平抛运动
1、定义:平抛运动是指物体只在重力作用下,从水平初速度开始的运动。
2、条件:
a 、只受重力;
b 、初速度与重力垂直.
3、运动性质:尽管其速度大小和方向时刻在改变,但其运动的加速度却恒为重力加速度g ,因而平抛运动是一个匀变速曲线运动。g a =
4、研究平抛运动的方法:通常,可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动:一个是水平方向(垂直于恒力方向)的匀速直线运动,一个是竖直方向(沿着恒力方向)的匀加速直线运动。水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性,又具有等时性.
V y
x S O x x 2/V y V 0V x =V 0
P ()x y ,
θα
5、平抛运动的规律
①水平速度:v x =v 0,竖直速度:v y =gt 合速度(实际速度)的大小:2
2y x v v v +=
物体的合速度v 与x 轴之间的夹角为:
tan v gt v v x
y ==
α
②水平位移:t v x 0=,竖直位移2
2
1gt y =
合位移(实际位移)的大小:22
y x s +=
物体的总位移s 与x 轴之间的夹角为:
2tan v gt x
y =
=
θ
可见,平抛运动的速度方向与位移方向不相同。 而且θαtan 2tan =而θα2≠ 轨迹方程:由t v x 0=和2
21gt
y =
消去t 得到:
2
2
2x v g y =
。可见平抛运动的轨迹为抛物线。
6、平抛运动的几个结论
①落地时间由竖直方向分运动决定: 由2
2
1gt h =
得:g
h t 2=
②水平飞行射程由高度和水平初速度共同决定: g
h v t v x 20
0==
③平抛物体任意时刻瞬时速度v 与平抛初速度v 0夹角θa 的正切值为位移s 与水平位移x 夹角θ正切值的两倍。
④平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。
证明:2
2
1tan 2
x s s
gt v gt =
?==
α
⑤平抛运动中,任意一段时间内速度的变化量Δv =
gΔt ,方向恒为竖直向下(与g 同向)。任意相同时间内的Δv 都相同(包括大小、方向),如右图。
V 1V 0
V 2V 3V
△V
△V △
⑥以不同的初速度,从倾角为θ的斜面上沿水平方向抛出的物体,再次落到斜面上时速度与斜面的夹角a 相
同,与初速度无关。(飞行的时间与速度有关,速度越大时间越长。)
如右图:所以θ
tan 20g
v t
=
)tan(v gt v v a x
y =
=
+θ
α θ
A
v 0 θ v x v y
y
x
v
所以θθtan 2)tan(=+a ,θ为定值故a 也是定值与速度无关。
⑦速度v 的方向始终与重力方向成一夹角,故其始终为曲线运动,随着时间的增加,θtan 变大,↑θ,速度v 与重力 的方向越来越靠近,但永远不能到达。
⑧从动力学的角度看:由于做平抛运动的物体只受到重力,因此物体在整个运动过程中机械能守恒。
7、平抛运动的实验探究
①如图所示,用小锤打击弹性金属片,金属片把A 球沿水平方向抛出,同时B 球松开,自由下落,A 、B 两球同时开始运动。观察到两球同时落地,多次改变小球距地面的高度和打击力度,重复实验,观察到两球落地,这说明了小球A 在竖直方向上的运动为自由落体运动。
②如图,将两个质量相等的小钢球从斜面的同一高度处由静止同时释放,滑道2与光滑水平板吻接,则将观察到的现象是A 、B 两个小球在水平面上相遇,改变释放点的高度和上面滑道对地的高度,重复实验,A 、B 两球仍会在水平面上相遇,这说明平抛运动在水平方向上的
分运动是匀速直线运动。
8、类平抛运动
(1)有时物体的运动与平抛运动很相似,也是在某
方向物体做匀速直线运动,另一垂直方向做初速度为零的匀加速直线运动。对这种运动,像平抛又不是平抛,通常称作类平抛运动。
2、类平抛运动的受力特点:
物体所受合力为恒力,且与初速度的方向垂直。 3、类平抛运动的处理方法:
在初速度0v 方向做匀速直线运动,在合外力方向做
初速度为零的匀加速直线运动,加速度F a m
=合。处理
时和平抛运动类似,但要分析清楚其加速度的大小和方
向如何,分别运用两个分运动的直线规律来处理。
【例题】质量为m 的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态,当撤去某个恒力F 1时,物体可能做( )
A .匀加速直线运动;
B .匀减速直线运动;
C .匀变速曲线运动;
D .变加速曲线运动。 ★解析:当撤去F 1时,由平衡条件可知:物体此时所受合外力大小等于F 1,方向与F 1方向相反。
若物体原来静止,物体一定做与F 1相反方向的匀加速直线运动。
若物体原来做匀速运动,若F 1与初速度方向在同一条直线上,则物体可能做匀加速直线运动或匀减速直线运动,故A 、B 正确。
若F 1与初速度不在同一直线上,则物体做曲线运动,且其加速度为恒定值,故物体做匀变速曲线运动,故C 正确,D 错误。
正确答案为:A 、B 、C 。
【例题】如图所示,质量为m 的小球,用长为l 的不可伸长的细线挂在O 点,在O 点正下方
2
l 处有一光
滑的钉子O ′。把小球拉到与钉子O ′在同一水平高度的位置,摆线被钉子拦住且张紧,现将小球由静止释放,当小球第一次通过最低点P 时(
)
A .小球的运动速度突然减小
B .小球的角速度突然减小
C .小球的向心加速度突然减小
D .悬线的拉力突然减小
★解析:在通过位置P 前后瞬间,小球作圆周运动的半径分别为l 和
2
l ,并且小球在通过P 点瞬间受到的重
力和拉力都在竖直方向上,小球的速度大小不改变。
答案:B 、C 、D
类型题: 小船过河问题 轮船渡河问题:
(1)处理方法:轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题,小船在有一定流速的水中过河时,实际上参与了两个方向的分运动,即随水流的运动(水冲船的运动)
和船相对水的运动(即在静水中的船的运动),船的实际运动是合运动。
1.渡河时间最少:在河宽、船速一定时,在一般情况下,渡河时间θ
υυsin 1船d
d t =
=
,显然,
当?=90θ时,即船头的指向与河岸垂直,渡河时间最小为
v
d ,合运动沿v 的方向进行。
2.位移最小 若水船υυ>
结论船头偏向上游,使得合速度垂直于河岸,位移为河宽,偏离上游的角度为船
水υυθ=
cos
若水船v v <,则不论船的航向如何,总是被水冲向下游,怎样才能使漂下的距离最短呢?如图所示,
设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 与河岸成α角。可以看出:α角越大,船漂下的距离x 越短,那么,在什么条件下α角最大呢?以v 水的矢尖为圆心,v 船为半径画圆,当v 与圆相切时,α角最大,根据水
船v v =θcos 船头与河岸的夹角应为
水
船v v arccos
=θ,船沿河漂下的最短距离为:
θ
θsin )cos (min 船船水v d v v x ?
-=
此时渡河的最短位移:船
水v dv d s =
=
θ
cos
【例题】河宽d =60m ,水流速度v 1=6m /s ,小船在静水中的速度v 2=3m /s ,问:
(1)要使它渡河的时间最短,则小船应如何渡河?最短
时间是多少?
(2)要使它渡河的航程最短,则小船应如何渡河?最短的航程是多少?
★解析: (1)要使小船渡河时间最短,则小船船头应垂直河岸渡河,渡河的最短时间
s s d t 2030
602
===
υ
(2)渡河航程最短有两种情况:
①船速v 2大于水流速度v 1时,即v 2>v 1时,合速度v
与河岸垂直时,最短航程就是河宽;
②船速v 2小于水流速度v l 时,即v 2 设航程最短时,船头应偏向上游河岸与河岸成θ角, 则 2 16 3cos 1 2= = = υυθ, 60=θ 最短行程,m m d s 1202 660cos === θ 小船的船头与上游河岸成600 角时,渡河的最短航程为120m 。 【例题】某人横渡一河流,船划行速度和水流动速度一定,此人过河最短时间为了T 1;若此船用最短的位 v 水 θ v α A B E v 船 v 水 v 船 θ v V 水 v 船 θ v 2 v 1 移过河,则需时间为T 2,若船速大于水速,则船速与水速之比为( ) (A) 2 1 22 2T T T - (B) 12T T (C) 2 2 2 11T T T - (D) 2 1T T ★解析:设船速为1v ,水速为2v ,河宽为d ,则由题意可知 : 1 1v d T = ① 当此人用最短位移过河时,即合速度v 方向应垂直于河岸,如图所示,则22 212v v d T -= ② 联立①②式可得: 1 2 2 2 12 1v v v T T -= ,进一步得 2 1 22 2 2 1T T T v v -= 类型题: 平抛运动 【例题】如图所示,某滑板爱好者在离地h = 1.8 m 高的平台上滑行,水平离开A 点后落在水平地面的B 点,其水平位移1S = 3 m 。着地时由于存在能量损失,着地后速度变为v =4 m/s ,并以此为初速沿水平地面滑行 2S =8 m 后停止,已知人与滑板的总质量m =60 kg 。求: (1)人与滑板离开平台时的水平初速度。 (2)人与滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力大小。(空气阻力忽略不计,g 取102 m/s ) ★解析:(1)人和滑板一起在空中做平抛运动,设初速为0v ,飞行时间为t , 根据平抛运动规律有2h t g = ,10S v t = 解得103m /s 5m /s 22 1.810 S v h g = = =? (2)设滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力为f ,根据动能定理有2 2102 fS m v -=- 解得2 2 2 604N 60N 228 m v f S ?= = =? 本题主要考查的知识点是动能定理和平抛运动的规律。滑行者共参与了两个运动:在A →B 段做的是平抛 运动;在B →C 段做的是匀减速运动.由动能定理可求出平均阻力,而根据平抛运动的规律可求出人离开平台时的速度 【例题】如图所示,排球场总长为18m ,设球网高度为2m ,运动员站在网前3m 处正对球网跳起将球水平 击出。 (1)若击球高度为2.5m ,为使球既不触网又不出界, 求水平击球的速度范围; (2)当击球点的高度为何值时,无论水平击球的速度多大,球不是触网就是越界? ★解析:(1)排球被水平击出后,做平抛运动 若正好压在底线上,则球在空中的飞行时间: s s g h t 2110 5.22201= ?= = 由此得排球越界的临界速度 s m s m t x v /212 /2 / 1121 11== = 。 若球恰好触网,则球在网上方运动的时间: s s g H h t 10 110 ) 25.2(2) (202= -?= -= 。 由此得排球触网的临界击球速度值 s m s m t s v /103/10 /132 22== = 。 使排球既不触网又不越界,水平击球速度v 的取值范围为: s m v s m /212/103≤<。 (2)设击球点的高度为h ,当h 较小时,击球速度过大会出界,击球速度过小又会触网,临界情况是球刚好擦 网而过,落地时又恰好压在底线上,如图所示,则有: 12x g h =υ 2) (2x g H h =-υ m m x x H h 15 32) 123( 12) ( 12 2 1 2= -= -= 。 即击球高度不超过此值时,球不是出界就是触网 【例题】抛体运动在各类体育运动项目中很常见,如乒乓球运动。现讨论乒乓球发球问题,设球台长2L 、网高h ,乒乓球反弹前后水平分速度不变,竖直分速度大小不变、方向相反,且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力。(设重力加速度为g ) (1)若球在球台边缘O 点正上方高度为h 1处以速度v 1水平发出,落在球台的P 1点(如图实线所示),求P 1点距O 点的距离x 1 。 (2)若球在O 点正上方以速度v 2水平发出,恰好在最高点时越过球网落在球台的P 2点(如图虚线所示),求v 2的大小。 (3)若球在O 点正上方水平发出后,球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P 3处,求发球点距O 点的高度。 ★解析: (1)设发球时飞行时间为t 1,根据平抛运动 2 1112 h gt = ① 111x v t = ② 解得 111 2h x v g = ③ (2)水平三段应是对称的 则2 22L g h =υ 解得h g L 22 2= υ (3 ) 3 223L g h = υ 3 2) (23L L g h h - =-υ 3 43h h = 点评:(本题主要是对图的理解) 2.斜面问题 (1)分解速度 【例题】如图所示,以水平初速度0v 抛出的物体,飞行一段时间后,垂直撞在倾角为θ的斜面上,求物体 完成这段飞行的时间和位移。 ★解析:gt v v v y x 0tan = = θ(分解速度), ∴θ tan 0?=g v t θ θθ θ2 2 2 002 tan 2)1tan 2(tan 21tan g v t v gt S S S x y += ?+=?+= 上面的S 好象不对 我做θ θ2 2 2 2 2 tan 2tan 41g v y x S += += 【例题】如图所示,在倾角为370的斜面底端的正上方H 处,平抛一小球,该小球垂直打在斜面上的一点, 求小球抛出时的初速度。 ★解析:小球水平位移为0x v t = 竖直位移为2 12y gt = 由图可知,2 01 2 tan 37H gt v t - = , 又00tan 37v gt = (分解速度),消去t 解之得: 015317 gH v = (2)分解位移 【例题】在倾角为θ的斜面顶端A 处以速度0v 水平抛出一小球,落在斜面上的某一点B 处,设空气阻力不计,求(1)小球从A 运动到B 处所需的时间和位移。(2) 从 抛出开始计时,经过多长时间小球离斜面的距离达到最 大? ★解析:(1)设小球从A 处运动到B 处所需的时间为 t ,则水平位移t v x 0= ,竖直位移2 21gt y = ∴g v t θ tan 20= θ θ θθsin tan 2sin 21 sin 2 202 g v gt S S y = == (2) g V t θ tan 01= θ B A v 0 v 0 v 1