2014.08文理导航(教育研究与实践
)
椭圆最值问题一直是学习、研究的问题,对于其他两种圆锥曲线的研究在很多刊物上是常见的,本文就椭圆中两个常见最值问题的研究得到以下结论。
1.椭圆中垂直弦三角形面积的最值
定理:过椭圆x 2a 2+y 2b
2=1的中心O 引两条互相垂直的动
弦OA 和OB ,则(S △OAB )min =1ab ,(S △OAB )max =1(a 2+b 2)。
证明:不妨设A(acos α,bsin α),B(acos β,bsin β)
因OA ⊥OB ,故β=±α+π,即B(α,bcos α)
S △OAB =12
OA ·OB
=12
a 2cos 2α+
b 2sin 2α√·a 2sin 2α+b 2cos 2α√=12(a 2-
c 2sin 2α)+(b 2+c 2sin 2α)√=12
-c 4(sin 2α-12)2+14
(a 2+b 2)2
√
故当sin 2α=1时,(S △OAB )min =1(a 2+b 2);
当sin 2
α=0或1时,(S △OAB )min =12
ab 。
2.椭圆中焦点弦三角形面积的最值
定理:设AB 是椭圆x 2+y 2
=1的焦点弦,O 为坐标原
点,则(S △OAB )max =1ab
证明:如下图,以F 2为极点建立坐标系,
则椭圆方程籽越ep 1-ecos θ,(p=b 2
c
)过A ,B 两点向X 轴作垂线段AA 1,BB 1,令∠AF 2A 1=θ,则
S △OAB =12OF 2·(AA 1+BB 1)=12OF 2·(AF 2·sin θ+BF 2·sin θ)
=12
OF 2·(AF 2+BF 2)sin θ=12c(ep 1-ecos θ+ep 1-ecos(π+θ)
)·sin θ
=12c ·2ep ·sin θ1-e 2cos 2θ=12c ·2c a ·b 2c ·sin θ1-e 2
(1-sin 2θ)
=b 2
c ·11-e +e 2sin θ≤
b 2
c ·11-e 2e 2sin θ
√
=b 2
c ·
12·e 1-e 2
√=b 2
c a ·12·a c ·a b =12ab ,即S △OAB ≤12
ab 。当且仅当1-e 2
=e 2sin θ,即sin θ=b 时取等号,
故有(S △OAB )max =1ab.
【参考文献】
[1]李迪淼.关于抛物线的十个最值问题.数学通报,2002[2]
陈海平.圆锥曲线的最值问题研究.2006.
对椭圆中的两个最值
问题的研究
福建省南安市诗山中学许年堤
对椭圆中的两个最值问题的研究
作者:许年堤
作者单位:福建省南安市诗山中学
刊名:
文理导航·教育研究与实践
英文刊名: A School Friend of English
年,卷(期):2014(8)
引用本文格式:许年堤对椭圆中的两个最值问题的研究[期刊论文]-文理导航·教育研究与实践 2014(8)