高等数学电子教案
第四章不定积分
教学目的：
1、理解原函数概念、不定积分的概念。
2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）
与分部积分法。
3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
教学重点：
1、不定积分的概念；
2、不定积分的性质及基本公式；
3、换元积分法与分部积分法。
教学难点：
1、换元积分法；
2、分部积分法；
3、三角函数有理式的积分。
§4 1 不定积分的概念与性质
一、教学目的与要求：
1．理解原函数与不定积分的概念及性质。
2．掌握不定积分的基本公式。
二、重点、难点：原函数与不定积分的概念
三、主要外语词汇：At first function ，Be accumulate function ，
Indefinite integral ，Formulas integrals elementary forms.
四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改）
五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版
一、原函数与不定积分的概念
定义1 如果在区间I 上, 可导函数F (x )的导函数为f (x ), 即对任一x ∈I , 都有
F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx ,
那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数.
例如 因为(sin x )'=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数.
又如当x ∈(1, +∞)时,
因为x x 21)(=', 所以x 是x
21的原函数. 提问:
cos x 和x
21还有其它原函数吗？ 原函数存在定理 如果函数f (x )在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数F (x ), 使对任一x ∈I 都有
F '(x )=f (x ).
简单地说就是: 连续函数一定有原函数.
两点说明:
第一, 如果函数f (x )在区间I 上有原函数F (x ), 那么f (x )就有无限多个原函数, F (x )+C 都是f (x )的原函数, 其中C 是任意常数.
第二, f (x )的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x )和F (x )都是f (x )的原函数, 则 Φ(x )-F (x )=C (C 为某个常数).
定义2 在区间I 上, 函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的不定积分, 记作
?dx x f )(.
其中记号?称为积分号, f (x )称为被积函数, f (x )dx 称为被积表达式, x 称为积分变量.
根据定义, 如果F (x )是f (x )在区间I 上的一个原函数, 那么F (x )+C 就是f (x )的不定积分, 即
?+=C x F dx x f )()(.
因而不定积分dx x f )(?可以表示f (x )的任意一个原函数.
例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以
C x xdx +=?sin cos .
因为x 是x
21的原函数, 所以
C x dx x
+=?21.
例2. 求函数x
x f 1)(=的不定积分. 解：当x >0时, (ln x )'x
1=, C x dx x
+=?ln 1(x >0); 当x <0时, [ln(-x )]'x
x 1)1(1=-?-=, C x dx x
+-=?)ln( 1(x <0). 合并上面两式, 得到
C x dx x
+=?||ln 1(x ≠0). 例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解 设所求的曲线方程为y =f (x ), 按题设, 曲线上任一点(x , y )处的切线斜率为y '=f '(x )=2x ,
,
即f (x )是2x 的一个原函数.
因为 ?+=C x xdx 22,
故必有某个常数C 使f (x )=x 2+C , 即曲线方程为y =x 2+C .
因所求曲线通过点(1, 2), 故
2=1+C , C =1.
于是所求曲线方程为y =x 2+1.
积分曲线: 函数f (x )的原函数的图形称为f (x )的积分曲线.
从不定积分的定义, 即可知下述关系: ?
=)(])([x f dx x f dx d , 或 ?=dx x f dx x f d )(])([;
又由于F (x )是F '(x )的原函数, 所以
?+='C x F dx x F )()(,
或记作 ?+=C x F x dF )()(.
由此可见, 微分运算（以记号d 表示）与求不定积分的运算（简称积分运算, 以记号?表示）是互逆的. 当记号?与d 连在一起时, 或者抵消, 或者抵消后差一个常数.
二、基本积分表
(1)C kx kdx +=?(k 是常数), (2)C x dx x ++=+?11
1μμμ, (3)C x dx x
+=?||ln 1, (4)C e dx e x x +=?, (5)C a
a dx a x x +=?ln , (6)C x xdx +=?sin cos ,
(7)C x xdx +-=?cos sin , (8)C x xdx dx x +==??
tan sec cos 122, (9)C x xdx dx x
+-==??cot csc sin 122, (10)C x dx x
+=+?arctan 11
2, (11)C x dx x +=-?arcsin 112
, (12)C x xdx x +=?sec tan sec ,
(13)C x dx x +-=?csc cot csc ,
(14)C x dx x +=?ch sh ,
(15)C x dx x +=?sh ch .
例4 ??-=dx
x dx x 331C x C x +-=++-=+-21321131. 例5 ??=dx
x dx x x 252C x ++=+1251251C x +=2772C x x +=372. 例6 ??-=dx x x x dx 343C x ++-=+-134134C x +-=-313C x +-=33. 三、不定积分的性质
性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和, 即
???+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.
这是因为, ])([])([])()(['+'='+????dx x g dx x f dx x g dx x f =f (x )+g (x ).
性质2 求不定积分时, 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来, 即 ??=dx x f k dx x kf )()((k 是常数, k ≠0).
例7. ?
?-=-dx x x dx x x )5()5(21252 ??-
=dx x dx x 21255??-=dx x dx x 21255 C x x +?-=23273
2572. 例8 dx x x x dx x x x x dx x x )133(133)1(22
2323-+-=-+-=-??? C x x x x dx x
dx x dx dx x +++-=-+-=????1||ln 3321113322. 例9 ???-=-xdx dx e dx x e x x cos 3)cos 3(C x e x +-=sin 3.
例10 C e C e e dx e dx e x x x x
x x ++=+==??2ln 12)2ln()2()2(2. 例11 dx x x dx x x x x dx x x x x )111()1()1()
1(122222++=+++=+++??? C x x dx x dx x ++=++=??
||ln arctan 1112. 例12 dx x x x dx x x dx x x ???++-+=++-=+2
22242411)1)(1(1111 ????++-=++
-=dx x dx dx x dx x x 222211)111( C x x x ++-=arctan 3
13. 例13 ????-=-=dx xdx dx x dx x 222sec )1(sec tan
= tan x - x + C .
例14 ???-=-=dx x dx x dx x )cos 1(2
12cos 1 2sin 2 C x x +-=
)sin (21. 例15 C x dx x dx x
x +-==??cot 4sin 1
42
cos 2sin 1222.
§4 2 换元积分法
一、教学目的与要求：
1．掌握不定积分的第一类换元法（凑微分法），熟悉常见的凑微分的类型，会灵活应用凑微分法求不定积分。
2．掌握不定积分的第二类换元法，并会灵活运用常用的代换方法。
二、重点、难点：换元法
三、主要外语词汇：Change a dollar
四、辅助教学情况:多媒体课件第四版和第五版（修改）
五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版
一、第一类换元法
设f (u )有原函数F (u ), u =?(x ), 且?(x )可微, 那么, 根据复合函数微分法, 有
d F [?(x ) ]=d F (u )=F '(u )d u = F ' [?(x ) ] d ?(x )= F '[?(x ) ]?'(x )d x ,
所以 F '[?(x )]?'(x )dx = F '[?(x )] d ?(x )= F '(u )d u = d F (u )=d F [?(x ) ], 因此 ??'='')()]([)()]([x d x F dx x x F ????
??='=)()(u dF du u F C x F x dF +==?)]([)]([??. 即 )(])([)()]([)()]([x u du u f x d x f dx x x f ?????=???=='
=[F (u ) +C ] u = ?(x ) = F [?(x )]+C .
定理1 设f (u )具有原函数, u =?(x )可导, 则有换元公式
???+=+==='C x F C u F du u f x d x f dx x x f )]([)()()()]([)()]([????? .
被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待, 从而微分等式?'(x )dx =du 可以应用到被积表达式中.
在求积分?dx x g )(时, 如果函数g (x )可以化为g (x )= f [?(x )]?'(x )的形式, 那么
?dx x g )()(])([)()]([x u du u f dx x x f ???=??='=.
例1. ??'?=dx x x xdx )2(2cos 2cos 2?=)2(2cos x xd
C u udu +==?sin cos =sin 2x +C .
例2. dx x x dx x ??'++=+)23(23121231?++=)23(231
21x d x C u dx u +==?||ln 21121C x ++=|23|ln 2
1. 例3. ????=='=du e x d e dx x e dx xe u x x x )()(2222
22
C e C e x u +=+=2.
例4. 2222212
1)(1211dx x dx x x dx x x ???-='-=- C u du u x d x +-=-=---=??2321223
121)1(121 C x +--=232)1(3
1. 例5. ???-==x d x dx x x xdx cos cos 1cos sin tan C u du u
+-=-=?||ln 1 =-ln|cos x |+C .
即 C x xdx +-=?|cos |ln tan .
类似地可得C x xdx +=?|sin |ln cot .
熟练之后, 变量代换就不必再写出了.
例6. dx a
x a dx x a ??+=+2
222)(1111
C a
x a a x d a
x a +=+=?arctan 1)(1112. 即 dx x a ?+221C a x
a +=arctan 1. 例7. C a
x a a x d a x a dx a x +==??sh ch ch .
例8. 当a >0时,
??-=-dx a x a dx x a 222)(1111C a x a x d a
x +=-=?arcsin )(112
. 即 dx x a ?-2
21C a x +=arcsin . 例9. ??+--=-dx a x a x a dx a x )11(21122]1
1[21??+--=dx a x dx a x a ])(1)(1[21??++---=a x d a
x a x d a x a C a x a x a ++--=|]|ln ||[ln 21C a
x a x a ++-=||ln 21. 即 dx a x ?-221C a x a
x a ++-=||ln 21. 例10. ???++=+=+x
x d x x d x x dx ln 21)ln 21(21ln 21ln )ln 21( C x ++=|ln 21|ln 2
1. 例11. ???==x d e x d e dx x
e x x x 3322333 C e x +=33
2. 含三角函数的积分:
例12. ???=xdx x xdx sin sin sin 23?--=x d x cos )cos 1(2
??+-=x xd x d cos cos cos 2C x x ++-=3cos 3
1cos . 例13. ??=x xd x xdx x sin cos sin cos sin 4252
?-=x d x x sin )sin 1(sin 222
?+-=x d x x x sin )sin sin 2(sin 642
C x x x ++-=753sin 7
1sin 52sin 31. 例14. dx x xdx ??+=22cos 1cos 2)2cos (21??
+=xdx dx ??+=x xd dx 22cos 4121C x x ++=2sin 4
121. 例15. dx x xdx 224)(cos cos ??=?+=dx x 2)]2cos 1(2
1[
?++=dx x x )2cos 2cos 21(4
12 ?++=dx x x )4cos 2
12cos 223(41 C x x x +++=)4sin 8
12sin 23(41 C x x x +++=4sin 32
12sin 4183. 例16. ??+=dx x x xdx x )5cos (cos 2
12cos 3cos C x x ++=5sin 10
1sin 21. 例17. ??=dx x xdx sin 1csc ?=dx x x 2
cos 2sin 21 C x x
x
d x x x d +===??|2tan |ln 2
tan 2tan 2cos 2tan 22=ln |csc x -cot x |+C . 即 ?xdx csc =ln |csc x -cot x |+C .
例18. ??+=dx x xdx )2csc(sec πC x x ++-+=|)2
cot()2 csc(|ln ππ =ln |sec x + tan x | + C .
即 ?xdx sec =ln |sec x + tan x | + C .
二、第二类换元法
定理2 设x =?(t )是单调的、可导的函数, 并且?'(t )≠0. 又设f [?(t )]?'(t )具有原函数F (t ), 则有换元公式
C x F t F dt t t f dx x f +=='=-??)]([)()()]([)(1???.
其中t =?-1(x )是x =?(t )的反函数.
这是因为
)()]([1)()]([)(})]([{1x f t f dt
dx t t f dx dt t F x F =='='='-????. 例19. 求dx x a ?-22(a >0).
解: 设x =a sin t , 2
2 ππ<<-t , 那么22x a -t a t a a cos sin 222=-=, dx =a cos t d t , 于是
???=-tdt a t a dx x a cos cos 22
C t t a tdt a ++==?)2sin 4
121(cos 222. 因为a
x t arcsin =, a x a a x t t t 222cos sin 22sin -?==, 所以 dx x a ?-22C t t a ++=)2sin 4
121(2C x a x a x a +-+=22221arcsin 2.
解: 设x =a sin t , 2
2 ππ<<-t , 那么 ???=-tdt a t a dx x a cos cos 22
C t t a tdt a ++==?)2sin 4
121(cos 222C x a x a x a +-+=22221arcsin 2. 提示:22x a -t a t a a cos sin 222=-=, dx =a cos tdt .
提示: a x t arcsin =, a
x a a x t t t 222cos sin 22sin -?==.
例20. 求?+2
2a x dx (a >0). 解法一: 设x =a tan t , 2
2 ππ<<-t , 那么 22a x +t a a 222tan +=t a 2tan 1+==a sec t , dx =a sec 2t d t , 于是
?+2
2a x dx ??==tdt dt t a t a sec sec sec 2= ln |sec t + tan t |+C . 因为a
a x t 22sec +=, a x t =tan , 所以 ?+2
2a x dx = ln |sec t + tan t |+C C a a x a x +++=)ln(22122)ln(C a x x +++=, 其中C 1=C -ln a .
解法一: 设x =a tan t , 2
2 ππ<<-t , 那么
???==+tdt dt t a t a a x dx sec sec sec 22
2=ln|sec t +tan t |+C C a
a x a x +++=)ln(22122)ln(C a x x +++=, 其中C 1=C -ln a .
提示:22a x +t a a 222tan +==a sec t , dx =a sec 2t dt ,
提示:a
a x t 22sec +=, a x t =tan .
解法二: 设x =a sh t , 那么
?+2
2a x dx C a x C t dt dt t a t a +=+===??arsh ch ch C a x a x +??
? ??++=1)(ln 2122)ln(C a x x +++=, 其中C 1=C -ln a .
提示: 22a x +222a t sh a +==a ch t , dx =a ch t d t .
例23. 求?-2
2a x dx (a >0). 解: 当x >a 时, 设x =a sec t (2
0π< 于是 ?-2 2a x dx ??==tdt dt t a t t a sec tan tan sec = ln |sec t + tan t |+C . 因为a a x t 22tan -=, a x t =sec , 所以 ?-2 2a x dx = ln |sec t + tan t |+C C a a x a x +-+=||ln 22122)ln(C a x x +-+=, 其中C 1=C -ln a . 当x a , 于是 ?-22a x dx C a u u a u du +-+-=--=?)ln(222 2 C a x x +-+--=)ln(22122)ln(C a x x +---=, 1222 22)ln(ln C a x x C a a x x +---=+---=, 其中C 1=C -2ln a . 综合起来有 ? -22a x dx C a x x +-+=||ln 22. 解: 当x >a 时, 设x =a sec t (2 0π< 2a x dx ??==tdt dt t a t t a sec tan tan sec C a a x a x C t t +-+=++=)ln(|tan sec |ln 22 C a x x +-+=)ln(22, 其中C 1=C -ln a . 当x <-a 时, 令x =-u , 则u >a , 于是 ?-22a x dx C a u u a u du +-+-=--=?)ln(222 2 C a a x x C a x x +---=+-+--=2 2222ln )ln( 122)ln(C a x x +---=, 其中C 1=C -2ln a . 提示:22a x -222sec a t a -=1sec 2-=t a =a tan t . 提示:a a x t 22tan -=, a x t =sec . 综合起来有 C a x x a x dx +-+=-?||ln 222 2. 补充公式: (16)C x xdx +-=?|cos |ln tan , (17)C x xdx +=?|sin |ln cot , (18)C x x xdx ++=?|tan sec |ln sec , (19)C x x xdx +-=?|cot csc |ln csc , (20)C a x a dx x a +=+? arctan 1122, (21)C a x a x a dx a x ++-=-? ||ln 21122, (22)C a x dx x a +=-? arcsin 122, (23)C a x x a x dx +++=+? )ln(2222, (24)C a x x a x dx +-+=-? ||ln 222 2. §4 3 分部积分法 一、教学目的与要求： 掌握分部积分公式，并会灵活运用。 二、重点、难点: 用分部积分公式时的u和dv的选取 三、主要外语词汇:Divide a department integral 四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改） 五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版 设函数u =u (x )及v =v (x )具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为 (uv )'=u 'v +uv ', 移项得 uv '=(uv )'-u 'v . 对这个等式两边求不定积分, 得 ??'-='vdx u uv dx v u , 或??-=vdu uv udv , 这个公式称为分部积分公式. 分部积分过程: ???='-=-=='???? vdx u uv vdu uv udv dx v u . 例1 ???-==xdx x x x xd xdx x sin sin sin cos =x sin x -cos x +C . 例2 C e xe dx e xe xde dx xe x x x x x x +-=-==???. 例3 ???-==2222dx e e x de x dx e x x x x x ??-=-=x x x x xde e x dx xe e x 2222?+-=dx e xe e x x x x 222 =x 2e x -2xe x +2e x +C =e x (x 2-2x +2 )+C . 例4 ????-==dx x x x x xdx xdx x 121ln 21ln 21ln 222 C x x x xdx x x +-=-=?2224 1ln 2121ln 21. 例5 ??-=x xd x x xdx arccos arccos arccos dx x x x x ?-+=2 11arccos )1()1(2 1arccos 2212x d x x x ---=?-C x x x +--=21arccos . 例6 ??=2arctan 21arctan xdx xdx x ?+?-=dx x x x x 2 221121arctan 21 ?+--=dx x x x )111(21arctan 212 2 C x x x x ++-=arctan 2 121arctan 212. 例7 求xdx e x sin ?. 解 因为???-==x d e x e xde xdx e x x x x sin sin sin sin ??-=-=x x x x xde x e xdx e x e cos sin cos sin ?+-=x d e x e x e x x x cos cos sin ?+-=x d e x e x e x x x cos cos sin ?--=xdx e x e x e x x x sin cos sin , 所以 C x x e xdx e x x +-=?)cos (sin 2 1sin . 例8 求?xdx 3sec . 解 因为 ???=?=x xd xdx x xdx tan sec sec sec sec 23 ?-=xdx x x x 2tan sec tan sec ?--=dx x x x x )1(sec sec tan sec 2 ??+-=xdx xdx x x sec sec tan sec 3 ?-++=xdx x x x x 3sec |tan sec |ln tan sec , 所以 ?xdx 3sec C x x x x +++=|)tan sec |ln tan (sec 2 1. 例9 求?+=n n a x dx I )(22, 其中n 为正整数. 解 C a x a a x dx I +=+=?arctan 1221; 当n >1时，用分部积分法, 有 dx a x x n a x x a x dx n n n ??+-++=+--) ()1(2)()(222122122 dx a x a a x n a x x n n n ?+-+-++=--])()(1[)1(2)(2221221 22, 即 ))(1(2)(211221n n n n I a I n a x x I --++= ---, 于是 ])32()([)1(2111222 ---++-=n n n I n a x x n a I . 以此作为递推公式, 并由C a x a I +=arctan 11即可得n I . 例10 求dx e x ?. 解 令x =t 2 , 则 , dx =2tdt . 于 dx e x ?C x e C t e dt te x t t +-=+-==?)1(2)1(22. x d e x x d e dx e x x x ???==2)(2 x d e e x de x x x x ??-==222 C x e C e e x x x x +-=+-=)1(222. 第一换元法与分部积分法的比较: 共同点是第一步都是凑微分 ??=')()]([)()]([x d x f dx x x f ????u x =)(?令?du u f )(, ??=')()()()(x dv x u dx x v x u ?-=)()()()( x du x v x v x u . 哪些积分可以用分部积分法？ ?xdx x cos , ?dx xe x , dx e x x ?2; ?xdx x ln , ?xdx arccos , ?xdx x arctan ; xdx e x sin ?, ?xdx 3sec . 222 2???===???du e dx e dx xe u x x , 2222???=-==???dx e e x de x dx e x x x x x . §4. 4 有理函数的积分 一、 教学目的与要求： 会求有理函数、三角函数的有理式及简单的无理函数的积分。 二、 重点（难点）：有理函数的积分。 三、 主要外语词汇：Have the reason function integral 四、 辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改） 五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版 一、有理函数的积分 有理函数的形式: 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数: m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P ++???++++???++=----11101110)()(, 其中m 和n 都是非负整数; a 0, a 1, a 2, ? ? ? , a n 及b 0, b 1, b 2, ? ? ? , b m 都是实数, 并且a 0≠0, b 0≠0. 当n 高等数学教案 一、课程的性质与任务 高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。 第一章：函数与极限 教学目的与要求18学时 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 第一节：映射与函数 一、集合 1、集合概念 word word 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素 1)},,,{321 a a a A = 2)}{P x x A 的性质= 元素与集合的关系：A a ? A a ∈ 一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N + 元素与集合的关系： A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ?。 如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作B A = 若作B A ?且B A ≠则称A 是B 的真子集。 空集φ： A ?φ 2、 集合的运算 并集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?或 交集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?且 差集 B A \：}|{\B x A x x B A ?∈=且 全集I 、E 补集C A ： 集合的并、交、余运算满足下列法则： 数学教学设计方案 长武县洪家中心校许蕾 课题名称:圆的周长 科目: 数学 年级: 六年级 教学时间:40分钟 学习内容分析： 圆的周长是在学生初步认识了圆，掌握长（正）方形周长 计算方法的基础上学习的，它又是学生初步研究曲线图形的基本方法的开始，为以后学习圆柱、圆锥等知识打好基础。通过圆的周长的教学，使学生能够理解圆周率的含义，发现圆的周长与直径的关系，掌握求圆的周长的计算方法，并运用计算方法解决生活中的一些实际问题。同时，通过本节课的学习，进一步培养学生动手实践、团结协作、解决问题的能力。 学习者分析: 通过五年级的学习，学生已经掌握了一定的学习方法，具 有一定的分析和思维能力。经过前面几节课的学习，学生已经基本掌握了圆的相关知识。他们易接受新知识，有很强的好奇心和求知欲；在认知活动中喜欢直观形象的操作有一定的自主探究和合作学习的能力，并愿意参与分组讨论学习。 任务分析： 让学生在已有的生活经验的基础上想办法测量出圆的周长。 再接着通过探究活动，让学生思考圆的周长与直径的关系，从而推导出圆周长的计算公式。 教学目标: 一、知识与技能： 1、认识圆的周长，能用滚动、绕线等方法测量圆的周长； 2、探索发现圆的周长与直径的关系，理解圆周率的意义及 圆周长的计算方法。 二、过程与方法 通过测量计算，研究发现圆的周长与直径的关系，从而得 出圆的周长计算公式。在研究过程中体验数学问题的探索性，体会数学与现实生活的密切联系。 三、情感态度与价值观 通过教学，对学生进行爱国主义教育和辩证唯物主义的启 蒙教育。 教学重点: 探索并发现圆的周长与直径的关系。 教学难点： 授课题目§9.1二重积分的概念与性质 课时安排2教学目的、要求：1．熟悉二重积分的概念，了解二重积分的性质；2.了解二重积分的几何意义。教学重点、难点：二重积分的几何意义教学内容 一、二重积分的概念1．引例与二重积分定义引例：（1）.曲顶柱体的体积。（2）已知平面薄板质量（或电荷）面密度的分布时。求总质量（或电荷）。2．二重积分的几何意义 二、二重积分的性质性质1、 ，为非零常数；(,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=????k 性质2、；{(,)(,)}D f x y g x y d σ±??(,)(,)D D f x y d g x y d σσ=±????性质3、若，且（除边沿部分外），则12D D D =+12D D φ= 12(,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+?? ????性质4、若，，则：；(,)(,)f x y g x y ≥(,)x y D ∈(,)(,)D D f x y d g x y d σσ≥????性质5、估值定理性质6、（中值定理）设在上连续，则在上至少存在一点，使),(y x f D D ),(ηξA f d y x f D ?ηξ=σ??),(),(三、例题 例1 设是由与所围的区域，则D 24x y -=0=y =σ??D d π2例2 求在区域：上的平均值222),(y x R y x f --=D 222R y x ≤+讨论、思考题、作业：思考题：1.将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.2.估计积分的值,其中是圆形区域: .??++=D d y x I σ)94(22D 422≤+y x 习题9-1 P79 4(1),(3),5（1）（3）授课类型： 理论课教学方式：讲授教学资源：多媒体 填表说明：每项页面大小可自行调整。、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。 第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (8) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (11) 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑵、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： 计算机基础 机械工业出版社同名教材 配套电子教案 第4章文字处理软件Word的使用 4.1 Word的基本操作 4.1.1 启动Word 4.1.2 Word的窗口组成 4.1.3 新建空白文档 4.1.4 保存文档 4.1.5 关闭文档与退出Word 4.1.6 打开已有文档 4.2编辑文档 4.2.1 输入文字 4.2.2 插入符号 4.2.3 撤销与恢复 4.2.4 选定文本块 4.2.5 删除、复制或移动文本 4.2.6 Office剪贴板 4.2.7 查找和替换 4.2.8 打开多个文档 4.2.9 更改默认设置 4.3文档视图 4.4设置页面格式4.4.1 设置页面 4.4.2 页眉和页脚 4.4.3 页码 4.5设置文档的格式 4.5.1 设置字符格式 4.5.2 设置段落格式 4.5.3 用格式刷复制格式 4.5.4 清除格式 4.5.5 自动更正 4.6 处理表格 4.6.1 建立表格 4.6.2 修改表格 4.6.3 设置表格格式 4.6.4 数据的计算与排序4.7 插入图片 4.7.1 插入图片文件 4.7.2 从“插入剪贴画”任务窗格插入剪贴画 4.7.3 从“剪辑管理器”插入剪辑 4.7.4 调整图片 4.8 绘图 4.8.1 创建绘图 4.8.2 自选图形 4.8.3 移动图形对象并调整其大小 4.8.4 三维和阴影效果 4.8.5 叠放图形对象 4.8.6 组合图形 4.9 文本框 4.10 艺术字 4.11 边框、底纹和图形填充 4.11.1 添加边框 4.11.2 添加阴影、颜色或图形填充4.12 公式 4.13 打印文档 4.13.1 打印前预览页面 4.13.2 打印文档 4.13.3 检查打印作业的进度 习题4 第一单元准备课 第一课时：数数 教学内容：教科书第2～5页内容。 教学目标：1.通过观察，帮助学生初步认识1－10各数，培养学生的观察兴趣。 2.培养学生良好的学习习惯，如积极举手发言，认真倾听同学发言等。 3.结合教材内容进行爱国主义和环保意识的教育。 教学重点：指导观察方法，培养观察兴趣。 课时安排：1课时 教学过程： 一.按要求观察。（课本2.3两页的主题图） 1.看第2页的图，这是一个美丽的乡村小学，今天是开学的第一天，小朋友们高高兴兴地上学来了。大家来看看这里都有一些什么呢？谁能告诉大家，从这幅图上你知道了些什么？ 2.仔细观察这幅图，看看图上到底有哪些东西。汇报的时候要说清楚，个数是1的是什么，个数是2的是什么，个数是10的是什么？ 3学生独立观察。 二. 汇报。 1. 生按1、2、3……的顺序汇报，师板书1、2、3…… 个数是1的有……红旗、教学大楼、老师、操场、风向标、气温箱、足球 个数是2的有……双杠、跳绳、门柱 个数是3的有……石凳、帽子 个数是4的有……垃圾箱、国旗护栏问：你是怎么知道有4个垃圾箱的？ 个数是5的有……高楼、 个数是6的有……花、大树、 个数是7的有……小鸟、 个数是8的有……小树 个数是9的有……女同学 个数是10的有……男同学 （允许学生说10以上的。） 2.指板书，这些数你能数一数吗？ 3.能完整的说有1个什么，2个……同桌互相说一说。 4.谁上来说给大家听。（要求其余学生认真听，说对了要拍手。） 三.讨论。刚才小朋友们都很能干，现在你能找一找，我们教室里有些什么吗？以小组为单位讨论，等一下来汇报。 四．汇报。小组派代表汇报讨论结果。 五.小结：这节课小朋友的表现都很棒，现在你能说一说，你学会了哪些本领吗？今天我们数了美丽的乡村小学里的人呀、花呀、树呀、鸽子呀等好多东西，还数了教室里的门和窗等等东西，放学后，你们还可以数数在家里或其他地方看到的东西。 板书设计；数一数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 教后录：这是一年级学生入学学习的第一课。为了使学生了解学习数学的重要性，一上课，运用了轻松的谈话方式唤起学生对学习数学的兴趣。上下来之后感觉基本学生对这一知识都掌握得较好，更重要的是通过让学生大量的说1——10在身边的发现，学生对数学的兴趣更浓了。 第二课时：比一比 教学内容：教科书第6～7页内容及“做一做”，练习一的1～4题。 教学目标：1.使学生初步认识一一对应，知道“同样多”的含义；初步学会用一一对应的方 2.使学生通过操作、观察，初步体验数感，激发学生学习数学的兴趣，体验合作学习的乐趣。 章节备课 第9章 输出演示文稿 本章内容提要 打包演示文稿 打印演示文稿 将演示文稿输出为网页或图片 课 题：第9章 输出演示文稿 教学目的：通过实例学习输出演示文稿，使学生掌握本章知识点。 教学方法：讲授法 应用制作好的ppt 演示 课 时 数：合计2课时，理论1课时，上机实践1课时 教 具：微机室 ppt2007素材见光盘 授课内容： 第一节： 第9章 输出演示文稿 制作好演示文稿后，我们还可将其打包以便在别的计算机中播放。此外，还可以打印演示文稿或将演示文稿发布成网页或图片等。 9.1 打包演示文稿 如果需要在另一台计算机上播放演示文稿，我们最容易想到的方法是将演示文稿文件复制到播放演示文稿的计算机中。但事情并非这么简单：假如你准备播放演示文稿的计算机中没有安装PowerPoint 程序，或者演示文稿中所链接的文件以及所采用的字体在那台计算机上不存在，这些情况会使演示文稿无法播放，或者影响演示文稿的播放效果。 为了解决上述问题，PowerPoint 提供了演示文稿的“打包”工具，利用该工具可以将播放演示文稿所涉及到的有关文件连同演示文稿一起打包，形成一个文件夹，从而方便在其他计算机中进行播放。 9.1.1 打包演示文稿 打开要打包的演示文稿 第一次执行打包操作时出现 单击“选项”按钮，打开“选项”对话框设置打包选项:在“包含这些文件”设置区中可选 择需要在打包文件中包含的内容；在“帮助保护PowerPoint 文件”设置区中可设置打开或修改包中的演示文稿时是否需要密码 如果要将演示文稿打包到文件夹，可在“打包成CD ”对话框中单击“复制到文件夹”按钮，在打开的对话框输入文件夹名称“感受童画的激情”，然后单击“浏览”按钮，设置存放打包文件夹的位置 返回“复制到文件夹”对话框，在“位置”编辑框中可看到放置打包文件的位置，单击“确定”按钮，打开提示对话框，询问是否打包链接文件，单击“是”按钮，系统开始打包演示文稿，并显示打包进度。等待一段时间后，即可将演示文稿打包到指定的文件夹中。最后单击“打包成CD ”对话框中的“关闭”按钮，将该对话框关闭。 9.1.2 播放打包的演示文稿 将演示文稿打包后，可找到存放打包文件的文件夹，然后利用U 盘或网络等方式，将其拷贝或传输到别的计算机中。要播放演示文稿，可双击打包文件夹中的“Play.bat ”文件进行播放。 小学数学教学设计模版 【教学内容】：版本、章、节 【教材分析】： 1．课标中对本节内容的要求；本节内容的知识体系；本节内容在教材中的地位，前后教材内容的逻辑关系。 2．本节核心内容的功能和价值（为什么学本节内容）， 【学情分析】： 1．教师主观分析、师生访谈、学生作业或试题分析反馈、问卷调查等是比较有效的学习者分析的测量手段。 2．学生认知发展分析：主要分析学生现在的认知基础（包括知识基础和能力基础），要形成本节内容应该要走的认知发展线。 3．学生认知障碍点：学生形成本节课知识时最主要的障碍点。 【设计思路】：现本节课的教法学法及体现的理念支撑。 【教学目标】：教学目标的确定应注意按照新课程的三维目标体系进行分析 【教学重点和难点】： 【教学过程】： 教学过程的表述不必详细到将教师、学生的所有对话、活动逐字记录，但是应该把主要教学环节、教师活动、学生活动、设计意图很清楚地再现。 板书设计：需要一直留在黑板上主板书 学生学习活动评价设计：设计评价方案，向学生展示他们将被如何评价（来自教师和小组其他成员的评价）。另外，也可以创建一个自我评价表，这样学生可以用它对自己的学习进行评价。 【教学反思】： 教学反思可以从以下几个方面思考，不必面面俱到： 1．反思在备课过程中对教材内容、教学理论、学习方法的认知变化。 2．反思教学设计的落实情况，学生在教学过程中的问题，出现问题的原因是什么，如何解决等，避免空谈出现的问题而不思考出现的原因，也不思考解决方案。3．对教学设计中精心设计的教学环节，尤其是对以前教学方式进行的改进，通过设计教学反馈，实际的改进效果如何。 4．如果让你重新上这节课，你会怎样上？有什么新想法吗？或当时听课的老师或者专家对你这节课有什么评价？对你有什么启发？ 教学设计模板 教材分析： A （）是义务教育标准实验教材小学数学（）年级（）册第（）页至第（）页的内容。这部分教学内容在《数学课程标准》中属于“（数与代数/空间与 图形/统计与概率）”领 域的知识。经过前面的学习，学生已经认识了（），学会了（），本课将进一步学 习 （），教材注意创设情景，从学生已有的知识和经验出发，适时的提出（），并引导学生探究和发现，同时启发学生（）。学好这部分知识有助于学生理解（）， Word2003电子教案 目录 第一章Word基础知识 (3) 第一节Word 2003 简介及新增功能 (3) Word 2003 简介 (3) Word 2003新增功能 (3) 第二节Word 2003 基本操作 (4) Word 2003 启动与退出 (4) Word 2003 界面组成 (4) 第二章文档基本操作 (5) 第一节新建文档最常用方法 (6) 第二节保存文档最常用方法 (6) 第三节打开和关闭文档 (6) 第三章文本编辑 (6) 第一节输入文本 (7) 第二节修改文本 (8) 选择文本 (8) 文本编辑 (8) 查找与替换 (9) 拼写和语法 (10) 第四章文本格式编辑 (10) 第一节设置字符格式 (10) 设置字体 (10) 设置字号 (10) 设置字形 (11) 第二节美化文本 (11) 设置字体效果 (11) 设置字间距 (12) 设置文字动态效果 (12) 添加边框和底纹 (12) 第三节设置制表位 (13) 第四节设置段落格式 (14) 第五章表格的制作 (16) 第一节创建表格 (16) 第二节编辑表格 (17) 第三节美化表格 (18) 第四节数据处理 (19) 第六章图形和图像编辑 (20) 第一节绘制图形 (20) 第二节插入图片或剪切画 (21) 第三节艺术字 (22) 第四节文本框 (23) 第七章样式和模版 (23) 第一节样式应用 (23) 第二节模板应用 (24) 第八章文档高级应用 (25) 第一节宏的应用 (25) 第二节目录 (26) 第三节公式 (26) 第四节使用域 (26) 第五节邮件合并 (26) 第九章页面设置与打钱印输出 (26) 第一节页面设置 (26) 第二节文档格式 (28) 第三节打印输出 (29) 高等数学电子教案（下） 《高等数学》 2008 ,2009 学年第二学期 教师姓名: 李石涛 授课对象:1.化学工程与工艺0801,0803，应用化学0801，0802 2.高分子材料工程0801，0802;环境工程0801，0802 授课学时: 128/64 选用教材《高等数学》史俊贤主编 大连理工大学出版社 2006/2 基础部数学教研室 沈阳工业大学教案 第 1 周授课日期 09.2.18 授课章节:第六章 6.1 定积分元素法 教学目的: 1、理解定积分元素法的基本思想, 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量,平面图形的面积、平面曲线 的弧长, 教学重点:平面图形的面积、平面曲线的弧长教学难点:平面图形的面积教学内容纲要: 一、定积分的元素法, 二、平面图形的面积、教 学三、平面曲线的弧长、 实采用的教学形式:讲授施 过教学方法:启发式教学 程教学步骤: 设 1、复习定积分的概念～引出定积分的元素法, 计 2、举例讲解平面图形的面积 3、举例讲解平面曲线的弧长 课后复习及作业或思考题: 1、复习定积分的元素法。 2、课后习题6-2 1、2、4、5。 教学后记: 时间: 沈阳工业大学教案 第 1 周授课日期 09.2.20 授课章节:6.2 定积分在几何学上的应用 教学目的: 1、理解定积分元素法的基本思想, 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量,旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为 已知的立体体积, 教学重点:旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积教学难点:旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积 教学内容纲要: 一、旋转体的体积、 二、平行截面面积为已知的立体体积, 教 学采用的教学形式:讲授 实教学方法:启发式教学施 课题名称《认识钟表》 移秀兰 溱潼中心小学 一、概述 ·小学数学一年级 ·苏教版《数学》一年级上册84、85页一课时 ·认识时针、分针、整时、大约几时 ·认识钟表在日常生活中有着广泛的应用 二、教学目标分析 1、知识与技能：初步认识钟面，会看钟面上的整时和大约几时 2、过程与方法：发展初步的观察能力、动手能力、概括能力和合作意识。 3、情感态度与价值观：建立时间观念，从小养成按时作息和珍惜时间的良好习惯；体会数学与生活的密切联系，发展初步的数学应用意识。 三、学习者特征分析 本单元在学生掌握20以内数的基础上，联系日常生活的需要认识钟表面上的整时和接近整时。对于一年级的学生来说，时间既熟悉又陌生。有些学生已经具有一定的认识钟表的经验，但他们认时间、看钟表的方法是零碎的、不具体的；也有些学生在学习与生活中时间观念差，对钟表的知识感到陌生。这就需要在老师的引导下，提升、概括科学地认识钟表的方法，同时，对学生进行珍惜时间的教育，培养学生合理安排时间的良好习惯。 四、教学策略选择与设计 设计理念：设计本课时力求把新的教学理念融入课堂教学之中，整堂课都以学生自主探究和活动为主，让学生通过实际操作、亲自体验，认识钟表。拟在本课教学中体现以下几点：（一）知识呈现生活化：“数学的生活化，让学生学习现实的数学”是新课程理念之一。新知从生活中自然导出，使学生初步感知“数学从生活中来，到生活中去”，使数学课堂回归儿童的生活世界。 （二）学生学习自主化：本节课的教学内容认识钟表面、认识整时刻、判断大约几时等，都是在老师的引导下，学生在充分的动口、动手、动脑的探索过程中自主获得。 （三）学习过程活动化：新课程以学生主体活动为主要方式，把学习主动权交给学生。充分发挥信息技术的优势，恰当运用现代教育技术创设丰富多彩的活动情境，激起学生参与活动的兴趣与欲望，使学生总能处于一种新奇、兴奋、快乐的活动氛围中，亲自实践，大胆探索。 五、教学资源与工具设计 教学准备：课件，钟面模型等。 六、教学过程 一）导入 1、（滴嗒滴嗒，滴嗒滴嗒……会走没有腿，会说没有嘴，它会告诉我们，什么时候起， 第四章不定积分 教学目的： 1、理解原函数概念、不定积分的概念。 2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二） 与分部积分法。 3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 教学重点： 1、不定积分的概念； 2、不定积分的性质及基本公式； 3、换元积分法与分部积分法。 教学难点： 1、换元积分法； 2、分部积分法； 3、三角函数有理式的积分。 §4 1 不定积分的概念与性质 一、教学目的与要求： 1．理解原函数与不定积分的概念及性质。 2．掌握不定积分的基本公式。 二、重点、难点：原函数与不定积分的概念 三、主要外语词汇：At first function ，Be accumulate function ， Indefinite integral ，Formulas integrals elementary forms. 四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改） 五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版 一、原函数与不定积分的概念 定义1 如果在区间I 上, 可导函数F (x )的导函数为f (x ), 即对任一x ∈I , 都有 F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx , 那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数. 例如 因为(sin x )'=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数. 又如当x ∈(1, +∞)时, 因为x x 21)(=', 所以x 是x 21的原函数. 提问: cos x 和x 21还有其它原函数吗？ 原函数存在定理 如果函数f (x )在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数F (x ), 使对任一x ∈I 都有 F '(x )=f (x ). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. 两点说明: 第一, 如果函数f (x )在区间I 上有原函数F (x ), 那么f (x )就有无限多个原函数, F (x )+C 都是f (x )的原函数, 其中C 是任意常数. 第二, f (x )的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x )和F (x )都是f (x )的原函数, 则 Φ(x )-F (x )=C (C 为某个常数). 定义2 在区间I 上, 函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的不定积分, 记作 ?dx x f )(. 其中记号?称为积分号, f (x )称为被积函数, f (x )dx 称为被积表达式, x 称为积分变量. 根据定义, 如果F (x )是f (x )在区间I 上的一个原函数, 那么F (x )+C 就是f (x )的不定积分, 即 ?+=C x F dx x f )()(. 因而不定积分dx x f )(?可以表示f (x )的任意一个原函数. 例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 C x xdx +=?sin cos . 因为x 是x 21的原函数, 所以 C x dx x +=?21. 小学数学教学设计的基本模式 一、教学内容分析 1．教学主要内容 2．教材编写特点本节课内容在单元中的地位，本节课教材编写的意图及特点等。 3．教材内容的核心数学思想 4．我的思考学习目标、活动设计、组织与实施是如何落实对教学内容分析的理解，特别是核心数学思想的落实。（说明：教学内容分析应该建立在教师良好的数学素养之上。可以在教学组内或学区中心集体研讨，或专家的指导下完成。需要注意的是，对教学内容的分析应体现在学习目标和教学过程的设计上。） 二、学生分析 1．学生已有知识基础(包括知识技能和方法) 2．学生已有生活经验和学习该内容的经验 3．学生学习该内容可能的困难 4．学生学习的兴趣、学习方式和学法分析 5．我的思考：下面的学习目标、活动设计、组织与实施是如何落实对学生分析的理解。说明：学生分析应该通过学生调研，以作为科学依据，不能仅凭经验判断个性化的工作，不能由他人的结果简单代替自己的学生分析。 已有知识基础的调研可以通过设计几个指向明确的小问题实现，对这方面的数据统计及分析是更为重要的，这种分析是教师设计和修正“学习目标”的重要依据。 学生经验、学生学习困难、学生学习兴趣等的调研可以通过访谈实现，可以是抽样，也可以是有针对性的，如对于学困生做特别的访谈，可能会发现他们身上所具有的学习要素。调研中可以将学生测验、访谈、小组观察等结合起来。 三、学习目标 1．知识与技能 2．过程与方法(数学思考、解决问题) 3．情感态度价值观 说明：以学生为主语。1．教学内容分析和学生分析是学习目标制定的依据和前提。因此，如果对教学内容分析的要求越透彻，对学生分析的要求越科学和规范，学习目标的设计就越不是一件简单而迅速的工作。 2．学习目标是为学生的“学”所设计，教师的“教”是为学生的学习目标的达成服务的。学习目标是个性化的，又是尊重数学学科发展需要和学生未来学习需要的。 3。学习目标的制定应从以上几个方面进行思考，但具体形式不一定逐条对应。 4．学习目标应该在下面的教学活动中得到实在的落实。特别是教学活动中设计意图应该阐释，活动及其组织与实施是如何为达成目标服务的。 四、教学活动 一、学习任务 【能力目标】 1、能利用word文字处理软件进行板报类文本信息的处理。 2、能设计出不同主题、形式的电子板报。 【知识目标】 1、初步掌握在word中运用图片、艺术字、文本框、自选图形进行综合处理问题的方法。 2、学会设计、评价电子板报。 【德育目标】 1、激发学生的创造性。 2、培养学生的环保意识。 二、教学指导 【指导思想】 本课出自南京师范大学出版社《大学计算机基础》第七章实验——制作电子板报，属于文字处理软件应用范畴。它是WORD字处理的基础知识和基本操作技能的综合应用和巩固提高，是学生板报设计、制作的扩展和提升，从更高层次来认识板报的版面结构、布局和排版技术的应用。 设计了本次单元活动任务，这个任务活动可以将之前所学的知识全部包含其中，既检验了学习情况，又可以体会到WORD的神奇，通过设计并制作一份电子小报，不但可以更好地掌握WORD文档的制作，还可以通过电子小报的形式表达思想和信息，从而体会到，利用所学信息技术知识可以很好地应用于实践问题的解决，做到信息技术与其他学科或知识的整合。 【学情分析】 这节课的教学对象是高技班学生，是在他们已经学习了WORD文档的基本制作这一单元之后，在学生已经基本掌握了WORD的基本操作技能，包括文稿的编辑、文字与段落的设计、艺术字与图片的插入与编辑、页面设置等技能之后，在大部分学生已经可以熟练地操作并运用WORD的文档编辑功能的前提下，设计了这样一个单元结束的活动任务，所以，学生可以完成这个任务。 【教学重点、难点】 1、电子板报中图片、艺术字、文本框、自选图形之间的位置关系； 2、插入对象（图片、艺术字、文本框、自选图形）的格式（色彩搭配、位置摆放）设置。 【教学模式与方法】 教学模式：学案导学模式，“做、学、教”三位一体式 教学方法：项目教学法 学习方法：协作学习、自主学习 【课型与课时】 课型：练习 课时：1课时（45分钟） 【课前准备】 教师准备：设计任务，搜集素材 学生准备：回忆WORD相关知识，按成绩和操作能力分组 《高等数学》教案 第一讲 函数与极限 1.函数的定义 设有两个变量x ，y 。对任意的x ∈D ，存在一定规律f ，使得y 有唯一确定的值与之对应，则y 叫x 的函数。记作y=f(x)，x ∈D 。其中x 叫自变量，y 叫因变量。 函数两要素：对应法则、定义域，而函数的值域一般称为派生要素。 例1：设f(x+1)=2x 2+3x-1，求f(x). 解：设x+1=t 得x=t-1，则f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t 2-t-2 ∴f(x)=2x 2 – x – 2 定义域：使函数有意义的自变量的集合。因此，求函数定义域需注意以下几点： ①分母不等于0 ②偶次根式被开方数大于或等于0 ③对数的真数大于0 例2 求函数y= 6—2x －x +arcsin 7 1 2x －的定义域. 解：要使函数有定义，即有： 1|7 12|062≤-≥--x x x ? 4323≤≤--≤≥x x x 或?4323≤≤-≤≤-x x 或 于是，所求函数的定义域是：[-3，-2] [3，4]. 例3 判断以下函数是否是同一函数，为什么？ （1）y=lnx 2与y=2lnx (2)ω=u 与y=x 解 （1）中两函数的 定义域不同，因此不是相同的函数. （2）中两函数的 对应法则和定义域均相同，因此是同一函数. 2. 初等函数 （1）基本初等函数 常数函数：y=c(c 为常数) 幂函数： y=μ x （μ为常数） 指数函数：y=x a (a>0，a ≠1，a 为常数) 对数函数：y=x a log (a>0，a ≠1，a 为常数) 三角函数：y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx 反三角函数：y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx （2）复合函数 设),(u f y =其)(x u ?=中，且)(x ?的值全部或部分落在)(u f 的定义域内，则称)]([x f y ?=为x 的复合函数，而u 称为中间变量. 例4：若y=u ，u = sinx ，则其复合而成的函数为y=x sin ，要求u 必须≥0， ∴sinx ≥0，x ∈[2k π，π+2k π] 例5：分析下列复合函数的结构 讲授内容§6.1定积分的元素法 §6.2定积分在几何上的应用 教学目的 1.深刻理解定积分的元素法的思想. 2.掌握用定积分的元素法计算实际问题的条件和解题步骤. 3.熟练掌握平面图形面积和旋转体体积的计算方法. 4.会求平面曲线的弧长及简单的平行截面面积为已知的立体体积. 教学重点、难点 重点：求平面图形面积和旋转体体积及平面曲线的弧长. 难点：求旋转体体积. 教学方法：讲授 教学建议 1.应用定积分的元素法关键是根据题中的具体条件，利用所学的几何或物理 的知识，求出所求量的微元. 2.计算平面图形面积时，应根据图形的特点选择积分变量. 3.当旋转轴与坐标轴平行时,只需作坐标轴平移再用旋转体体积公式算出体积. 4.求平面曲线的弧长时，重点是记住公式ds = 教学过程 一、元素法:当实际问题中的所求量A 符合下列条件: 1)A是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量; 2)A对于区间[a,b]具有可加性,即:将区间[a,b]分成许多部分区间,则A相应 地分成许多部分量,A等于许多部分量的和; 3)部分量?A i的近似值为 f ()i?x i,即: ?A i ≈f () i ?x i . (dx)2+ (dy)2 b b d d 则 A 可以用定积分来表示,其方法为: 1） 选取变量 x 并确定区间[a ,b ]; 2） 将[a ,b ]分成 n 个小区间,并任取小区间[x ,x +d x ],此小区间上的部分量 ?A . 且 ?A = dA + (dx ) = f (x )dx +(dx ) .即 dA = f (x )dx .称 dA 为 A 的元素. 3） 以 A 的元素 f (x )d x 为被积表达式,在[a ,b ]上积分:得 A = ? a 这种方法为元素法. f (x )dx . 关键在于第二步.求出元素 dA = 二、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 1） X －型: f (x )dx 由 y = f (x ) 、 x = a 、 x = b ,(a < b ) 与 x 轴围成的曲边梯 形的面积 A : A = ?a | f (x ) | dx 由 y = f (x ) 、 y = g (x ) 、 x = a 、 x = b ,(a < b ) 围成的 曲边梯形的面积 A : A = ?a | f (x ) - g (x ) | dx 2） Y －型: 由曲线 x = f ( y ) 、直线 y = c 、 y = d ， (c < d ) 与 y 轴围成的曲边梯形的面积 A 为: A = ?c | f ( y ) | dy 由 曲 线 x = f ( y ) 、 x = g ( y ) 直 线 y = c 、 y = d ， (c < d ) 围成的曲边梯形的面积 A 为: A = ?c | f ( y ) - g ( y ) | dy 例 1 计算由曲线: y 2 = x 和 y = x 2 所围成的图形的面积 解: 1) 交点坐标(0,0)和(1,1). b 《算盘》数学教案设计Mathematics teaching plan design of abacus 《算盘》数学教案设计 前言：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角 度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的 作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准 的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和 计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文档下载后内容可 按需编辑修改及打印。 教学目标： 1．知识目标：了解算盘的结构，认识算盘各部分的名称。 2．能力目标：认识算筹、算盘。 3．情感目标：知道计算工具的发展简史，感受数学在 中国的发展源远流长，成就辉煌。从而激发学生的爱国热情，使之觉得作为一个中国人，是多么的自豪和骄傲。教学准备：多媒体课件、算盘、计算器等。 教学过程： 一、情景引入 简单介绍古今计算工具的发展简史。 二、认识算筹 1.认识算筹。 师：在我们中国用来帮助计算的.工具，从古至今有很多。今天这节课我们就从三千多年前的古代去看一看！三千多年前，我们的祖先就开始使用小棒帮助计算了。他们用小棒表示数字。我们来看。媒体演示：介绍用小棒表示数字的方法——横式 和纵式。 2.认识用算筹表示的数。 师：古代用小棒帮助计算，我们把小棒这个工具就作——算筹。表示一个多位数用竖式和横式交替表示。如452就可以这样表示。 452 问：同学们你们知道为什么一定要横式和 竖式交替使用吗？那752可以怎样表示？1845又可以怎样表 示呢？ 3.认识用算筹计算的过程。 师：那我们怎样利用算筹计算呢？我们来看一看。452＋752= 媒体演示。 三、介绍算盘 1.认识算盘的组成部分 第四章常微分方程 §4．1 基本概念和一阶微分方程 甲内容要点 一．基本概念 1．常微分方程 含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。 2．微分方程的阶 微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶 3．微分方程的解、通解和特解 满足微分方程的函数称为微分方程的解； 通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解； 通解有时也称为一般解但不一定是全部解； 不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。 4．微分方程的初始条件 要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。 5．积分曲线和积分曲线族 微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。 6．线性微分方程 如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零 的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。 二．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解 ()()??+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解 ()()()()C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln （2） ()()0,0≠≠++=b a c by ax f dx dy 令u c by ax =++， 则()u bf a dx du += ()c x dx u bf a du +==+?? （3） ??? ? ??++++=222111c y b x a c y b x a f dx dy高等数学上册教案
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《高等数学》(A)教案第六章(可编辑修改word版)
《算盘》数学教案设计
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