线性代数复习资料情况总结
线性代数复习总结大全
第一章 行列式
二三阶行列式
N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的
n 个元素的乘积的和
n n
n nj j j j j j j j j n
ij a a a a ...)1(21212121)
..(∑-=
τ
（奇偶）排列、逆序数、对换
行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性
⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j
i ij M A +-=)
1(
定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则：
非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D
D x j j ??==、
齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：
①转置行列式：33
23133222123121
11333231232221
131211
a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =
③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零
④三线性行列式:33
31
2221
13
1211
0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式: 行列式运算常用方法（主要）
行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）
化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、
第二章 矩阵
n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律
乘法
n
m l
kj ik n l kj l m ik b a b a B A *1
**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义
一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( T
T T B A B A +=+)( T T kA kA =)( T
T T A B AB =)((反序定理) 方幂：212
1k k k k
A A
A +=
212
1)
(k k k k A A +=
阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）
单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵
阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素
阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， B A
=-1
(非
|A|=0、伴随矩阵)
2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另 初等矩阵都可逆
倍乘阵 倍加阵）
???
?
??=O O O I D r r
矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩
若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩
求法：1定义2转化为标准式或阶梯形
矩阵与行列式的联系与区别：
都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式n
ij n n
ij
a k ka =
逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
矩阵的逆矩阵满足的运算律：
1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的，且A A =--1
1)
(
2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的，且11
1)(--=
A k
kA 3、可逆矩阵A 的转置T
A 也是可逆的，且T T A A )()
(11
--=
4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的，且111
)
(---=A B AB
但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆，即使可逆，但1
1
)(--+≠+B A B A A 为N 阶方阵，若|A|=0，则称A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。 5、若A 可逆，则1
1
--=A A
伴随矩阵：A 为N 阶方阵，伴随矩阵：???
?
??=2221
1211
*
A A
A A A （代数余子式） 特殊矩阵的逆矩阵：（对1和2，前提是每个矩阵都可逆）
1、分块矩阵???? ??=C O B A D 则???
? ??-=-----11111
C O BC A A
D 2、准对角矩阵??
?
??
??
?
?=43
2
1
A A A A A ， 则??????
?
?
?=-----141
3
1
2
111
A A A A A 3、 I A A A AA ==*
*
4、1
*
-=A A A （A 可逆） 5、1
*
-=n A
A 6、()()A A
A A
1
*
11
*=
=--（A 可逆） 7、()()*
*
T T A A = 8、()
***
A B AB =
判断矩阵是否可逆：充要条件是0≠A ，此时*
1
1A A
A =- 求逆矩阵的方法：
定义法I AA =-1
伴随矩阵法A
A A *
1
=-
初等变换法()()
1
||-=A I
I A n
n
只能是行变换
初等矩阵与矩阵乘法的关系： 设()
n m ij a
A *=是
m*n 阶矩阵，则对A 的行实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同等的m 阶初等
矩阵左乘以A ：对A 的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种n 阶初等矩阵右乘以A （行变左乘，列变右乘）
第三章 线性方程组
消元法 非齐次线性方程组：增广矩阵→简化阶梯型矩阵
r(AB)=r(B)=r 当r=n 时，有唯一解；当n r ≠时，有无穷多解 r(AB)≠r(B)，无解
齐次线性方程组：仅有零解充要r(A)=n 有非零解充要r(A) 当齐次线性方程组方程个数=未知量个数，有非零解充要|A|=0 齐次线性方程组若有零解，一定是无穷多个 N 维向量：由n 个实数组成的n 元有序数组。希腊字母表示（加法数乘） 特殊的向量：行（列）向量，零向量θ，负向量，相等向量，转置向量 向量间的线性关系: 线性组合或线性表示 向量组间的线性相关（无）：定义179P 向量组的秩：极大无关组（定义P188） 定理：如果r j j j ααα,.....,21是向量组s ααα,.....,21的线性无关的部分组，则它是 极大无关组的充要条件是：s ααα,.....,21中的每一个向量都可由r j j j ααα,.....,21线性表出。 秩:极大无关组中所含的向量个数。 定理：设A 为m*n 矩阵，则r A r =)(的充要条件是：A 的列（行）秩为r 。 现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系 线性组合或线性表示注：两个向量αβ，若βαk =则α是β线性组合 单位向量组 任意向量都是单位向量组的线性组合 零向量是任意向量组的线性组合 任意向量组中的一个都是他本身的线性组合 向量组间的线性相关（无）注： n 个n 维单位向量组一定是线性无关 一个非零向量是线性无关，零向量是线性相关 含有零向量的向量组一定是线性相关 若两个向量成比例，则他们一定线性相关 向量β可由n ααα,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121T T n T T T n T T r r βαααααα= 判断是否为线性相关的方法： 1、定义法：设n k k k ....21，求n k k k ....21（适合维数低的） 2、向量间关系法183P ：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关 3、分量法（n 个m 维向量组）180P ：线性相关（充要）n r T n T T 线性无关（充要）n r T n T T =?)....(21 ααα 推论①当m=n 时，相关，则0321=T T T ααα；无关，则0321≠T T T ααα ②当m 推广：若向量s ααα,...,21组线性无关，则当s 为奇数时，向量组13221,...,αααααα+++s 也线性无关；当s 为偶数时，向量组也线性相关。 定理：如果向量组βααα,,...,21s 线性相关，则向量β可由向量组s ααα,...,21线性表出，且 表示法唯一的充分必要条件是s ααα,...,21线性无关。 极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的，但他们所含向量的个数是确定的； 不全为零的向量组的极大无关组一定存在； 无关的向量组的极大无关组是其本身； 向量组与其极大无关组是等价的。 齐次线性方程组（I ）解的结构：解为...,21αα （I ）的两个解的和21αα+仍是它的解； （I ）解的任意倍数αk 还是它的解； （I ）解的线性组合s s c c c ααα+++....2211也是它的解，s c c c ,...,21是任意常数。 非齐次线性方程组（II ）解的结构：解为...,21μμ （II ）的两个解的差21μμ-仍是它的解； 若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解，v 是其导出组AX=O 的一个解，则u+v 是（II ）的一个解。 定理： 如果齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(，则该方程组的基础解系存在，且在每个基础解系中，恰含有n-r 个解。 若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解，v 是其导出组AX=O 的全部解，则u+v 是（II ）的全部解。 第四章 向量空间 向量的内积 实向量 定义：（α，β）=n n T b a b a b a +++=....2211αβ 性质：非负性、对称性、线性性 (α,k β)=k(α,β); (k α,k β)=2 k (α,β); (α+β,δγ+)=(α,γ)+(α,δ)+(β,γ)+(β,δ); ),(),( 1 1 1 1 j i s j j r i i j s j j r i i i l k l k βαβα∑∑∑∑===== n R ∈δγβα,,,, 向量的长度),(ααα= 0=α的充要条件是α=0；α是单位向量的充要条件是（α，α）=1 单位化 向量的夹角 正交向量：αβ是正交向量的充要条件是（α，β）=0 正交的向量组必定线性无关 正交矩阵：ｎ阶矩阵Ａ I A A AA T T == 性质：1、若A 为正交矩阵，则Ａ可逆，且T A A =-1 ，且1-A 也是正交矩阵； ２、若A 为正交矩阵，则1±=A ； ３、若A 、Ｂ为同阶正交矩阵，则ＡＢ也是正交矩阵； ４、ｎ阶矩阵Ａ＝（ij a ）是正交矩阵的充要条件是Ａ的列（行）向量组是 标准正交向量； 第五章 矩阵的特征值和特征向量 特征值、特征向量 A 是N 阶方阵，若数λ使AX=λX ，即（λI-A ）=0有非零解，则称λ为A 的一 个特征值，此时，非零解称为A 的属于特征值λ的特征向量。 |A|=n λλλ...**21 注： 1、AX=λX 2、求特征值、特征向量的方法 0=-A I λ 求i λ 将i λ代入（λI-A ）X=0求出所有非零解 3、对于不同的矩阵，有重根、单根、复根、实根（主要学习的） 特殊：n I )(λ的特征向量为任意N 阶非零向量或)(21不全为零i n c c c c ??? ? ? ?? 4、特征值： 若)0(≠λλ是A 的特征值 则1 -A --------λ 1 则m A --------m λ 则kA --------λk 若2A =A 则-----------λ=0或1 若2 A =I 则-----------λ=-1或1 若k A =O 则----------λ=0 迹tr(A )：迹（A ）=nn a a a +??++2211 性质： 1、N 阶方阵可逆的充要条件是A 的特征值全是非零的 2、A 与1 -A 有相同的特征值 3、N 阶方阵A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关 4、 5、P281 相似矩阵 定义P283：A 、B 是N 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，满足B AP P =-1 ，则矩阵A 与B 相似，记作A~B 性质1、自身性：A~A,P=I 2、对称性：若A~B 则B~A B AP P =-1 1 -=PBP A A BP P =---1 11)( 3、传递性：若A~B 、B~C 则A~C B AP P =-11 1 C BP P =-21 2- --C P P A P P =-)()(211 21 4、若AB ，则A 与B 同（不）可逆 5、若A~B ，则11~--B A B AP P =-1两边同取逆，1 11---=B P A P 6、若A~B ，则它们有相同的特征值。 （特征值相同的矩阵不一定相似） 7、若A~B ，则)()(B r A r = 初等变换不改变矩阵的秩 例子：B AP P =-1则1100100 -=P PB A O AP P =-1 A=O I AP P =-1 A=I I AP P λ=-1 A=I λ 矩阵对角化 定理：N 阶矩阵A 与N 阶对角形矩阵相似的充要条件是A 有N 个线性无关的特征向量 注：1、P 与^中的i i x λ与顺序一致 2、A~^,则^与P 不是唯一的 推论：若n 阶方阵A 有n 个互异的特征值，则~^A （P281） 定理：n 阶方阵~^A 的充要条件是对于每一个i K 重特征根i λ，都有i i K n A I r -=-)(λ 注：三角形矩阵、数量矩阵I λ的特征值为主对角线。 约当形矩阵 约当块：形如???? ?? ? ? ?=λλ λλ11 1 J 的n 阶矩阵称为n 阶约当块； 约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵??? ? ? ? ?=n J J J J 2 1 （i J 是约当块）称为约当形矩阵。 定理：任何矩阵A 都相似于一个约当形矩阵，即存在n 阶可逆矩阵J AP P =-1 。 第六章 二次型 二次型与对称矩阵 只含有二次项的n 元多项式f()称为一个n 元二次型，简称二次型。 标准型：形如 的二次型，称为标准型。 规范型：形如 的二次型，称为规范型。 线性变换 矩阵的合同：设AB 是n 阶方阵，若存在一个n 阶可逆矩阵C ，使得 则称A 与B 是合同的，记作A B 。 合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、 化二次型为标准型：配方法、做变换（二次型中不含有平方项） ()0A r A n A Ax A A οο?? =?=?????不可逆 有非零解 是的特征值 的列（行）向量线性相关 12()0,,T s i n A r A n Ax A A A A A A A p p p p Ax οββ?? =??=? ?? ≠???? ?? =??????∈=?可逆 只有零解 的特征值全不为零 的列（行）向量线性无关 是正定矩阵 与同阶单位阵等价 是初等阵 总有唯一解 R ? ????→??? 具有 向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 √ 关于12,,,n e e e ???： ①称为n ?的标准基，n ?中的自然基，单位坐标向量； ②12,,,n e e e ???线性无关； ③12,,,1n e e e ???=； ④tr()=E n ； ⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ???线性表示. √ 行列式的计算： ① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 (1)mn A A A A B B B B A A B B οο οοο * = = =* *=- ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ③关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 (1) n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a ο οο ---* = =-K N N √ 逆矩阵的求法: ①1 A A A * -= ②1()()A E E A -????→M M 初等行变换 ③11a b d b c d c a ad bc --???? =????--???? T T T T T A B A C C D B D ?? ??=???????? ④12 11 11 2 1n a a n a a a a -????????????=??????????? ? ? ? O O 2 1 1 1 12 1 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ?????????? N N ⑤1 11 11 2 21n n A A A A A A ----???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? O O 1 112 1 211 n n A A A A A A ----? ? ? ????? ? ???=???? ???? ?????? N N √ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A = √ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++L ，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++L 为A 的一个多项式. √ 设,,m n n s A B ??A 的列向量为12,,,n ααα???,B 的列向量为12,,,s βββ???，AB 的列向量为 12,,,s r r r L , 1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,) ,(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==???=?? ==++?? ???L L L L 则：即 用中简 若则 单的一个提 即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘, 与分块对角阵相乘类似,即：1111 22 22 ,kk kk A B A B A B A B οοοο ?? ?? ? ??? ? ???==???????????? O O 11112222 kk kk A B A B AB A B ο ο ????? ?=?????? O √ 矩阵方程的解法：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时, ,B A B E X ????→M M 初等行变换 （当为一列时(I)的解法：构造()() 即为克莱姆法则） T T T T A X B X X =(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得 √ Ax ο=和Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系. √ 判断12,,,s ηηηL 是0Ax =的基础解系的条件： ① 12,,,s ηηηL 线性无关； ② 12,,,s ηηηL 是0Ax =的解； ③ ()s n r A =-=每个解向量中自由变量的个数. ① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. ④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. ⑤ 两个向量线性相关?对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα???中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合. ⑦ 向量组12,,,n ααα???线性相关?向量组中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα???线性无关?向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα???线性相关()r A n ?<； m 维列向量组12,,,n ααα???线性无关()r A n ?=. ⑨ ()0r A A ο=?=. ⑩ 若12,,,n ααα???线性无关，而12,,,,n αααβ???线性相关,则β可由12,,,n ααα???线性表示,且表示法惟一. ? 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数. ? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 12,,,n ααα???和12,,,n βββ???可以相互线性表示. 记作：{}{}1212,,,,,,n n αααβββ???=???% A 经过有限次初等变换化为 B . 记作：A B =% ? 矩阵A 与B 等价?()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价. 矩阵A 与B 作为向量组等价?1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ???=???=1212(,,,,,,)n n r αααβββ??????? 矩阵A 与B 等价. ? 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示 ?1212(,,,,,,)n s r αααβββ??????12(,,,)n r ααα=????12(,,,)s r βββ???≤12(,,,)n r ααα???. ? 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示,且s n >，则12,,,s βββ???线性相关. 向量组12,,,s βββ???线性无关,且可由12,,,n ααα???线性表示,则s ≤n . ? 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示,且12(,,,)s r βββ???12(,,,)n r ααα=???,则两向量组等价； ? 任一向量组和它的极大无关组等价. ? 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ? 若A 是m n ?矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =，A 的行向量线性无关； 若()r A n =，A 的列向量线性无关,即： 12,,,n ααα???线性无关. Ax β= 1122n n x x x αααβ+++=L 111211121 2222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β?????? ????????????===?? ????? ????? ??????L L M M M M M L 12,1,2,,j j j mj j n αααα??????==???????? L M -* 1212120,,,0,,,()(),,,A n A n n Ax Ax A n Ax Ax A Ax r A r A n βοαααβοβαααββααα??==?????→=<<≠???==?????→≠?=?=<≠ =?L L M L 当为方阵时 当为方阵时有无穷多解有非零解线性相关 有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关 12()(),,,()()()1()A n r A r A Ax r A r A r A r A ββαααβββ???????? ?????? ??????→?? ?≠?? ?=? M L M M 当为方阵时 克莱姆法则 不可由线性表示无解 线性方程组解的性质： 1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6)k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+??=?? =??++? ==+==-=L L 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解 211212112212112212,0(7),,,,1 00k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλλη ληληλλλ????? ???? ??? ?=?-=? =??++=?++=? ?++=?++=?L 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则 也是的解 是的解 √ 设A 为m n ?矩阵,若()r A m =,则()()r A r A β=M ,从而Ax β=一定有解. 当m n <时,一定不是唯一解.?<方程个数未知数的个数 向量维数向量个数 ,则该向 量组线性相关. m 是()()r A r A βM 和的上限. √ 矩阵的秩的性质： ① ()()()T T r A r A r A A == ② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min (),()r A r B ④ ()0 ()00 r A k r kA k ≠?=?=? 若 若 ⑤ ()()A r r A r B B οο?? =+?? ?? ⑥0,()A r A ≠若则≥1 ⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ??=+若且则≤n ⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则 ,()()B r AB r A =若可逆则 ⑩ (),()(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律: 0AB B AB AC B C ο=?==?= n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. (,)0αβ =. 1α==. √ 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=?=且 ② 对称性：(,)(,)αββα= ③ 双线性：1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+ 1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)c c c αβαβαβ== 123,,ααα线性无关, 1121221113132331 21122 (,) ()(,)(,)()()βααββαβββαβαββαββββββ=????=-?? ?=--??正交化 单位化：111βηβ= 222β ηβ = 333 βηβ= T AA E =. √ A 是正交矩阵的充要条件：A 的n 个行（列）向量构成n ?的一组标准正交基. √ 正交矩阵的性质：① 1T A A -=； ② T T AA A A E ==； ③ A 是正交阵,则T A （或1A -）也是正交阵； ④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1. E A λ-. ()E A f λλ-=. 0E A λ-=. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关 √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素. √ 若0A =,则0λ=为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量. √ 12n A λλλ=L 1n i A λ=∑tr √ 若()1r A =,则A 一定可分解为A =[]1212,,,n n a a b b b a ???? ???????? L M 、 21122()n n A a b a b a b A =+++L ,从而A 的特征值为： 11122n n A a b a b a b λ==+++L tr , 230n λλλ====L . √ 若A 的全部特征值12,,,n λλλL ，()f x 是多项式,则: ① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλL ； ② 当A 可逆时,1A -的全部特征值为12111 ,,,n λλλL , A *的全部特征值为12,,,n A A A L . √ 1122 ,.m m A k kA a b aA bE A A A A A λλλλλλλ-*??++????? ???? 是的特征值则:分别有特征值 √ 1122 ,m m A k kA a b aA bE A x A x A A A λλλλλλ-*??++????? ????是关于的特征向量则也是关于的特征向量. 1B P AP -= （P 为可逆阵） 记为：A B : √ A 相似于对角阵的充要条件：A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. √ A 可对角化的充要条件：()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值 ,则A 与对角阵相似. 1B P AP -= （P 为正交矩阵） √ 相似矩阵的性质：① 11A B --: 若,A B 均可逆 ② T T A B : ③ k k A B : （k 为整数） ④ E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征 向量不一定相同.即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量. ⑤ A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr √ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质： ① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 与对角矩阵合同； ③ 不同特征值的特征向量必定正交； ④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量； ⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,重数=()n r E A λ--）. A 与对角阵Λ相似. 记为：A Λ : （称Λ是A √ 若A 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）()r A =. √ 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有： []12 1212112212(,,,)(,,,)(,,,),,,n n n n n n P A A A A λλααααααλαλαλααααλΛ ?? ??? ?===????? ? L L L L O 1442443144424443 . √ 若A B :, C D :,则：A B C D οοοο???? ???? ????:. √ 若A B :,则()()f A f B :,()()f A f B =. 12(,,,)T n f x x x X AX =L A 为对称矩阵 12(,,,)T n X x x x = L T B C AC =. 记作：A B ; （,,A B C 为对称阵为可逆阵） √ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是：A B : √ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B = √ 12(,,,)T n f x x x X AX =L 经过 正交变换 合同变换可逆线性变换 X CY =化为 2121 (,,,)n n i i f x x x d y =∑L 标准型. √ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由 { ()r A +正惯性指数负惯性指数 惟一确定的. √ 当标准型中的系数i d 为1，-1或0时, √ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数. √ 任一实对称矩阵A 与惟一对角阵1 11 1 00??????????-? ? ? ???-???????????? O O O 合同. √ 用正交变换法化二次型为标准形: ① 求出A 的特征值、特征向量； ② 对n 个特征向量单位化、正交化； ③ 构造C （正交矩阵）,1C AC -=Λ； ④ 作变换X CY =,新的二次型为2121(,,,)n n i i f x x x d y =∑L ,Λ的主对角上 的元素i d 即为A 的特征值.