搜档网
当前位置:搜档网 › 对椭圆中的两个最值问题的研究

对椭圆中的两个最值问题的研究

2014.08文理导航(教育研究与实践

椭圆最值问题一直是学习、研究的问题,对于其他两种圆锥曲线的研究在很多刊物上是常见的,本文就椭圆中两个常见最值问题的研究得到以下结论。

1.椭圆中垂直弦三角形面积的最值

定理:过椭圆x 2a 2+y 2b

2=1的中心O 引两条互相垂直的动

弦OA 和OB ,则(S △OAB )min =1ab ,(S △OAB )max =1(a 2+b 2)。

证明:不妨设A(acos α,bsin α),B(acos β,bsin β)

因OA ⊥OB ,故β=±α+π,即B(α,bcos α)

S △OAB =12

OA ·OB

=12

a 2cos 2α+

b 2sin 2α√·a 2sin 2α+b 2cos 2α√=12(a 2-

c 2sin 2α)+(b 2+c 2sin 2α)√=12

-c 4(sin 2α-12)2+14

(a 2+b 2)2

故当sin 2α=1时,(S △OAB )min =1(a 2+b 2);

当sin 2

α=0或1时,(S △OAB )min =12

ab 。

2.椭圆中焦点弦三角形面积的最值

定理:设AB 是椭圆x 2+y 2

=1的焦点弦,O 为坐标原

点,则(S △OAB )max =1ab

证明:如下图,以F 2为极点建立坐标系,

则椭圆方程籽越ep 1-ecos θ,(p=b 2

c

)过A ,B 两点向X 轴作垂线段AA 1,BB 1,令∠AF 2A 1=θ,则

S △OAB =12OF 2·(AA 1+BB 1)=12OF 2·(AF 2·sin θ+BF 2·sin θ)

=12

OF 2·(AF 2+BF 2)sin θ=12c(ep 1-ecos θ+ep 1-ecos(π+θ)

)·sin θ

=12c ·2ep ·sin θ1-e 2cos 2θ=12c ·2c a ·b 2c ·sin θ1-e 2

(1-sin 2θ)

=b 2

c ·11-e +e 2sin θ≤

b 2

c ·11-e 2e 2sin θ

=b 2

c ·

12·e 1-e 2

√=b 2

c a ·12·a c ·a b =12ab ,即S △OAB ≤12

ab 。当且仅当1-e 2

=e 2sin θ,即sin θ=b 时取等号,

故有(S △OAB )max =1ab.

【参考文献】

[1]李迪淼.关于抛物线的十个最值问题.数学通报,2002[2]

陈海平.圆锥曲线的最值问题研究.2006.

对椭圆中的两个最值

问题的研究

福建省南安市诗山中学许年堤

对椭圆中的两个最值问题的研究

作者:许年堤

作者单位:福建省南安市诗山中学

刊名:

文理导航·教育研究与实践

英文刊名: A School Friend of English

年,卷(期):2014(8)

引用本文格式:许年堤对椭圆中的两个最值问题的研究[期刊论文]-文理导航·教育研究与实践 2014(8)

相关主题