三角形基础知识归纳总结
三角形基础知识归纳总结
一、知识归纳：
1、三角形的三边关系
任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 .
2、三角形的高、中线、角平分线
（1）三角形的高、中线、角平分线都是线段 .
（2）交点情况：
①三条高所在的直线交于一点：
三角形是锐角三角形时交点位于三角形的内部；
三角形是直角三角形时，交点位于直角三角形的直角顶点；
三角形是钝角三角形时，交点位于三角形的外部 .
三角形的高
②三角形的三条中线交于一点，交点位于三角形的内部，每条中线都把三角形分成面积相等的两个三角形 .
三角形的中线
③三角形的三条角平分线交于一点，交点位于三角形的内部 .
3、三角形的内角和
三角形内角和定理：任何三角形的内角和都等于180° .
三角形的三个内角
用数学符号表示为：在△ABC 中，∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° .
4、三角形的外角与内角的关系
（1）等量关系：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
三角形的外角和为360° .
（2）不等量关系：
三角形的一个外角大于任何与它不相邻的内角 .
5、多边形
多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的图形叫做多边形 .
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段 .
六边形
多边形对角线条数探索：
归纳总结：
（1）n 边形的内角和是（n - 2）180°，外角和是360°；正n 边形的每个内角是：
（2）从n 边形的一个顶点出发，可做( n - 3 )条对角线，把n 边形分成( n - 2 ) 三角形，所以n 边形的内角和是( n - 2 )180°；
一个n 边形一共有n ( n - 3 ) / 2条对角线( n ≥3 ) .
（3）如果一个角的两边分别平行于另一角的两边，则这两个角相等或互补；
如果一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等或互补.
二、习题练习
【三角形定义】
1．如图，图中直角三角形共有（C）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【三边关系】
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（B）
A．4cm，5cm，9cm
B．8cm，8cm，15cm
C．5cm，5cm，10cm
D．6cm，7cm，14cm
2．下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（C）
A．1，1，2
B．1，2，4
C．2，3，4
D．2，3，5
3．已知三角形两边的长分别是3 和7，则此三角形第三边的长可能是（C）A．1 B．2 C．8 D．11
4．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ B）
A．3，4，8
B．5，6，10
C．5，5，11
D．5，6，11
5．若长度分别为a，3，5 的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是（C ）A．1 B．2 C．3 D．8
6．下列长度的三条线段，能组成三角形的是( D )
A. 2 , 2 , 4
B. 5 , 6 , 12
C. 5 , 7 , 2
D. 6 , 8 , 10
7．已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为5．
8．已知a，b，c 是△ABC 的三边长，a，b 满足|a﹣7|+（b﹣1）2 = 0，c 为奇数，则c = 7．【三角形的内外角】
1、如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1 = 20°，则∠2 的度数是（ A）A．50°B．60°C．70°D．80°
2、如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1=（D）A．30°B．25°C．20°D．15°
3、如图，AB∥CD，∠D = 42°，∠CBA = 64°，则∠CBD 的度数是（C）
A．42°B．64°C．74°D．106°
4、如图，直线AD∥BC，若∠1 = 42°，∠BAC = 78°，则∠2 的度数为（C）
A．42°B．50°C．60°D．68°
5、如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D，过点D 作DE∥BC 交AC 于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE 的大小为（C）
A．44°B．40°C．39°D．38°
6．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在△ABC 外的A' 处，折痕为DE．
如果∠A = α，∠CEA′= β，∠BDA' = γ，那么下列式子中正确的是（A）
A．γ=2α+βB．γ=α+2βC．γ=α+βD．γ=180°﹣α﹣β
7．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，CE 平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD 等于（C）A．40°B．45°C．50°D．55°
8．将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（C）
A．45°B．60°C．75°D．85°
9、如图，点D 在△ABC 边AB 的延长线上，DE∥BC．若∠A = 35°，∠C = 24°，
则∠D 的度数是（B）
A．24°B．59°C．60°D．69°
10．如图，∠B = ∠C = 90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC，且∠ADC = 110°，
则∠MAB =（B）
A．30°B．35°C．45°D．60°
11．如图，墙上钉着三根木条a，b，c，量得∠1=70°，∠2=100°，那么木条a，b 所在直线所夹的锐角是（B ）
A．5°B．10°C．30°D．70°
12．已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 交于点D．若∠1 = 25°，则∠2 的度数为（ C）
A．60°B．65°C．70°D．75°
13、已知：如图，△ABC 是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
14．如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是BC 边上的中点，连结AD，BE 平分∠ABC 交AC 于点E，过点E 作EF∥BC 交AB 于点F．
（1）若∠C = 36°，求∠BAD 的度数．（答案：54°）
（2）若点E 在边AB 上，EF∥AC 交AD 的延长线于点F．求证：FB = FE．
【三角形的重要线段】
1．如图，在△ABC 中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC 的中线，则该线段是（B）
A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG
2．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE、BF 分别是∠BAC、∠ABC 的平分线，∠BAC = 50°，∠ABC = 60°，则∠EAD + ∠ACD =（ A ）
A．75°B．80°C．85°D．90°
3、若线段AM，AN 分别是△ABC 边上的高线和中线，则（D）
A. AM > AN
B. AM ≥AN
C. AM < AN
D. AM ≤AN
4．在Rt△ABC 中, ∠ACB=90°, ∠A=40°, △ABC 的外角∠CBD 的平分线BE交AC 的延长线于点E．
（1）求∠CBE 的度数；（答案：65°）
（2）过点D 作DF∥BE，交AC 的延长线于点F，求∠F 的度数．（答案：25°）
【三角形的稳定性】
1．下列图形具有稳定性的是（ A ）
【多边形】
1．如图，在五边形ABCDE 中，∠A + ∠B + ∠E = 300°，DP、CP 分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P=（C）
A．50°B．55°C．60°D．65°
2．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360 度．
3、通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2 条，那么该多边形的内角和是540度．
4．一个n 边形的每一个内角等于108°，那么n = 5 ．
5、若一个多边形的内角和是其外角和的3 倍，则这个多边形的边数是8 ．
6、五边形的内角和是 540°．
三角形及其性质(基础)知识讲解
三角形及其性质（基础）知识讲解 【学习目标】 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法． 2. 理解三角形内角和定理的证明方法； 3. 掌握并会把三角形按边和角分类 4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系． 5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法． 【要点梳理】 要点一、三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示． 要点二、三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点三、三角形的分类 1.按角分类： ?? ?? ?? ?? 直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类：
三角形有关的角知识点总结与随堂练(基础篇)
三角形有关的角知识点总结与随堂练（基础篇）知识点一：三角形内角和定理? 定理：三角形三个内角的和等于180°．? 注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角．? ②在三角形中，已知三个内角的比或它们之间的关系，求各内角．? ③三角形最多只有一个直角或者钝角，最少有两个锐角．? 知识点二：直角三角形的性质与判定 性质：直角三角形的两个锐角互余。? 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。 知识点三：三角形的外角? 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．? 性质：?①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．? ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．? 三角形的外角和为360度．?三角形的外角最少两个钝角 随堂练 一、选择题: 1.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )毛
A.锐角三角形 B.钝角三角形; C.直角三角形 D.钝角或直角三角形 2.下列说法正确的是( ) A.三角形的内角中最多有一个锐角; B.三角形的内角中最多有两个锐角 C.三角形的内角中最多有一个直角; D.三角形的内角都大于60° 3.已知三角形的一个内角是另一个内角的 ,是第三个内角的 ,则这个三角形各内角的度数分别为( ) A.60°,90°,75° B.48°,72°,60° C.48°,32°,38° D .40°,50°,90° 4.已知△ABC中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A的度数为( ) A.100° B.120° C.140° D.160° 5.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 6.设α,β,γ是某三角形的三个内角,则α+β,β+γ,α+γ 中 ( ) A.有两个锐角、一个钝角 B.有两个钝角、一个锐角 C.至少有两个钝角 D.三个都可能是锐角
测度论基础知识总结
测度论基础知识总结 1.集合论 1.1 集合与基本运算 ·概念：具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义）。中间含有的对象叫元素。 全集：要研究的问题涉及到的最大集合。 空集：没有任何元素的集合。 表达方法：{x（集合元素x）|x应该有的性质} ·元素与集合的关系：x A，x?A ·集合之间的关系 只有包含或者不包含 若对于任意元素x A，x B则A包含于B（证明就用这个方法），A是B的子集（A B 则为B的真子集） 包含的特殊情况相等：A=B就是A包含于B同时B包含于A 真子集：A包含于B但A B ·集合的运算 ①单个元素的幂集 对于一个集合X，它的幂集表示所有其子集为元素构成的集合。这种以集合为元素的集合，也叫集合族。 ②两个集合的运算 交：A B={x| x A且x B} 并：A B={x| x A或x B} 差：A\B（或写成A-B）={x| x A且x?B} 补：=U\A（U是问题要研究的全集） 于是有等式A\B=A 积：（直积）A×B={(x,y)| x A且y B }（把A、B中元素构成有序对） ③多个元素的运算 多个交表示所有以λ为角标的集合的并，要求λ，I称为指标集。 类似有多个并 注：可以是无穷个 【例】={x| x>}，A={x| x>0}，则A= ·集合的分析相关性质 ①上限集：一列集合{}，定义上限集为。类似于数列的上极限。
②下限集：一列集合{}，定义下限集为。类似于数列的下极限。 ③集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集）。 ④单调集合列：若始终有包含于，也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之， 若始终有，则为递减列。 若为递增列，则有极限=；若为递减列，则有=。 1.2映射 ·定义：X、Y是两个集合，对任意x X，存在唯一的y=f(x)Y与之对应，则对应法则f 为X到Y的一个映射，记为f:X→Y。 像集：对于X的一个子集A，像集{f(x)| x A}记为f(A)，显然包含于Y 原像集：对于Y的一个子集B，原像集{x| x记为 ·满射：f(X)=Y，即Y中所有元素都是像 单射：X中不同元素一定对应Y中不同的像 双射：既是单射又是满射。双射是一一对应的映射。 ·逆映射：对于双射，建立一种Y到X的双射，将像映射到原像上。记为:Y→X ·复合映射：f:X→Y，g:Y→Z，它们的复合g o f:X→Z，写成g(f(X)) ·函数，一个（n维实数向量）到R（实数）上的映射 ·性质（映射与交并运算顺序可交换性） 对于f:X→Y，X若干个子集，Y若干个子集 f(U)=Uf() = f()包含于（只有这一个不一定等于！！！） 不等于的例子：A={1} ，B={-1}，f(x)=|x|，则f(A B)f(A)f(B) = 用集合相等定义可证明。 1.3集合的势 ·对等：如果集合A和B之间可以建立双射，则A对等于B。记为A~B 性质：①A到B有单射→A与B子集对等 A到B有满射→B与A子集对等 ②A~B，B~C，则A~C（传递性） ③A~C，B~D，则A×B~C×D
最新初三数学三角形知识点总结归纳复习过程
三角形的定义 三角形是多边形中边数最少的一种。它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 三条线段不在同一条直线上的条件，如果三条线段在同一条直线上，我们认为三角形就不存在。另外三条线段必须首尾顺次相接，这说明三角形这个图形一定是封闭的。三角形中有三条边，三个角，三个顶点。 三角形中的主要线段 三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。 这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须明确三点： （1）三角形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。 （2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时，三条高都是在三角形内部，钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高在三角形的外部，直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。 （3）在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。在以后我们可以给出具体证明。今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，三条中线的交点叫做三角形的重心，三条高的交点叫做三角形的垂心。 三角形的按边分类 三角形的三条边，有的各不相等，有的有两条边相等，有的三条边都相等。所以三角形按的相等关系分类如下： 等边三角形是等腰三角形的一种特例。 判定三条边能否构成三角形的依据 △ABC的三边长分别是a、b、c，根据公理“连接两点的所有线中，线段最短”。可知： △③a+b＞c，①a+c＞b，②b+c＞a △定理：三角形任意两边的和大于第三边。 △由②、③得b―a＜c，且b―a＞―c △故|a―b|＜c，同理可得|b―c|＜a，|a―c|＜b。 从而得到推论： 三角形任意两边的差小于第三边。 上述定理和推论实际上是一个问题的两种叙述方法，定理包含了推论，推论也可以代替定理。另外，定理和推论是判定三条线段能否构成三角形的依据。如：三条线段的长分别是5、4、3便能构成三角形，而三条线段的长度分别是5、3、1，就不能构成三角形。 判定三条边能否构成三角形 对于某一条边来说，如一边a，只要满足|b-c|＜a＜b+c，则可构成三角形。这是因为|b-c|＜a，即b-c＜a，且b-c＞-a.也就是a+c＞b且a+b＞c，再加上b+c＞a，便满足任意两边之和大于第三边的条件。反过来，只要a、b、c三条线段满足能构成三角形的条件，则一定有|b-c|＜a＜b+c。 在特殊情况下，如果已知线段a最大，只要满足b+c>a就可判定a、b、c三条线段能够构成三角形。同时如果已知线段a最小，只要满足|b-c|＜a，就能判定三条线段a、b、c构成三角形。 证明三角形的内角和定理 除了课本上给出的证明方法外还有多种证法，这里再介绍两种证法的思路： 方法1 如图，过顶点A作DE‖BC，
三角形的初步认识知识点梳理
三角形的初步认识知识点梳理 考点一、判断三条线段能否组成三角形 考点二、求三角形的某一边长或周长的取值范围 考点三、判断一句话是否为命题，以及改成“如果……那么……”的形式 考点四、利用角平分线、垂线（90°角）、三角形的外角、内角和、全等三角形来计算角度考点五、利用垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形来计算线段长度 考点六、证明三角形全等，以及在三角形全等的基础之上进一步证明线段、角度之间的数量关系 考点七、画三角形的高线、中线、角平分线，以及基本图形的尺规作图法 考点八、方案设计题，求河宽等问题 例1、已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多少厘米 1、某一三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长的取值范围为（） A、10≤a＜16 B、10＜a≤16 C、10＜a＜16 D、2＜a＜8 2、能把一个三角形分成面积相等的两部分是三角形的（） A、中线 B、高线 C、角平分线 D、过一边的中点且和这条边垂直的直线 3、已知一个三角形的三条高的交点不在这个三角形的内部，则这个三角形（）
A. 必定是钝角三角形 B. 必定是直角三角形 C. 必定是锐角三角形 D. 不可能是锐角三角 4、△ABC的三个不相邻外角的比为2：3：4，则△ABC的三个内角的度数分别为。 例2、如图，已知△ABC中，BE和CD分别为∠ABC和∠ACB的平分线，且BD=CE，∠1=∠2。说明BE=CD的理由 3、已知AE，AD分别为△ABC中BC边上的中线和高线，且AB=7cm，AC=5cm，则△ACE 和△ABE的周长之差为多少厘米？△ACE和△ABE的面积之比为多少？ （【设计意图】本例主要考察了三角形中线、高线的性质，重在格式的书写上。） 如图，在某市效的空旷平地上有一个较大的土丘，经分析判断很可能是一座王储陵墓，请你应用所学的知识设计一种方案，能用尺量出不能达到的A、B两点的距离。（只要求说明设计方案和这种方案设计的根据，并画出草图，不要求数据计算）
外测度的性质与计算小结
外测度的性质与计算 The properties and calculation of the outer measure 姓名： 学号： 学院：数学与信息科学学院 专业：数学与应用数学 指导老师： 完成时间： 外测度的性质与计算 【摘要】Lebesgue外测度是Lebesgue积分的基础,本论文主要论述了它的一些性质及相关的计算.首先,给出了Lebesgue外测度的定义；接着,指出和证明了外测度具有的非负性、单调性、次可数可加性、距离可加性、平移不变性这五大主要性质；同时给出了外测度的介值定理和一些其他的性质,并讨论了在一般情况下,外测度不具备可数可加性；然后讨论了可数集的外测度的性质,着重写出可数
江西师范大学11届学士学位毕业论文 集的外测度具有可数可加性；最后是与外测度计算相关的一些例题.【关键词】Lebesgue外测度，次可数可加性，距离可加性。
The properties and calculation of the outside measure 【abstract 】Lebesgue outer measure is the base of lebesgue integral, this thesis mainly discusses some properties and its related calculation. At first, give the definition of Lebesgue outer measure; then pointed out and proved the outer measure has nonnegative, monotonicity and second countable additive property , distance additive property,translation invariant property ,the five main properties; It also gives the outer measure mean value theorem and some other properties, and discusses the properties under the meaning of general point sets, the outer measure does not have countable additive property. Then discussed the property of outer measure of countable set, and emphatically write that outer measure of countable set has count additive property. And the last is some examples about outer measure computation. 【keywords 】Lebesgue outer measure, Second countable additive property , Distance additive property
初中三角形知识点总结
图形的初步认识： 三角形 考点一、三角形 1、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 2、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。 4、三角形的面积 1×底×高 三角形的面积= 2 考点二、全等三角形
1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理： （1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”） （2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”） （3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。 （4）角角边定理：有两角和一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）。 直角三角形全等的判定： 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”） 3、全等变换 只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种： （1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 （2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。 （3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。 考点三、等腰三角形 1、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。 2、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 （1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
第二章 测度论的知识要点与复习自测
第二章 测度论的知识要点与复习自测 一、Lebesgue 外测度的知识要点： ◇ 熟练掌握Lebesgue 外测度的定义和外测度的基本性质（包括基本性质：非负性、单调性、次可数可加性；Lebesgue 外测度的特有性质：距离分离性）； ◇ 会用定义或性质求一些典型集合的外测度（例如：n R 中至多可数集，区间，Cantor （三分）集，黎曼可积函数（特别是连续函数）图象等的外测度）； ◇ 特别注意零测集的含义和性质【如n R 中的任何集合并上零测集或减去零测集外侧度不变；零测集的子集仍为零测集；至多可数个零测集的并集仍为零测集】。 自测题： 1、叙述n R 中Lebesgue 外侧度的定义及性质，并用定义和性质解决如下问题： （1）设n n Q R ?为有理点集，计算*n m Q 0=； （2）设n R E ?为至多可数集，计算* m 0E =； （3）设n ,R E F ?，* m 0E =，则()()***m m m \F E F F E ?==。 2、据理说明下面的结论是否成立：设n R E ?， （1）若E 为有界集，则* m E <+∞； （2）若* m E <+∞，则E 为有界集； （3）若*m E =+∞，则E 为无界集； （4）若E 为无界集，则* m E =+∞。 3、设n R I ?为区间，证明：*m I I =，其中I 表示I 的体积（注意I 分有界和无界 两种情况来证明）；并利用此结论和外侧度的性质再解决如下问题： （1）设1[0,1]R P ??为三分Cantor 集，则* m 0P =；（注意三分Cantor 集的构造） （2）设()f x 为定义在1[,]R a b ?上的黎曼可积函数， {}2()(,)(),[,]R p G f x y y f x x a b ==∈?， ()f x 在[,]a b 的图像，则*m ()0p G f =；（注意黎曼可积的充要条件的使用） （3）设n R E ?有内点，则* m 0E >； （4）（外侧度的介值性）设1 R E ?为有界集，*m 0E >，则对任意* 0m c E ≤≤，存在1E E ?，使得，*1m E c =；（注意构造适当的连续函数，利用连续函数的介值性） （5）（外侧度的介值性的一般形式）设1 R E ?，*m 0E >，则对任意* 0m c E ≤≤，存在1E E ?，使得，*1m E c =。（注意：此结论要用到后面的等测包定理和单调递增可测集列的测度性质） 二、Lebesgue 可测集的知识要点： ◇ 熟练掌握Lebesgue 可测集的卡氏定义（即C.Caratheodory 定义）及等价 条件（如：余集的可测性；对任意的A E ?和c B E ?，总有()*** m A B m A m B ?=+），会用定义或等价条件来证明一些点集的可测性（例如：零测集，区间等）； ◇ 熟练掌握可测集的并、交、差、余运算性质，并会熟练地运用这些性质来判断集合的可测性；
解三角形知识点及题型总结复习过程
基础强化（8）——解三角形 1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； ②. 三角形三边关系：a+b>c; a-b 一、三角形内角和定理 一、 选择题 1.如图，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点， ∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A 等于（ ） A ．60° B ．70° C ．80° D ．90° 2.将一副三角板按图中的方式叠放，则角α等于（ ）A ．75o B ．60o C ．45o D ． 30o 3.如图，直线m n ∥，?∠1=55，?∠2=45， 则∠3的度数为（ ） A ．80? B ．90? C ．100? D ．110? 【解析】选C. 如图，由三角形的外角性质得0001004555214=+=∠+∠=∠， 由m n ∥， 得010043=∠=∠ 5.（2009·新疆中考）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°， 则3∠的度数等于（ ） A ．50° B ．30° C ．20° D ．15° 【解析】选C 在原图上标注角4，所以∠4=∠2，因为∠2=50°，所以∠4=50°，又因为∠1=30°， 所以∠3=20°； 6.（2009·朝阳中考）如图，已知AB ∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C 等于（ ）. A.20° B. 35° C. 45° D.55° 【解析】选D 因为∠A=20°，∠E=35°，所以∠EFB ＝55o，又因为AB ∥CD,所以∠C ＝∠EFB ＝55o； 7.（2009·呼和浩特中考）已知△ABC 的一个外角为50°，则△ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形或锐角三角形 【解析】选B 因为△ABC 的一个外角为50°，所以与△ABC 的此外角相邻的内角等于130°，所以此三角形为钝角三角形. A B C D 40° 120° α 三角形的三线 一、定义 三角形三条中线的交点叫做三角形重心。三角形的中线平分三角形的面积。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 三角形三条高线的交点叫做三角形垂心。 三角形三条角平分线线的交点叫做三角形内心。 注意：三角形的中线，角平分线，高线均为线段 二、灵活运用 中线篇 1.如图7-11所示，在△ABC中，∠1=∠2，点G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F 为AB上一点，且CF⊥AD于点H，下列判断中正确的是( ) （1）AD是△ABE的角平分线；(2)BE是△ABD边AD上的中线；(3)CH是△ ACD边AD上的高. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.如图，BM是△ABC的中线，若AB=5 cm，BC=13cm，那么△BCM的周长与△ABM的周长差是多少? 3. 能把三角形的面积分成两个相等的三角形的线段是（ ） A ．中线B ．高C ．角平分线 D ．以上三种情况都正确 4. 如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，则这个三角形是__________ 5. 如图 ，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别为B C 、AD 、CE 的中点，且S △ABC =4c m 2 ，则S 阴 影=__________. 6. 如图，BD= 1 2 BC ，则BC 边上的中线为______，△ABD 的面积=_____的面积. 7. 在△ABC 中,D 是BC 上的点,且BD:DC=2:1,S △ACD =12,那么S △ABC 等于( ) A.30 B.36 C.72 D.24 8. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AD 的中点，S △ABC =4cm 2 ，求S △ABE ． 9. 探索在如图7-23至图7-25中，△ABC 的面积为a. (1)如图7-23，延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD=BC ，连接DA.若△ACD 的面积为S 1，则 S 1=__________(用含a 的代数式表示)； 图7-23 图7-24 图7-25 (2)如图7-24，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD=BC ，AE=CA ，连接DE. 若△DEC 的面积为S 2，则S 2=________(用含a 的代数式表示)，并写出理由； (3)在图7-25的基础上延长AB 到点F ，使BF=AB ，连接FD ，FE ，得到△DEF(如图7-25).若阴影 部分的面积为S 3,则S 3=__________(用含a 的代数式表示). （4）像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF(如图7-25)，此时， 我们称△ABC 向外扩展了一次.可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面 积的__________倍. 应用 去年在面积为10 m 2 的△ABC 空地上栽种了某种花卉.今年准备扩大种植规模， 把△ABC 向外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH(如图7-26).求这两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为多少平方米? 三角形基础知识归纳总结 一、知识归纳： 1、三角形的三边关系 任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 . 2、三角形的高、中线、角平分线 （1）三角形的高、中线、角平分线都是线段 . （2）交点情况： ①三条高所在的直线交于一点： 三角形是锐角三角形时交点位于三角形的内部； 三角形是直角三角形时，交点位于直角三角形的直角顶点； 三角形是钝角三角形时，交点位于三角形的外部 . 三角形的高 ②三角形的三条中线交于一点，交点位于三角形的内部，每条中线都把三角形分成面积相等的两个三角形 . 三角形的中线 ③三角形的三条角平分线交于一点，交点位于三角形的内部 . 3、三角形的内角和 三角形内角和定理：任何三角形的内角和都等于180° . 三角形的三个内角 用数学符号表示为：在△ABC 中，∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° . 4、三角形的外角与内角的关系 （1）等量关系： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 三角形的外角和为360° . （2）不等量关系： 三角形的一个外角大于任何与它不相邻的内角 . 5、多边形 多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的图形叫做多边形 . 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段 . 六边形 多边形对角线条数探索： 归纳总结： （1）n 边形的内角和是（n - 2）180°，外角和是360°；正n 边形的每个内角是： （2）从n 边形的一个顶点出发，可做( n - 3 )条对角线，把n 边形分成( n - 2 ) 三角形，所以n 边形的内角和是( n - 2 )180°； 一个n 边形一共有n ( n - 3 ) / 2条对角线( n ≥3 ) . （3）如果一个角的两边分别平行于另一角的两边，则这两个角相等或互补； 如果一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等或互补. 二、习题练习 【三角形定义】 1．如图，图中直角三角形共有（C） A．1个B．2个C．3个D．4个 【三边关系】 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（B） A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm . A一、三角形内角和定理 一、选择题 40°120°BCD1.如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（）A．60°B．70°C．80°D．90° 2.将一副三角板按图中的方式叠放，则角等于（）A．75B．60C．45D．30 3.如图，直线m∥n，∠1=55，∠2=45，则∠3的度数为（） A．80B．90C．100D．110 【解析】选C.如图，由三角形的外角性质得 000 4125545100， 由m∥n，得34 0 100 5.（2009·新疆中考）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130°，250°， 则3的度数等于（） A．50°B．30°C．20°D．15° 【解析】选C在原图上标注角4，所以∠4=∠2，因为∠2=50°，所以∠4=50°，又因为∠1=30°， 所以∠3=20°； 6.（2009·朝阳中考）如图，已知AB∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C等于（）. A.20° B.35° C.45° D.55° 【解析】选D因为∠A=20°，∠E=35°，所以∠EFB＝55o，又因为AB∥CD,所以∠C＝∠EFB＝55o； 7.（2009·呼和浩特中考）已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（） A．锐角三角形B．钝角三角形 C．直角三角形D．钝角三角形或锐角三角形 . . 【解析】选B因为△ABC的一个外角为50°，所以与△ABC的此外角相邻的内角等于130°，所以此三角形为钝角三角形. 4.（2008·聊城中考）如图，1100，2145，那么3（） 6 A．55°B．65°C．75°D．85° 答案：选B 二、填空题 oo 5.（2009·常德中考）如图，已知AE//BD，∠1=130，∠2=30，则∠C=． 【解析】由AE//BD得∠AEC=∠2=30o，∴∠C=180°-∠1-∠AEC=180°-130 o，∴∠C=180°-∠1- ∠AEC=180°-130 o- 30o=20o o答案： 20 6.（2009·邵阳中考）如图，AB//CD,直线EF与AB、CD分别相交于E、F两点，EP平分∠AEF,过点F作FP⊥EP,垂足为P，若∠PEF=30 0, 则∠PFC=__________。 0 【解析】由EP平分 ∠AEF,∠PEF=30 0 得∠AEF=60 0 ，由AB//CD得∠EFC=120 0 ，由FP⊥EP得 ∠P=90 ， ∴∠PFE=180 0-900-300=600，∴∠PFC=1200-600=600. 答案：60° 7.（2008·长沙中考）△ABC中，∠A=55，∠B=25，则∠C=. 答案：100° 8.（2008·赤峰中考）如图，是一块三角形木板的残余部分，量得A100，B40，这块三角形木板另外一个角是度． 特殊三角形的定义、性质及判定 等腰三角形 1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 2. 等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。3. 等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 4. 等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 5. 等边三角形的判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 6. 含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 等边三角形 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. （2）等边三角形的性质： ①等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60°； ②等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴.（3）等边三角形的判定 ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角都等于60°的三角形是等边三角形； ④三个角都相等的三角形是等边三角形. （4）两个重要结论 ①在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的 一半. ②在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于30°. 两个重要结论的数学解释：Array已知：如图4，在△ABC中，∠C＝90°，则： ①如果AB＝2BC，那么∠A＝30°； ②如果∠A＝30°，那么AB＝2BC. 直角三角形 1. 认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。 按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。 如果AB＝AC且∠A＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。 2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。 3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。 4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。 5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。难点： 1在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜 边上的中线。 认识三角形（基础）知识讲解 【学习目标】 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法； 2. 理解并能够证明三角形内角和定理； 3. 掌握并会把三角形按角分类； 4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系； 5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，掌握它们的画法；并能正确应用概念解题． 【要点梳理】 要点一、三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示． 要点二、三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点三、三角形的分类 【高清课堂：与三角形有关的线段 三角形的分类】 1.按角分类： ?? ?? ?? ?? 直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 三角形及其性质(基础）知识讲解 【学习目标】 1、理解三角形及与三角形有关得概念,掌握它们得文字、符号语言及图形表述方法、 2、理解三角形内角与定理得证明方法; 3、掌握并会把三角形按边与角分类 4、掌握并会应用三角形三边之间得关系、 5、理解三角形得高、中线、角平分线得概念，学会它们得画法、 【要点梳理】 要点一、三角形得定义 由不在同一条直线上得三条线段首尾顺次相接所组成得图形叫做三角形、 要点诠释: (1)三角形得基本元素: ①三角形得边：即组成三角形得线段; ②三角形得角:即相邻两边所组成得角叫做三角形得内角,简称三角形得角； ③三角形得顶点:即相邻两边得公共端点、 （2）三角形得定义中得三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”、(3)三角形得表示:三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C得三角形记作“△ABC”,读作“三角形ABＣ”,注意单独得△没有意义；△ABC得三边可以用大写字母AB、BC、ＡC来表示，也可以用小写字母ａ、b、c来表示，边BＣ用a表示,边AC、AB分别用b、c 表示、 要点二、三角形得内角与 三角形内角与定理：三角形得内角与为180°、 要点诠释:应用三角形内角与定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角得度数可以求出第三个角得度数; ②已知三角形三个内角得关系,可以求出其内角得度数； ③求一个三角形中各角之间得关系、 要点三、三角形得分类 １、按角分类: 要点诠释: ①锐角三角形：三个内角都就就是锐角得三角形； ②钝角三角形：有一个内角为钝角得三角形、 2、按边分类: 要点诠释: ①不等边三角形:三边都不相等得三角形； ②等腰三角形:有两条边相等得三角形叫做等腰三角形,相等得两边都叫做腰,另外一边叫做底边，两腰得夹角叫顶角,腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等得三角形、 要点四、三角形得三边关系 第二章 测度论的知识要点与复习自测 一、Lebesgue 外测度的知识要点： ◇ 熟练掌握Lebesgue 外测度的定义和外测度的基本性质（包括基本性质：非负性、单调性、次可数可加性；Lebesgue 外测度的特有性质：距离分离性）； ◇ 会用定义或性质求一些典型集合的外测度（例如：n R 中至多可数集，区间，Cantor （三分）集，黎曼可积函数（特别是连续函数）图象等的外测度）； ◇ 特别注意零测集的含义和性质【如n R 中的任何集合并上零测集或减去零测集外侧度不变；零测集的子集仍为零测集；至多可数个零测集的并集仍为零测集】。 自测题： 1、叙述n R 中Lebesgue 外侧度的定义及性质，并用定义和性质解决如下问题： （1）设n n Q R ?为有理点集，计算*n m Q 0=； （2）设n R E ?为至多可数集，计算*m 0E =； （3）设n ,R E F ?，*m 0E =，则()()***m m m \F E F F E ?==。 2、据理说明下面的结论是否成立：设n R E ?， （1）若E 为有界集，则*m E <+∞； （2）若*m E <+∞，则E 为有界集； （3）若*m E =+∞，则E 为无界集； （4）若E 为无界集，则*m E =+∞。 3、设n R I ?为区间，证明：*m I I =，其中I 表示I 的体积（注意I 分有界和无界两种情况来证明）；并利用此结论和外侧度的性质再解决如下问题： （1）设1[0,1]R P ??为三分Cantor 集，则*m 0P =；（注意三分Cantor 集的构造） （2）设()f x 为定义在1[,]R a b ?上的黎曼可积函数， {}2()(,)(),[,]R p G f x y y f x x a b ==∈?， ()f x 在[,]a b 的图像，则*m ()0p G f =；（注意黎曼可积的充要条件的使用） （3）设n R E ?有内点，则*m 0E >； （4）（外侧度的介值性）设1R E ?为有界集，*m 0E >，则对任意*0m c E ≤≤，存在1E E ?，使得，*1m E c =；（注意构造适当的连续函数，利用连续函数的介值 三角形知识梳理 一、知识框架： 二、知识概念： 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边. 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性. 7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对 角线. 11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用 多边形覆盖平面， 13.公式与性质： ⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180° ⑵三角形外角的性质： 性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. ⑶多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(2)n -·180° ⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°. ⑸多边形对角线的条数： ① n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线，把多边形分成(2)n -个三角形. ②n 边形共有(3) 2 n n -条对角线. 一、选择题(每小题3分，共30分） 1、三角形的三边分别为3，1+2a ，8，则a 的取值范围是（ ） A 、﹣6＜a ＜﹣3 B 、﹣5＜a ＜﹣2 C 、2＜a ＜5 D 、a ＜﹣5或a ＞﹣2 2、适合条件C B A ∠= ∠=∠2 1 的三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、等边三角形 C 、钝角三角形 D 、直角三角形 3、过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（ ） A 、8 B 、9 C 、10 D 、11 4、在等腰三角形ABC 中，它的两边长分别为8cm 和3cm ，则它的周长为（ ） A 、19cm B 、19cm 或14cm C 、11cm D 、10cm 5、一个三角形的两边长分别为3和7,且第三边的边长为整数,这样的三角形的周长的最小值是初中三角形有关知识点总结及习题大全带答案
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