四种命题间的相互关系

1.1.2 四种命题

1． 1.3 四种命题间的相互关系

学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．

知识点一四种命题的概念

思考 1 初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫做命题的逆命题？

答案在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题．

思考 2 除了命题与逆命题之外，是否还有其它形式的命题？

答案有．

梳理

思考 1 命题与其逆命题之间是什么关系？

答案互逆．

思考 2 原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间又是什么关系？

答案原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系．

梳理(1) 四种命题间的关系

(2)四种命题间的真假关系

由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

知识点三逆否证法

思考由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题，这种证明方法叫做逆否证法．

譬如，求证：“若m>0 ，则方程x1 2＋x－m＝0 有实根”为真命题．

证明把要证的命题视为原命题，则它的逆否命题为：

“若方程x2＋x－m＝0 无实根，则m≤0.”

21 若方程x ＋x－m＝0 无实根，则Δ＝4m＋1<0，所以m< －4<0. 所以命题“若方程x2＋x－m＝0 无实根，则m≤0”为真．所以“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”为真命题．

逆命题：若 a 的平方根不等于0，则 a 是正数．

否命题：若 a 不是正数，则 a 的平方根等于0.

逆否命题：若a的平方根等于0，则 a 不是正数．

类型一四种命题的写法

例 1 把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

(1) 正数的平方根不等于0；

2

(2) 当x＝2 时，x2＋x－6＝0；

(3)对顶角相等．

解(1)原命题：若 a 是正数，则 a 的平方根不等于0.

(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.

逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.

否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0. 逆否命题：若x2＋x－6≠ 0，则x≠2.

(3) 原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．

反思与感悟由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论．

跟踪训练 1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．(1)实数的平方是非负数；

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．

解(1) 逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．

(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．类型二等价命题的应用

例 2 证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞ )上的增函数，a，b∈R ，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.

证明方法一原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0 ，则f(a)＋f(b)< f(－a)＋f(－b)”．

若a＋b<0，则a<－b，b<－ a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞ )上是增函数，∴f(a)

∴原命题为真命题．

方法二假设a＋b<0，则a<－b，b<－ a.

又∵f（x）在（－∞，＋∞ ）上是增函数，

∴f（a）＜f（－b），f（b）＜f（－a）．

∴ f（a）＋f（b）＜f（－a）＋f（－b）．

这与已知条件f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）相矛盾．

因此假设不成立，故a＋b≥0.

反思与感悟因原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的．正确写出原命题的逆否命题是证题的关键，同时注意这种证明方法与反证法的区别．

跟踪训练 2 证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.

证明“ 若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠ 2b＋1” 的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a

＋1＝0” ．∵a＝2b＋1，

∴a2－4b2－2a＋1＝（2b＋1）2－4b2－2（2b＋1）＋1

＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.

∴命题“ 若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．

类型三反证法的应用

π π π

例 3 若a、b、 c 均为实数，且a＝x2－2y＋2，b＝y2－2z＋3，c＝z2－2x＋6.求证：a、b、c 中至少有一个大于0.

证明（反证法）假设a、b、c 都不大于0，

即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0.

而a＋b＋c

＝x2－2y＋2π＋y2－2z＋3π＋z2－2x＋6π

236

＝（x－1）2＋（y－1）2＋（z－1）2＋π－3.

∵π－3＞0，且（x－1）2＋（y－1）2＋（z－1）2≥0

∴ a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0 矛盾，

因此a、b、 c 中至少有一个大于0.

反思与感悟（1）求解此类含有“至少”“至多”等命题，常利用反证法来证明．用反证法证明命题的一般步骤：① 假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；② 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③ 由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确．（2）常见的一些词语和它们的否定词语对照如下：

证：AD<23BC.

1．命题若“ a?A，则b∈B”的否命题是( )

A ．若a?A，则b?B

B ．若a∈A，则b?B

证明假设AD ≥12BC.

1

(1) 若AD ＝2BC，由平面几何中“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，则这条边所对的角为直角” ，知

1 ∠BAC＝90°，与题设矛盾．∴AD ≠2BC.

11

(2) 若AD>2BC，由题意知BD ＝DC＝2BC，

∴在△ABD 中，AD>BD，从而∠B>∠BAD；同理∠C>∠CAD.

∴∠ B＋∠C>∠BAD＋∠CAD，即∠B＋∠C>∠BAC.

∵∠ B＋∠C＝180°－∠BAC，

∴ 180°－∠ BAC>∠ BAC，则∠BAC<90°，与题设矛盾．

1

由(1)(2) 知AD<2BC.

2

D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题

答案A

解析对A，即判断：若x>|y|，则x>y 的真假，显然是真命题．

3．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是_______________ ，逆否命题是 ________________ 答案若x>0，则x>1 若x≤0，则x≤1

4．在原命题“若A∪ B≠B，则A∩ B≠ A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为_______ ．

答案4

解析逆命题为“若A∩B≠ A，则A∪B≠B”；

否命题为“ 若A∪ B＝B，则A∩ B＝A”；

逆否命题为“若A∩ B＝A，则A∪B＝B”，全为真命题．

5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0 无解”．

(1)写出命题p 的否命题；

(2)判断命题p 的否命题的真假．

C．若b∈B，则a?A

D ．若b?B，则a?A

答案B

解析命题“若p，则q”的否命题是“若? p，则? q”，“∈”与“?”互为否定形式．2．下列命题为真命题的是( )

A ．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

解(1)命题p 的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0 有解”．

(2)命题p 的否命题是真命题．

判断如下：

因为ac<0，

所以－ac>0? Δ＝b2－4ac>0? 二次方程ax2＋bx＋c＝0 有实根? ax2＋bx＋c>0 有解，所以该命题是真命题．

一、选择题

1．与命题“能被 6 整除的整数，一定能被 3 整除”等价的命题是( )

A．能被3整除的整数，一定能被 6 整除

B．不能被 3 整除的整数，一定不能被 6 整除

C．不能被 6 整除的整数，一定不能被 3 整除

D ．不能被 6 整除的整数，能被 3 整除

答案B

解析即写命题“若一个整数能被6整除，则一定能被 3 整除”的逆否命题．

2．若命题p 的否命题为q，命题p 的逆否命题为r ，则q 与r 的关系是( )

A ．互逆命题B．互否命题

C ．互为逆否命题

D ．以上都不正确

答案A

解析设p为“若A，则B”，那么q为“若?A，则?B”，r为“若?B，则?A”．故q与r 为互逆命题．

3．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( ) A．a，b，c 都是奇数

B．a，b， c 都是偶数

C．a，b， c 中至少有两个偶数

D．a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数

答案D

解析用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c 中恰有一个偶数”正确的反设是：a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数．故选 D.

4．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0 的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( )

A．(－2，2) B．(－2,0)

C．(－2,1) D．(0,1)

答案D

解析由题意，构建函数f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，

∵ 两个实根一个小于－1，另一个大于1，∴f(－1)<0，f(1)<0，∴ 0

5．已知a，b，c 均为直线，α，β为平面，下面关于直线与平面关系的命题：

①任意给定一条直线与一个平面α，则平面α内必存在与 a 垂直的直线；

②a∥β，β内必存在与 a 相交的直线；

③α∥β，a? α，b? β，必存在与a，b 都垂直的直线；

④α⊥β，α∩β＝c，a? α，b? β，若 a 不垂直c，则 a 不垂直 b. 其中真命题的个数为( )

A．1 B． 2

C．3 D． 4

答案B

解析① ，③正确；对于②：当a∥b，且a，b? α，c∥α时，可得②错误；对于④：若

b⊥c ? b⊥α? b⊥ a，故④错误．故正确命题的个数为 2 个．故选 B.

6．有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x、y 互为相反数”的否命题；

②“若x≥y，则x2≥y2”的逆否命题；

③“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；

④“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是( )

A．0 B． 1 C．2 D．3

答案B

解析① 否命题是“若x＋y≠0，则x、y 不互为相反数”．真命题．②原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．

③否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”．假命题．

④逆命题为“若两角相等，则这两角为对顶角”．假命题．

二、填空题

7．命题：“若|x|＝1，则x＝1”的否命题为 ________________________________________ ．答案若|x|≠1，则x≠ 1

8．已知命题“若m－1< x< m＋1，则1

解析由已知得，若1

m－1≤1，

∴∴ 1≤m≤ 2.

m＋1≥2，

9．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；

②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；

③正方形的四条边相等；

④ ______________________ 圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有 _________________ ；互为否命题的有_______________ ；互为逆否命题的有___ ．

答案②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤

解析命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为

“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补” ；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不

互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．

10．设x，y，z 是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，在下列几个条件中，能保证“若x⊥ z，且y⊥ z，则x∥y”为真命题的有________ ．

①x 为直线，y，z为平面；② x，y，z均为平面；③ x，y 为直线，z为平面；④ x，y 为平面，z 为直线；⑤ x，y，z 均为直线．

答案①③④

解析①x 为直线，y，z 是平面，若x⊥z，且y⊥z，则x∥ y，为真命题；②x，y，z 均为平面，若x⊥z，且y⊥z，则x 与y 可能相交，为假命题；③ x，y为直线，z 为平面，若x⊥z，且y⊥z，则x∥ y，为真命题；④x，y 为平面，z 为直线，若x⊥z，且y⊥z，则x∥ y，为真命题；⑤x，y，z均为直线，若x⊥z，且y⊥z，则x与y可能平行、相交或异面，为假命题．三、解答题11．同住一房间的四名女生，她们在某天下午课外活动时间中，有一人在看书，有一人在梳头发，有一人在听音乐，另外一人在修剪指甲．有以下五个命题：

(1) A 不在修剪指甲，也不在看书；

(2) B 不在听音乐，也不在修剪指甲；

(3) 若 C 在修剪指甲，则 A 在听音乐；

(4) D 既不在看书，也不在修剪指甲；

(5) C 不在看书，也不在听音乐．若上面的都是真命题，则她们各自在干什么？解由于以上五个命题都是真命题，所以我们可以列表如下：

由表格看出： C 在修剪指甲， B 在看书．又由命题(3)：若 C 在修剪指甲，则A在听音乐，可知 A 在听音乐，最后我们确定出 D 在梳头发．

12．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

(1) 当m>1时，mx2－x＋1＝0 无实根；

4

(2) 当abc＝0时，a＝0或b＝0 或c＝0.

1

解(1)逆命题：当mx2－x＋1＝0 无实根时，m>41；真命题；

否命题：当m≤1时，mx2－x＋1＝0 有实根；真命题；

4

1

逆否命题：当mx2－x＋1＝0 有实根时，m≤41；真命题．

(2) 逆命题：当a＝0 或b＝0 或c＝0 时，abc＝0；真命题；

否命题：当abc≠0 时，a≠0 且b≠0 且c≠ 0；真命题；

逆否命题：当a≠ 0 且b≠ 0 且c≠0 时，abc≠0；真命题．

1 ＋x 1＋y

13．证明：已知x>0，y>0，若x＋y>2，则y与x至少有一个小于2. 证明证明原命题的逆否命题．

1＋x 1＋y

将要证的命题“已知x>0，y>0，若x＋y>2，则1＋y x与1＋x y至少有一个小于2”视为原命题，

只需证明其逆否命题，

即证

明：已知x>0，y>0，若1＋y x与1＋x y都不小于2，则x＋y≤2.若1＋y x ≥2，1＋y≥2，则1＋x≥2y，x

1＋y≥2x，所以1＋x＋1＋y≥2y＋2x，

所以x＋y≤2，这就证明了逆否命题的正确性，所以原命题得证．

学习目标 1.理解充分条件、必要条件与充要条件的概念.2.掌握判断充分不必要条件、必要

不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的方法．

知识点一充分条件与必要条件

思考用恰当的语言表述下列语句的意义

①一个人如果骄傲自满，那么就必然落后；②只有同心协力，才能把事情办好．

答案①如果不骄傲自满，那就可能不落后，也可能落后，骄傲自满是落后的充分条件．②同心协力是办好事情的必要条件．

梳理(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q.这时，我们就说，由

p 可推出q ，记作p? q，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．

(2)若p? q，但q p，称p 是q 的充分而不必要条件，若q? p，但p q，称p 是q 的必要而不充分条件．

知识点二充要条件

思考在△ ABC中，角A、B、C 为它的三个内角，则“ A、B、C 成等差数列”是“ B＝60°” 的什么条件？

答案因为A、B、C 成等差数列，故2B＝A＋C，又因A＋B＋C＝π，故B＝60°，反之，亦成立，故“ A、B、C 成等差数列”是“ B＝60°”的充分必要条件．

梳理(1) 一般地，如果既有p? q，又有q? p，就记作p? q，此时，我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．

(2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件，即如果p? q ，那么p 与q 互为充要条件．知识点三充分条件、必要条件和充要条件的联系与区别充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要是用来区分命题的条件p 和结论q 之间的关系．

(1) 从逻辑关系上看．

①若p? q，但q p，则p 是q 的充分不必要条件；

②若q? p，但p q，则p 是q 的必要不充分条件；

③若p? q，且q? p，则p 是q 的充分必要条件，简称充要条件；

④若p q，且q p，则p 是q 的既不充分也不必要条件．

(2) 从集合与集合之间的关系上看．

如果p，q分别以集合A、集合B的形式出现，那么p，q 之间的关系可以借助集合知识来判

断．

①若A? B，则p 是q 的充分条件；

②若A? B，则p 是q 的必要条件；

③若A＝B，则p 是q 的充要条件；

④若 A B，且 B A，则p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件，即p 是q 的既不充分也不必要条件．

(3) 从传递性角度看．

由于逻辑联结符号“ ? ”“?”“ ? ”具有传递性， 因此可根据几个条件之间的关系， 干次的传递，判断所给的两个条件之间的关系．

(4) 从等价命题角度看． 当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系时，可利用原

命题与其逆否命题的等价性来 判断，即等价转化为判断其逆否命题是否成立．

类型一 充分条件、必要条件和充要条件的判断 例 1 下列各题中， p 是 q 的什么条件？ (1)p ：a ＋b ＝0，q ：a 2＋b 2＝0； (2)p ：四边形的对角线相等， q ：四边形是矩形；

(3) p ：x ＝1 或 x ＝ 2，q ：x －1＝ x － 1； (4) p ：m ＜－1， q ：x 2－ x －m ＝0 无实根；

(5) p ：ab ≠0，q ：直线 ax ＋ by ＋c ＝ 0 与两坐标轴都相交． 解 (1)∵a ＋b ＝ 0D? /a 2

＋b 2＝ 0； a 2＋b 2＝0? a ＋ b ＝0， ∴ p 是 q 的必要不充分条件．

(2)∵ 四边形的对角线相等 四边形是矩形； 四边形是矩形 ? 四边形的对角线相等，

∴ p 是 q 的必要不充分条件．

(3) ∵x ＝1或x ＝2? x －1＝ x －1；

x －1＝ x －1? x ＝1 或 x ＝2，∴p 是 q 的充要条件． (4) 若方程 x 2－ x －m ＝ 0 无实根，则 Δ＝ 1＋ 4m ＜0， 1

1 1

即 m ＜－ .∵ m ＜－1? m ＜－ ；m ＜－ m ＜－ 1，

4 4 4

∴ p 是 q 的充分不必要条件．

(5) 由 ab ≠0，即 a ≠0 且 b ≠0，此时直线 ax ＋ by ＋ c ＝ 0 与两坐标轴都相交；又当

＝0 与两坐标轴都相交时， a ≠0 且 b ≠0，即 ab ≠ 0，故 p 是 q 的充要条件． 反思与感悟 对于两个命题： p 与 q.

跟踪训练 1 设a ，b 是实数，则“ a>b ”是“ a 2>b 2”的(

)

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

答案 D

解析 可采用特殊值法进行判断， 令a ＝1，b ＝－ 1，满足 a>b ，但不满足 a 2>b 2，即条件

经过若

ax ＋by ＋c

(1)若有 p? q ，但 q p ” ，则称 p 是 q 成立的充分不必要条件． (2)若有 q? p ，但 p q

，则称 p 是 q 成立的必要不充分条件．

(3)若有 p? q ，且 q? p ” ，则称 p 是 q 成立的充要条件． (4)若有 p q ，且 q p ”

，则称 p 是 q 成立的既不充分也不必要条件．

“a>b” 不能推出结论“a2> b2” ；再令a＝－1，b＝0，满足a2>b2，但不满足a>b，即结

论“a2>b2” 不能推出条件“a>b”．故选 D.

类型二递推法判断命题间的关系

例 2 已知p，q都是r 的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：

(1)s 是q 的什么条件？

(2)r 是q 的什么条件？

(3)p 是q 的什么条件？

解方法一(1)∵q 是s 的充分条件，∴q? s.

∵q 是r 的必要条件，∴r? q.

∵s是r 的充分条件，∴s? r，∴s? r? q.

即s 是q 的充要条件．

(2)由r? q，q? s? r，知r 是q 的充要条件．

(3)∵p是r 的必要条件，∴r? p，∴q? r? p.

∴ p 是q 的必要不充分条件．

方法二如图所示．

(1)由图可知q? s，s? r? q，所以s是q 的充要条件．

(2)因为r? q，q? s? r，所以r 是q 的充要条件．

(3) 因为q? s? r? p，而p q，

所以p是q 的必要不充分条件．

反思与感悟解决传递性问题的关键是画出结构图，也可以考虑命题之间的关系．

跟踪训练 2 如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( ) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C．丙是甲的充要条件

D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

答案A

解析如图所示，∵ 甲是乙的必要条件，∴ 乙? 甲．又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，∴丙? 乙，但乙丙．综上，有丙? 乙? 甲，甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲

的必要条件．

类型三充要条件的证明例 3 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a，b，c 是常数且a≠ 0）有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.

证明必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有一正实根和一负实根，2c

∴Δ＝b2－4ac>0，且x1x2＝<0，a

∴ac<0.

充分性：由ac<0 可推出Δ＝b2－4ac>0 及x1x2＝c<0 ，

a

2

∴方程ax2＋bx＋c＝0（a≠ 0）有一正一负两实根．

因此一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.

反思与感悟根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性是证明“条件”? “结论”，必要性是证明“结论”? “条件”．

跟踪训练 3 已知ab≠ 0，求证：a＋b＝1 的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 证明必要性：∵a＋b＝1，即a＋b－1＝0，

∴a3＋b3＋ab－a2－b2

＝（a＋b）（a2－ab＋b2）－（a2＋b2－ab）

＝（a＋b－1）（a2－ab＋b2）＝0. 充分性：

∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，

22

∴（a＋b－1）（a －ab＋ b ）＝0，

又∵ab≠ 0，

∴ a ≠ 0 且 b ≠ 0，

∴a2＋b2－ab＝（a－2b）2＋43b2>0，

∴a＋b－1＝0.∴a＋b＝1.

综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1 的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 类型四利用充分条件、必要条件求参数的取值范围

例 4 已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数 a 的取值范围．

解设p对应的集合为A，q对应的集合为 B.解不等式x2－8x－20>0，得A＝｛x|x>10或x<－2｝．解不等式x2－2x＋1－a2>0，得B＝｛x|x>1＋a或x<1－a，a>0｝．依题意知p? q，q p，

a>0，

说明 A B.于是有1＋a≤10，(说明：“1＋a≤10”与“1－a≥－2”中等号不能同时取1－a≥－2，

到)解得0

∴ 正实数 a 的取值范围是0

反思与感悟充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)要注意区间端点值的检验．

跟踪训练 4 已知p：|1－x－31|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p 是q 的充分不必要条

3

件，求实数m 的取值范围．

x－ 1 x － 1

解由题意知p：|1－x－31|≤2? －2≤x－31－1≤2?

33

x－ 1

－1≤≤3? －2≤x≤10.

3

2－2x＋1－m2≤0?

q：x

[x－(1－m)] [·x－(1＋m)] ≤0.(*)

∵ p 是q 的充分不必要条件，

x－ 1

∴ 不等式|1－3 |≤ 2 的解集是x2－2x＋1－m2≤0(m>0) 的解集的真子集．

3

∵m>0，∴不等式(*)的解集为{x|1－m≤x≤1＋m} ，

且1－m＝－ 2 与1＋m＝10 不同时成立．

1－m≤－2，m≥3，

∴ ? ∴ m≥9.

1＋m≥10 m≥9.

∴实数m 的取值范围是[9，＋∞).

1．人们常说“无功不受禄”，这句话表明“受禄”是“有功”的( )

A ．充分条件B．必要条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案A

解析无功不受禄可写为命题：若无功，则不受禄．逆否命题为：若受禄，则有功．显然受禄是有功的充分不必要条件，因为有功不一定受禄．

2．设命题 p ：x 2－3x ＋2<0，q ：x －1

≤0，则 p 是 q 的(

)

x －2

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

答案 A

解析 命题 p ：1

)

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

答案 B

解析 根据方程得 x 2－ 4x － 5＝0，解得 x ＝－ 1 或 x ＝5，故“x 2－4x －5＝0”是“x ＝5” 的必 要不充分条件，故选 B.

4．记不等式 x 2＋x －6<0 的解集为集合 A ，函数 y ＝lg(x －a)的定义域为集合 B.若“ x ∈A ”是

“x ∈B ”的充分条件，则实数 a 的取值范围为 _______ ． 答案 (－∞，－ 3]

解析 由于 A ＝ { x|x 2＋ x － 6<0} ＝ { x|－ 3a} ，而“ x ∈

A ”是 “x ∈

B ”的充分条件，则有 A B ，则有 a ≤ －3.

5．试说明 0

3

解 (1)若方程 mx 2－ 2x ＋3＝0 有两个同号且不等的实根，

1

反之，若 0

23

则m >0，m >0，－ 4<－ 12m<0,0<4－ 12m<4 ，

12

因此 0

3

充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件

q 之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：

(1)定义法：分清条件 p 和结论 q ，然后判断 “p? q ”及“q? p ”的真假，根据定义下结论．

Δ＝4－12m>0，

m

≠ 0， m 3

>0，

∴0

2 即 Δ>0，且

m 2>0

，

>0.

p 和结论

即直线与圆相切．

A ．x ＋y ＝2

B ． x ＋y>2 22

C ．x ＋y >2

D ． xy>1

答案 B

解析 若x ≤1且y ≤1时，可得 x ＋y ≤2，反之不成立 (用特殊值即可判定 )；故 x ≤1且 y ≤1 是x ＋y ≤2的充分不必要条件，那么根据逆否命题的等价性可得 x ＋y>2是“当 x 、y 中至少

有一个数大于 1” 的充分不必要条件．

m 为平面 α内的一条直线， 则“ α⊥β”是“ m ⊥β”的 ( )

B ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件

(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．

(3)集合法：写出集合 A ＝{x|p(x)} 及集合 B ＝{x|q(x)} ，利用集合之间的包含关系加以判断．

一、选择题

1．“ k 2＝1”是“ k ＝－ 1”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

答案 B

解析 k 2＝1 可得 k ＝±1，k ＝－ 1 一定有 k 2＝ 1. ∴“ k 2＝1”是“k ＝－ 1”的必要不充分条件． 故选 B.

2．已知向量 a ， b 为非零向量，则“ a ⊥b ”是“ |a ＋b |＝|a －b |”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

答案 C

解析 |a ＋b |2＝|a －b |2? a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋ b 2－2a ·b ? a ·b ＝0.

3．已知圆 O ：x 2＋y 2＝1，直线 l ：ax ＋by ＋c ＝0，则 a 2＋b 2＝c 2是圆 O 与直线 l 相切的 ( ) A ．充分不必要条

件

C ．充要条件

答案 C

B ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条

件

解析 由直线与圆相切得

|c| a 2＋

b 2

＝ 1，即 a 2＋ b 2＝ c 2； a 2＋b 2＝c 2 时也有

＝1 成立，

4．设 x ，y 是两个实数， 命题“ x ，y 中至少有一个数大于 1”成立的充分不必要条件是 (

5．已知 α，β表示两个不同的平

面，

A ．充分不必要条件 C ．充要条件

|c|

答案B

解析由平面与平面垂直的判定定理知，如果m 为平面α内的一条直线，m⊥ β，则α⊥β，反过来则不一定，以“ α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．

6．设a∈R，则“ a＝－2”是“直线l1：ax＋2y－1＝0 与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行” 的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案A

解析若a＝－2，则直线l1：－2x＋2y－1＝0与直线l2：x－y＋4＝0 平行，若“直线l1：ax

a2

＋2y－1＝0 与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0 平行”，∴ ＝，解得a＝－ 2 或a＝1，∴“ a

2 1 a＋ 1 ＝－2”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0 平行”的充分不必要条件．7．“ 0≤m≤1”是“函数f(x) ＝sin x＋m－1 有零点”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案A

解析函数f(x)＝sin x＋m－1有零点? 方程sin x＝1－m有根? －1≤1－m≤1? 0≤m≤2，所以“0≤m≤1”是“ 函数f(x)＝sin x＋m－1 有零点”的充分不必要条件．

二、填空题

8．若函数f(x)＝2x－(k2－3)·2－x，则k＝2是函数f(x)为奇函数的 _______ 条件．(选填“充分

不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要” ) 答案充分不必要

解析当k＝2时，f(x)＝2x－(k2－3)2－x＝2x－2－x，此时函数f(x)为奇函数；反之，当函数f(x) 为奇函数时，有f(x)＋f(－x)＝2x－(k2－3)2－x＋2－x－(k2－3)2x＝(4－k2)(2x－2－x)＝0，则有k2 ＝4，即k ＝±2；故k＝2 是函数f(x)为奇函数的充分不必要条件．

9．“ sin α＝cos α”是“ cos 2α＝0”的 ____ 条件．

答案充分不必要

解析由cos 2α＝cos2α－sin2α知，当sin α＝cos α时，有cos 2 α＝0，反之，由cos2α＝sin2α 不一定有sin α＝cos α，从而“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．故选 A. 10．给出下列三个命题：

①“ a>b”是“ 3a>3b”的充分不必要条件；

②“ α>β”是“ cos α

③_______________________ “ a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R )为奇函数”的充要条

件．其中正确命题的序号为___ ．

答案③

解析①∵ 函数y＝3x是R 上的增函数，∴“ a>b”是“3a>3b”的充分必要条件，故①错误；

π π π π

②∵

2>0，则cos2

∴“ α>β”是“cos α

＝x3＋ax2（x∈R）为奇函数”的充要条件．正确．

三、解答题

11．已知条件p：A＝｛x|2a≤x≤a2＋1｝，条件q：B＝｛x|x2－3（a＋1）x＋2（3a＋1）

≤0｝，若p 是

q 的充分条件，求实数 a 的取值范围．

解化简B＝｛x|（x－2）［x－（3a＋1）］≤0｝，

①当a≥13时，B＝｛ x|2≤x≤3a＋1｝；

3

1

②当a<3时，B＝｛x|3a＋1≤x≤2｝．

3

因为p是q 的充分条件，

a≥31，a<31，

所以A? B，于是有

2＋1≤3a＋1，或a2＋1≤2，a＋≤＋，a

a

解得1≤a≤3 或a＝－ 1.

＋≤，

2a≥2，2a≥3a＋1，

综上， a 的取值范围是｛ a|1≤a≤3 或a＝－1｝．

12．已知函数f（x）＝3－x＋2 2－x 的定义域为A，g（x）＝lg［（ x－a－1）（2a－x）］

（a<1）的定义域为 B.

（1）求A；

（2）记p：x∈A，q：x∈B，若p 是q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围．解（1）要使f（x）有意义，则3－（x＋2）（2－x）≥0，

化简整理得（x＋1）（x－1）≥0，

解得x≤－ 1 或x≥1，

∴A＝｛x|x≤－1或x≥1｝．

（2）要使g（x）有意义，则（x－a－1）（2 a－x）>0，

即（x－a－1）（x－2a）<0 ，

又∵ a<1，∴ a＋1>2a，

∴B＝｛x|2a

∵ p 是q 的必要不充分条件，

∴ B A，

∴2a≥1 或a＋1≤－1，

1 解得≤a<1 或a≤－ 2.

2

1

∴a 的取值范围为 （－∞，－2]∪[2，1）．

13．设 a ， b ， c 是△ ABC 的三个内角 A ，B ，C 所对的边．求证： a 2＝b （b ＋c ）的充要条件

是 A ＝2B.

证明 充分性： ∵ A ＝ 2B ，∴ A － B ＝B ，则 sin （A － B ）＝ sin B ，则 sin Acos B －cos Asin

B ＝sin B ， 2

＋

c

2

－

b

2 2

＋

c

2

－

a

2

a ·

a ＋c －b

－

b ·

b ＋

c －a

＝

b ，化简整理得 a

2

＝

b （b ＋

c ） ；

2ac 2bc

a 2＝

b 2＋

c 2－2bccos A ，且 a 2＝b （b ＋c ），得 b 2＋bc ＝b 2＋c 2－2bccos A ， ∴1＋2cos A ＝b c ＝s s i in n B

b sin B

即 sin B ＋ 2sin Bcos A ＝sin C ＝sin （A ＋B ）＝sin Acos B ＋cos Asin B ， ∴ sin B ＝sin Acos B －

cos

Asin B ＝sin （A －B ），由于 A 、B 均为三角形的内角，故必有 B ＝A －B ，即 A ＝2B. 综上，知 a 2

＝b （b ＋c ）的充要条件是 A ＝ 2B.

2 B ．命题“若 x ＝ 1，则 x 2

>1”的否命题

C ．命题“若 x ＝ 1，则 x 2＋x － 2＝ 0”的否命题

1．由原命题写出其他三种命题， 关键要分清原命题的条件和结论， 将条件与结论互换即得逆 命

题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命 题．

2．如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题 中的

大前提不变．

3．反证法与逆否证法的区别 (1)反证法与逆否证法的目的不同，反证法否定结论的目的是推出矛

盾，而逆否证法否定结论 的目的是推出否定条件．

(2)反证法与逆否证法的本质不同，逆否证法本质是证明一个新命题 (逆否命题 )成立，而反证

法把否定的结论作为条件，连同原有的条件进行逻辑推理，直至推出矛盾，从而肯定原命题 的结论．

结合正弦、余弦定理得

必要性：由余弦定理