《概率论与数理统计》课后习题答案chapter1

习题1.1解答

1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。

解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}

{=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）}

2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数

之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。

解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω；

{})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ；

{})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ；

Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ；

{})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A

3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下

事件：

（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。

解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++；

（4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++；

（6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++

（8）ABC ； （9）C B A ++

4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A ,

313221A A A A A A ++.

解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。

5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：

C B A ++，C AB +，AC B -.

解：如图：

BC

A C

B

C AB A B BC

A C

B A

C AB AC B C C AB C AB C B A C B A BC A ABC C AB C B A C B A C B A +=+=++=-+=+++++++=++;

;

6. 若事件C B A ,,满足C B C A +=+，试问B A =是否成立？举例说明。

解：不一定成立。例如：{}5,4,3=A ，{}3=B ，{}5,4=C ，

那么，C B C A +=+，但B A ≠。

7. 对于事件C B A ,,，试问C B A C B A +-=--)()(是否成立？举例说明。

解：不一定成立。 例如：{}5,4,3=A ，{}6,5,4=B ，{}7,6=C ， 那么{}3)(=--C B A ，但是{}7,6,3)(=+-C B A 。

8. 设31)(=

A P ，2

1)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）Φ=AB ， （2）B A ?， （3）8

1)(=AB P .

解：

（1）2

1)()()()(=-=-=AB P B P AB B P A B P ； （2）6

1)()()()(=

-=-=A P B P A B P A B P ； （3）8

3

8121)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P 。

9. 已知41)()()(===C P B P A P ，16

1)()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件

C B A ,,全不发生的概率。

C

B A C

B A C

B A ABC

BC

A C

AB C

B A Ω

A

B

C

C

B A

解：()

)(1)(C B A P C B A P C B A P ++-=++=

=[]

)()()()()()()(1ABC P BC P AC P AB P C P B P A P +---++-8

3

016116104141411=??????+---++-=

10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：=A “三个都是红灯”=“全红”； =B “全绿”； =C “全黄”； =D “无红”； =E “无绿”； =F “三次颜色相

同”； =G

“颜色全不相同”； =H “颜色不全相同”。

解：

271333111)()()(=????=

==C P B P A P ；27

8

333222)()(=

????==E P D P ； 91271271271)(=++=F P ；9

2

333!3)(=??=G P ；

98

911)(1)(=-=-=F P H P .

11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：

（1） 取出的3件中恰有1件是次品的概率； （2） 取出的3件中至少有1件是次品的概率。

解：

一次拿3件：

（1）0588.0310012298==C C C P ； （2）0594.03

100

198

2229812=+=C C C C C P ； 每次拿一件，取后放回，拿3次：

（1）0576.031009823

2

=??=

P ； （2）0588.01009813

3

=-

=P ； 每次拿一件，取后不放回，拿3次： （1）0588.0398

9910097

982=?????=

P ；

（2）0594.098

9910096

97981=????-

=P 12. 从9,,2,1,0 中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率： {}501与三个数字中不含=A ，{}502或三个数字中不含=A 。

解：

15

7

)(310381==C C A P ；

15142)(31038392=-=C C C A P 或15

14

1)(310182=-=C C A P 13. 从9,,2,1,0 中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。

解：9041

454

10

2839=-=P P P P 14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率： （1）6人中至少有1人生日在10月份； （2）6人中恰有4人生日在10月份； （3）6人中恰有4人生日在同一月份；

解：

（1）41.01211166

=-= P ； （2）00061.012116

246=?= C P ； （3）0073.012

11

6246112== C C P

15. 从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。

解：

602.03521392131431314=+= C C C C C C P 或602.013

52

11311311334=-= C C C C C P

习题1.2解答

1. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。

解：

令=i A “取到的是i 等品”，3,2,1=i

3

2

9.06.0)()()()()(3133131====

A P A P A P A A P A A P 。

2. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合

格品，求另一件也是不合格品的概率。

解：

令=A “两件中至少有一件不合格”，=B “两件都不合格”

5

11)

(1)

()()()|(210

2

621024

=

-

=

-==C C C C A P B P A P AB P A B P 3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I 和II 。两种报警系统单独使用时，系统I 和II 有效的概率分别0.92和0.93，在系统I 失灵的条件下，系统II 仍有效的概率为0.85，求

（1） 两种报警系统I 和II 都有效的概率； （2） 系统II 失灵而系统I 有效的概率； （3） 在系统II 失灵的条件下，系统I 仍有效的概率。

解：令=A “系统（Ⅰ）有效” ，=B “系统（Ⅱ）有效” 则85.0)|(,93.0)(,92.0)(===A B P B P A P （1）)()()()(B A P B P B A B P AB P -=-=

862.085.0)92.01(93.0)|()()(=?--=-=A B P A P B P （2）058.0862.092.0)()()()(=-=-=-=AB P A P AB A P A B P （3）8286.093

.01058

.0)()()|(=-==

B P B A P B A P

4. 设1)(0<

)|()|(A B P A B P =

证：

?：A 与B 独立，A ∴与B 也独立。 )()|(),()|(B P A B P B P A B P ==∴ )|()|(A B P A B P =∴

?： 1)(01)(0<<∴<

又)

()

()|(,)()()|(A P B A P A B P A P AB P A B P ==

而由题设)

()

()()()|()|(A P B A P A P AB P A B P A B P =∴

=

即)]()()[()()](1[AB P B P A P AB P A P -=- )()()(B P A P AB P =∴，故A 与B 独立。

5. 设事件A 与B 相互独立，两个事件只有A 发生的概率与只有B 发生的概率都是4

1，求)(A P 和)(B P . 解：4

1

)()(==B A P B A P ，又 A 与B 独立

∴41

)()](1[)()()(=-==B P A P B P A P B A P

4

1

)](1)[()()()(=-==B P A P B P A P B A P

4

1)()(),()(2

=-=∴A P A P B P A P

即2

1

)()(==B P A P 。

6. 证明 若)(A P >0，)(B P >0，则有 （1） 当A 与B 独立时，A 与B 相容； （2） 当A 与B 不相容时，A 与B 不独立。

证明：0)(,0)(>>B P A P

（1）因为A 与B 独立，所以

0)()()(>=B P A P AB P ，A 与B 相容。 （2）因为0)(=AB P ，而0)()(>B P A P ， )()()(B P A P AB P ≠∴，A 与B 不独立。

7. 已知事件C B A ,,相互独立，求证B A 与C 也独立。

证明：因为A 、B 、C 相互独立， ∴)(])[(BC AC P C B A P =

)()()()]()()([)()()()()()()()

()()(C P B A P C P AB P B P A P C P B P A P C P B P C P A P ABC P BC P AC P =-+=-+=-+=

B A ∴与

C 独立。

8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7，0.8和0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。

解：

令321,,A A A 分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾， 那么9.0)(,8.0)(,7.0)(321===A P A P A P 令B 表示最多有一台机床需要工人照顾，

那么)()(321321321321A A A A A A A A A A A A P B P +++=

902

.01.08.07.08.02.07.09.08.03.09.08.07.0)

()()()(321321321321=??+??+??+??=+++=A A A P A A A P A A A P A A A P

9. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为)10(<

解：令=A “系统（Ⅰ）正常工作” =B “系统（Ⅱ）正常工作” =i A “第i 个元件正常工作”，n i 2,,2,1 = n i A A A P A P 221,,,,)( =相互独立。 那么

[])()()(22121n n n n A A A A A A P A P +++=

][[]

)

2(2)

()()()

()()(221

21

1

22122121n n n n n

i i

n n i i

n i i

n n n n n P P P P A P A P A P A A A P A A A P A A A P -=-=-+=

-+=∏∏∏=+==++

)]())([()(22211n n n n A A A A A A P B P +??++=++

n

n n i n i i n i i

n i

n

i i n i P P P P A P A P A

P A P A A P )2(]2[)]()()()([)

(1

211-=-=-+=

+=∏∏∏==++=+

10. 10张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1张，求 （1） 前三人中恰有一人中奖的概率； （2） 第二人中奖的概率。

注：利用第7题的方法可以证 明)(i n i A A ++与)(j n j A A ++

j i ≠时独立。

系统I

系统II

解：令=i A “第i 个人中奖”，3,2,1=i (1) )(321321321A A A A A A A A A P ++ )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=

)

|()|()()

|()|()()|()|()(213121213121213121A A A P A A P A P A A A P A A P A P A A A P A A P A P ++=

2

1859410684951068596104=??+??+??= 或213

10

2614==C C C P （2）)|()()|()()(1211212A A P A P A A P A P A P += 5

29410693104=?+?=

11. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录，每10 000人中有4人患有肝癌，试求：

（1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；

（2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。

解：

令=B “被检验者患有肝癌”， =A “用该检验法诊断被检验者患有肝癌” 那么，0004.0)(,10.0)|(,95.0)|(===B P B A P B A P （1）)|()()|()()(B A P B P B A P B P A P += 10034.01.09996.095.00004.0=?+?=

（2）)

|()()|()()

|()()|(B A P B P B A P B P B A P B P A B P +=

0038.01

.09996.095.00004.095

.00004.0=?+??=

12. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：

（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；

（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。

解：令=i B “5件中有i 件优质品”，5,4,3,2,1,0=i

（1）3087.0)7.0()3.0()(3

2252== C B P

（2）)()

()|()|

(0

02025

12B P B B P B B P B B P i i =

==

371.0)7.0(13087

.0)(1)(5

02=-=-= B P B P

13. 每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1件正品被误检是次品的概率是2%，1件次品被误判是正品的概率是5%，试计算： （1）抽取的1件产品为正品的概率； （2）该箱产品通过验收的概率。

解：令=A “抽取一件产品为正品” =i A “箱中有i 件次品”，2,1,0=i =B “该箱产品通过验收”

（1）9.010103

1)|()()(2

02

0=-?==

∑∑==i i i

i i

A A P A P A P （2）)|()()|()()(A

B P A P A B P A P B P +=

887.005.01.098.09.0=?+?=

14. 假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了)2(≥n n 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：

（1）全部能出厂的概率； （2）其中恰有2件不能出厂的概率； （3）其中至少有2件不能出厂的概率。

解：令=A “仪器需进一步调试” ；=B “仪器能出厂” =A “仪器能直接出厂” ；=AB “仪器经调试后能出厂” 显然AB A B +=，

那么8.0)|(,3.0)(==A B P A P

24.08.03.0)|())(=?==A B P PA AB P 所以94.024.07.0)()()(=+=+=AB P A P B P 令=i B “n 件中恰有i 件仪器能出厂”，n i ,,1,0 = （1）n

n B P )94.0()(= （2）222

222

2)06.0()94.0()06.0()94.0()(----==n n n n n

n C C B P （3）n n n n n n k k

C B P B

P B P )94.0()94.0(06.01)()(1)(

11

1

2

0--=--=---=∑

15. 进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为p ，试求以下事件

的概率：

（1）直到第r 次才成功；

（2）第r 次成功之前恰失败k 次； （3）在n 次中取得)1(n r r ≤≤次成功； （4）直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤次成功。

解：

（1）1

)

1(--=r p p P

（2）k

r r k r p p C P )1(11-=--+ （3）r

n r r n p p C P --=)1( （4）r

n r r n p p C P ----=)1(11

16. 对飞机进行3次独立射击，第一次射击命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7. 击中飞机一次而飞机被击落的概率为0.2，击中飞机二次而飞机被击落的概率为0.6，若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。

解：令=i A “恰有i 次击中飞机”，3,2,1,0=i =B “飞机被击落” 显然：

09.0)7.01)(5.01)(4.01()(0=---=A P

36

.07

.0)5.01()4.01()7.01(5.0)4.01()7.01()5.01(4.0)(1=?-?-+-??-+-?-?=A P 41

.07.05.0)4.01(7.0)5.01(4.0)7.01(5.04.0)(2=??-+?-?+-??=A P

14.07.05.04.0)(3=??=A P

而0)|(0=A B P ，2.0)|(1=A B P ，6.0)|(2=A B P ，1)|(3=A B P

所以

458.0)|()()(3

==∑=i i i A B P A P B P ；542.0458.01)(1)(=-=-=B P B P

习题1.3解答

1. 设X 为随机变量，且k k X

P 2

1)(==( ,2,1=k ), 则

（1） 判断上面的式子是否为X 的概率分布； （2） 若是，试求）为偶数X P (和)5(≥X P .

解：令 ,2,1,2

1

)(====k p k X P k k

（1）显然10≤≤k p ，且

112

1

2121

11=-==∑∑∞

=∞

=k k k k p

所以 ,2,1,2

1

)(===k k X P k 为一概率分布。

（2）X P (为偶数31

12

1)41411212=-===∑∑∞

=∞=k k k k p

161

12

1)5(21

21

555=-===≥∑∑∞

=∞=k k k k p X P

2.设随机变量X 的概率分布为λλ-==e k C k X P k

!

)(( ,2,1=k ), 且0>λ，求常数C .

解：1!1=-∞=∑λλe k c k k ，而1!

0=-∞

=∑λ

λe k k k

1!010=??

?

???-∴-λλe c ，即1)1(---=λe c

3. 设一次试验成功的概率为)10(<

解： ,2,1,)1()(1

=-==-k p p k X P k

4. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p =0.1，当生产过程中出现废品时立即进行调整，X 代表在两次调整之间生产的合格品数，试求

（1）X 的概率分布； （2）)5(≥X P 。

解：

（1） ,2,1,0,1.0)9.0()1()(=?=-==k p p k X P k

k

（2）55

5

)9.0(1.0)

9.0()()5(=?===

≥∑∑∞

=∞=k k

k k X P X P

5. 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？

解：因为学生靠猜测答对每道题的概率为41=p ，所以这是一个5=n ,4

1=p 的独立重复试验。

64

1)43()41(43)4

1

()4(0

5554

4

5=

+?

=≥C C X P 6. 为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发

生故障的概率为0.01，各台设备工作情况相互独立。

（1）若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率； （2）设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01？

解：

（1）0175.0)99.0(01.020)99.0(11920

≈??--（按Poisson (泊松)分布近似）

（2）λ==?==101.0100,100np n （按Poisson (泊松)分布近似）

01.0!1)

99.0()01.0()1(100

1

1

100

1

100100

≤?≈=+≥∑∑+=-+=-N k k N k k

k k k e C

N X P

查表得4=N

7. 设随机变量X 服从参数为λ的Poisson(泊松)分布，且2

1)0(==X P ，求

（1）λ； （2）)1(>X

P .

解：2ln ,2

1

!0)0(0

=∴=

=

=-λλλe X P

)]1()0([1)1(1)1(=+=-=≤-=>X P X P X P X P

)2ln 1(2

1

]2ln 2121[1-=+-=

8. 设书籍上每页的印刷错误的个数X 服从Poisson(泊松)分布。经统计发现在某

本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。

解：)2()1(===X P X P ，即

2,!

2!

12

1

==

--λλλλλ

e e

2

0-==∴e X P ）

（ 8

4

2)(--==∴e e P

9. 在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的

Poisson 分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求

（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率； （2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；

9. 在长度为t 的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X 服从参数为2t

的

Poisson(泊松)分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）. 求 （1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率； （2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；

—

解：

（1）2

3)0(23

,3-

===

=e X P t λ

（2）2

51)0(1)1(2

5

,5--==-=≥=

=e X P X P t λ

10. 已知X 的概率分布为：

试求（1）a ； （2）

12-=X Y

的概率分布。

解：

（1）123101

2=+++++a a a a a 10

1

=∴a 。

（2）

11. 设连续型随机变量X 的概率密度曲线如图1.3.8所示.

试求:（1）t 的值； （2）X 的概率密度；

（3）)22(≤<-X P .

解：

（1）135.02

1

5.0)(21=??+?-t

1-=∴t

（2）???

?

?????∈+--∈+=其它，0

)3,0[,2161

)0,1[,2121)(x x x x x f

（3）1211

)2161()2121()22012

=+-++=≤<-??-dx x dx x X P （

12. 设连续型随机变量X 的概率密度为

?

?

?≤≤=其他,00,sin )(a

x x x f 试确定常数a 并求)6

(π>X

P .

解：令

1)(=?+∞

∞

-dx x f ，即1sin 0

=?dx x a

1cos 0

=-∴a x ，即2

,0cos π

=

=a a

2

3

|cos sin )6

(2

6

2

6

=

-==>

?π

ππ

π

π

x xdx X P 13. 乘以什么常数将使x

x

e

+-2

变成概率密度函数?

解：令 12

=?

+∞

∞-+-dx ce x

x

即 14

1)2

1(2

=?

+∞

∞---dx e e c x

即 14

1=πce

4

11

-

=

∴e c π

14. 随机变量),(~2

σμN X ，其概率密度函数为

6

4

42

61)(+--=

x x e x f π

(+∞<<∞-x )

试求2

,σμ；若已知

?

?

∞

-+∞

=C

C

dx x f dx x f )()(，求C .

解：

2

22)3(2)2(6

443

21

61)(--+--

=

=

x x x e e

x f ππ

2=∴μ , 32=σ

若

??∞

-+∞

=c

c

dx x f dx x f )()(，由正态分布的对称性

可知 2==μc .

15. 设连续型随机变量X 的概率密度为

??

?≤≤=其他,

01

0,2)(x x x f 以Y 表示对X 的三次独立重复试验中“2

1≤X ”出现的次数，试求概率)2(=Y P .

解：412)21(2

1

==≤

?xdx X P 64

9)43()4

1()2(2

2

3=

==C Y P 。 16. 设随机变量X 服从[1,5]上的均匀分布，试求)(21x X x P <<. 如果 （1）5121<<

解：X 的概率密度为?????≤≤=其他,05

1,41)(x x f

（1）?-==<<2

1

221)1(41

41)(x x dx x X x P

（2）?-==

<<5

1211

)5(4141)(x x dx x X x P 17. 设顾客排队等待服务的时间X （以分计）服从5

1=λ

的指数分布。某顾客等

待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要去等待服务5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求Y 的概率分布和)1(≥Y P .

解：

2105

1]1[1)10(1)10(-?-=--=<-=≥e e X P X P

5,4,3,2,1,0,)1()()(5225=-==∴---k e e C k Y P k k k

5167.0)1(1)1(5

2≈--=≥-e Y P

习题1.4解答

1. 已知随机变量X 的概率分布为

2.0)1(==X

P ，3.0)2(==X P ，

5.0)3(==X P ，试求X 的分布函数；)25.0(≤≤X P ；画出)(x F 的曲线。

解：

????

??

?≥<≤<≤<=3

,1

32,5.02

1,2.01

,0)(x x x x x F

；

5.0)25.0(=≤≤X P

)(x F 曲线：

2. 设连续型随机变量X 的分布函数为

??????

?≥<≤<≤--<=331111,

1,8.0,4.0,

0)(x x x x x F 试求:（1）X 的概率分布； （2）)1|2(≠

解：

（1）

（2）3

2

)1()1()1|2(=≠-==

≠

3. 从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独

立的，且概率均是0.4，设X 为途中遇到红灯的次数，试求（1）X 的概率分布； （2） X 的分布函数。

解：

（1）3,2,1,0,)5

3()5

2()(33===-k C k X P k

k

k

列成表格

（2）??????????

?≥<≤<≤<≤<=3

,

1

32,12511721,12581

10,125270,0)(x x x x x x F 4. 试求习题1.3中第11题X 的分布函数，并画出)(x F 的曲线。

解：

?????????≥<≤+

+-<≤-++-<=3

1

30412112

10

141214110

)(22x x x x x x x x x F

5. 设连续型随机变量X 的分布函数为

??

?≤>+=-0

0,0,

)(2x x Be A x F x

试求:（1）B A ,的值； （2）)11(<<-X P ； （3）概率密度函数)(x f .

解：

（1）11)(lim )(2=∴=+=+∞-+∞→A Be

A F x

x

又10)0()(lim 20

-=-=∴==+-→+A B

F Be

A x

x

（2）2

1)1()1()11(--=--=<<-e

F F X P

（3）???≤>==-0,0

,2)(')(2x x e x F x f x

6. 设X 为连续型随机变量，其分布函数为

??

?

??

>≤≤++<=.,;1,ln ;1,)(e x d e x d cx x bx x a x F

试确定)(x F 中的d c b a ,,,的值。

解： 10)(=∴=-∞a F 又11)(=∴=+∞d F 又10

)1ln (lim 1

-=∴==++-→c a cx x bx x

又111

)1ln (lim =+-∴==+--→e be d x x bx e

x 即1=b

7. 设随机变量X 的概率密度函数为)

1()(2

x a x f +=π，试确定a 的值并求)(x F 和)1(

解：1)1(2=+?+∞

∞

-dx x a

π 即

11|arctan =∴=∞

+∞-a x a

π

+∞<<∞-+=+=

?∞-x x dt t a x F x

,arctan 1

21)

1()(2ππ 5.0)]1arctan(1

21[)1arctan 121()1()1()1|(|=-+-+=--=<π

πF F X P 8. 假设某地在任何长为t (年)的时间间隔内发生地震的次数)(t N 服从参数为

1.0=λ的Poisson(泊松)分布，X 表示连续两次地震之间相隔的时间（单位：年），

试求:

（1）证明X 服从指数分布并求出X 的分布函数； （2）今后3年内再次发生地震的概率；

（3）今后3年到5年内再次发生地震的概率。

解：

（1） 当0≥t 时，t

e t N P t X P 1.0)0)(()(-===>

t

e t X P t X P t F 1.01)(1)()(--=>-=≤=∴

当0

???<≥-=∴-00

1)(1.0x x e x F x

X 服从指数分布（1.0=λ）

（2）26.01)3(3

1.0≈-=?-e

F （3）13.0)3()5(≈-F F

9. 设)16,1(~-N X ，试计算（1）)44.2(X P ；（3）)4(-X P .

解：

（1）8051.0)4

44

.3()4)1(44.2(

)44.2(=Φ=--Φ=< X P （2）)5.1(1)5.1(-≤-=->X P X P

5498.0)8

1

(1)415.1(1=-Φ-=+-Φ-=

（3）)414()414()4|(|+-Φ-+Φ=

()45(-Φ-Φ=

6678.01)4

3

()45(=-Φ+Φ=

（4）[])2()0()2()0()1|1(|>+<=><=>-X P X P X X P X P

)412(1)410(+Φ-++Φ=8253.0)4

3

(1)41(=Φ-+Φ=

10. 某科统考成绩X 近似服从正态分布)10,70(2

N ，第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少分？

解：100

20)60|(=≥≥X x X P 而

[])

60()

()60()60()()60|(≥≥=≥≥≥=

≥≥X P x X P X P X x X P X x X P

又 8413.0)1(1070601)60(=

Φ=??

?

??-Φ-=≥ X P 16826.08413.02.0)(=?=≥∴x X P

即 16826.0)1(10701)(=Φ=???

??-Φ-=≥x x X P

83174.01070=??

?

??-Φ∴x ，

96.01070≈-x ，6.79≈x 11. 设随机变量X 和Y 均服从正态分布，)4,(~2

μN X ，)5,(~2μN Y ，而)4(1-≤=μX P p ，)5(2+≥=μY P p ，试证明 21p p =.

证明：

)1(44)4(1-Φ=???

??--Φ=-≤=μμμX P p

)1()1(1551)5(2-Φ=Φ-=??

?

??-+Φ-=+≥=μμμY P p

21p p =∴.

12. 设随机变量X 服从[a,b ]上的均匀分布，令d cX Y +=()0≠c ，试求随机变量Y 的密度函数。

解：

??

???≤-≤????

??-=其它,0,|

|1)(b c d

y a c c d y f y f X Y 当0>c 时，??

?

??+≤≤+-=其他,0,)(1

)(d cb y d a c a b c y f Y

当0

???

+≤≤+--

=其他,0,)(1)(d ca y d b c a b c y f Y