所画的三角形不相似． 根据（2）中的要求画出的三角形中，∠C 与∠C ′相等，对应边有 C B B C C A AC B A AB '''''',,，根据相似三角形的定义，这两个三角形相似． 改变∠α、∠β的大小，这个结论还不变． ［师］大家的结论都是如此吗？ ［生］是． ［师］从这两个小题中，大家能得出什么？ ［生］（1）题告诉我们，只满足一对角相等不能判定两个三角形相似． 从（2）中我们可知，如果两个三角形中有两对角对应相等，那么这两个三角形相似． ［师］其他同学同意吗？ ［生］同意． ［师］经过大家的探索，我们得出了判定方法1： 两角对应相等的两个三角形相似． ［师］下面我们进行运用． 2．例题．

经典相似三角形练习题(附参考答案)

. . 相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F 是BC 的中点时，过F 作EF ∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC． 求证：△ABC∽△FDE． 4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ； （2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm． 某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？ （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形． （1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例） （2）请你任选一组相似三角形，并给出证明． 10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE． （1）写出图中所有相等的线段，并加以证明； （2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；

探索三角形相似的条件(一)教学设计

课题：探索三角形相似的条件（八下第四章第六节第一课时教学设计） 刘伟茂 一、教材分析 本节课是北师大版初中数学八年级下册第四章第六节“探索三角形相似的条件”第1课时的内容。它是在学生学习了两个三角形全等的判定与性质，相似三角形的定义以及两个三角形相似对应角相等，对应边成比例这些知识的基础上进行的。而全等形是相似形的特殊情况，从这个意义上讲，研究相似三角形比研究全等三角形更具有一般性，所以这一章所研究的问题，实际上是在全等三角形知识基础上的拓宽和发展。在直观认识形状相同的图形基础上，探索和理解相似三角形的判定条件；为后续学习通过相似三角形有关知识测量物体的高度、距离做好准备，后面，我们还将学习平面几何的其它知识，其中三角函数的定义、圆的有关性质的证明，都是以相似三角形为基础的。在物理中，学习力学、光学等知识，也需要运用相似三角形的有关知识。因此，这部分内容也是今后进一步学习不可缺少的基础。 二、学生状况分析 （1）八年级学生，身心发展较快，求知欲旺盛，乐于学习，而且经过七年级一年的学习，学生已经养成了良好的数学学习习惯，有了一定自主探索，合作交流的学习意识。表达能力，概括能力有所提高。 （2）在学习本节内容之前，学生已经掌握了全等三角形的性质与判定方法，以及相似三角形的定义，并初步体会了类比方法在数学学习中的作用；本节研究与学习方法与其类似。 （3）本节课的教学内容是循序渐进、逐步深化的。特别是判定两个三角形相似的条件的运用，会给学生带来一定的困难。 三、教、学法分析 1、教法分析 根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点，教学上采用以引导发现法为主，并以实验法、演示法相结合，设计“探索——观察——实验”的教学方法，意在帮助学生通过直观情景观察和自己动手实验，从自己的实践中获取知识，并通过讨论来深化对知识的理解。本节课采用了多媒体辅助教学，一方面能够直观、生动地反映图形，增加课堂的容量，同时有利于突出重点、分散难点，增强教学条理性，形象性，更好地提高课堂效率。因此本节课教师以探索任务引导学生通过动手操作，合作交流自主探究和发现结论。 2、学法分析 《数学新课程标准纲要》指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。为了充分体现《数学新课程标准纲要》的要求，培养学生的动手实践能力，逻辑推理能力，积累丰富的数学活动经验，这节课主要采用动手实践，自主探索与合作交流

最新北师大版九年级数学上册《探索三角形相似的条件》教案(优质课一等奖教学设计)

《两个相似三角形的判定》教案 教学目标 1、经历三角形相似的判定方法“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形线相似”的探索过程. 2、掌握“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形线相似”的两个三角形相似的判定方法. 3、能运用上述两个判定方法判定两个三角形相似. 重点与难点 1、本节教学的重点是相似三角形的判定方法“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形线相似”及其应用. 2、例题的解答首先要选择用什么判定方法，然后利用方格进行计算，根据计算结果来判断两个三角形的三边是否对应成比例，需要学生有一定的分析、判断和计算能力，是本节教学的难点.

知识要点 三角形相似的条件： 1、有两个角对应相等的两个三角形相似. 2、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似. 3、三边对应成比例的两个三角形线相似. 重要方法 1、利用两对对应角相等证相似，关键是找出两对对应角. 2、三边对应成比例的两个三角形相似中，三边对应是有序的即：大对大，小对小，中对中. 3、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，一定要弄清边与角的位置关系.即边是指夹角的两边，角是成比例的两边的夹角. 4、在相似三角形条件(3)中，如果对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么这两个三角形不一定相似，如在图4-3-14△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，在△A′B′C′中，A′B′＝A′C′，∠A′＝30°，可以说AB∶A′B′＝AC∶A′C′，∠B＝∠A′，

但两个三角形不相似. C 教学过程 一、复习 1、我们已经学习了几种判定三角形相似的方法？ (1)平行于三角形一边直线定理 ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC (2)判定定理1： ∵∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，∴ △ABC ∽△A ′B ′C ′ A B C A ′ B ′ C ′ 4-3-14

初三数学相似三角形典型例题(含答案)

初三数学相似三角形 （一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。 （二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质：a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。

探索三角形相似的条件(3)教案

探索三角形相似的条件（3）教案 一、学习目标： 1．知识与技能：了解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法，掌握其符号语言； 2．过程与方法：经历“猜想、探索、说理、归纳”的数学活动过程，探究并运用新知； 3．情感态度与价值观：在小组合作中，发展学生的合情推理和数学表达能力。 二、学情分析： 1．学生已学习过相似三角形的定义、预备定理和判定定理1。 2．学生掌握“SAS ”判定三角形全等的方法，能准确找到对应边及夹角。 3．学生有探究意识、合作能力及表现欲。 三、重点难点： 1．“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法的证明； 2．能灵活运用判定定理判定三角形是否相似，及根据相似求边长。 四、教学过程： [知识回顾] 判定两个三角形相似的方法： 1、相似三角形的定义。 2、预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 3、判定定理1:有两个角对应相等的两个三角形相似。 （学生回忆判定三角形相似的方法，旨在温故而知新，为探究其他判定方法及后续综合运用做准备。） [情景引入] 在△ABC 和△A'B'C'中，∠A=∠A'， (1)当k=1时，△ABC 和△A'B'C'有怎样的关系？ (2)当k ≠1时，△ABC 和△A'B'C'有怎样的关系？ （问题(1)学生依据“两边及夹角相等”判断它们全等；问题(2)如果两个三角形“两边成比例且夹角相等”，学生猜测它们相似。） [思考探究] 探究1. 已知： 在△A'B'C'和 △ABC 中， ∠A ' =∠A ，A'B'：AB ＝A'C'：AC k C C ==' 'A A B'A' AB B ’ C ’ C

相似三角形压轴经典大题(含答案)

相似三角形压轴经典大题解析 1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ． （2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ， 1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？ 【答案】解：（1） MN BC ∥ AMN ABC ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= （2）1AMN A MN △≌△ 1A MN ∴△的边MN 上的高为h ， ①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时， 1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤） ②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<， 设1A EF △的边EF 上的高为1h ， 则13 2662 h h x =-= - 11EF MN A EF A MN ∴∥△∽△ 11A MN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△

12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 1 68242 ABC S =??=△ 2 2 363224122 462EF x S x x ??- ?∴==?=-+ ? ? ?? 1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ?? =-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224(48)8 y x x x =- +-<< 综上所述：当04x <≤时，2 38 y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2 912248 y x x =-+-， 取16 3x = ，8y =最大 86> ∴当16 3 x =时，y 最大，8y =最大 2．如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； M N C B E F A A 1

探索三角形相似的条件(一)

探索三角形相似的条件 1.平行于三角形一边的直线和其它两边或两边延长线相交，所得的三角形与原三角形相似 2.两个角对应相等的两个三角形相似。 3.基本图像介绍 平行型 非平行型 二、典型例题分析 例1 、如图，△ABC为等边三角形，双向延长BC到D、E,使得∠DAE=120°求证：BC是BD、CE的比例中项。 证明：因为△ABC为正三角形，∴∠BAC=60° 又∠DAE=120°，∴∠1+∠2= °. 又∠ABC=60°= ，∴∠2= 同理可得，∠1=∠E. ∴△ABD∽△ECA. ∴

∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB=BC ∴ ∴BC为BD、CE的比例中项。 变式练习：如图，已知：△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是AB 和AB延长线上的点，∠DCB=∠ECB. 求证：AB是AD和AE的比例中项。 例2.如图，已知；CD是直角三角形ABC斜边AB上的高, E是CD的中点,AE的延长线交BC于F,FG⊥ AB,垂足是G. 求证：

变式练习：如图,在△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作CF‖AB,延长BP交AC于点E,交CF于点F,求证：

课堂练习. 1、下列说法错误的是（） A、有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似； B、顶角相等的两个等腰三角形相似； C、有一个角是100°的两个等腰三角形相似； D、有一个角相等的两个等腰三角形相似。 2、如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，那么在下列比例式中，正确的是（） 3、如图，点D为△ABC中AB边上的一点,且∠ABC=∠ ACD,AD=3cm,AB=4cm,则AC的长为（） A. 2 cm B. cm C. 12 cm D. 2cm 4、如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB 的长为10mm，AC被分为60

相似三角形中考题题型类

相似三角形 1．如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（ ） A ． AD BC DF CE = B ． BC DF CE AD = C ． CD BC EF BE = D ． CD AD EF AF = 2.如图所示，给出下列条件： ①B ACD ∠=∠； ②ADC ACB ∠=∠； ③AC AB CD BC =； ④2AC AD AB = 其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3.已知△ABC∽△DEF ，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为（ ） A ．1：2 B ．1：4 C ．2：1 D ．4：14.如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，D E 是它的中位线，则下面四个结论： （1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1：4. 其中正确的有：（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 A B D C E F 1题 A C D B （第2题图）

【参考答案】 1.A 2.C 3.B 4.D ◆考点聚焦 1．了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质． 2．探索并掌握三角形相似的性质及条件，?并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题． 3．掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小． 4．掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，?会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置． ◆备考兵法 1．证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定，要注意基本图形的应用，如“A型”“X型”“母子型”等． 2．用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题，关键是要先把实际问题转化为数学问题，识别或作出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答实际问题，注意题目的解一定要符合题意． 3．用直角坐标系中的点描述物体的位置，用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较为常见的考法，要注意训练． ◆考点链接 一、相似三角形的定义 三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 二、相似三角形的判定方法 1. 若DE∥BC（A型和X型）则______________． 2. 射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形） 则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________，CD2=_______，BC2=__ ____． 3. 两个角对应相等的两个三角形__________． 4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 5. 三边对应成比例的两个三角形___________．

相似三角形拔高题

相似三角形拔高题 1.如图1中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（） A.点P B.点O C.点M D.点N 图1 图2 图3 2.如图2，ABCD是平行四边形，则图中与DEF △相似的三角形共有（） 个个个个 3.如图3，用两根等长的钢条AC和BD交叉构成一个卡钳，可以用来测量工作内槽的宽度。设 OA OB m OC OD ==，且量得CD b =，则内槽的宽AB等于（） A.mb B. m b C. b m D. 1 b m+ 4．如图4，矩形() ABCG AB BC <与矩形CDEF全等，点B C D ，，在同一条直线上，APE ∠的顶点P在线段BD 上移动，使APE ∠为直角的点P的个数是（） 图4 5.已知点P是线段 AB 的黄金分割点，AP>PB．若 AB=2，则AP= 6.如图7所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线 杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为_________米． 图7 图8 7.如图8,在方格纸中,每个小格的顶点称为格点,以格点连线为边的三角形叫格点三角形.在如图5×5的方格中， 作格点△ABC和△OAB相似(相似比不为1),则点C的坐标是____________. 8.如图4，RtΔABC中，∠C=900，D为AB的中点，DE⊥AB，AB=20，AC=12，则四边形ADEC的面积为 O P M N O

9.如图6，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，EF垂直平分BD，则EF= 10.如图9，ΔABC中，DE∥BC，AD∶DB=2：3,则SΔADE∶SΔABE= 11.如图10，正方形ABCD内接于等腰ΔPQR,∠P=900，则PA：AQ= 12.如图12，ΔABC中，中线BD与CE相交于O点，SΔADE=1，则S四边形BCDE= 13.已知:如图，CE是RtΔABC的斜边AB上的高，BG⊥AP。求证:CE2=ED·EP

《探索三角形相似的条件(一)》教案

《探索三角形相似的条件（一）》教学设计方案 宜君县地区太安中学学校姓名：屈莉莉 课题名称《探索三角形相似的条件（一）》 科目数学年级八年级 教学时间1课时（40分钟） 学习者分析 学生的知识技能基础：学生以前学过平行线的条件，有此知识作基础进一步学习三角形相似的条件，相信学生不难理解和掌握，本课时通过引导学生探索三角形相似的条件及简单应用来加强对知识的充分理解。 学生的活动经验基础：在相关的知识学习活动中，学生已经学习了相似图形的基础知识了解了相似的基本概念，感受到相似图形之间的联系和区别，同时在以前的数学学习中已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 教学目标知识与技能： 1、初步掌握两个三角形相似的判定条件（两角对应相等的两个三角形 相似）。 2、能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。 过程与方法： 1、初步掌握两个三角形相似的判定条件，能够运用三角形相似的条件 解决简单的问题。 2、经历两个三角形相似条件的探索过程。 3、进一步发展学生的探究、交流能力，以及动手、动脑、手脑和谐一 致的习惯。 情感与价值观： 1、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识和合作交流 的习惯。 2、发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理意识，体会数学思维的 价值。 教学重点、教学难点、1、相似三角形的判定方法以及推导过程，并会用判定方法来证明和计算。 2、相似三角形判定方法的证明、有关计算，训练学生的灵活运用能力。 教学资源1、白纸、有刻度的直尺、量角器、小黑板； 2、教师自制的多媒体课件； 3、视频展台； 4、上课环境为多媒体教室。 教学过程 教学活动1 一、创设问题情境，引入新课 旧知回顾，教师提出问题： 1、相似三角形的定义是什么？ 2、相似三角形的性质有哪些？ 3、两个三角形相似需要哪些条件？由此引出本节学习的内容。

初三数学相似三角形典型例题(含标准答案)

初三数学相似三角形典型例题(含答案)

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初三数学相似三角形 （一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。 （二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质：a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0