直接证明和间接证明(4个课时)课程教案
2．2直接证明与间接证明
教学目标：
（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；
（2）掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式；
（3）能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法；
（4）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议：
1．知识结构:（不等式证明三种方法的理解）==〉（简单应用）==〉（综合应用）
2．重点、难点分析
重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；
难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；
②综合性问题证明方法的选择．
（1）不等式证明的意义
不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．
（2）比较法证明不等式的分析
①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法．
②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．
由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的
a-b>0．这种证法就是求差比较法．
由于当b>0时,a>b<==>(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件．
③求差比较法的基本步骤是：“作差→变形→断号”．
其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．
变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可.
④作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．（3）综合法证明不等式的分析
①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．
②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列已知条件推导变换，推导出求证的不等式．
③综合法证明不等式的逻辑关系是：
（已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要条件）==〉（结论）（4）分析法证明不等式的分析
①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法．有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立．这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据．
②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式．它与综合法是对立统一的两种方法．
③用分析法证明不等式的逻辑关系是：
（已知）<==（逐步推演不等式成立的必要条件）<==（结论）
④分析法是证明不等式时一种常用的基本方法．当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更实用.
（5）关于分析法与综合法关系
①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法．
②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，逐步地推导，最后达到题设的已知条件．即推理方向是：结论已知.
综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题．即：已知结论．
③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件．
综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件．
④一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写比较麻烦．因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．
第一课时不等式的证明（比较法）
教学目标
1．掌握证明不等式的方法——比较法；
2．熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤．
教学重点: 比较法的意义和基本步骤.
教学难点: 常见的变形技巧.
教学方法；启发引导法.
教学过程：
（－）导入新课
教师提问：根据前一节学过（不等式的性质）的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数与的大小？
找学生回答问题．
（学生回答：，，，）
［点评］要比较两个实数与的大小，只要考察与的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比较法．现在我们就来学习：用比较法证明不等式．
目的：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的知识．
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
作差比较法
[问题] 求证
教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明．
学生研究证明不等式，尝试完成问题．
［本问点评］
①通过确定差的符号，证明不等式的成立．这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过．
②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化．
③理论依据是：
④由，，知：要证明只需证；需证明这种证明不等式的方法通常叫做比较法．
目的：帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想．
【例题示范，学会应用】
教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评．
例1．求证
［分析］由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得
，将此式看作关于的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证．
证明：∵
＝
＝，
∴．
［本例点评］
①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号;
②作差后，式子符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定;
③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断;
④例1介绍了变形的一种常用方法——配方法．
例2 . 已知都是正数，并且，求证：
［分析］这是分式不等式的证明题，依比较法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证．证明：
＝
＝．
因为都是正数，且，
所以．
∴．
即：
[本例点评]
①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号;
②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法;
3322
例、已知都是实数且求证
≠+>+
a b a b a b a b ab
3,,,
33223223:()()()()a b a b ab a a b ab b +-+=---证明
2222()()()()a a b b a b a b a b =---=--2()()a b a b =+-
,0,0a b a b >∴+>Q 2()0a b a b ≠∴->Q 又 23322()()0()()0a b a b a b a b ab +->+-+>故即
3322a b a b ab ∴+>+
[本例点评]
①作差后是通过分组，提取公因式对差式进行恒等变形，化成n 个括号相乘的形式，从而推出差的符号;
②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——分组，提取公因式法;
求商比较法：
1 ,,,,.
a b b a a b a b a b a b ≥=例已知是正数求证当且仅当时等号成立:a b
a b a b b a b a a b a a b a b b ---??== ?
??
证明
(,,)0,1,0,1
,.
a b
a b a a a b a b b b a b -??≥>≥-≥∴≥ ?
??=根据要证的不等式的特点交换的位置不等式不变不妨设则当且仅当时等号成立,,.a b b a a b a b a b ∴≥=当且仅当时等号成立
小结：作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．
（最后是与1比较）
(三)课堂练习
教师指定练习题，要求学生独立思考．完成练习；请甲、乙两学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定和鼓励，对偏差点拨和纠正；点评练习中存在的问题．
练习：1．求证
2．已知，，，d都是正数，且，求证
目的:掌握用比较法证明不等式，并会灵活运用配方法和通分法变形差式，确定差式符号．反馈课堂教学效果，调节课堂教学．
（四）布置作业
2、已知：a，b∈R＋．求证：a5＋b5≥a3b2＋a2b3
2
2
1
1
x
x
≤
+
3、求证：
．
734
1(0)
q q q q
+≥+>
4、求证：
2
,()
a b
a b
R a b ab
+
+
∈≥
5、设a,b求证：
第二课时综合法
●教学目标
(一)教学知识点
综合法证明不等式.
(二)能力训练要求
1.理解综合法证明不等式的意义.
2.熟练掌握过去学过的重要不等式,并用这些不等式来证明新的不等式.
(三)德育渗透目标
掌握综合法、分析法证明不等式,培养学生严谨周密的逻辑思维习惯,加强学生实践能力的训练,由因导果,进一步巩固学生辩证唯物主义思想观念的教育,确实提高学生的思想道德品质.
●教学重点
1.掌握综合法证明不等式的基本思路,即“由因导果”,从已知条件及已知不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证的结论.
2.理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系.即A(已知)?B1?B2?…?B n?B(结论).运用不等式的性质和已证明过的不等式时,要注意它们各自成立的条件.这样才能使推理正确,结论无误.
3.在综合法证明不等式的过程中常用的关系有:
(1)a2≥0或(a±b)2≥0.
(2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab即a2+b2≥2|ab|.
(3)
ab b
a ≥+2
,对a >0,b >0,当且仅当a =b 时取“=”号. (4)当a ,b 同号时有a
b
b a +≥2,当且仅当a =b 时取“=”号.
(5)33
abc c b a ≥++ (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=”号.
(6)a 3+b 3+c 3≥3abc (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=”号. ●教学难点
“由因导果”时,从哪个不等式出发合适是综合法证明不等式的难点. ●教学过程 1.课题导入
［师］同学们,前面我们学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其几个重要的不等式.
(打出投影片§6.3.3 A,引导学生复习“算术平均数与几何平均数”的关系定理，阅读投影片§6.3.3 A)
我们要掌握下面重要的不等关系: (1)a 2≥0,或(a ±b )2≥0;
(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab ,即a 2+b 2≥2|ab |; (3)
ab b
a ≥+2
,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=”号; (4)ab ≤222b a +,(a ,b ∈R );ab ≤(2
ab )2
,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=”号;
(5)
a
b
b a +≥2,(ab >0),当且仅当a =b 时取“=”号； （6）
3
3
abc c b a ≥++,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=”号； （7)a 3+b 3+c 3≥3abc ,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=”号.
今天，我们在上一节课学习“比较法”证明不等式的基础上，继续学习证明不等式的一种常用的重要的方法——综合法.
2.讲授新课
一般地，从已知条件出发，利用定义、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法有较顺利推证法或有引导果法。
下面，我们探索研究用“综合法”证明不等式.
［例1］已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.
分析：观察题目，不等式左边含有“a2+b2”的形式，我们可以创设运用基本不等式：a2+b2≥2ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右边有三正数a,b,c的“积”，我们可以创设运用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.(教师引导学生，完成证明）
证法一：∵a>0,b2+c2≥2bc
∴由不等式的性质定理4，得
a(b2+c2)≥2abc. ①
同理b(c2+a2)≥2abc, ②
c(a2+b2)≥2abc. ③
因为a,b,c为不全相等的正数，所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2≥2ab三式不能全取“=”号，从而①,②,③三式也不能全取“=”号.
由不等式的性质定理3的推论，①,②,③三式相加得：
a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.
证法二：
a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)
=ab2+ac2+bc2+ba2+ca2+cb2
=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)
∵a,b,c为不全相等的正数.
∴a 2b +b 2c +c 2a >33233c b a =3abc
ab 2+bc 2+ca 2>33333c b a =3abc
由不等式的性质定理3的推论，得 a (b 2+c 2)+b (c 2+a 2)+c (a 2+b 2)>6abc .
总结：1.“综合法”证明不等式就是从已知（或已经成立）的不等式或定理出发，结合不等式性质，逐步推出（由因导果）所证的不等式成立.
2.在利用综合法进行不等式证明时，要善于直接运用或创设条件运用基本不等式，其中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧.
用P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示所要证明的结论.
例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a 、b 、c ，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．
3、课堂练习
1、在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ，B ，C 成等差数列，求证： 113a b b c a b c +=
++++ 4、课后作业 ?1P Q ?12Q Q
?23Q Q 特点:“由因导果”
则综合法用框图表示
为:
?n Q Q
…
:? ?分析由A,B,C 成等差数列可得什么由a,b,c 成等比数列可得什么
1．a A ． 1 a B ．|a|>－b C ． b a 11< D ．b 2>a 2 2．a,b ∈R +，M= 2 111 ,,2 ,222b a H ab G b a A b a +==+=+，则M 、A 、G 、H 间的大小关系是（ ） A ．M ≥A ≥G ≥H B ．M ≥H ≥A ≥G C ．A ≥G ≥M ≥H D ．A ≥G ≥H ≥M 3．0 （ ） A ．a 2+b 2 B ．a+b C ．2ab D ．2ab 4、已知a 2＋b 2＋c 2＝1，求证： 2 1 ≤ab ＋bc ＋ca ≤1. c b a c ab b a c a bc c b a ++≥++为正实数，求证：、已知：,,5 第三课时 分析法 ●教学目标 (一)教学知识点 分析法证明不等式. (二)能力训练要求 1.理解分析法证明不等式的原理和思路. 2.理解分析法的实质——执果索因,熟练掌握分析法证明不等式. (三)德育渗透目标 分析法证明不等式意在提高学生的数学素质,培养学生的创新意识,加强学生分析问题和解决问题的逻辑思维及推理能力,进一步使学生认识到事物间是有联系的辩证唯物主义观念. ●教学重点 分析法证明不等式,就是“执果索因”,从所证的不等式出发,不断用充分条件代替前面的不等式,直至使不等式成立的条件已具备,就断定原不等式成立.当证题不知从何入手时,有时可以运用分析法而获得解决,特别对于条件简单而结论复杂的题目往往是行之有效的方法. 用分析法论证“若A则B”这个命题的模式是:欲证命题B为真,只需证明命题B1为真,从而又只需证明命题B2为真,从而又……只需证明命题A为真,今已知A真,故B必真.简写为:B?B1?B2…?B n?A. ●教学难点 1.理解分析法的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”条件. 2.正确使用连接有关(分析推理)步骤的关键词.如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假定……成立”等. ●教学过程 1.课题导入 ［师］随着我们对不等式证明学习的逐步深入,我们还会遇到这样的问题:面对一个不等式的证明而一筹莫展,无计可施,由题设不易“切入”展开推理.在此情况下,我们可以尝试从目标不等式“倒推”分析,往往在“倒推”的过程中,逐渐发现解题思路,从而达到证明不等式的目的. 今天,我们根据这种基本思路,继续探讨学习证明不等式的又一种重要方法——分析法. 2.讲授新课 证明不等式时,有时可以从求证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、定理或以证明的定理、性质等）从而得出要证的命题成立，.这种证明方法通常叫做分析法.这是一种执果索因的思考和证明方法 下面,我们探索分析用“分析法”证明不等式 . 1 0,0)2 a b a b +≥>>例求证基本不等式 2 <例 22: ,,991418,1418,. <<+<+<<< 说明：证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难.例如,在本例中,我们很难想到从“14<18”入手.因此,在不等式的证明中,分析法占有重要的位置.我们常用分析法探索证明的途径,然后用综合法的形式写出证明过程,这是解决数学问题的一种重要思想方法. 2222 22 2 sin cos sin 1tan 1tan 1tan 2(1tan ) π αβπθθαθθβαβαβ≠+∈=--=++g 例已知，k (k Z)且 sin +cos =2sin , 求证： 3.课时小结 这节课,我们学习了“分析法”证明不等式.用“分析法”证明不等式时,其叙述方式很重要,必须突出分析法的语言“特色”,如:“欲证……成立,只需证……”或采用符号“?”或 “?”.还要注意,用“分析法”证明不等式的一大优点是,当我们面对一个不等式的证明而一筹莫展,无法下手时,它给我们提供了一 个方法,即从目标不等式“倒推”分析,而往往在“倒推”的过程中,会逐渐发现解题思路.因此,分析法从本质上说,只是对问题作尝试与探索的过程(即执果索因). 在运用“分析法”时,典型的错误是把所证不等式当作已知条件,如证明命题“若A 则B ”,错误地写成:“因为B 成立,则……”.希望同学们很好掌握 4、课堂练习 课本89页 练习 1,2,3. 5、课后作业 1．75226--与的大小关系是________________ 2．已知a>0，b>0，且a+b=1，求证：221212≤+++b a . 3．9)11)(1 1(1,≥++=+y x y x y x ，求证：是正实数，若 4．ααα α 2cos 42sin 31tan 2tan 1-==+-，求证：已知 第4课时反证法 ●教学目标 (一)教学知识点1.反证法的概念. 2.反证法证题的基本方法. (二)能力训练要求1.初步掌握反证法的概念. 2.理解反证法证题的基本方法. 3.培养学生用反证法简单推理的技能. (三)德育渗透目标培养学生通过事物的结论的反面出发，进行推理，使之引出矛盾，从而证明事物的结论成立的简单推理能力与思维能力. ●教学重点1.理解反证法的推理依据. 2.掌握反证法证明命题的方法. 3.反证法证题的步骤. ●教学难点理解反证法的推理依据及方法. ●教学过程 1.复习：证明不等式的常用方法：比较法、综合法、分析法. 2.讲授新课 反证法:先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明. 111 ,0,2,, 2.x y x y x y y x ++>+>例已知且试证 中至少有一个小于 1111:,2,2,2, ,0,12, 12,22()2, 112.2 x y x y y x y x x y x y y x x y x y x y x y x y y x ++++≥≥>∴+≥+≥∴++≥+∴+≤+++>∴Q 证明假设都不小于即且这与已知条件矛盾与中至少有一个小于 例2、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同时大于41 证：设(1 - a)b >41, (1 - b)c >41, (1 - c)a >41 , 则三式相乘：ab < (1 - a)b ?(1 - b)c ?(1 - c)a <641 ① 又∵0 < a, b, c < 1 ∴412)1()1(02 =???