三垂线定理
三垂线定理
教学目标：
1.掌握三垂线定理及其逆定理的证明
2.正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直
3.通过三垂线定理及三垂线逆定理的学习,渗透相对论观点
教学重点：三垂线定理及其逆定理的证明
教学难点：用三垂线定理及其逆定理证明两条异面直线的垂直
教学方法：启发式教学法
教 具：模具
教学过程
一、复习引入：
1.直线与平面垂直的定义：
2.直线与平面垂直的判定定理：
3.平面的斜线，斜线在平面内的射影：
4.引入：若平面内一条直线与斜线的射影垂直，那么它和斜线垂直吗？
二、新授：
1.三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
已知：,PO PA 分别是平面α的垂线和斜线，OA 是PA 在平面α内的射影，a α?，且a OA ⊥
求证：a PA ⊥；
证明：∵PO α⊥
∴PO a ⊥，又∵,a OA PO OA O ⊥= ∴a ⊥平面POA ， ∴a PA ⊥．
说明:(1)定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；
(2)符号表达：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈??=?⊥???⊥?
.
(3)这两条直线可以是相交直线，也可以是异面直线.
2．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直
说明：符号表达： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈??=?⊥???⊥?
．
注意：(1)三垂线指涉及的四线中三个垂直关系PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理
(2)要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用
(3)注意三垂线定理及其逆定理中的“平面内”三个字的重要性.
(4)利用定理的关键要善于从各种图形中找出“平面的垂线”“平面的斜线”及“斜线的射影”.
三、例题：
例1.已知：点O 是ABC ?的垂心，PO ABC ⊥平面，垂足为O ，求证：PA BC ⊥． 证明：∵点O 是ABC ?的垂心， ∴AD BC ⊥
又∵PO ABC ⊥平面，垂足为O ， PA ABC A =平面 所以，由三垂线定理知，PA BC ⊥．
例2.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上
已知：∠BAC 在α内，P ?α，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F 且PE=PF ，PO ⊥α
求证：O 在∠BAC 的平分线上（即∠BAO=∠CAO ） 证明：连接OE ，OF ∵PO ⊥α
∴EO ，FO 分别为PE ，PF 在α上的射影 ∵PE=PF ∴OE=OF ∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ∴OE ⊥AB ，OF ⊥AC(三垂线定理的逆定理 ) ∴O 到∠BAC 两边距离相等
∴O 在∠BAC 的平分线上
变式：
已知：BAC ∠在平面α内，点,,,P P E A B P F A C P O αα?⊥⊥⊥，垂足分别为
,,,E F O P E P F
=，求证：BAO CAO ∠=∠． 证明：∵,,PE AB PF AC PO α⊥⊥⊥，
∴,AB OE AC OF ⊥⊥（三垂线定理逆定理）
∵,PE PF PA PA ==，∴Rt PAE Rt AOF ???，
∴AE AF =，又∵AO AO =，∴Rt AOE Rt AOF ??? ∴BAO CAO ∠=∠．
推广：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线的这个角两边夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线
例3.在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，H 是△ABC 的垂心 求证:(1)PH ⊥底面ABC (2)△ABC 是锐角三角形.
证明: (1)略
(2)设AH 与直线BC 的交点为E ，连接PE 由(1)知PH ⊥底面
∴AE 为PE 在平面ABC 的射影， 由三垂线定理：PE ⊥BC ∵PB ⊥PC 即△BPC 是直角三角形，BC 为斜边 ∴E 在BC 边上 由于AE ⊥BC ，故B ∠C 都是锐角
同理可证：∠A 也是锐角 ∴△ABC 为锐角三角形
四、练习：
1.边长为a 的正六边形ABCDEF 在平面α内，PA ⊥α，PA=a ，则P 到CD 的距离为 ，P O D
A C
B P
αP O E F C
B A
到BC 的距离为 .
2.AC 是平面α的斜线，且AO=a ，AO 与α成60o角，OC ?α，AA ＇⊥α于A ＇，∠A 'OC=45o， 则A 到直线OC 的距离是 ，∠AOC 的余弦值是 .
答案：1.a a 27,2; 2.4
2,414a 3.如图，已知ABCD 是矩形，AB=a ，AD= b ，PA ⊥平面ABCD ，PA=2c ，Q 是PA 的中点． 求（1）Q 到BD 的距离；（2）P 到平面BQD 的距离．
五、小结：三垂线定理及其逆定理的证明用三垂线定理及其逆定理的应用
六、作业：课本P 29 12,13.
补：平面α内有一正六边形,它的中心是O,边长是 2 cm,OH ⊥α,OH=4 cm,求点H 到这个正六边形顶点和边的距离.
七、板书设计： A A ′ C αO H E Q
P D C
B A