A tan ∠∠=
A A b a
A =
tan 0tan >A 对边
邻边
b
第八章 二次函数
一、概念:一般的,若两个变量x ,y 之间的对应关系可以表示成
()2
,,,y ax bx c a b c a o =++≠是常数的形式,则称y 是x 的二次函数,其中,x 是自变量, ,,a b c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项
二、二次函数图象及其性质
1、图像与性质
已知条件
图形
解法
已知一直角边和一个锐角(),a A ∠
(90,,sin tan a a B A c b b A A ∠=?-∠=
==或
已知斜边和一个锐角
(),c A ∠ (90,sin ,cos B A a c A b c A b ∠=?-∠===或 已知两直角边
(),a b
tan ,90a
c A A B A b ==
∠∠=?-∠由求
已知斜边和一条直角边
(),c a
sin ,90a
b A A B A
c ==
∠∠=?-∠由求
函数
()()
2
,,,0y a x h k a h k a =-+≠为常数
()
2,,,y ax bx c a b c a o =++≠是常数
图象
0a >
0a < 0a > 0a <
性质
开口
方向 开口向上
开口向下
开口向上
开口向下
对称轴
直线x h =
直线
2b x a =-
增减性 当x h <时,y 随的x 增大而减小; 当x h >时,y 随x
的增大而增大
当x h <时,y 随x 的增大而增大; 当x h >时,y 随的x 增大而减小;
当
2b x a <-
时,y 随的x 增大而减小; 当
2b x a >-
时,y 随x 的增大而增大
当
2b
x a <-
时,y 随
x 的增大而增大; 当
2b
x a >-
时,y 随
的x 增大而减小;
0a >时,在对称轴左侧,y 随x 的增大而减小,在对称轴右侧,y 随x 的增大而增大; 0a <时,在对称轴左侧,y 随x 的增大而增大,在对称轴右侧,y 随x 的增大而减小
对边 邻边b
A
C
2、抛物线与,,a b c 的关系
三、二次函数表达式的确定。确定二次函数表示的方法仍是待定系数法,有以下三种方法:
1、一般式:若已知抛物线过三点,一般设函数表达式为
()
2y ax bx c a o =++≠
2、顶点式:若已知抛物线的顶点是(),h k ,可设函数表达式为()()2
0y a x h k a =-+≠
3、交点式:若已知抛物线与x 轴两个交点
()1,0x ,()2,0x ,可设函数表达式()()()120y a x x x x a =--≠
四、二次函数的平移规律
顶点
(),h k
24,24b ac b a a ??-- ???
最值
抛物线有最低点,
当x h =时,y 有最
小值, y k
=最小值
抛物线有最高点,当x h =时,y 有最大值
y k
=最大值
抛物线有最低点,当
2b
x a =-
时,y 有最
小值
244ac b y a -=
最小值
抛物线有最高点,当
2b
x a =-
时,y 有最
大值
244ac b y a -=
最大值
a
决定抛物线开口方向 0a >,抛物线开口向上; 0a <,抛物线开口向下
决定抛物线开口大小 a
越大,开口越小
,a b
决定抛物线对称轴位置,
对称轴为直线
2b x a =-
0b =,对称轴为y 轴;
0ab >,对称轴在y 轴左侧; 同号在左, 0ab <,对称轴在y 轴右侧 异号在右 c
决定抛物线与y 轴的交点位置
0c =,抛物线过原点;
0c >,抛物线与y 轴交于正半轴; 0c <,抛物线与y 轴交于负半轴
,,a b c
24b ac -
决定抛物线与x 轴的交点
240b ac ->时,与x 轴有两个交点; 240b ac -=时,与x 轴有一个交点;
240b ac -<时,与x 轴没有交点
24,24b ac b a a ??
-- ??? 决定顶点位置 顶点坐标为24,24b ac b a a ??-- ??
? 移动方向
平移前的表达式
平移后的表达式
简记
向左平移m 个单位 ()2
y a x h k =-+ ()2
y a x h m k =-++ 左加 向右平移m 个单位 ()2
y a x h k
=-+ ()2
y a x h m k
=--+ 右减 向上平移m 个单位 ()2
y a x h k =-+
()2
y a x h k m =-++ 上加 向下平移m 个单位
()2
y a x h k
=-+
()2
y a x h k m
=-+-
下减
注意
平移之前函数表达式必须先化为顶点式
五、二次函数与一元二次方程的关系
二次函数
()
2y ax bx c a o =++≠的图象与x 轴的交点有三种情况:有两个交点;有一个交点;没有交
点,当图象与x 轴有交点时,令0y =,解方程2
0ax bx c ++=就可以求出与x 轴交点的横坐标
第九章 圆
一、圆的有关概念和性质
1、圆的基本概念:
(1)圆:到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点是圆心,定长是半径 (2)弦、直径:连接圆上任意两点的线段叫做弦;经过圆心的弦叫做直径
(3)弧:圆上任意两点间的部分叫做弧;大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧 (4)等圆、等弧:能够重合的圆叫做等圆;能够重合的弧叫做等弧 (5)圆心角:顶点在圆心,端点在圆上的角叫做圆心角 (6)圆周角:定点和端点都在圆上的角叫做圆周角 2、圆的性质
(1)圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴;圆也是中心对称图形,对称中心是
圆心
(2)把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得到的图形都与原图形重合 (3)过不在同一直线上的三个点确定一个圆
二、与圆有关的定理和推论
24b ac ?=- 20ax bx c ++=的根
抛物线2
y ax bx c =++与x 轴的交点
0?> 两个不相等的实数根 两个交点 0?= 两个相等的实数根 一个交点 0?<
没有实数根
没有交点
文字语言
图形
几何语言
圆心角、弧、弦之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆
心角所对的弧相等,所对的弦也相等
在同圆或等圆中,
三、与圆有关的位置关系
1、点与圆、直线与圆的位置关系
推论:在同圆或等圆中,如果两个
圆心角,两条弧,两条弦中有一组相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等
1
、圆心角相等:AOB DOE ∠=∠ 2、弧相等:AB DE =3、弦相等:AB DE
=
以上条件知其中一个可得其二
圆周角定理
定理:圆周角的度数等于它所对的
弧的圆心角度数的一半
AOB
∠
是AB
C ∠是AB
∴1
2C AOB
∠=∠
推论1:同弧或等弧所对的圆周角
相等
C ∠和
D ∠都是AB 所对的圆周角 ∴C D ∠=∠
推论2:直径所对的圆周角是直
角,90?的圆周角所对的弦是直径
AB 是O 的直径
C ∠是AB 所对的圆周角 ∴90C ∠=?
C ∠是AB 90C ∠=?
∴AB 是O 的直径
推论3:圆的内接四边形对角互补
四边形ABCD 是O 的内接四边形
∴180B D ∠+∠=? 180BAD C ∠+∠=? C DAE ∠=∠
垂径定理
定理:垂直于弦的直径平分弦,并
且平分弦所对的两条弧
AB 是O 的直径,AB CD ⊥
∴CE DE =,BC BD =,AC AD =
推论:平分弦(不是直径)的直径
垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
AB 是O 的直径,CE DE = ∴AB CD ⊥于点E
BC BD =,AC AD =
文字语言
图形
几何语言
B B
A
B
2、切线的性质与判定
(1)切线性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径
(2)切线性质的推论:①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 ②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 (3)切线判定:①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线
③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径,那么这条直线是圆的切线
(4)切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
3、三角形和圆 点与圆的位置关系
设O 的半径为r ,点到圆心的距离为d , 则有:
点在圆外 点A 在圆外d r ?> 点在圆上 点B 在圆上d r ?= 点在园内
点C 在圆外d r ?<
直线与圆的位置关系
设O 的半径为r ,圆心O 到直线l 的距离为d 则有:
相交:直线和圆有
两个公共点
直线l 和O 相交d r ?<
相切:直线和圆只
有一个公共点
直线l 和O 相切d r ?=
相离:直线和圆没
有公共点
直线l 和O 相离d r ?>
定义
外心、内心 性质 图形
三角形外接圆
经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆
外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做三角形的外心
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
A
四、与圆有关的计算
1、弧长和扇形面积
2、正多边形和圆
(1)正多边形的有关计算
(2)正多边形每个内角度数为()2180n n
-??
,每个外角度数为360n ?
3、圆锥的有关计算
三角形内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线的交点,叫做三角形的内心
三角形的内心到三角形三边的距离相等
圆的周长
圆的弧长
圆的面积
扇形面积
2C r π=
180n r l π=
2S r π=
213602n r S rl
π==
r 为圆的半径;n 为弧所对的圆心角的度数;l 为扇形的弧长
中心角
边心距
周长
面积
360n ?
r =l na =
12S rl =
n 为边数;r 为边心距;R 为半径;a 为边长
底面圆面积
地面圆周长
圆锥的高
侧面积 体积
2
S r π=
2C r π=
h =213602n l S l C
π==?侧
21
3V r h
π=
l 为母线长;r 为底面圆半径;h 为圆锥的高;n 为侧面展开后圆心角度数
l
O
【初三下学期的数学知识点归纳】 初三上数学知识点归纳
【初三下学期的数学知识点归纳】初三上数学知识点归纳 一、圆的基本性质 1.圆的定义(两种) 2.有关概念:弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 3.“三点定圆”定理 4.垂径定理及其推论 5.“等对等”定理及其推论 5. 与圆有关的角:⑴圆心角定义(等对等定理) ⑵圆周角定义(圆周角定理,与圆心角的关系) ⑶弦切角定义(弦切角定理) 二、直线和圆的位置关系 1.三种位置及判定与性质: 2.切线的性质(重点) 3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴…⑵… 4.切线长定理 三、圆换圆的位置关系 1.五种位置关系及判定与性质:(重点:相切) 2.相切(交)两圆连心线的性质定理 3.两圆的公切线:⑴定义⑵性质 四、与圆有关的比例线段 1.相交弦定理 2.切割线定理 五、与和正多边形 1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形) 2.三角形的外接圆、内切圆及性质 3.圆的外切四边形、内接四边形的性质 4.正多边形及计算 中心角: 内角的一半:(右图) (解Rt△OAM可求出相关元素, 、等) 六、一组计算公式 1.圆周长公式 2.圆面积公式 3.扇形面积公式 4.弧长公式 5.弓形面积的计算方法 6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算 七、点的轨迹 六条基本轨迹 八、有关作图
1.作三角形的外接圆、内切圆 2.平分已知弧 3.作已知两线段的比例中项 4.等分圆周:4、8;6、3等分 九、基本图形 十、重要辅助线 1.作半径 2.见弦往往作弦心距 3.见直径往往作直径上的圆周角 4.切点圆心莫忘连 5.两圆相切公切线(连心线) 6.两圆相交公共弦 感谢您的阅读!
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第一章实数 一、重要概念1.数的分类及概念数系表: 说明:“分类”的原则:1)相称(不重、不漏)2)有标准 2.非负数:正实数与零的统称。(表为:x≥0) 性质:若干个非负数的和为0,则每个非负数均为0。 3.倒数:①定义及表示法 ②性质:A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中,a≠0;C.01时,1/a<1;D.积为1。 4.相反数:①定义及表示法 ②性质:A.a≠0时,a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。 5.数轴:①定义(“三要素”) ②作用:A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。 6.奇数、偶数、质数、合数(正整数—自然数) 定义及表示: 奇数:2n-1 偶数:2n(n为自然数) 7.绝对值:①定义(两种):
代数定义: 几何定义:数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目,只要其中有“││”出现,其关键一步是去掉“││”符号。 二、实数的运算 1.运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方) 2.运算定律(五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的] 分配律) 3.运算顺序:A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从“左” 到“右”(如5÷×5);C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 三、应用举例(略) 附:典型例题 1.已知:a、b、x在数轴上的位置如下图,求证:│x-a│+│x-b =b-a. 2.已知:a-b=-2且ab<0,(a≠0,b≠0),判断a、b的符号。 第二章代数式 ★重点★代数式的有关概念及性质,代数式的运算 ☆内容提要☆ 一、重要概念 分类:
北师大版九年级历史全册复习提纲
历史九年级上(世界近代史复习提纲) 第一单元跨入近代社会的门槛 第1课向人性扼杀者宣战——文艺复兴(P2) 1、背景:○1罗马教皇和天主教会的专制统治,禁锢了人们思想、阻碍社会进步和科学的发展 ○2 14-17世纪的艺术家、科学家和思想家们发掘和继承古希腊古罗马文化传统,追求个性解放和思想自由,表现了人类不断追求进步的本性。 ○3造纸术、印刷术造纸术的推动。 2、时间:14—17世纪(持续了近300年) 3、爆发地:意大利——扩展到西欧所有国家 4、核心思想:人文主义(以人为本,把人、人性从宗教束缚中解放出来) 5、实质:是资产阶级叩响近代社会大门的思想解放运动。(是新兴的资产阶级反封建的思想解放运动) 6、代表人物: ○1但丁《神曲》(但丁是中世纪的最后一位诗人,同时又是新时代的最初一位诗人、同时但丁也是文艺复兴的先驱)(《神曲》被认为是欧洲开始从中世纪向近代社会过渡的标志) ○2达·芬奇《最后的晚餐》、《蒙娜丽莎》(达·芬奇是多才多艺的文化巨人) 《最后的晚餐》:取材于基督教《圣经》中的故事,被称为欧洲艺术的拱顶之作。 《蒙娜丽莎》摆脱了宗教题材的束缚,体现了人性美。 ○3莎士比亚是文艺复兴时期英国最著名的文学家,他的作品代表了当时文学的最高成就,其中《奥赛罗》、《李尔王》、《哈姆雷特》、《麦克白》称为“四大悲剧”。 7、意义:①打破中世纪以来封建统治和教会神学对人们思想束缚,把人和人性从宗教束缚中解放出来。 ○2文艺复兴为欧洲资本主义的产生奠定了思想文化基础。 8、文艺复兴运动首先兴起于意大利的根本原因:资本主义萌芽最早出现在意大利。(经济基础) 第2课探险者的梦想——新航路的开辟(P8) 1、时间:15—17世纪 2、过程: 3、根本原因:商品经济发展激起了欧洲人对黄金的狂热追求。 4、条件:○1欧洲造船和航海技术的进步,对地球的了解;(主观条件) ○2中国和阿拉伯的罗盘针、航海知识与地理知识在欧洲的传播(客观条件)。 5、影响:积极○1新航路的开辟,锤炼了欧洲人敢于冒险、勇于拼搏的精神 ○2打破了相互隔绝的局面,促使世界由分散走向整体,促使世界市场的形成。 ○3促进了资本的原始积累,使欧洲资本主义的触角伸向世界各地。
最新九年级下册人教版数学知识点归纳
第二十二单元 二次函数 1 一、二次函数概念: 2 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的 3 函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系 4 数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 5 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征: 6 ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. 7 ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 8 二、二次函数的基本形式 9 二次函数的基本形式()2 y a x h k =-+的性质: 10 a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 11 12 三、二次函数图象的平移 13 1. 平移步骤: 14 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; 15 ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 16 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 17 2. 平移规律 18 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 19 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 20 方法二: 21
⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 22 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) 23 ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成24 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 25 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 26 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过 27 配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 28 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 29 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,30 确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画 31 图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴32 对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x , ,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组33 关于对称轴对称的点). 34 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的 35 交点. 36 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 37 1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 38 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当39 2b x a =-时,y 有最小值 244ac b a -. 40 2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =- ,顶点坐标为41 2424b ac b a a ??-- ???,.当2 b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而42 减小;当2b x a =-时,y 有最大值244ac b a -. 43 44 七、二次函数解析式的表示方法 45 1. 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 46 2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠); 47 3. 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 48 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的49 二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛50 物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化. 51 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 52 1. 二次项系数a 53
人教版九年级数学 知识点总结
第二十一章二次根式 1.二次根式:式子 a≥0叫做二次根式。 2.最简二次根式:满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式; (1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式,因被开方数中含有4是可开得尽方的因数,又如 , ,..都不是最简二次根式,而 , ,5 , 都是最简二次根式。 3.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式。如 , , 就是同类二次根式,因为 2 , 3 ,它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,则说这两个代数式互为有理化因式。如与 ,a+ 与a- , - 与 + ,互为有理化因式。 二次根式的性质: 1. a≥0是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数,即: 2aa≥0; 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值,即 |a| 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,即 ? (a ≥0,b≥0)。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,即 (a≥0,b0)。 21.2 二次根式的乘除 1. 二次根式的乘法 两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变,即(≥0,≥0)。
说明:(1)法则中、可以是单项式,也可以是多项式,要注意它们的取值范围,、都是非负数; (2)(≥0,≥0)可以推广为(≥0,≥0); (≥0,≥0,≥0,≥0)。 (3)等式(≥0,≥0)也可以倒过来使用,即(≥0,≥0)。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合,可以对一些二次根式进行化简。2. 二次根式的除法 两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变,即(≥0,>0)。 说明:(1)法则中、可以是单项式,也可以是多项式,要注意它们的取值范围,≥0,在分母中,因此>0; (2)(≥0,>0)可以推广为(≥0,>0,≠0); (3)等式(≥0,>0)也可以倒过来使用,即(≥0,>0)。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合,可以对一些二次根式进行化简。? 3. 最简二次根式 (1)被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式; (2)被开方数中不含分母。 21.3 二次根式的加减 1. 同类二次根式? 注:判断几个二次根式是否为同类二次根式,关键是先把二次根式准确地化成最简二次根式,再观察它们的被开方数是否相同。? (2)合并同类二次根式:合并同类二次根式的方法与合并同类项的方法类似,系数相加减,二次根号及被开方数不变。? 2. 二次根式的加减? (1)二次根式的加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再将同类二次根式分别合并。? (2)二次根式的加减法与多项式的加减法类似,首先是化简,在化简的基础上去括号再合并同类二次根式,同类二次根式相当于同类项。? 一般地,二次根
新人教版初中数学知识点总结(完整版)
人教新版初中数学知识点总结(全面最新) 目录 一、七年级数学(上)知识点 1、有理数 2、整式的加减 3、一元一次方程 4、图形的认识初步 二、七年级数学(下)知识点 5、相交线与平行线 6、实数 7、平面直角坐标系 8、二元一次方程组 9、不等式与不等式组 10、数据的收集、整理与描述 三、八年级数学(上)知识点 11、三角形 12、全等三角形 13、轴对称 14、整式的乘除与分解因式 15、分式
四、八年级数学(下)知识点 16、二次根式 17、勾股定理 18、平行四边形 19、一次函数 20、数据的分析 五、九年级数学(上)知识点 21、一元二次方程 22、二次函数 23、旋转 24、圆 25、概率 六、九年级数学(下)知识点 26、反比例函数 27、相似 28、锐角三角函数 29、投影与视图 七年级数学(上)知识点
第一章有理数 一.知识框架 二.知识概念 1.有理数: (1)凡能写成)0 p q,p( p q ≠ 为整数且形式的数,都是有理数. (2)有理数的分类: ① ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 负分数 负整数 负有理数 零 正分数 正整数 正有理数 有理数 ② ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 负分数 正分数 分数 负整数 零 正整数 整数 有理数 注意:0即不是正数,也不是负数; -a不一定是负数,+a也不一定是正数; π不是有理数; 2.数轴:数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3.相反数: (1)只有符号不同的两个数,互为相反数,即a和- a互为相反数;
0的相反数还是0; (2) a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值: (1)绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离; (2) ?? ???<-=>=) 0()0(0) 0(a a a a a a 或???<-≥=)0a (a ) 0a (a a 或???≤->=)0()0(a a a a a ; 正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数; 绝对值的问题经常分类讨论,零既可以和正数一组也可以和负数一组; 5.有理数比大小: 两个负数比大小,绝对值大的反而小; 数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大; 大数-小数 > 0,小数-大数 < 0. 6.倒数:乘积为1的两个数互为倒数; 注意:0没有倒数; 若 a ≠0,那么a 的倒数是a 1; 若ab=1? a 、b 互为倒数; 若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则: (1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加; (2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对
人教版九年级下册数学知识点总结
结点总识学册九教人版年级下数知反比例函数 26 一、反比例函数的概念 1.()可以写成()的形式,注意自变量 x的指数为,在解决有关 自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件; 2.()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式; 3.反比例函数的自变量,故函数图像与x轴、y轴无交点. 二、反比例函数的图像画法 反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量, 函数值,所以它的图像0?y0?x与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无 限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤:⑴列表;⑵描点;⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点: ①列表时选取的数值宜对称选取; ②列表时选取的数值越多,画的图像越精确; ③连线时,必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,切忌画成折线; ④画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交。 三、反比例函数及其图像的性质
1.函数解析式:() 2.自变量的取值范围: 3.图像: (1)图像的形状:双曲线,越大,图像的弯曲度越小,曲线越平直。越小,图像的弯曲度越大。(2)图像的位置和性质: 时,图像的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y随x当的增大而减小; 的增大而增大。x随y时,图像的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,当. )在双曲线的)在双曲线的一支上,则(,(,3)对称性:图像关于原点对称,即若(ba ,)对称,即若(另一支。图像关于直线a,b)在双曲线的一支上,则(,)和( 在双曲线的另一支上。. 4.k的几何意义 上任意一点,作PA⊥x轴于A点,PB⊥y轴于)是双曲线(如图 1,设点Pa,bB点,则矩形PBOA的面积是|k|(三角形PAO和三角形PBO的面积都是1/2|k|)。如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC ⊥PA的延长线于C,则有三角形PQC的面积为2|k|。
人教版九年级数学上册知识点总结
人教版九年级数学上册知识点总结 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。 注意一下几点: ①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式:ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 (1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a . (2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。 (3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方
根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 (4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程; ④解一元一次方程,求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。 (1)把常数项移到等号的右边;⑵方程两边都除以二次项系数; ⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式;⑷若等号 右边为非负数,直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 (1)一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果b2-4ac≥0,那么方程的两个 根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。 (2)一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 (3)公式法解一元二次方程的具体步骤: ①方程化为一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),一般a化为正值②确定公式中a,b,c 的值,注意符号; ③求出b2-4ac的值;④若b2-4ac≥0,则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解,
初中数学知识点总结(最新版)
中考数学知识点 知识点1:一元二次方程的基本概念 1.一元二次方程3x 2+5x-2=0的常数项是-2. 2.一元二次方程3x 2+4x-2=0的一次项系数为4,常数项是-2. 3.一元二次方程3x 2-5x-7=0的二次项系数为3,常数项是-7. 4.把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2-x-2=0. 知识点2:直角坐标系与点的位置 1.直角坐标系中,点A (3,0)在y 轴上。 2.直角坐标系中,x 轴上的任意点的横坐标为0. 3.直角坐标系中,点A (1,1)在第一象限. 4.直角坐标系中,点A (-2,3)在第四象限. 5.直角坐标系中,点A (-2,1)在第二象限. 知识点3:已知自变量的值求函数值 1.当x=2时,函数y=32-x 的值为 1. 2.当x=3时,函数y= 2 1-x 的值为1. 3.当x=-1时,函数y= 3 21-x 的值为1. 知识点4:基本函数的概念及性质 1.函数y=-8x 是一次函数. 2.函数y=4x+1是正比例函数. 3.函数x y 2 1-=是反比例函数. 4.抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下. 5.抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3.
(1,2). 6.抛物线 2)1(2 1 2+-= x y 的顶点坐标是7.反比例函数x y 2=的图象在第一、三象限. 知识点5:数据的平均数中位数与众数 1.数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2.数据3,4,2,4,4的众数是4. 3.数据1,2,3,4,5的中位数是3. 知识点6:特殊三角函数值 1.cos30°= 2 3. 2.sin 260°+ cos 260°= 1. 3.2sin30°+ tan45°= 2. 4.tan45°= 1. 5.cos60°+ sin30°= 1. 知识点7:圆的基本性质 1.半圆或直径所对的圆周角是直角. 2.任意一个三角形一定有一个外接圆. 3.在同一平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆. 4.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等. 5.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6.同圆或等圆的半径相等. 7.过三个点一定可以作一个圆. 8.长度相等的两条弧是等弧.
九年级上下册历史复习提纲(北师大版)
九年级历史上册复习提纲 (世界近代史复习提纲) (范围:文艺复兴和新航路的开辟(14—17世纪)到一战(1917年)) 第一单元跨入近代社会的门槛 第1课向人性扼杀者宣战——文艺复兴(P2) 1、背景:○1罗马教皇和天主教会的专制统治,禁锢了人们思想、阻碍社会进步和科学的发展 ○2 14-17世纪的艺术家、科学家和思想家们发掘和继承古希腊古罗马文化传统,追求个性解放和思想自由,表现了人类不断追求进步的本性。 ○3造纸术、印刷术造纸术的推动。 2、时间:14—17世纪(持续了近300年) 3、爆发地:意大利——扩展到西欧所有国家 4、核心思想:人文主义(以人为本,把人、人性从宗教束缚中解放出来) 5、实质:是资产阶级叩响近代社会大门的思想解放运动。(是新兴的资产阶级反封建的思想解放运动) 6、代表人物: ○1但丁《神曲》(但丁是中世纪的最后一位诗人,同时又是新时代的最初一位诗人、同时但丁也是文艺复兴的先驱)(《神曲》被认为是欧洲开始从中世纪向近代社会过渡的标志) ○2达·芬奇《最后的晚餐》、《蒙娜丽莎》(达·芬奇是多才多艺的文化巨人) 《最后的晚餐》:取材于基督教《圣经》中的故事,被称为欧洲艺术的拱顶之作。 《蒙娜丽莎》摆脱了宗教题材的束缚,体现了人性美。 ○3莎士比亚是文艺复兴时期英国最著名的文学家,他的作品代表了当时文学的最高成就,其中《奥赛罗》、《李尔王》、《哈姆雷特》、《麦克白》称为“四大悲剧”。 7、意义:①打破中世纪以来封建统治和教会神学对人们思想束缚,把人和人性从宗教束缚中解放出来。 ○2文艺复兴为欧洲资本主义的产生奠定了思想文化基础。 8、文艺复兴运动首先兴起于意大利的根本原因:资本主义萌芽最早出现在意大利。(经济基础) 第2课探险者的梦想——新航路的开辟(P8) 1、时间:15—17世纪 2、过程: 3、根本原因:商品经济发展激起了欧洲人对黄金的狂热追求。 4、条件:○1欧洲造船和航海技术的进步,对地球的了解;(主观条件) ○2中国和阿拉伯的罗盘针、航海知识与地理知识在欧洲的传播(客观条件)。
华师大版九年级[下册]数学知识点总结
华师大版九年级下册数学知识点总结 第二十六章 二次函数 一、二次函数概念: 1、二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零。二次函数的定义域是全体实数。 2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2。 ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项。 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质:
3. ()2 y a x h =-的性质: 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”。 概括成八个字“左加右减,上加下减”。 方法二: ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位, c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)
初中九年级数学知识点总结
初中九年级数学知识点总结 【篇一】 第一章实数 一、重要概念1.数的分类及概念数系表: 说明:“分类”的原则:1)相称(不重、不漏)2)有标准 2.非负数:正实数与零的统称。(表为:x≥0) 性质:若干个非负数的和为0,则每个非负数均为0。 3.倒数:①定义及表示法 ②性质:A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中,a≠0;C.01时,1/a<1;D.积为1。