分式及分式方程经典例题讲解

分式与分式方程复习

一.分式

例1：要使分式x 1

有意义，x 的取值满足（ ）

A.x ＝0

B.x ≠0

C.x ＞0

D.x ＜0

【解析】分式有意义的条件是分母不为0，即x ≠0。 【答案】选：B ．

【点评】此题考查的是分式有意义的条件，属于基础题。

例2：使代数式12-x x

有意义的x 的取值范围是

A.0≥x

B.

21≠

x C. 0≥x 且21

≠

x D.一切实数

【解析】要使原代数式有意义，需要

x 中的x ≥0；分母中的2x-1≠0.

【答案】解不等式组0210x x ≥??-≠?得0≥x 且

21≠x ，故选C ． 【点评】代数式有意义，就是要使代数式中的分式的分母不为零；代数式中的二次根式的被开方数是非负数．

例3：若分式1

2x x -+的值为0,则 ( )

A. x=-2

B. x=0

C. x=1或x=-2

D. x=1

【解析】若分式1

2x x -+的值为0,则需满足1020

x x -=??

+≠?,解得x ＝1, 故选D.

【答案】D.

【点评】本题考查分式值为0时,x 的取值. 提醒注意:若使分式的值为0,需满足分子为零,同时分母不为零两个条件,缺一不可.

分式的乘除

例4：化简11

122

-÷-x x 的结果是 （ ） Ａ．12-x Ｂ．122

-x Ｃ．12

+x Ｄ．()12+x

【解析】根据分式除法法则，先变成乘法，再把分子、分母因式分解，约分，得到正确答案C 【答案】C

【点评】分式的混合你算是近些年中考重点考查的对象，特别是化简求值题，在教学中加以针对性训练。本题属于简单题型。

例5：先化简，后计算：， 其中a ＝－3．

【解析】先将各分式的分子、分母分解因式，再进行分式乘除法混合运算，后代入计算．

【答案】原式＝

91

9)3(2)3()9)(9(2

+?-+?++-a a a a a a ＝32

+a

当33-=a 时，原式＝33

2

【点评】本题主要考察分式乘除法混合运算，注意解答的规范化，是基础题．

例6：化简代数式x x x 2122+-÷x x 1

-，并判断当x 满足不等式???->-<+6

)1(212x x 时该代数式的符号.

解析：先将分式化简，再解不等式组，在不等式的解集中选使分式有意义的数代入求值．

答案：原式=x x x 212

2+-÷x x 1-=)2()1)(1(+-+x x x x 31-x x =21

++x x

解不等组得：-3

在规定的范围内选取符合条件的x 值即可（答案不唯一）

点评：本题考察分式的化简求值，解不等式组结合同时选取使分式有意义的值.

例7：下列计算错误的是( )

A ．

B ．

C ．

D ． 【解析】A ．不正确．由分式的基本型分式的分子分母同时乘以10后应为：0.22100.7710a b a b

a b a b ++=

--；B ．正确，

分式的分子分母同时约去最简公因式即可得出结论；Ｃ正确，互为相反数的商为－１,；Ｄ．正确，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减． 【答案】Ａ

【点评】本题考查了分式的基本性质、约分和分式的加减．分式的基本性质：分式的分子分母同乘以或除以同一个不为０的数或整式，分式的值不变．约分：约去分式中的分子或分母分式的值不变．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．

例8：化简111--

x x ，可得（ ）

A. x x -21

B. x x --2

1

C. x x x -+212

D. x x x --212

【解析】先通分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式 ． c c c 321=+y x y

x y x =3

2231-=--a b b

a b a b a b a b a -+=-+727.02.0

例9：化简x x

x x -+

-112的结果是（ ） A.x +1 B. x -1 C.—x D. x

6. 解析：本题是分式的加法运算，分式的加减，首先看分母是否相同，同分母的分式加减，分母不变，分子相加减，如果分母不同，先通分，后加减，本题分母互为相反数，可以化成同分母的分式加减．

解答：解：x

x x x x x x x x x x =--=--=---=1)1(11122 故选D ．

点评：分式的一些知识可以类比着分数的知识学习，分式的基本性质是关键，掌握了分式的基本性质，可以利用

它进行通分、约分，在进行分式运算时根据法则，一定要将结果化成最简分式．

例10：计算：=

-+-x x x 525

52 .

【解析】根据分式的加减法法则计算即可．

【答案】2225255)(5)

=55555x x x x x x x x x --++==+----（，答案为：x+5

【点评】本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加

减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．

例11：化简：2

2(

)22

4m m m

m m m -÷+--= 。 【解析】把括号里的分式通分化为同分母分式的运算，再把除法变为乘法，为了便于约分，能分解因式的要先分

解因式.2

2()22

4m m m m m m -÷+--= 22(2)(2)4(2)(2)m m m m m m m m --+-?+- =26m m

m -=m-6.

【答案】m-6.

【点评】本题考查了分式的运算.先把括号里的分式通分并运算，把除法变成乘法.分式运算的一般步骤是：先计算乘方，再计算乘除，后计算加减，有括号内的先计算括号内的，同级运算自左向右依次运算.

例12：计算：÷

??? ?

?-+4412a 2-a a . 解析：÷??? ?

?-+4412a 24-a =÷

???? ??-+--4444222

a a a 2-a a =22)2)(2(2+=-?-+a a

a a a a a . 答案：2+a a

.

点评:本题是一道分式的化简计算，运算顺序，先算括号，再算乘除，最后算加减.

例13：已知三个数x ，y ，z 满足xy x y +＝－2，yz y z +＝43，zx

z x +＝－43．则xyz xy yz zx ++的值为 . 【解析】由xy x y +＝－2，得x y xy +＝－12，裂项得1y ＋1x ＝－12．同理1z ＋1y ＝43，1x ＋1z ＝－4

3．所以，1y ＋1x ＋1z ＋1y ＋1x ＋1z ＝－12＋43－43＝－12，1z ＋1x ＋1y ＝－14．于是xy yz zx xyz ++＝1z ＋1x ＋1y ＝－1

4，所

以xyz

xy yz zx ++＝－4．

【答案】－4 【点评】此题取材于八年级数学教师用书分式全章后的拓展资源，具有一定的难度，属于技能考查．学生要想顺利解答此题，必须熟练掌握分式中的反比、裂项这两种变形技巧．

例14：化简：12)1

111(

2

-÷--+x x x 【分析】把括号里的分式通分并进行分式的加减运算，再把分式的除法转变成乘法运算， 然

后约分即可

【解析】（1）解：原式=

21)1111(2-?--+x x x =

1112

----x x x 21

2-?x = -1 【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式运算顺序是做此题的关键。分式的混合运算在考试中很

容易出现错误，原因可能是分式运算顺序不清楚，可能是没有注意运算技巧、也可能是运算时没有注意符号变换等。

例15：化简（1+1

m ）÷22

121m m m --+

【解析】首先把括号里因式进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，分母是多项式的要先因式分解，进行约分化简，

【答案】原式=21(1)(1)(1)m m m

m m +-?+-1m m -=

【点评】本题主要考查分式的化简，注意除法要统一为乘法运算；以及符号的处理等。

例16：化简：

2

2(1)b a a b a b -

÷+-

解析：本题中的1可以看成分母为1的“分式”，运算时要注意运算顺序，先算括号里面的。

答案：原式=()()a b a b a b b a b a +-+-?

+=()()a b a b a a b a +-?+=a b -

点评：分式运算的结果要化成最简分式或整式，分式约分前要先分解因式。

例17：计算代数式ac bc

a b a b -

--的值，其中1a =，2b =，3c =．

【解析】一看是同分母的分式相加减，得到b a bc ac --，分子再提一个公因式c 得到b a c

b a --)(

约分之后得到结果是：c ，把 3c = 代入得到原式=3。

【答案】．解：b a bc

b a a

c --

- =b a bc ac -- =b a c b a --)(

=c

当1=a 、2=b 、3=c 时，

原式=3

(直接代入计算正确给满分)

【点评】本题考查考生对于同分母分式的减法，提公因式并约分的应用，形式简洁，而又能考查多个知识点，很有代表性的一题。 例18：计算：a2-4

a+2

+a+2

【解析】首先把分子分解因式，再约分，合并同类项即可． 【答案】原式=（a+2）(a-2)

a+2

+a+2

=a-2+a-2 =2a

【点评】此题主要考查了分式的加减法，关键是掌握计算方法，做题时先注意观察，找准方法再计算． 例19：先化简21

11x x x +

--，再选取一个你喜欢的数代入求值.

【解析】先首先通分，化简成同分母分式加法运算，然后根据分式的性质进行约分化简，最后代值计算． 【答案】解：

2211

111x x x x x -+---＝ ＝x ＋1 代入求值(除x=1外的任何实数都可以)

【点评】本题考查了分式的化简求值．关键是利用分式的加减法则，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，最后进行约分，将分式化简，代值计算．代值时，注意x 的取值不能使原式的分母为0．

例20：计算：2

111a a a a -++-

解析：对于分式的加法运算，对于能化简的分式，一般要先化简，后在进行计算。

2

点评：本题考查了分式的加、减运算。一般可先通分，再加减，最后化为最简分式即可；但对于有些可以化简的项，先化简再通分运算，可以简化计算。

例21：化简x x

x x -+

-112的结果是（ ） A.x +1 B. x -1 C.—x D. x

解析：本题是分式的加法运算，分式的加减，首先看分母是否相同，同分母的分式加减，分母不变，分子相加减，如果分母不同，先通分，后加减，本题分母互为相反数，可以化成同分母的分式加减．

解答：解：x x x x x x x x x x x =--=--=---=1)1(11122 故选D ．

点评：分式的一些知识可以类比着分数的知识学习，分式的基本性质是关键，掌握了分式的基本性质，可以利用

它进行通分、约分，在进行分式运算时根据法则，一定要将结果化成最简分式． 例22：先化简21

11x x x +

--，再选取一个你喜欢的数代入求值.

【解析】先首先通分，化简成同分母分式加法运算，然后根据分式的性质进行约分化简，最后代值计算． 【答案】解：

2211

111x x x x x -+---＝ ＝x ＋1

代入求值(除x=1外的任何实数都可以)

【点评】本题考查了分式的化简求值．关键是利用分式的加减法则，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，最后进行约分，将分式化简，代值计算．代值时，注意x 的取值不能使原式的分母为0．

例23：计算：2

111a a a a -++-

解析：对于分式的加法运算，对于能化简的分式，一般要先化简，后在进行计算。

答案：原式=2-11-+-1+1+=+===1

+1(+1)(-1)(+1)(+1)(+1)(-1)(+1)a a a a a a a a a a a a a a a

点评：本题考查了分式的加、减运算。一般可先通分，再加减，最后化为最简分式即可；但对于有些可以化简的项，先化简再通分运算，可以简化计算。

二．分式的混合运算

例1：1－a a a a

a 21

12

2+-÷-． 【解析】将分式的分子、分母因式分解，除法化为乘法，约分，再计算，所以，原式=1-1(2)(1)(1)a a a a a a -+?+-=11a -

+ 【答案】1

1a -

+

【点评】本题综合考查了异分母分式的减法、除法及运用公式法进行分解因式等知识．

例2：化简2-a

2-a 41a ÷+

）（的结果是（ ）

A.a a 2+

B.2+a a

C.a a 2-

D. 2-a a 【解析】除法变乘法，应用分配律得，

2-a a )2-a 4(1÷+

= a 2

-a )2-a 4(1?+=

+?a 2-a 1a 2-a 2-a 4?

=a 2a +. 【答案】选A.

【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键，属于基础题．

例3：已知：115

a b +=（a ≠b ），求()()a b b a b a a b ---的值。

【解析】分式通分，把分式化简后，根据分式加法的逆用即可转化为已知式。

【答案】解：()()a b b a b a a b ---=22()a b a b ab a b ab -+=-=115b a ab ab a b +=+=。

【点评】本题考查了分式的化简求值，注意也可用两头向中间凑的方式求代数式的值。

例4：已知：31x =+，31y =-，求22

22

2x xy y x y -+-的值．

【解析】对于此类求代数式的值，正确的方法是先化简，再代入数据．化简时分子和分母分别运用完全平方公式

和平方差公式分解因式，再约分．

解：原式 =2

()()()x y x y x y --+ ……（2分） =x y

x y -+ ． ………（4分）

当31x =

+，31y =-时，原式=2

13323

3

=

=

．………（6分） 【点评】本题综合考查了分式的化简求值及二次根式的运算，此题设计较好，同时考查了分式和二次根式两个重

要知识点．

例5：先化简，再求值：

11)1111(

-÷

--+a a a , 其中a ＝12-.

【解析】11)1111(-÷

--+a a a =)1()1)(1()1(1(-?-++--a a a a a =12+-a ，代入a ＝12-得12+-a =2-。 【答案】解：11)1111(-÷

--+a a a =)1()1)(1()1(1(-?-++--a a a a a =12

+-a ，

代入a ＝

12-得12+-a =2-。所以11

)1111(-÷

--+a a a =2-。

【点评】此题考查整式的乘除法运算。本题易错点有两点，1、是分配率使用时，不能够使用彻底，出现漏乘现

例6：先化简，再求值：

22

3252224x x x x x +??+÷ ?-+-??，其中x=63。 解析：把括号中通分后，利用同分母分式的减法法则计算，同时将除式的分子分解因式后，再利用除以一个数等

于乘以这个数的倒数把除法运算化为乘法运算，约分后得到最简结果，然后选择一个x 的值代入化简后的式子中，即可求出原式的值．

答案：

3(2)2(2)(2)(2)521

(2)(2)(52)(52)x x x x x x x x x x x x ++-+-+=

?==

-+++原式

当

36=

x 时，则原式=2

6

633

61==。

点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找出最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，化简求值题要将原式化为最简分式后，再代入x 的取值计算。 例7：化简2-a

2-a 41a ÷+

）（的结果是（ ）

A.a a 2+

B.2+a a

C.a a 2-

D. 2-a a 【解析】除法变乘法，应用分配律得，

2-a a )2-a 4(1÷+

= a 2

-a )2-a 4(1?+=

+?a 2-a 1a 2-a 2-a 4?

=a 2a +. 【答案】选A.

【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键，属于基础题．

例8：已知：115

a b +=（a ≠b ），求()()a b b a b a a b ---的值。

【解析】分式通分，把分式化简后，根据分式加法的逆用即可转化为已知式。

【答案】解：()()a b b a b a a b ---=22()a b a b ab a b ab -+=-=115

b a ab ab a b +=+=。

【点评】本题考查了分式的化简求值，注意也可用两头向中间凑的方式求代数式的值。 例9：分式方程2x ＝5

3x +的解是___________．

【解析】直接去分母，得2(x ＋3)＝5x ，解得x ＝2．经检验x ＝2是原方程的解． 【答案】x ＝2

【点评】解分式方程，应先去分母，将分式方程转化为整式方程求解．注意求得整式方程的解后，要进行验根．

例10：化简：2211

(1).

a a

a a --÷+ 解析：先将括号里面的通分并将分子、分母分解因式，然后将除法转换成乘法，约分化简．

答案：解:原式

1(1)(1)(1)a a a a a a -+-=

÷+ 1(1)

a a a -+=

?

1=-．

点评：考查分式的混合运算：要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．

例11：先化简，再求代数式的值 222(

)111a a a a a ++÷

++-，其中2012(1)tan 60a =-+?

【解析】先把括号内的分式进行通过，然后利用分式的乘法进行化简，把a 的值根据乘方和特殊角的三角函数值

进行化简，然后代入.

【答案】原式

2(1)(2)1313

(1)(1)(1)(1)1a a a a a a a a a a a a -++++=

?=?=

+-+--．------3分

当a ＝2012

(1)-+tan60°= 1+3时，----------5分

原式33

=3

1+313=

=-．------6分

【点评】对于化简求值的问题，一定先化简，然后再进行代入求值.

例12：先化简，再求值：222

b a a ab --÷(a ＋22ab b a +) (1a ＋1

b )，其中ａ＝2＋3，b ＝2－3．

【解析】先对222

b a a ab --进行因式分解和约分，对a ＋22ab b a +进行通分和因式分解，对1a ＋1

b 进行通分，然后计

算，最后代入求值．

【答案】解：原式＝()()()b a b a a a b +--22

()a a b +2a b

ab +＝－1ab ．

当ａ＝2＋3，b ＝2－3时，

原式＝1

(23)(23)-+-＝22

1

(2)(3)--＝1．

【点评】解答此类问题需要注意：1.分子分母是多项式的，能分解因式要先分解因式，除法要化为乘法．2.分式

的混合运算顺序与分数的加、减、乘、除混合运算顺序一样．此题是先算括号里面的，再从左至右进行运算．3.要注意将结果化为最简分式，再代入求值．有少数学生是没有对分式进行化简就代入求值，增加计算难度，并且违背题意．

例13：先化简，再求值：

21(1)(2)x x x ++÷+，其中3

2x =-

【解析】将括号里通分，除法化为乘法，因式分解，约分，再代值计算．

【答案】21(1)(2)x x x ++÷+=

2

2

21(1)(1)(1)1x x x x

x x x x x +++÷=+?=++ 33

223

-

-

==

【点评】本题考查了分式的通分的方法，及因式分解，化简后再将值代入并求值。

例14：化简的结果是 ．

【解析】解：

?+

=?+

=

+ =．

故答案为：．

【答案】

【点评】本题主要考查了分式的混合运算，解决本题的关键是：①熟练常见因式分解的方法；②熟练分式混合运算的步骤：先乘除、再加减、有括号的先进行括号运算．③最后注意运算结果化为最简分式或整式.难度较小．

例14：先化简，后求值：

1)111(2

-÷-+

x x x ，其中x =-4．

【解析】按照运算顺序，先算括号内异分母分式的加法，把分式的除法变成分式的乘法，约分后得到1+x

【答案】解：原式=)1)(1(1

11-+÷

-+-x x x

x x （2分） =x x x x x )

1)(1(1-+?

- （4分）

=1+x （5分） 当x =-4时，原式=1+x =-4+1 （6分）

=-3 （7分）

【点评】本题考查的是分式化简，应注意以下两点：①分子、分母能因式分解先因式分解，便于约分和通分；②严格按照运算顺序做题．难度中等。

例15：化简：22a b b a b a b a b a b --??÷ ?+-+?

?-． 【解析】先做括号里的方式减法，再做分式的除法.

【答案】解：原式=

(2)()()()()2a b a b b a b a b

a b a b a b ---++?

+-- 222

=224()(2)a ab

a b a b ---

=2(2)

()(2)a a b a b a b ---

=2a

a b -．

【点评】本题考查分式加减乘除运算，加减关键是通分，乘除的关键是约分.难度中等.

例16：化简：a

a a

a a ÷---)112(

解析：可以先算括号里的，再进行乘除运算.

解：原式=a a a a ÷--12=11

11-=

?-a a a a .

点评：本题考查了分式运算，注意运算顺序、与运算技能. 例17：先化简，后求值： 211()(3)31a a a a +---- ，其中a ＝2＋1． 【解析】本题考察了分式的混合计算，要求先化简后求值。

原式＝()()()311131-???????-++--a a a a a =()31131-??

?????---a a a ＝

311a a ---＝21a - 当a ＝2＋1时，原式＝2

211+-＝2

【答案】2

1a -；当a ＝2＋1时原式＝2.

【点评】本题考察了分式的混合计算，关键是理清运算顺序，认真计算。另，应注意“先化简，后求值”.

例18：先化简，再求值：432112

--÷??? ?

?--a a a ，其中3-=a 【解析】432112

--÷??? ??

--a a a =

??? ??--÷??? ??----4321222a a a a a =43232--÷--a a a a =()()232223+=--+?--a a a a a a

当3-=a 时，原式=1232-=+-=+a 【答案】2+a ，1-

【点评】本题考察了分式的混合运算及求值。计算时，应按照先乘方运算，后乘除运算，最后算加减，有括号应

先算括号内的运算。在计算时，先化简后求值.

例19：先化简22

444

()2x x x x x x -+÷--，然后从55x -<<的范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值.

解析：先将第一个分式的分子、分母分解因式，后面括号内的通分后，变除法为乘法，然后再约分.

解：原式=2

2(2)4(2)

x x x x x --÷

- =2

(2)(2)(2)(2)x x x x x x -?

-+-

=1

2x +

∵55x -<<，且x 为整数，∴若使分式有意义，x 只能取-1和1.

当x =1时，原式=1

3.

点评：分式的化简题对于分子、分母都是多项式的可以先分解因式，然后进行乘除时，看能否约分，加减法要化成同分母.一般都是先化简后求值.

例20：先化简，再求值：2

14

1326a a a -??+÷ ?--?

?；其中a ＝5。 【解析】先把分式的分子、分母进行因式分解，根据有理数的运算顺序，先算括号内的，再算除法。化简后，再

代入求值。

【答案】：原式＝

()()()23133322a a a a a a --??+? ?

--+-?? ＝()()()232322a a a a a --?-+-＝22a +

当a ＝5时，22a +＝252+＝27

【点评】本题是分式的化简求值题，先化简，再代入求值。但是化简时，可以先算括号内的，也可以利用分配率。方法的选取是本题简便计算的关键。难度中等。

例21：先化简：1224422

++÷--a a

a a ，再用一个你最喜欢的数代替a 计算结果.

【分析】分式的混合运算，是先将题目中能够分解因式的先分解因式，然后约分，按照先算乘除，再算加减.，

将分式化成最简分式，最后再选一个适合的a 值代入分式求值.

原式=a a a a a 22·

)2-)(2()2-2(+++1=a 1+1=a a 1+.

【点评】注意本题所选的a 值必须使原分式有意义且计算简单的值代入求值，即a 不能选±2、0.

例22：先化简，再求值：，其中，a=+1．

分析：将原式第二项第一个因式的分子利用完全公式分解因式，分母利用平方差公式分解因式，约分后再利用同

解答：解：+?

=

+?

=

+

=，

当a=+1时，原式==．

点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分，此外化简求值题要先将原式化为最简时再代值．

例23：先化简代数式

22321(1)24a a a a -+-÷

+-，再从-2,2,0三个数中选一个恰当的数作为a 的值代入求值. 分析：先把括号内通分化简，再把括号外分式的分子和分母因式分解，约分得原式的最简分式，考虑到分式的分

母不能为零，将a=0代入计算即可．

解答：（2）

2

1(2)(2)

=

2(1)a a a a a -+-?+-原式

21a a -=

-

22

211a a --=

==--当a=0时，原式

点评：本题考查了分式的化简求值：先把括号内通分，再把括号外分式的分子或分母因式分解，然后约分得到最

简分式或整式，再把满足条件的字母的值代入计算即可．

例24：先化简再求值

21121222+-

--÷+++x x

x x x x x ，其中x=23-。 【解析】根据分式的混合运算顺序：先乘除，后加减，有括号先算括号里面的.本题先将分式的分子、分母分别

因式分解，然后将分式的分子、分母同时约去分子、分母的公因式，再将除法转化成乘法，约分，最后根据同分母加法法则计算。

【答案】

21121222+---÷+++x x x x x x x 21)1)(1(2)1(2+-

--+÷++=x x

x x x x x 2)1(2)1(2+-+÷++=x x

x x x 1)1(2-?+=x x

221+-

++=

x x

x x 21+=

x

当x=23-时，原式

2231

+-=

=33

.

【点评】本题综合地考查了因式分解、分式的运算及简单的二次根式的化简知识，考查的知识点多，但难度不大．解答此类问题分子分母若是多项式，应先分解因式，如果有公因式，应先进行约分.考生在解题时，只要胆大心细，就会轻松地进行求解．

例25：先化简，再求代数式2

112

()x x x

x x x +++÷+的值，其中x= cos30°+12 【解析】本题考查分式的混合运算、特殊角三角函数值.代数式的化简顺序可以先计算括号内的再进行除法运算，

也可以先将除法转化为乘法，根据乘法分配律进行计算.无论采用哪种运算顺序，首先都要将除式中的分母因式分解.

【答案】解：原式=x x 11++32)1(++x x x =x x 2+32)1(++x x x =x+1, ∵x=3COS30°+21

=3323+21=2，

∴原式= x+1=3.

【点评】分式的化简运算是中考中计算题的重点内容之一，本题考查分式的运算，分式的混合运算：先乘方，再乘除，最后加减，如有括号，先算括号内的。在进行分式的各种运算时：（1）对于分子、分母中的多项式能因式分解的，应先进行因式分解。（2）分式运算的结果通常要化成最简分式和整式.

例26：化简分式（﹣）÷，并从﹣1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x 代入求值．

解析： 先将括号内的分式通分，再按照分式的除法法则，将除法转化为乘法进行计算．

答案：

解：原式=×

=×

=，

由于当x=﹣1或x=1时，分式的分母为0， 故取x 的值时，不可取x=﹣1或x=1， 不妨取x=2， 此时原式=

=．

点评： 本题考查了分式的化简求值，答案此题不仅要熟悉分式的除法法则，还要熟悉因式分解等内容．

例27：先化简，再求值：

21(1)(2)x x x ++÷+，其中3

2x =-

【解析】分式的通分，因式分解。

【答案】21(1)(2)x x x ++÷+=

2

2

21(1)(1)(1)1x x x x

x x x x x +++÷=+?=++ 将32x =-代入，原式=33

223

31122-

-

==-+-

【点评】本题考查了分式的通分的方法，及因式分解，化简后再将值代入并求值。

例28：已知,a b =-=32，求代数式a ab b a b a b ++??+÷ ?+??22

112的值

【解析】：考查代数式的化简与求值。主要考查分式的通分、分解因式、分式的约分及常见的分级运算

【解答】：

()()()()a ab b b

a a

b a b a b a b a b ab ab a b ab a b ab +++++????+÷=+?=?= ? ?+++????22

221121， 将,a b =-=32代入上式：ab ==-

-?111

32

6 【点评】：注意异分母通分，关键是确定其最简公分母。本题先化简再求值以大大减小计算量。

例29：化简22112111x x x

x x x x ??--+÷ ?

-++-??的结果是 .

【解析】先做括号内的运.

=()()()()()22

211111114142111111111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ??-+??---+--??+÷=-÷=-÷=?=?? ? ?-++-+--+--++??-??????

【答案】41x +

【点评】考查分式加减乘除混合运算，要注意运算顺序和符号变化，要细心.难度中等. 例30：先化简，再求值：（1x －1x ＋1 ）·x x2＋2x ＋1(x ＋1)2－(x －1)2 ，其中x=1

2 .

【解析】原式=1x(x+1) ·x x2+2x+14x =1x(x+1) ·x|x+1|

4x

由于x+1≠0，当x+1＞0时，原式=1x(x+1) ·x （x+1）4x =14x ，x+1＜0时原式=－14x ，而当x=1

2

时，x+1＞0，∴当x=12 时，原式=14×12 =1

2

【答案】1

2

例31：计算： (1)22-20120+(-6)÷3； (2) 21x x -·

1x

x ++(3x+1)． 【解析】（1）本题要分清运算顺序，先乘方和实数的除法计算出来，再进行加减运算，注意(2012)0=1；（2）本

题需先把分式的分子x2-1因式分解为(x+1)(x-1)，分子分母进行约分，再进行实数的加减法运算，即可． 【答案】（1）解：22-20120+(-6)÷3 =4-1+(-6)÷3 =4-1-2 =1．

（2）解：21x x -·

1x

x ++(3x+1) =(1)(1)x x x -+·

1x

x ++3x+1 =x-1+3x+1

=4x ．

【点评】本题（1）考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键一般是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．（2）本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键，属于基础题，解题时还要注意运算顺序．

例32：先化简，再求值：2

1(1)1x x x x x ??-÷+ ?--??，其中2=x .

【解析】先化简括号内的2

11x x x x ---,再进行分式的除法. 【答案】解: 21(1)1x x x x x ??-÷+ ?--??＝()21111x x x x -?-+＝1x

.

当2=x 时,原式＝1

2＝22.

【点评】本题考查分式的化简求值.解题时注意化简的顺序.

例33：先化简，再求值：39

631122-+÷

+---+x x x x x x x ，其中2=x 解析：先算除法，再算乘法．将分式因式分解后约分，然后进行通分，最后代入数值计算．

解答：解：原式=

=-+÷---+3)1()3(3112

x x x x x x )1(3

3311+-?---+x x x x x x ==+++)1(11x x x x =+++)1(11x x x

x x 1.

点评：本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解及分式的除法是解题的关键．

例34：化简求值：211

(

)(1)

11x x x +?-+- ，其中：

12x = 【解析】一看是异分母的分式相加减，得到11

(1)(1)x x x x -+++-，后项利用平方差公式得到(1)(1)x x +-约分之后得到

结果是：112x x x -++=，把

1

2x =

代入得到原式=1。

【答案】解：211(

)(1)

11x x x +?-+-

211

(

)(1)

(1)(1)(1)(1)x x x x x x x -+=+?-+-+-

11

(1)(1)

(1)(1)x x x x x x -++=

?+-+-

11x x =-++ 2x = 当

12x =

时

原式

122=?

1= 【点评】本题考查考生对于异分母分式的加法，平方差公式的应用，形式简洁，结构完美而又能考查多个知识点，达到检测考生对知识的掌握情况，很有代表性的一题。难度适中。

例35：先化简，再求值：

624)373(+-÷

+-

-a a a a ，其中1-=a

解析：先将括号内分式进行通分，再按照分式的乘除法则进行化简、计算。

答案：解：原式=)3(24

3

162+-÷

+-a a a a =

4)

3(23)4)(4(-+?

+-+a a a a a =2（a +4）

=2a +8

当a=-1时，原式=23(-1)+8=6

点评：本题通过分式的混合运算、化简与求值，考查学生对代数式的变形、化简、求值的代数运算能力。

例36：先化简，再求值：,111122

--+÷-x x

x x x 其中x=2tan45°

【答案】解：原式=()()11112+?

-+x x x x -11

-x =12-x x -11

-x =1-x x

当x=2tan45°=2时，原式=2

【点评】本题考查的是实分式混合运算的法则．

例37：先化简，再求代数式212312+-÷

??? ??

+-x x x 的值,其中x 是不等式组???<+>-812,02x x 的整数解．

【解析】先对分式进行化简，然后求不等式的整数解，代入化简后的式子求值。

【答案】原式=122(1)(1)x x x x x -+·++-11x =+，解不等式组???<+>-812,02x x 得

722x <<，因为x 是整数，所以3x =，当3x =时，原式=1

4.

【点评】考查了分式的运算及不等式组的解法。

例38：先化简：??? ??+-111x ÷12

-x x ，再请你选择一个合适的数作为x 的值代入求值.

【解析】先把括号里的项通分相减，再将分式除法转化为分式乘法解答即可．

【答案】原式=211111x x x x x +-??-? ?

++??=(1)(1)1x x x x x +-?+=x-1,令x=2，原式=1.（答案不唯一，只要x ≠0且x

≠±1即可）．

【点评】此题考查了分式的化简求值，将分子分母因式分解，再将除法转化为乘法是解题的关键，求值时字母的取值应使分式有意义。

例39：先化简，再求值：1441312-+-÷??? ??

--+x x x x x ，其中x 满足方程：062

=-+x x

【解析】分式，因式分解

【答案】

1441312-+-÷

??? ??

--+x x x x x

=22131()11(2)x x x x x ---?---

222

411(2)(2)(2)11(2)22242412x x x x x x x x x x x x x x --=?

---+-=?

--+=

--+=

-=+

-

062=-+x x

(x+3)(x –2)=0

x1=2

，x2=–3

当x=2时，分式无意义；当x=–3时，原式=1

5

【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．

例40：甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x 千米/小时，依题意列方程正确的是

A ．30x ＝4015x -

B ．3015x -＝40x

C ．30x ＝4015x +

D ．30

15x +＝40x

【解析】先根据“乙车每小时比甲车多行驶15千米”，用含x 的式子表示乙车的速度为(x ＋15) 千米/小时，然后

根据“时间＝路程÷速度”，再用含x 的式子表示甲、乙两车的行驶时间分别为30x 和40

15x +，最后根据“甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同”列出方程即可． 【答案】C

【点评】题意中x 与15之间是相加的关系，而非x －15，读题过程中，可以将未知数代入理解．

例41：分式方程10060

2020v v =

+-的解是（ ）

A ．v=-20

B ．v=5

C ．v=-5

D ．v=20

解析：原方程去分母，得100-5v=60+3v ，移项并合并同类项得8v=40，解得v=5。经检验是原方程的解。 答案：B 点评：本题主要考查了分式方程的解法，关键是找到最简公分母去分母，注意解出未知数的值后，不要忘记检验，这是同学们最容易出错的地方。

例42：分式方程3121x x =

- 的解为（ ）

A ．1x =

B ．2x =

C ．3x =

D ．4x =

解析：解分式方程的一般步骤是：去分母，将其转化为整式方程，然后解这个整式方程，最后检验整式方程的根是不是增根。本题中，去分母，得

()312x x

-=，解这个整式方程，得3x =，经检验3x =是原方程的根。

答案：选C 。

点评：本题还可以用代人法解，即将选项A 、B 、C 、D 分别代人原方程进行检验，使原方程有意义且成立的根

例43：分式方程x-2x+4 =1

2

的解是____

【解析】方程两边都乘以2（x+4）得2（x-2）=x+4,去括号，得2x-4=x+4解得x=8 【答案】x=8

【点评】本题考查用去分母法解分式方程，要注意检验.

例44：解方程：48

12

2

-=--x x x ． 【解析】观察可得最简公分母是（x ＋2）（x －2），方程两边乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．

【答案】原方程化为：

)2)(2(812-+=--x x x x ．

方程两边同时乘以)2)(2(-+x x ，得 8)2)(2()2(=-+-+x x x x ． 化简，得 842=+x ．解得 2=x ．

检验：2=x 时0)2)(2(=-+x x ，2=x 不是原分式方程的解，原分式方程无解．

【点评】本题主要考查了分式方程的解法．此题比较简单，注意转化思想的应用，解分式方程一定要验根．

例45：方程43-=0-2x x 的解为______________.

【解析】分式方程的解法：去分母得，4(2)30x x --=；去括号得，4830x x --=；移向合并同类型得，8x =。经检验8x =是分式方程的解。 【答案】8x =

【点评】本题主要考查分式方程的解法。注意易错几点：去分母易漏乘；去括号漏乘，当括号外是负号时易忘变

号；移向忘变号；解得结果没有代入经验，因为去分母时，未知数的范围扩大。

例46：解方程：2112-=

-x x

解析：这是一道分式方程题，可去分母，化为一元一次方程来解。

答案：解：去分母得：2x-4=x-1 移项合并得：x=3 经检验，x=3是原方程的解，所以原方程的解是x=3 点评：解分式方程一定要记住检验所求的值是不是原方程的解，分式方程有时会出现增根。

例47：把分式方程x x 1

42=

+转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以（ ）

A.x

B.2x

C.x+4

D.x （x+4） 【解析】：将分式方程转化为整式方程的关键是根据等式的基本性质，在等式的两边同乘以各个分式分母的最简公分母.

【答】案：D 【点评】：确定最简应从系数和字母两个方面：系数取各分母系数的最小公倍数；所有出现的字母都要取，相同字母取最高次幂.

分式经典题型分类练习题49496

第一讲 分式的运算 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件 【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2） 4 2||2--x x （3） 6 53222----x x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 【例4】（1）当x 为何值时，分式 x -84 为正； （2）当x 为何值时，分式2 ) 1(35-+-x x 为负； （3）当x 为何值时，分式 3 2 +-x x 为非负数. 练习： 1．当x 取何值时，下列分式有意义： （1） 3 ||61 -x （2） 1 )1(32++-x x （3） x 111+ 2．当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4 |1|5+--x x （2） 5 6252 2+--x x x 3．解下列不等式 （1） 01 2 ||≤+-x x （2） 03 252 >+++x x x （二）分式的基本性质及有关题型

1．分式的基本性质：M B M A M B M A B A ÷÷=??= 2．分式的变号法则： b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x y x 4 1313221+- （2） b a b a +-04.003.02.0 题型二：分数的系数变号 【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）y x y x --+- （2）b a a --- （3）b a --- 题型三：化简求值题 【例3】已知：511=+y x ，求y xy x y xy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y x 1 1+. 【例4】已知：21=- x x ，求2 21 x x +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求 y x 241 -的值. 练习： 1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数. （1） y x y x 5.008.02.003.0+- （2）b a b a 10 141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1 242 ++x x x 的值. 3．已知： 311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的值. 4．若0106222=+-++b b a a ，求b a b a 532+-的值. 5．如果21<

新人教版八年级数学分式典型例题(供参考)

分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义： 例：下列式子中，y x +15、8a 2 b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、 y x +3、m a 1 +中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . ⑴275x x -+； ⑵ 123 x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹22 2xy x y +. （2）下列式子，哪些是分式？ 5a -； 234x +；3 y y ； 78x π+；2x xy x y +-；145b -+. 2、分式有，无意义，总有意义： 例1：当x 时，分式 51 -x 有意义； 例2：分式x x -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义。 例4：当x 时，分式1 2+x x 有意义 例5：x ，y 满足关系 时，分式 x y x y -+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ． 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x - 例7：使分式2 +x x 有意义的x 的取值范围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2

分式及分式方程精典练习题分析

分式及分式方程精典练习题 一、填空题： ⒈当x 时，分式1 223+-x x 有意义；当x 时，分式x x --112的值等于零. ⒉分式ab c 32、bc a 3、ac b 25的最简公分母是 ； ⒊化简：2 42--x x ＝ . ⒋当x 、y 满足关系式________时， )(2)(5y x x y --=－25 ⒌化简=-+-a b b b a a . ⒍分式方程3 13-=+-x m x x 有增根，则m ＝ . ⒎若121-x 与)4(3 1+x 互为倒数，则x= . ⒏某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树口棵。实际每小时植树的棵数是原计划的1．2倍，那么实际比原计划提前了 小时完成任务 9、已知关于x 的方程32 2=-+x m x 的解是正数，则m 的取值范围为_____________． 二、选择题： ⒈下列约分正确的是( ) A 、326x x x = B 、0=++y x y x C 、x xy x y x 12=++ D 、2 14222=y x xy ⒉用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．230y y +-= B ．2310y y -+= C ．2310y y -+= D ．2310y y --= ⒊下列分式中，计算正确的是( ) A 、32)(3)(2+=+++a c b a c b B 、b a b a b a +=++122 C 、1)()(22 -=+-b a b a D 、x y y x xy y x -=---1222 ⒋下列各式中，从左到右的变形正确的是( ) A 、y x y x y x y x ---=--+- B 、y x y x y x y x +-=--+-

15.3分式方程例题与讲解(2013-2014学年新人教版七年级上)

15.3 分式方程 1．分式方程的概念 分母中含未知数的方程叫做分式方程． 谈重点 分式方程与整式方程的区别 从分式方程的定义可以看出分式方程有两个重要特征：一是方程；二是分母中含未知数．因此整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含未知数． 【例1】 下列方程：①x －35＝1，②3x ＝2，③1＋x 5＋x ＝12 ，④x 2＋2x ＝5.其中是分式方程的有( )． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②③④ 解析：根据分式方程的定义知②③④是分式方程，故选D. 答案：D 2.分式方程的解法 (1)解分式方程的基本思路： 分式方程――→去分母 转化 整式方程． (2)解分式方程的一般方法和步骤： ①去分母：即在方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程； ②解这个整式方程； ③验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原方程的根，使最简公分母等于0的根不是原方程的根，必须舍去． (3)对分式方程解法的理解： ①解分式方程的基本思想是转化，即把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程从而确定分式方程的解； ②将分式方程转化为整式方程时，是将分式方程两边同乘最简公分母，当所乘的整式不为零时，所得整式方程与原分式方程同解；当所乘整式为零时，所求出的未知数的值就不是原分式方程的解； ③在解分式方程时，方程两边约去含有未知数的公因式时，若该公因式的值为零，会造成原方程失根，所以在解分式方程时，两边不能同时除以含有未知数的公因式； ④验根的方法：代入原分式方程，看左右两边是否相等，但这种方法较麻烦，直接代入最简公分母验根较为简捷． 解技巧 分式方程验根的方法 把解得的未知数的值代入最简公分母较为简捷，但是不能检查解方程的过程中出现的计算错误，我们可以采用另一种验根的方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法可以检查解方程时有无计算错误． 【例2】 解下列方程： (1)7x 2＋x ＋3x 2－x ＝6x 2－1；

9.3《分式方程》典型例题精析

9.3 分式方程 1．了解分式方程的意义，掌握解分式方程的一般步骤．了解解分式方程验根的必要性． 2．能熟练地解可化为一元一次方程的分式方程，并验根． 3．掌握列分式方程解应用题的基本步骤． 4．能熟练地应用分式方程的数学模型来解决现实情境中的问题．

1．分式方程的概念 (1)分母中含有未知数的方程叫做分式方程． (2)分式方程有两个重要特征：一是方程；二是分母中含有未知数．因此整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含有未知数．例如x ＋1x ＝2，5y ＝7y －2，1x －2＝x 2 2－x 等都是分式方程，而x 2－2x ＋1＝0，2x ＋33＝x －12，x ＋a b －x －b a ＝2(x 是未知数)等都是整式方程，而不是分式方程． 【例1】下列方程中，分式方程有( )． (1)x ＋1π＝3；(2)1x ＝2； (3)2x ＋54＋x 3＝12；(4)2x －2＝1x ＋1 . A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 解析：对于方程(1)，因为π是常数，所以该方程不是分式方程，是整式方程；方程(3)中的分母不含字母，所以不是分式方程．方程 (2)(4)符合分式方程的概念，都是分式方程． 答案：B 2．分式方程的解法 (1)把分式方程转化为整式方程，然后通过解整式方程，进一步求得分式方程的解，这是解分式方程的关键．本章中，解分式方程都是把分式方程转化为一元一次方程，通过解一元一次方程求解分式方程．分式方程的解题思路如下图：

(2)解可化为一元一次方程的分式方程的一般步骤是： ①去分母，即在方程的两边乘以最简公分母，把原方程化为整式方程． ②解这个整式方程． ③验根：把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的根即为增根，应舍去． (1)增根能使最简公分母等 于0；(2)增根是去分母后所得的整式方程的根． 以上步骤可简记为“一去(去分母)、二解(解整式方程)、三检验(检查求出的根是否是增根)”． 【例2】解分式方程：(1)x x －2＋6x ＋2 ＝1； (2)7x 2＋x －3x －x 2＝6x 2－1 . 分析：(1)中方程的最简公分母是(x －2)(x ＋2)；(2)中方程的最

初二数学分式方程练习题(含答案)

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 分式方程精华练习题（含答案） 1.在下列方程中，关于x 的分式方程的个数（a 为常数）有（ ） ①0432212=+-x x ②.4=a x ③.;4=x a ④.;1392=+-x x ⑤;62 1 =+x ⑥ 21 1=-+-a x a x . A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2. 关于x 的分式方程 15 m x =-，下列说法正确的是（ ） A ．方程的解是5x m =+ B ．5m >-时，方程的解是正数 C ．5m <-时，方程的解为负数 D ．无法确定 3.方程x x x -=++-13 15112 的根是（ ） A.x =1 B.x =-1 C.x =8 3 D.x =2 4.,04412=+-x x 那么x 2的值是（ ） A.2 B.1 C.-2 D.-1 5.下列分式方程去分母后所得结果正确的是（ ） A. 11211-++=-x x x 去分母得，1)2)(1(1-+-=+x x x ； B.125552=-+-x x x ，去分母得，525-=+x x ； C.242222-=-+-+-x x x x x x ，去分母得，)2(2)2(2 +=+--x x x x ； D. ,1 1 32-=+x x 去分母得，23)1(+=-x x ； 6. .赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完.当他读了一半书时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x 页，则下面所列方程中，正确的是( ) A. 21 140 140-+x x =14 B. 21 280 280++x x =14

分式的基本性质-经典例题及答案

讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期： 【考纲说明】 掌握分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行约分和通分，本部分在中考中通常会以选择题的形式出现，占3--4分。 【趣味链接】 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，3小时后相遇. 尔后两人都用原来速度继续前进，结果甲达到B地比乙达到A地早1小时21分.已知甲每小时比乙多走1千米，求甲、乙两人的速度。 【知识梳理】 分式 1.分式的概念：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式.其中，A叫分式的分子，B叫分式的分母. 2.分式有意义的条件：因为两式相除的除式不能为零，即分式的分母不能为零，所以，分式有意义的条件是：分式的分母必须不等于零，即B≠0，分式有意义.

3．分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可. 有理式 有理式的分类：有理式 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示为：（其中M≠0） 约分和通分 1．分式的约分：把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫约分. 2．分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分. 最简分式与最简公分母： 约分后，分式的分子与分母不再有公因式，我们称这样的分式为最简分式.取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 【经典例题】 【例1】不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ） A．10 B．9 C．45 D．90 【例2】下列等式：①=-;②=;③=-; ④=-中,成立的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【例3】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（? ） A． B． C． D． 【例4】分式，，，中是最简分式的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

分式方程例题讲

15.3 分式方程 1．分式方程的概念 分母中含未知数的方程叫做分式方程． 谈重点 分式方程与整式方程的区别 从分式方程的定义可以看出分式方程有两个重要特征：一是方程；二是分母中含未知数．因此整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含未知数． 【例1】 下列方程：①x －35＝1，②3x ＝2，③1＋x 5＋x ＝12 ，④x 2＋2x ＝5.其中是分式方程的有( )． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②③④ 2.分式方程的解法 (1)解分式方程的基本思路： 分式方程――→去分母转化整式方程． (2)解分式方程的一般方法和步骤： ①去分母：即在方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程； ②解这个整式方程； ③验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原方程的根，使最简公分母等于0的根不是原方程的根，必须舍去． (3)对分式方程解法的理解： ①解分式方程的基本思想是转化，即把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程从而确定分式方程的解； ②将分式方程转化为整式方程时，是将分式方程两边同乘最简公分母，当所乘的整式不为零时，所得整式方程与原分式方程同解；当所乘整式为零时，所求出的未知数的值就不是原分式方程的解； ③在解分式方程时，方程两边约去含有未知数的公因式时，若该公因式的值为零，会造成原方程失根，所以在解分式方程时，两边不能同时除以含有未知数的公因式； ④验根的方法：代入原分式方程，看左右两边是否相等，但这种方法较麻烦，直接代入最简公分母验根较为简捷． 解技巧 分式方程验根的方法 把解得的未知数的值代入最简公分母较为简捷，但是不能检查解方程的过程中出现的计算错误，我们可以采用另一种验根的方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法可以检查解方程时有无计算错误． 【例2】 解下列方程： (1)7x 2＋x ＋3x 2－x ＝6x 2－1； (2)x 2x －5－1＝55－2x .

(完整版)初二数学分式方程经典应用题(含答案)

分式方程应用题 1、温（州）--福（州）铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计从福州直达温州的 火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01小时）． 2、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为 售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 4、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成总量的三分之一， 这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（ ） Ａ．6天 Ｂ．4天 Ｃ．3天 Ｄ．2天 5、炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空调，两队同时开工 且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A ．66602x x =- B ．66602x x =- C ．66602x x =+ D ．66602x x =+ 6、张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书 所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量． 7、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg 和1500kg ，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第 二块少300kg ，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设一块试验田每亩收获蔬菜x kg ，根据题意，可得方程（ ） A ．9001500300x x =+ B ．9001500300 x x =- C ．9001500300x x =+ D ．9001500300x x =- 8、进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记 者与驻军工程指挥官的一段对话: 通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.

初中数学分式方程典型例题讲解

第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法: b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如 A B (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义

八年级数学经典练习题(分式及分式方程)汇总

一、选择题 1. （广东珠海）若分式 b a a ＋2的a 、b 的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值 （ ） A ．是原来的20倍 B ．是原来的10倍 C ． 是原来的10 1 倍 D ．不变 2. 计算-22+（-2）2-（- 12）-1的正确结果是（ ） A 、2 B 、-2 C 、6 D 、10 3. （四川遂宁）下列分式是最简分式的（ ） Ａ． a 22 B ． a 2 C ． 2 2b a + D ． 2 22ab a - 5.（丽江）计算10 ()(12 -+= ． 6. （江苏徐州）0132--= ． 7. （江苏镇江常州）计算：－(－ 12)＝ ；︱－12︱＝ ； 01()2-= ；11 ()2 --= ． 8. （云南保山）计算101 ()(12 -+= . 9. （北京）计算：?-++?--)2(2730cos 2)2 1(1π． 10. 计算：|-3|+20110×2-1． 11. （重庆江津区）下列式子是分式的是（ ） A 、 2 x B 、 1x x + C 、2x y + D 、x π 12. （四川眉山）化简m m n m n -÷-2)(的结果是（ ） A ．﹣m ﹣1 B ．﹣m+1 C ．﹣mn+m D ．﹣mn ﹣n 13．（南充）若分式1 2 x x -+的值为零，则x 的值是（ ） A 、0 B 、1 C 、﹣1 D 、﹣2

14. （四川遂宁）下列分式是最简分式的（ ） Ａ． b a a 232 B ． a a a 32- C ． 2 2b a b a ++ D ． 2 22b a ab a -- 15. （浙江丽水）计算111 a a a - --的结果为（ ） A 、 1 1 a a +- B 、1 a a - C 、﹣1 D 、2 17. （天津）若分式21 1 x x -+的值为0，则x 的值等于 ． 18. （郴州）当x= 时，分式 的值为0． 20. （北京）若分式 x 的值为0，则x 的值等于 ． 21. （福建省漳州市）分式方程 2 11 x =+的解是（ ） A 、﹣1 B 、0 C 、1 D 、3 2 22. （黑龙江省黑河）分式方程 11x x --= ()() 12m x x -+有增根，则m 的值为（ ） A 、0和3 B 、1 C 、1和﹣2 D 、3 23. （新疆建设兵团）方程2x ＋1 1－x ＝4的解为 ． 24. （天水）如图，点A 、B 在数轴上，它们所对应的数分别是﹣4与 22 35 x x +-，且点A 、B 到原点的距离相等．则x = ． 25. （海南）方程 2 +x x ＝3的解是 ． （2）解分式方程一定注意要验根． 26. （湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田）化简)2()24 2( 2+÷-+-m m m m 的结果是 A ．0 B ．1 C ．—1 D ．（m ＋2）2

解分式方程试题(中考经典计算)

解分式方程试题(中考经典计算)

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[键入文字] 一．解答题（共30小题） 1．（2011?自贡）解方程：． 2．（2011?孝感）解关于的方程：．3．（2011?咸宁）解方程．4．（2011?乌鲁木齐）解方程：=+1．5．（2011?威海）解方程：．6．（2011?潼南县）解分式方程：．7．（2011?台州）解方程：． 8．（2011?随州）解方程：． 9．（2011?陕西）解分式方程：．10．（2011?綦江县）解方程：． 11．（2011?攀枝花）解方程：．12．（2011?宁夏）解方程：．13．（2011?茂名）解分式方程：．

14．（2011?昆明）解方程：． 15．（2011?菏泽）（1）解方程： （2）解不等式组． 16．（2011?大连）解方程：． 17．（2011?常州）①解分式方程； ②解不等式组． 18．（2011?巴中）解方程：． 19．（2011?巴彦淖尔）（1）计算：|﹣2|+（+1）0﹣（）﹣1+tan60°；（2）解分式方程：=+1． 20．（2010?遵义）解方程： 21．（2010?重庆）解方程：+=1 22．（2010?孝感）解方程：． 23．（2010?西宁）解分式方程： 24．（2010?恩施州）解方程： 25．（2009?乌鲁木齐）解方程： 26．（2009?聊城）解方程：+=1

27．（2009?南昌）解方程： 28．（2009?南平）解方程： 29．（2008?昆明）解方程： 30．（2007?孝感）解分式方程：．

培优专题分式方程培优提高经典例题

分式方程专题 例1：去分母法解分式方程 1、 ()()113116=---+x x x 2、2 2416222-+=--+-x x x x x 3、22412212362x x x x x x x -+++=++--- 4、64534275--+--=--+--x x x x x x x x 例2：整体换元与倒数型换元： 1、用换元法解分式方程：（1） 6151=+++x x x x （2）12221--=+--x x x x 变式练习： （11上海）用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．230y y +-= B ．2310y y -+= C ．2310y y -+= D ．2310y y --= 例3：分式方程的（增）根的意义 1、 若分式方程： 024122=+-+-x x a 有增根，求a 的值。 2、关于x 的分式方程131=---x x a x 无解，则a=_________。 变式练习：当m 为 时，分式方程 ()01163=-+--+x x m x x x 有根。

例4一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货物量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别运2a 次、a 次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180t ；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270t ． 问：⑴乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍； ⑵现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？(按每运1t 付运费20元计算) 课堂总练习 1关于x 的分式方程 1131=-+-x x m 的解为正数，则m 的取值范围是 2．关于x 的方程 223242mx x x x +=--+会产生增根，则m 为____________ 3．若关于x 的方程 2111 x m x x ++=--产生增根，则 m ＝____________； 4．k 取何值时，方程x x k x x x x +=+-+211 2会产生增根？ 5.当a 为何值时，关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解？

初中数学分式方程典型例题讲解

a c=ac,b a c= a p a0=1形如 A 【例1】下列代数式中：x1 x-y ，是分式的有：.π2 x-y,a+b , x+y , （1）x-4 x+4 （2） x2+2 （3） x2-1 （4）|x|-3 （5） a=“ ± . a±ac=bc±da(a≠0,c≠0); 第十六章分式知识点和典型例习题 3.分式的乘法与除法:b ? d bd a÷ c d= b d bd ? ac 【知识网络】 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m●a n=a m+n;a m÷a n=a m－n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m=a m b n,(a m) n= 7.负指数幂:a-p=1 a mn 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:b c b±c(a≠0) a a 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： B(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中A叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 1 a-b x2-y2x+y , 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x有何值时，下列分式有意义 3x26-x1 x-1 x 2.异分母加减法则:b d bc c=ac± da ac题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义

分式方程典型例题

三人行教育陈老师教案——分式方程典型例题 题型一:解分式方程, 解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须检验. 例1.解方程(1) 2223-=---x x x (2) 11 4 112=---+x x x 专练一、解分式方程 （1）14-x ＝1； （2）3 5 13+=+x x ； （3） 30120021200=--x x （4）255 522-++x x x =1 (5) 2124111x x x +=+--. (6) 222746 1x x x x x +=+-- （7）11322x x x -+=--- (8)512552x x x =--- 题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程两边同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生不适合原分式方程的根,这种根通常称为增根. 例2、 若方程x x x --=+-34 731有增根,则增根为 . 例3．若关于x 的方程3 1 3292-=++-x x x m 有增根, 则增根是多少?产生增根的m 值又是多少? 专练习二： 1.若方程 33 23-+=-x x x 有增根,则增根为 . 2.当m 为何值时,解方程115122-=-++x m x x 会产生增根?

题型三:分式方程无解①转化成整式方程来解,产生了增根;②转化的整式方程无解. 例4、 若方程x m x x -=--223无解,求m 的值. 思考:已知关于x 的方程 m x m x =-+3 无解,求m 的值. 题型四:解含有字母的分式方程时,注意字母的限制. 例5、.若关于x 的方程 81=+x ax 的解为41 =x ,则a = 例6、.关于x 的方程 12 -=-+x m x 的解大于零, 求m 的取值范围. 注:解的正负情况:先化为整式方程,求整式方程的解 ①若解为正???>去掉增根正的解0x ;②若解为负? ??<去掉增根负的解0 x 解： 专练三： 1.若分式方程 5 2 )1()(2-=--x a a x 的解为3=x ,则a = . 3.已知关于x 的方程3 23-=--x m x x 解为正数,求m 的取值范围. 4.若方程k x x +=+233有负数根,求k 的取值范围. .

分式方程及其应用的典型例题讲解学习

分式方程及其应用 一、知识点回顾： 1、分式方程的定义： 。 例如：下列方程：（1）31-x =5（2）x 1=14-x （3）π32-x =x-1（4）),(1为常数b a b a x = 其中属于分式方程的有 2、分式方程的增根：使得原分式方程的分母为零，所以解分式方程必须 。 3、解分式方程的基本步骤可以归纳为： 、 、 、 、 。 二．范例 1．当x =______时， 13x x ++的值等于13 ． 2．当x =______时，424x x --的值与54 x x --的值相等． 3．若方程212 x a x +=--的解是最小的正整数，则a 的值为________． 4．下列关于x 的方程，是分式方程的是 （ ） A .23356x x ++-= B .137x x a -=-+ C .x a b x a b a b -=- D .2 (1)11 x x -=- 5．若3 x 与6 1x -互为相反数，则x 的值为 （ ） A . 13 B .－13 C .1 D .－1 6．若关于x 的方程2233 x m x x -=+--无解，则m 的值为___________． 7．解分式方程13132x x x +-=，去分母后所得的方程是 （ ） A .12(31)3x -+= B .12(31)2x x -+= C .12(31)6x x -+= D .1626x x -+= 8．解方程： （1） 623-=x x ； （2）12x -+ 3 =12x x --．

（3） 1121-=---x x x x ． （4）1 613122-=-++x x x ； 9．已知关于x 的方程 2122x m x x -=--的解为正数，求m 的取值范围． 10. 解含有字母系数m 的分式方程 2233x m x x -=+-- 11. 若分式方程 223242 mx x x x +=--+有增根，试求m 的值． 12. 甲、乙两打字员，甲每分钟打字数比乙少10个．两人分别打同一份搞件，结果乙完成所需的时间是甲的 56 ，那么甲、乙两人每分钟打字数分别是多少？

方程与不等式之分式方程经典测试题含答案解析

方程与不等式之分式方程经典测试题含答案解析 一、选择题 1．已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（） A．4050 12 x x = - B． 4050 12 x x = - C． 4050 12 x x = + D． 4050 12 x x = + 【答案】B 【解析】 试题解析：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x-12）千米/小时， 由题意得， 4050 12 x x = - ． 故选B． 2．若关于x的分式方程 2 33 x m x x - = -- 有增根，则m的值是（） A．1-B．1 C．2 D．3【答案】B 【解析】 【分析】 根据分式方程的增根的定义得出x-3=0，再进行判断即可． 【详解】 去分母得：x-2=m， ∴x=2+m ∵分式方程 2 33 x m x x - = -- 有增根， ∴x-3=0， ∴x= 3， ∴2+m=3， 所以m=1， 故选：B． 【点睛】 本题考查了对分式方程的增根的定义的理解和运用，能根据题意得出方程x-3=0是解此题的关键，题目比较典型，难度不大． 3．“母亲节”当天，某花店主打“康乃馨花束”，上午销售额为3000元，下午因市场需求量增大，店家将该花束单价提高30元，且下午比上午多售出40束，销售额为7200元，设该花束上午单价为每束x元，则可列方程为（）

A ．30007200 4030 x x -=+ B ．72003000 4030x x -=+ C ． 72003000 4030x x -=+ D ． 30007200 4030x x -=+ 【答案】C 【解析】 【分析】 设该花束上午单价为每束x 元，则下午单价为每束（x+30）元，根据数量=总价÷单价，结合下午比上午多售出40束，即可得出关于x 的分式方程，此题得解． 【详解】 设该花束上午单价为每束x 元，则下午单价为每束(x+30)元，依题意，得： 72003000 4030x x -=+ 故选：C 【点睛】 本题考查了列分式方程解决实际问题，审题是基础，难点是找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系，关键是设未知数和用未知数的代数式表示有关的未知量． 4．方程221 11 x x x x -=-+的解是（ ） A ．x ＝ 12 B ．x ＝ 15 C ．x ＝ 14 D ．x ＝ 14 【答案】B 【解析】 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】 解：去分母得：2x 2+2x ＝2x 2﹣3x+1， 解得：x ＝ 15 ， 经检验x ＝1 5 是分式方程的解， 故选B ． 【点睛】 此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 5．甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是

分式的化简求值经典练习题(带答案)

分式的化简 一、比例的性质： ⑴比例的基本性质：a c ad bc b d =?=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=?? 交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c =?= ⑷合比性：a c a b c d b d b d ±±=?=，推广：a c a kb c kd b d b d ±±=?=（k 为任意实数） ⑸等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b +++=+++（...0b d n +++≠） 二、基本运算 分式的乘法：a c a c b d b d ??=? 分式的除法：a c a d a d b d b c b c ?÷=?=? ( 乘方：()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=?=?个 个 n 个 ＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数) ⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1 n n a a -= (0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 】 知识点睛中考要求

分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c c c +±= 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±±=±= ， 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 结果以最简形式存在. 一、分式的化简求值 【例1】 先化简再求值： 2 11 1x x x ---，其中2x = 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2010年，湖南郴州 ） 【解析】原式()()111x x x x x =---()11 1x x x x -==- 当2x =时，原式11 2x == 【答案】1 2 【例2】 已知：22 21()111 a a a a a a a ---÷?-++，其中3a = 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】22 222 1(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷ ?=-=--++- 【答案】4- 【例3】 ！ 【例4】 先化简，再求值： 22144 (1)1a a a a a -+-÷ --，其中1a =- 【考点】分式的化简求值 例题精讲

分式方程典型易错点及典型例题分析

分式方程典型易错点及典型例题分析 一、错用分式得基本性质 例１化简 错解:原式 分析:分式得基本性质就是“分式得分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零得整式,分式得值不变”,而此题分子乘以3,分母乘以2,违反了分式得基本性质. 正解:原式 二、错在颠倒运算顺序 例2计算 错解:原式 分析:乘除就是同一级运算,除在前应先做除,上述错解颠倒了运算顺序,致使结果出现错误、 正解:原式 三、错在约分 例1 当为何值时,分式有意义? ［错解]原式。 由得、 ∴时,分式有意义、 ［解析］上述解法错在约分这一步,由于约去了分子、分母得公因式,扩大了未知数得取值范围,而导致错误。 ［正解］由得且。 ∴当且,分式有意义、 四、错在以偏概全 例2 为何值时,分式有意义? ［错解]当,得、 ∴当,原分式有意义. ［解析］上述解法中只考虑得分母,没有注意整个分母,犯了以偏概全得错误。 ［正解］,得, 由,得. ∴当且时,原分式有意义、 五、错在计算去分母 例3 计算、 [错解]原式 =。 ［解析］上述解法把分式通分与解方程混淆了,分式计算就是等值代换,不能去分母,、[正解］原式 。 六、错在只考虑分子没有顾及分母 例4 当为何值时,分式得值为零. ［错解］由,得。 ∴当或时,原分式得值为零。 ［解析］当时,分式得分母,分式无意义,谈不上有值存在,出错得原因就是忽视了分母不能为零得条件。

［正解］由由,得. 由,得且。 ∴当时,原分式得值为零. 典例分析 类型一:分式及其基本性质? 1、当x为任意实数时,下列分式一定有意义得就是()? A、Ｂ、C、Ｄ. ２。若分式得值等于零,则ｘ=＿___＿__;3 ?、求分式得最简公分母。 【变式１】(１)已知分式得值就是零,那么x得值就是( ) A。-1B、0 C.1D、±１?(2)当x_＿______时,分式没有意义、?【变式２】下列各式从左到右得变形正确得就是()? A、 B. C. D. 类型二:分式得运算技巧 (一) 通分约分 ４、化简分式: 【变式１】顺次相加法计算: 【变式2】整体通分法计算: (二)裂项或拆项或分组运算?５。巧用裂项法 计算: 【变式1】分组通分法 计算: 【变式2】巧用拆项法计算: 类型三:条件分式求值得常用技巧 6.参数法已知,.?【变式1】整体代入法已知,求得值. 【变式2】倒数法:在求代数式得值时,有时出现条件或所求分式不易变形,但当分式得分子、分母颠倒后,变形就非常得容易,这样得问题适合通常采用倒数法.?已知:,求得值.?【变式3】主元法:当已知条件为两个三元一次方程,而所求得分式得分子与分母就是齐次式时,通常我们把三元瞧作两元,即把其中一元瞧作已知数来表示其它两元,代入分式求出分式得值、?已知:,求得值. 类型四:解分式方程得方法 解分式方程得基本思想就是去分母,课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母得去分母得方法,现再介绍几种灵活去分母得技巧. (一)与异分母相关得分式方程7 ?、解方程=?【变式１】换元法解方程: 8。解方程 (二)与同分母相关得分式方程? 【变式1】解方程【变式２】解方程?类型五:分式(方程)得应用 ９.甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖。甲进货得策略就是:每次买１000元钱得糖;乙进货得策略就是每次买100０斤糖,最近她俩同去买进了两次价格不同得糖,问两人中谁得平均价格低一些? 【变式１】甲开汽车,乙骑自行车,从相距18０千米得A地同时出发到B、若汽车得速度