高等数学同济七版第一章电子教案

第一章 函数与极限

第一节 函数

一、集合

定义：以点a 为中心的任何开区间称为点a 的邻域，记作()U a .

设δ是任一正数，则开区间(),a a δδ-+就是点a 的一个邻域，这个邻域称为点a 的δ邻域，记作(),U a δ，即()(){}{},,||U a a a x a x a x x a δδδδδδ=-+=-<<+=-<，点a 称为这邻域的中心，δ称为这邻域的半径.

点a 的δ邻域去掉中心a 后，称为点a 的去心δ邻域，记作(),U a δ。

，即

(),U a δ。

()(){},,|a a a a x a x a a x a δδδδ=-?+=-<<<<+或{}|0x x a δ=<-<

把开区间(),a a δ-称为a 的左δ邻域，把(),a a δ+称为a 的右δ邻域.

二、函数 1．函数的定义

定义：对于任意x D R ∈?，按照对应法则f ，总存在确定的实数y 与之对应，则称y 是

x 的函数，记()y f x =．自变量x 取值的全体称为f 的定义域．对于用抽象的数学式表示的函数，

由于没有实际意义，通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域．

例：设x 为任一实数，不超过x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，例如507??

=????

，

1=，[]11-=-，[]3.54-=-，把x 看作变量，则函数[]y x =称为取整函数．显然[]x x ≥，

定义域为R ，值域为Z ．注：若整数[]n x >，则n x >．

指数函数：x

y a =（0a >且1a ≠） 幂函数：y x μ=（R μ∈是常数）

对数函数：log a y x =（0a >且1a ≠），特别地，当e a =时，记为ln y x = 三角函数：sin y x =，cos y x =，tan y x =，1cot tan y x x ==，1sec cos y x x

==， 1

csc sin y x x

==

反三角函数：arcsin y x =，arccos y x =，arctan y x =，arccot y x = arcsin y x =：定义域[1,1]-，值域[,]22

ππ

-

arccos y x =：定义域[1,1]-，值域[0,]π

arctan y x =：定义域R ，值域,22ππ??

- ???

arccot y x =：定义域R ，值域()0,π

定义：指数函数、幂函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数． 定义：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合，且用一个解析式表示的函数，称为初等函数.

注：求定义域考虑的几个方面（其中

W 表示一个x 或x 的一个表达式）

①1

y =W

，W 分母不能为０

②y =W 偶次，偶次根号下W 大于等于０

③log a y =W ，真数W 大于０

④

arcsin y =W ，11-≤≤W ；arccos y =W ，11-≤≤W

⑤

tan

y=W

，()

2

k k Z

π

π

≠+∈

W；cot

y=W，()

k k Z

π

≠∈

W

例：求下列函数的定义域

（１）y=

y=

解：

（１）函数成立满足的条件为

2

820

x x

?≠

?

?

+-≥

??

即

1

(2)(4)0

x

x x

≠

?

?

+-+≥

?

即

1

24

x

x

≠

?

?

-≤≤

?

解之得214

x x

-≤<<≤

或1

所以函数的定义域为[2,1)(1,4]

-?

（２）函数成立满足的条件为

11

10

x

?-≤≤

??

>

?

?-≥

??

即

1

1

e e

x

-

?≤≤

?

?

<

??

解之得22

11

e x e-

-≤≤-

所以函数的定义域为22

[1,1]

e e-

--

２．函数的特性

（１）单调性：对?

1

x，

2

x I D

∈?，当

12

x x

<时，若

12

()()

f x f x

<，则称函数()

f x在I

上是单调增加的；若

12

()()

f x f x

>，则()

f x在I上是单调减少的．

（２）奇偶性：设()

f x的定义域为D，其中D关于原点对称，若()()

f x f x

-=成立，则称()

f x为偶函数；若()()

f x f x

-=-成立，则称()

f x为奇函数.

注：奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称

（３）周期性：设()

f x的定义域为D，如果存在一个正数l，使得对于任一x D

∈均有()

x l D

±∈，且()()

f x l f x

+=成立，则称()

f x为周期函数，正数l称为函数()

f x的周期.

（４）有界性：设函数()

f x在集合D上有定义，如果存在正数M，使得()

f x M

≤，对任一x D

∈都成立，则称()

f x在D上有界；

如果这样的M不存在，即对于任意的正数M，无论它多大，

总存在x D

∈使得()

f x M

>，则称()

f x在D上无界.

如果存在常数M （或m ），使得对任意的x D ∈，

恒有()f x M ≤（或()f x m ≥），则称()f x 在D 上有上界（或有下界）.

注：()f x M ≤即()M f x M -≤≤，图像夹在以M y =-和M y =为边界的带型区域之间． 例：函数sin y x =在其定义域R 上是有界的，这是因为对任意的x ∈R ，恒有sin 1x ≤． 例：函数1

y x

=在()0,1内没有上界但有下界；在()1,2内有界，显然对任意的()1,2x ∈，恒有

11x ≤，这就是说1

y x

=在()1,2上是有界的；在其定义域(,0)(0,)-+U ∞∞内无界． 注：函数()f x 在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界． 证明：必要性 若函数()f x 在X 上有界 即?0M >，使得()f x M ≤，对?x X ∈都成立

∴ ()M f x M -≤≤，∴对?x X ∈，()f x M ≤，()M f x -≤

即()f x 在X 上既有上界又有下界． 充分性 若()f x 在X 上既有上界又有下界 即?数1k ，使得1()f x k ≤，对?x X ∈都成立

?数2k ，使得2()f x k ≥，对?

x X ∈都成立

∴21()k f x k ≤≤，对?x X ∈都成立

取{}12max ,M k k =，则()f x M ≤，对?x X ∈都成立

∴()f x 在X 上有界．

第二节 数列的极限

一、数列极限的定义

定义：按照下标n 从小到大排列得到的一个序列2,,,,n x x x L L ，就叫做数列，简记为数列{}n x ．

例：（１）111

1,,,,,23n L L

（２）1

143(1)2,,,,,,234n n n

-+-L L

（３）211,,,,,n q q q -L L （４）11,1,1,1,,(1),n ----L L

定义：设{}n x 为一数列，如果存在常数a ，对于任意 给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N ，使得 当n N >时，不等式n x a ε-<都成立，那么就称常数a 是

数列{}n x 的极限，或者称数列{}n x 收敛于a .记为lim n n

x a →

=∞

或()n x a n →→∞． 如果不存在这样的常数a ，就说数列{}n x 没有极限，或者说数列{}n x 是发散的，习惯上也说lim n n x →∞

不存在．

简记：lim n n x a →

=∞

?0,N n N ε?>?>正整数，当时，有n x a ε-<

例：证明数列1n ??

????

的极限是0.

证：对?0ε>，要使1110n x n n -=-=ε<，即1n ε>，只要取1N ε??

=????

，则当n N >时，

有10n

ε-<.即1

lim 0n n →=∞

例：证明数列1(1)n n n -??

+-????

的极限是1.

证：对?

0ε

>，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，即1n ε>，只要取1N ε??=????

，则当

n N >时，有

1(1)1n n n ε-+--<.即1

(1)lim 1n n n n

-→+-=∞. 例：设1q <，证明等比数列211,,,,,n q q q -L L 的极限是0. 证：对?

0ε>（设1ε<），要使1

100n n n x q q ε---=-=<，即ln 1ln n q

ε

>+

，只要取ln 1ln N q

ε

??=+

??????

，则当n N >时，有1

0n q ε--<.即1lim 0n n

q -→=∞. 二、收敛数列的性质

定理1（极限的唯一性）如果数列{}n x 收敛，那么它的极限唯一. 证：用反证法 假设lim n n x a →=∞

，lim n n x b →=∞

，且a b <，取2

b a

ε-=

由lim n n x a →

=∞

得，1N ? ，当1n N >时，不等式2

n b a x a --<成立， 即22n b a b a a x a ---

<<+即322

n a b a b

x -+<<① 同理，由lim n n

x b →

=∞

得，2N ? ，当2n N >时，不等式2

n b a x b --<成立， 即22n b a b a b x b ---

<<+即322

n a b b a

x +-<<② 取{}12,N max N N =，则当n N >时，①②同时成立，矛盾.得证. 注：逆否命题成立，即收敛于两个不同的极限的数列是发散的. 例：证明数列1(1)(1,2,)n n x n +=-=L 是发散的.

证：反证法 假设此数列收敛，则它有唯一的极限，设lim n n

x a →

=∞

.

开区间11,22a a ?

?

-

+ ???

内，这是不可能的，因为n x 无休止地重复1 和1- 这两个数，而这两个数不可能同时属于长度为1 的开区间11,22a a ?

?

-

+ ??

?

，因此这数列发散. 定义：对于数列{}n x ，如果存在着正数M ，使得对于一切n x 都满足不等式n x M ≤，则称数列{}n x 是有界的；如果这样的正数M 不存在，就说数列{}n x 是无界的.

例：数列1n n ????+??

有界，数列{}2n

无界

定理2（收敛数列的有界性）如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 一定有界.

证：设lim n n x a →

=∞

，则对于1,1n N n N x a ε=?>-<，当时，成立 当n N >时，()1n n n x x a a x a a a =-+≤-+<+ ，

取{}

12,,,,1N M max x x x a =+L ，那么数列{}n x 中的一切n x 都满足不等式

n x M ≤，这就说明了数列{}n x 是一定有界.

注：①逆否命题成立，即数列无界则数列一定发散.

②逆命题不一定成立，例如数列{}1(1)n +-，虽然有界但是不一定收敛.

定理3（收敛数列的保号性）如果lim n n x a →

=∞

，且0a >（或0a <），那么存在正整数0N > ，当n N >时，都有0n x >（或0n x <）.

证：当0a >时，由数列极限的定义， 对于0,22

n a a N n N x a ε=

>?>-<，当时，成立，从而022n a a

x a >-=>

同理可证0a <的情形.

推论：如果数列{}n x 从某项起有0n x ≥（或0n x ≤），且lim n n x a →

=∞

，那么0a ≥（或0a ≤） 证： 设数列{}n x 从1N 项起，即当1n N >时，有0n x ≥①

反证法 若lim 0n n

x a →

=<∞

，则由定理3，220n N n N x ?><，当时，有② 取{}12,N max N N =，则当n N >时，①②同时成立，矛盾.得证.

同理可证0n x ≤时的情形.

第三节 函数的极限

一、函数极限的定义

1.自变量趋于有限值时的函数的极限

定义：设函数()f x 在点0x 的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式00x x δ<-<时，对应的函数值()f x 都满足不等式()f x A ε-<，那么常数A 就叫做函数()f x 当0x x →时的极限，记作

lim ()x x f x A →=或0()f x A

x x →→（当）． 简记：0

lim ()x x f x A →=?00,00x x εδδ?>?><-<，当时，有()f x A ε-<

左极限：00()lim ()x x f x f x A -

-→==

?000,0x x x εδδ?>?>-<<，当时，有

()f x A ε-<

右极限：00()lim ()x x f x f x A +

+→==

?000,0x x x εδδ?>?><<+，当时，有

()f x A ε-<

左极限与右极限统称为单侧极限

注：0

lim ()x x f x A →=?0()f x -，0()f x +存在且相等

几何解释：

例：证明0

lim x x c c →=，此处c 为一常数.

证：对?

0ε>，要使

()0f x A c c ε-=-=<，任取000x x δ

δ><-<，当时，

c c ε-<成立，所以0

lim x x c c →=.

例：证明0

0lim x x x x →=

证：对?

0ε>，要使

0()f x A x x ε-=-<，取00x x δ

εδ=<-<，当时，

0x x ε-<成立，所以0

0lim x x x x →=.

例：证明1

lim(21)1x x →-= 证：对?0ε>，要使

()(21)121f x A x x ε-=--<-<，

取002

x x ε

δδ=

<-<，当时，

A

y=f (x )

x 0 A -ε

A+ε

x 0-δ x 0+δ

注：

lim(a)a

x x

x b x b

→

+=+

例：证明

2

1

1

lim2

1

x

x

x

→

-

=

-

证：对?0

ε>，要使21

()21

1

x

f x A x

x

ε

-

-=-<-<

-

，

取

0x x

δεδ

=<-<

，当时，

21

2

1

x

x

ε

-

-<

-

成立，所以

2

1

1

lim2

1

x

x

x

→

-

=

-

.

例：证明当

x>时，

lim

x x

→

=

证：对?0

ε>，要使

()

f x A xε

-=≤-<，而0

x>可用

00

x x x

-≤保证，取{}

00

min0

x x x

δδ

=<-<

，当时，

ε

<成立，所以

lim

x x

→

=

例：证明函数

??

?

?

?

>

+

=

<

-

=

1

1

)

(

x

x

x

x

x

x

f当0

x→时的极限不存在.

证：

左极限

()

f x-=1

)1

(

lim

)

(

lim

-

=

-

=

-

-→

→

x

x

f

x

x

,

右极限

00

()lim()lim(1)1

x x

f x f x x

++

+

→→

==+=,

因为)

(

lim

)

(

lim

x

f

x

f

x

x+

-→

→

≠

所以函数极限不存在.

2．自变量趋于无穷大时函数的极限

定义：设函数()

f x当||x大于某一正数时有定义.如果存在常数

A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在着正数X，使得当x满足不等式||x X

>时，对应的函数值()

f x都满足不等式()

f x Aε

-<，那么常数A就叫做函数()

f x当x→∞时的极限，记作

lim ()x f x A →=∞

或()()f x A x →→当∞

几何解释：

简记：lim ()x f x A →=∞

?0,0X x X ε?>?>>，当时，有()f x A ε-<

同理：lim ()x f x A →-=∞

?0,0X x X ε?>?><-，当时，有()f x A ε-<

lim ()x f x A

→+=∞

?0,0X x X ε?>?>>，当时，有

()f x A ε-<

例：证明1

lim 0x x

→=∞ 证：对?

0ε>，要使

11

()0f x A x x

ε-=

-=<，取1

X ε

=，

当x X >时， 10x

ε-<成立，所以1

lim 0x x →=∞.

注：①

0=∞

常数

“” ②直线0y = 是函数x

y 1

=的水平渐近线.

一般地, 如果()

lim ()x x x f x c →∞→-∞→+∞

=, 则直线y c =称为函数()y f x =的图形的水平渐近线.

二、函数极限的性质 以0

lim ()x x f x A →=为例

定理1（函数极限的唯一性）如果0

lim ()x x f x →存在，那么这极限唯一.

定理2（函数极限的局部有界性）如果0

lim ()x x f x A →=，那么存在常数0M >和0δ>，

使得当00x x δ<-<时，有()f x M ≤.

定理3（函数极限的局部保号性）如果0

lim ()x x f x A →=,且0A >(或0A <)，那么存在常

数0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()0()0f x f x ><（或）

.

推论：如果在0x 的某去心邻域内()0()0f x f x ≥≤（或）

，而且0

lim ()x x f x A →=，那么0A ≥(或0A ≤).

第四节 无穷小与无穷大

一、无穷小

定义：如果函数()f x 当0x x →（或x →∞）时的极限为零，那么称函数()f x 为当0

x x →（或x →∞）时的无穷小.

即0

lim ()0x x f x →=?对0ε?>，0δ?>，当00x x δ<-<时，有()f x ε<

例：因1lim

0x x →=∞，则1

y x

=为x →∞时的无穷小. 注：无穷小不是很小很小的数. 定理（无穷小与函数极限的关系定理）

在自变量的同一变化过程0x x →（或x →∞）中，函数()f x 的极限为A 的充分必要条件是()f x A α=+，其中α是同一极限过程中的无穷小.

证：必要性 设0

lim ()x x f x A →=，

则对00,00x x εδδ?>?><-<，当时，有()f x A ε-<，令()f x A α=-，

α是当0x x →时的无穷小，且()f x A α=+，这就证明()f x 等于它的极限A 与无穷小之和.

充分性 设()f x A α=+，其中A 是常数，α是当0x x →时的无穷小，于是()f x A α-= 因α是当0x x →时的无穷小，所以对0ε?>，0δ?>，当00x x δ<-<时，有αε<， 即()f x A ε-<，这就证明了A 是()f x 当0x x →时的极限.

例：求21

lim x x x

→+∞

解：因为

2112x x x +=+，而1x 是x →∞时的无穷小，所以21

lim 2x x x

→+=∞.

例：求2

01lim 1x x x →--

解：2

000

1lim lim(1)1lim 11x x x x x x x →→→-=+=+=-.

二、无穷大

定义：设函数()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义（或x 大于某一正数时有定义）.如果对于任意给定的正数M （不论它多么大），总存在正数δ（或正数X ），只要x 适合不等式00x x δ<-<（或x X >），对应的函数值()f x 总满足不等式()f x M >，则称函数()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷大.记作0

lim ()x x f x →=∞或lim ()x f x →∞

=∞

简记：0

lim ()x x f x →=∞?对0M ?>，0δ?>，当00x x δ<-<时，有()f x M >

或lim ()x f x →∞

=∞?对0M ?>，0X ?>，当x X >时，有()f x M >

注：无穷大不是很大很大的数.

正无穷大：0

lim ()x x f x →=+∞?对0M ?>，0δ?>，当00x x δ<-<时，有()f x M >

或lim ()x f x →∞

=+∞?对0M ?>，0X ?>，当x X >时，有()f x M > lim ()x f x →+∞

=+∞?对0M ?>，0X ?>，当x X >时，有()f x M > lim ()x f x →-∞

=+∞

?对0M ?>，0X ?>，当x X <-时，有()f x M >

负无穷大：0

lim ()x x f x →=-∞?对0M ?>，0δ?>，当00x x δ<-<时，有()f x M <-

或lim ()x f x →∞

=-∞?对0M ?>，0X ?>，当x X >时，有()f x M <- lim ()x f x →+∞

=-∞

?对0M ?>，0X ?>，当x X >时，有()f x M <-

lim ()x f x →-∞

=-∞

?对0M ?>，0X ?>，当x X <-时，有()f x M <-

例：证明11

lim

1

x x →=∞-

证：对0M ?>，要使1

1M x >-，只要11x M -<，取1M

δ=，当101x M δ<-<=时，有

11

M x >-，即11

lim 1x x →=∞-.

注：① 01

lim x x →=∞，0

=∞非零常数“”

②直线1y =是函数1

1

y x =

-的图形的铅直渐近线. 一般地说，如果0

()lim ()x x f x -∞→+∞

=∞，则直线0x x =是函数()y f x =的图形的铅直渐近线. 定理（无穷小与无穷大的关系定理）：

在自变量的同一变化过程中，如果()f x 为无穷大，则1

()

f x 为无穷小；反之，如果()f x 为无穷小，且()0f x ≠，则

1

()

f x 为无穷大. 证明：设0

lim ()x x f x →=∞，则对1

0,0M εε

?>=

>，0δ?>，当00x x δ<-<时，有

1

()f x M ε

>=

，即

1()f x ε<，所以

1

()

f x 为0x x →时的无穷小. 反之，0

lim ()0x x f x →=，且()0f x ≠，则对1

0,0M M

ε?>=

>，0δ?>，当00x x δ<-<时，有1()f x M ε<=

，即1()M f x >，所以1

()

f x 为0x x →时的无穷大.

例：计算11

lim

1

x x →-

解：因为1

lim(1)0x x →-=，由无穷小与无穷大的关系定理，所以11

lim

1

x x →=∞-.

补充：42P 6.函数cos y x x =在(,)-∞+∞内是否有界？这个函数是否为x →+∞时的无穷大？为什么？

解：①0M ?>Q ，总有0(,)x M ∈+∞，使0cos 1x =，从而000cos y x x x M ==>

∴ cos y x x =在(,)-∞+∞内无界.

②另取2(0,1,2,)2n x n n π

π=+

=L ，()(2)cos(2)022

n y x n n ππ

ππ=++= 所以当n →+∞时，n x →+∞，y 不是无穷大.

注：lim(0)0n n →∞

?=用罗比达法则算不出，需要用定义去证明.

7.证明：函数11

sin y x x

=

在区间(0,1]上无界，但这函数不是0x +→时的无穷大. 证：①对M ?正整数，取012

(0,1]x M π

=?∈4+1

使得0()()2f x M M π=?>4+1,∴11

sin y x x

=在区间(0,1]上无界.

②取1

(0,1,2,)2n x n n π

==L ，则当n →+∞时，0n x →，()2sin 20n y x n n ππ==，

所以这函数不是0x +→时的无穷大.

第五节 极限运算法则

定理1：有限个无穷小的和也是无穷小.

证：考虑两个无穷小的和，设αβ及是当0x x →时的两个无穷小，而γαβ=+ 由0

lim 0x x α→=，所以对于02

ε?

>，10δ?>，当010x x δ<-<时，2

εα<

又0

lim 0x x β→=，所以对于02

ε?

>，20δ?>，当020x x δ<-<时，2

εβ<

取12min{,}δδδ=，则当00x x δ<-<时，2

εα<及2

εβ<

同时成立，

从而2

2

ε

ε

γαβαβε=

+≤+<

+

=

这就说明了γ也是当0x x →时的无穷小. 推广到有限个无穷小仍然成立. 例：11

lim()01

x x x →∞

+

=- 定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

证：设函数u 在0x 的某一去心邻域01(,)U x δ。

内有界，即0M ?>，使u M ≤，对一切

01(,)x U x δ∈。

成立

又设α是当0x x →时的无穷小，即对于0ε?>，20δ?>，当02(,)x U x δ∈。

时，

M

ε

α<

取12min{,}δδδ=，则当0(,)x U x δ∈。

时，u M ≤及M

ε

α<同时成立，

从而u u M M

ε

ααε=?

=

这就说明了u α是当0x x →时的无穷小. 例：0sin 1arctan lim

0,lim sin 0,lim 0x x x x x

x x x x

→∞→→∞===

推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2：有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理3：如果lim ()f x A =，lim ()g x B =，那么 （1）[]lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x ±=±A B =± （2）[]lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x A B ?=?=? (3)若又有0B ≠,则()lim ()lim

()lim ()f x f x A

g x g x B

== 证：（1）（2）因lim ()f x A =，lim ()g x B =，由函数极限与无穷小的关系定理可得

()(),()()f x A x g x B x αβ=+=+，其中()x α与()x β是同一变化过程中的无穷小.

于是有[]()()()()()f x g x A B x x αβ±=±+±，[]()()()()()()f x g x AB A x B x x x βααβ?=+++ 又[]()()x x αβ±与[]()()()()A x B x x x βααβ++都是无穷小. 再由函数极限与无穷小的关系定理可得

[]lim ()()lim ()lim ()

f x

g x f x g x ±=±A B =±

[]lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x A B ?=?=?，定理得证.

注：定理3中的（1）（2）推广到有限个函数仍然成立.

[]lim ()()()lim ()lim ()lim ()f x g x h x f x g x h x +-=+-

[]lim ()()()lim ()lim ()lim ()f x g x h x f x g x h x ??=??

推论1:如果lim ()f x 存在，而c 为常数，则[][]lim ()lim ()cf x c f x =

推论2:如果lim ()f x 存在，而n 为正整数，则[][]lim ()lim ()n

n

f x f x = 定理4：如果()()x x ?ψ≥，而(),()x a x b ?ψ==，那么a b ≥ 证：令()()()f x x x ?ψ=-，则()0f x ≥，由定理3，

lim ()lim[()()]lim ()lim ()f x x x x x ?ψ?ψ=-=-=a b -

由保号性，0a b -≥，即a b ≥.

例1：求3221lim 53x x x x →--+（0

常数

非）

解：3

22

1lim 53x x x x →--+3222lim 1lim 53x x x x x →→-=-+（）（）322

2222

lim lim1

lim lim5lim3x x x x x x x x →→→→→-=-+

3

2

2

22

lim 1

lim 5lim 3x x x x x x →→→-=-+（）（）32217

32523--==-?+ 注：0

000

00lim ()()

()lim ()lim ()()lim ()()

x x x x x x x x P x P x P x F x F x Q x Q x Q x →→→→==== 有理分式的极限当分母极限不为0时，等于把0x 直接代入函数中. 例2：求233lim

9x x x →--（0

）

解：233lim

9x x x →--31lim 3x x →=+1

6

=. 例3：求2123lim

54x x x x →--+（0

非0

）

解：因2154lim 023x x x x →-+=-，由无穷小与无穷大的关系定理，所以2123lim 54

x x x x →-=∞-+. 例4：求3

lim 1x x x →∞

-+（2）

解：因33

23

1

10lim lim 01121x x x x x x x →∞→∞===-+-+22，所以3lim 1x x x →∞

-+∞（2）=.

例5：求232321lim 25x x x x x →∞---+（∞

∞

） 解：2

23

323

321

321lim lim 015

252x x x x x x x x x x x →∞→∞----==-+-+. 例6：求32225lim 321x x x x x →∞-+--（∞

∞

）

解：因为2

23

323

321

321lim lim 015

252x x x x x x x x x x x →∞→∞----==-+-+，由无穷小与无穷大的关系定理， 所以32225

lim 321

x x x x x →∞-+=∞--. 例7：求32325lim 321x x x x x →∞-+--（∞

∞

） 解：323

3

23

15

2252lim lim 2133213x x x x x x x x x x →∞→∞-+-+==----.

注：一般的，有如下结果：当00a ≠，00b ≠，m 和n 为非负整数时，有

101101,lim 0,,m m m n n x n a m n b a x a x a m n b x b x b m n

--→∞?=??++???+?=???

∞ 此外，以上结论对数列极限也适用，例如，323

232

lim 21

21n n n n n n →∞+-==++. 例8：求135(21)lim

2462n n n →∞++++-++++L L （∞∞

） 解：[12n 1)]

135(21)22lim lim lim 122n

246222n 2

n n n n

n n n n →∞→∞→∞+-?++++-===++++++?L L （.

注：①等差求和公式11()(1)

22

n n a a n n n S na d +?-=

=+

②等比求和公式1(1)

1n n a q S q

-=-

定理5：设函数

[g()]y f x =是由函数()u g x =与函数()y f u =复合而成，

[g()]f x 在点0x 的某去心邻域内有定义，若0

0limg()x x

x u →=，0

lim ()u u f u A →=，且存在00δ> ，

当00(,)x U x δ∈。

时，有0g()x u ≠，则0

lim [g()]lim ()x x u u f x f u A →→==.

证：要证：对于0ε?>，0δ?>，当00x x δ<-<时，[g()]f x A ε-< 由于0

lim ()u u f u A →=，对于0ε?>，0η?>，当00u u η<-<时，()f u A ε-<

又由于0

0limg()x x

x u →=，对于上面得到的0η>，10δ?>当010x x δ<-<时，

0g()x u η-<

由假设，当00(,)x U x δ∈。

时，有0g()x u ≠，取01min{,}δδδ=，则当00x x δ<-<时，0g()x u η-<及0g()0x u -≠同时成立，即0g()x u η-<成立，从而

[g()]()f x A f u A ε-=-<成立，得证.

例9：求0

1lim x x →（0

），n 为正整数.

解： 令t =，则1n

x t

=-，且01x t →→时，，则

111

lim 1n x t t x

t →→-=-1211lim (1)(1)n n t t t t t t --→-=-++++L 12111lim

1n n t n

t t t --→==++++L

注：10

21

01

()()n

n

n n n a b a b a b a b a b ----=-+++L 作业：424981(7)(8)(9)(11)(13)(14)P P 、

高等数学同济第七版7版下册习题 全解

数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"

jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学同济第七版7版下册习题全解

第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ (

A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n "

9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)

福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。

二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则

高等数学同济第七版上册课后答案

习题1-10 1.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1, 2)内至少有一点ξ(1<ξ<2),使f(ξ)=0,即x=ξ是方程x5-3x=1的介于1和2之间的根. 因此方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 2.证明方程x=a sin x+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b. 证明设f(x)=a sin x+b-x,则f(x)是[0,a+b]上的连续函数. f(0)=b,f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0. 若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根; 若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使f(ξ)=0,这说明x=ξ也是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根. 总之,方程x=a sin x+b至少有一个正根,并且它不超过a+b. 3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有 |f(x)-f(y)|≤L|x-y|,其中L为正常数,且f(a)?f(b)<0.证明:至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0. 证明设x0为(a,b)内任意一点.因为

0||lim |)()(|lim 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(lim 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a

高等数学同济第七版7版(下册)习题全解

数，故 /, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/+r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ? 3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr+ jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh

尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n" jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学同济第七版上册知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一.函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以f(x)~g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~x ，tan x ~x ，x arcsin ~x ，x arccos ~x ， 1?cos x ~2/2^x ，x e ?1~x ，)1ln(x +~x ，1)1(-+αx ~x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则1.单调有界数列极限一定存在 准则2.（夹逼定理）设g (x )≤f (x )≤h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 5．洛必达法则 定理1设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；

（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于) () (lim 0x F x f x x ''→；当 )()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，) () (lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0 x f x x ，∞=→)(lim 0 x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）) () (lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞ 型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞ ∞ 型同样适 用． 使用洛必达法则时必须注意以下几点： （1）洛必达法则只能适用于“00 ”和“∞ ∞ ”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00 ”或“ ∞ ∞ ”型才能运用该法则； （2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则； （3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限 基本公式)() ()(lim 0'000x f x x f x x f x =?-?+→?(如果存在） 7.利用定积分定义求极限 基本格式?∑==∞→1 1)()(1lim dx x f n k f n n k n （如果存在） 三．函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点 设0x 是函数y =f (x )的间断点。如果f (x )在间断点0x 处的左、右极限都存在，则称0x 是f (x )的第一类间断点。左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为可去间断点。左右极限不存在为跳跃间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。 （2）第二类间断点 ) () (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→

高等数学(同济第七版下)课后习题及解答

1.设u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用a ，b ，c 表示2u -3v . 解2u -3v =2（a -b +2c ）-3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图8-1，设四边形ABCD 中AC 与BD 交于M ，已知 AM =MC ，MB DM . 故 DC DM MC MB AM AB . 即DC AB //且｜AB |=|DC |，因此四边形 ABCD 是平行四边形． 3.把△ABC 的BC 边五等分，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各 分点与点A 连接.试以AB =c,BC =a 表向量 A D 1,A D 2,A D 3,A D 4 .证 如图8-2，根据题意知 5 11 BD a, 5 12 1D D a, 5 13 2D D a, 5 14 3D D a, 故A D 1=-（ 1BD AB ）=-5 1 a-c

A D 2=-（2BD A B ）=-52 a-c A D 3=-（3BD A B ）=-53 a-c A D 4 =-（4BD AB ）=-5 4 a-c. 4.已知两点M 1（0，1，2）和M 2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示向量 21M M 及-221M M . 解 21M M =（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）. -221M M =-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）. 5.求平行于向量a =（6，7，-6）的单位向量. 解向量a 的单位向量为 a a ，故平行向量a 的单位向量为 a a = 11 1（6，7，-6）= 11 6,117,116， 其中 11)6(7 6 2 2 2 a . 6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （2，3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3，1）. 解A 点在第四卦限，B 点在第五卦限，C 点在第八卦限，D 点在第三卦限. 7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （3，4，0）， B （0，4，3）， C （3，0，0）， D （0，

高等数学(同济第七版)提纲

函数、极限、连续 一、函数：五大类基本初等函数幂函数，指数函数，对数函数 反函数，有界性，奇偶性 三角函数：正割函数，余割 反三角函数 二、极限 1、数列的极限 夹逼准则 2、函数的极限 （1）两个重要极限 （2）无穷小：高阶，低阶， 同阶，等价；性质：有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小。等价无穷小代换；

三、连续 间断点：第一类，第二类左右极限都存在； 可去间断点，跳跃间断点无穷间断点，振荡间断点一切初等函数在定义区间内都连续。 闭区间上连续函数的性质：零点定理：方程根的存在性 第二章导数与微分 一、相关概念 1、导数的两大定义式； 2、左右导数；

3、几何意义； 4、可导与连续的关系。 5、16个基本导数公式，4个求导法则 二、六大类函数求导 1、复合函数求导； 2、隐函数求导； 3、参数方程所确定的函数求导； 4、幂指函数求导； 对数求导法 5、分段函数求导； 6、抽象函数求导。 三、微分 1、概念；可微 2、计算

第三章微分中值定理 与导数的应用 一、中值定理 罗尔定理：驻点 拉格朗日中值定理 二、洛必达法则 三、单调性和凹凸性 单调性：求单调区间； 求极值； 证明不等式； 证明方程根的唯一性。极值的第一充分条件 有且仅有；

凹凸性：凹凸区间；拐点 四、渐近线 1、水平渐近线 2、垂直渐近线 3、斜渐近线 第四章不定积分 一、不定积分的概念； （13+2） 原函数；被积函数；积分变量 二、计算 1、凑微分法（第一类换元法） 2、第二类换元法 3、分部积分法 （一）4小题

（二）2小题 （三）1小题 简单根式的积分 第五章定积分 一、相关概念和性质 积分下限，积分上限 几何意义：面积的代数和[a,b]积分区间 比较性质 定积分的中值定理 二、关于计算方面的内容 1、定积分的计算； 2、广义积分（反常积分）；（1）无穷限的广义积分；

高等数学(同济第七版)(上册)_知识点总结

高等数学 (同济第七版 )上册 -知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1. 两个无穷小的比较 设 lim f (x) 0,lim g(x) 0且 lim 1) l = 0 ，称f (x) 是比g(x) 高 阶的无穷小，记以 f (x) = 0[ g(x) ] ，称g(x) 是比 f(x) 低阶的无穷小。 (2)l ≠ 0，称f (x) 与g(x) 是同阶无穷小。 (3)l = 1 ，称f (x) 与g(x) 是等价无穷小，记以 f (x) ~ g(x) 2. 常见的等价无穷小 当 x →0时 sin x ~ x ， tan x ~ x ， arcsin x ~ x ， arccosx ~ x ， 1- cos x ~ x^2/2 ， e x -1 ~ x ，ln(1 x) ~ x ，(1 x) 1~ x 求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2. (夹逼定理)设 g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) 若 lim g(x) A,lim h(x) A ，则 lim f (x) A 2．两个重要公式 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当 x 0 时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 23 e x 1 x x x 2! 3! 35 xx sinx x ... ( 1) 3! 5! (2n 1)! g f ((x x )) l 公式 1 sin x 公式 2 l im(1 x) n x n! o(x n ) 2n 1 n x 2n 1 n o(x 2n 1)

2 4 2n x x n x 2n cosx 1 ... ( 1)n o(x 2n ) 2! 4! 2n! 2 3 n ln(1 x) x x x ... ( 1)n 1 x o(x n ) 2 3 n ( 1) 2 ( 1)...( (n 1)) n n (1 x) 1 x x 2 ... x n o(x n ) 2! n! 3 5 2n 1 x x n 1 x 2n 1 arctan x x ... ( 1) o(x ) 3 5 2n 1 5．洛必达法则 定理 1 设函数 f (x) 、 F ( x)满足下列条件： (1) lim f(x) 0， lim F(x) 0； x x 0 x x 0 (2) f(x)与 F(x)在 x 0的某一去心邻域内可导，且 F (x) 0； (3) lim f (x) 存在(或为无穷大) ，则lim f(x) lim f (x) x x 0 F (x) x x 0 F(x) x x 0 F (x) 这个定理说明：当 lim f (x) 存在时， lim f (x) 也存在且等于 lim f (x) ；当 x x0 F (x) x x0 F(x) x x0 F (x) lim f (x) 为无穷大时， lim f(x) 也是无穷大． x x 0 F (x) x x 0 F(x) 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值 的方法称为洛必达( LH ospital )法则 . 型未定式 定理 2 设函数 f (x) 、 F(x)满足下列条件： 注：上述关于 x x 0时未定式 型的洛必达法则，对于 x 时未定式 型 同样适用． 使用洛必达法则时必须注意以下几点： (1)洛必达法则只能适用于“ 0 ” 和“ ”型的未定式，其它的未定式须 0 先化简变形成“ 0 ”或“ ”型才能运用该法则； (2)只要条件具备，可以连续应用洛必达法则； (3) 洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不 能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限 基本公式 li x m 0 f (x 0 x) f(x 0) f '( x 0 ) (如果存在) 7. 利用定积分定义求极限 基本格式 lim 1 f(k ) f (x)dx (如果存在) n n k 1 n 0 1) 2) 3) lim f(x) ， lim F(x) ； x x 0 x x 0 f(x)与 F(x)在 x 0的某一去心邻域内可导，且 F (x) 0； F f ((x x )) 存在(或为无穷大)，则 x lim x 0 f (x) F(x) lim f (x) x x 0 F (x)