用向量方法解立体几何的的题目
用向量方法求空间角和距离
前言：
在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1.求空间角问题
空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；（平面和平面所成的角）二面角．
（１）求异面直线所成的角
设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos ||||||
a b
a b
（２）求线面角
设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin |
|||||
l n
l n
（３）求二面角
a l ⊥，在β内
b l ⊥，其方向如图，则二
方法一：在α内
面角l αβ--的平面角α=arccos
||||
a b
a b 方法二：设12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角
α=12
12arccos
||||
n n n n
2.求空间距离问题
构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离
方法一：设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到
α的距离||
|||cos |||
AB n d AB n θ==
方法二：设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ．
（２）求异面直线的距离
方法一：找平面β使b β?且a β，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离．
a 、
b 分别为异面直线a 、b 的方向
法二：在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设
向量,求n （n a ⊥，n b ⊥），则
异面直线a 、b 的距离
||
|||cos |||
AB n d AB n θ==
（此方法移植于点面距离的求法）． 例１．如图，在棱长为２的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是
棱1111,A D A B 的中点．
（Ⅰ）求异面直线1DE FC 与所成的角； （II ）求1BC 和面EFBD 所成的角； （III ）求1B 到面EFBD 的距离
解：（Ⅰ）记异面直线1DE FC 与所成的角为α，
则α等于向量1DE FC 与的夹角或其补角，
（II ）如图建立空间坐标系D xyz -，
(1,0,2)DE =，(2,2,0)DB =
则EFBD 的法向量为(,,1)n x y = 由
设
面0
DE n DB n ??=??
?=?? 得(2,2,1)n =- 又1(2,0,2)BC =- 记1BC 和面EFBD 所成的角为θ 则 1112
sin |cos ,||
|2||||
BC n BC n BC n θ?=??== ∴ 1BC 和面EFBD 所成的角为
4
π． （III ）点1B 到面EFBD 的距离ｄ等于
11
||||111111cos ||
()()
||
||||
2
22
||,arccos 5
555DE FC
DE FC DD D E FB B C DE FC αα∴=++=-==∴=
向量1BB 在面EFBD 的法向量上的投影的绝对值，
1||||
BB n d n ∴=
=2
3 点评：
1.作为本专题的例１，首先选择以一个容易建立空间直角坐标系的多面体―正方体为载体， 来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解．
2.解决(1)后，可让学生进一步求这两条异面直线的距离，并让学生体会一下：如果用传统方法恐怕很难（不必多讲，高考对公垂线的作法不作要求）．
3.完成这３道小题后，总结：对于易建立空间直角坐标系的立几题，无论求角、距离还是证明平行、垂直（是前者的特殊情况），都可用向量方法来解决，向量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧．
例2．如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形
B B A A '' 是矩形，。
平面平面ABCD B B A A ⊥'' （Ⅰ）若A A '＝１，求直线AB 到面'
DAC 的距离．
（II ） 试问：当A A '的长度为多少时，二面角 A C A D -'-的大小为？
60 解：（Ⅰ）如图建立空间坐标系A xyz -， 则 '(1,0,)DA a =- (0,1,0)DC =
设面'
DAC 的法向量为1(,,1)n x y = 则'1100
DA n DC n ??=???=??
得1(,0,1)n a =
直线AB 到面'DAC 的距离ｄ就等于点Ａ到面'
DAC 的距离，
也等于向量AD 在面'DAC 的法向量上的投影的绝对值，
11||2
2||
AD n d n ∴=
= （II ）易得面'
AAC 的法向量2(1,1,0)n =-
∴向量12,n n 的夹角为60
由12122121
cos ,2
||||12n n n n n n a ???=
==+? 得 1a =
∴ 当A A '＝１时，二面角A C A D -'-的大小为60．
点评：１．通过（Ⅰ），复习线面距离转化为点面距离再转化为一向量在一向量（法向量）投影的绝对值的解题思路与方法．
２．通过（II ），复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补，就没有其他情况．
例3．正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱1AA 上任意一点． （Ⅰ）求证： 直线1B P 不可能与平面11ACC A 垂直； （II ）当11BC B P ⊥时，求二面角11C B P C --的大小． 证明：（Ⅰ）如图建立空间坐标系O xyz -，设AP a = 则1,,,A C B P 的坐标分别为(0,1,0),(0,1,0),(3,0,2)(0,1,)a --
1(0,2,0),(3,1,2)AC B P a ∴==--- 120AC B P =-≠，1B P ∴不垂直AC
∴直线1B P 不可能与平面11ACC A 垂直．
（II ）1(,2)BC =-，由11BC B P ⊥，得110BC B P = 即22(2)0a +-= 1a ∴= 又11BC B C ⊥ 11BC CB P ∴⊥面
∴
1(,2)BC =-是面1CB P 的法向量
设面11C B P 的法向量为(1,,
)n y z =，由1110
B P n B
C n ??=???=??
得(1,3,n =-,设二面角11C B P C --的大小为α 则11
6
cos 4||||
BC n BC n α=
= ∴二面角11C B P C --的大小为arccos
4
． 点评：１．前面选择的两个题，可有现成的坐标轴，但本题ｘ、ｚ轴需要自己添加（也可不这样建立）．
２．第（１）小题是证明题，同样可用向量方法解答，是特殊情况；本小题也可证明这条直线与这个面的法向量不平行．
例4（安徽卷）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4
ABC π
∠=
,
OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点
（Ⅰ）证明：直线MN OCD
平面‖
；
（Ⅱ）求异面直线AB 与
MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B
到平面OCD 的距离。
解：作
AP CD ⊥于点P,如图
,分别以AB,AP,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系
(0,0,0),(1,0,0),((0,0,2),(0,0,1),(1A B P D O M N ,
(1)2222(1,,1),(0,,2),(MN OP OD =-
-=-=-
-设平面OCD 的法向量为(
,,)n x y
z =,则0,0n OP n OD ==
即
2022022
y z x y z -=????-+-=??取z =解得(0,n =
22
(1,,1)(0,4,2)0
MN n =-
-
=∵ MN OCD ∴平面‖
(2)设AB 与MD 所成的角为θ,(1,0,0),(1)AB MD ==-
-∵ 1cos ,2
3AB MD
AB MD π
θθ=
==
?∴∴ , AB 与MD 所成角的大小为3π
(3)设点B 到平面OCD 的距离为d ,则d 为OB 在向量(0,n =上的投影的绝对值, 由 (1,0,2)OB =-, 得23OB n d n
?=
=
.所以点B 到平面OCD 的距离为2
3
例5（福建?理?18题）如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点。
（Ⅰ）求证：AB 1⊥面A 1BD ；
（Ⅱ）求二面角A －A 1D －B 的大小； （Ⅲ）求点C 到平面A 1BD 的距离； 解：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．
在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AD ∴⊥平面11BCC B ．
取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，
1OO ，OA
则(100)B ，，，(110)D -，，，1(02A ，(00A ，1(12B ，1(12AB ∴=，，(210)BD =-，，，1(12BA =-．
12200AB BD =-++=，111430AB BA =-+-=，