第1讲 等差数列及其前n 项和
一、填空题
1.在等差数列{a n }中,a 3+a 7=37,则a 2+a 4+a 6+a 8=________. 2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 412-S 3
9=1,则公差为________. 3.在等差数列{a n }中,a 1>0,S 4=S 9,则S n 取最大值时,n =________. 4.在等差数列{a n }中,若a 1+a 4+a 7=39,a 3+a 6+a 9=27,则S 9=________. 5.设等差数列{a n }的公差为正数,若a 1+a 2+a 3=15,a 1a 2a 3=80,则a 11+a 12
+a 13=________.
6.已知数列{a n }的前n 项和为S n =2n 2+pn ,a 7=11.若a k +a k +1>12,则正整数k 的最小值为________.
7.已知数列{a n }满足递推关系式a n +1=2a n +2n
-1(n ∈N *
),且?
?????????a n +λ2n 为等差数列,
则λ的值是________.
8.已知数列{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,a 7-a 5=4,a 11=21,S k =9,则k =________.
10.已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数,对于任意的x ,y ∈R ,都有f (x ·y )=xf (y )+yf (x )成立.数列{a n }满足a n =f (2n )(n ∈N *),且a 1=2.则数列的通项公式a n =________. 二、解答题
11.已知等差数列{a n }的前三项为a -1,4,2a ,记前n 项和为S n .
(1)设S k =2 550,求a 和k 的值;
(2)设b n =S n
n ,求b 3+b 7+b 11+…+b 4n -1的值.
12.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n,若a3,a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项,试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n.
13.在等差数列{a n}中,公差d>0,前n项和为S n,a2·a3=45,a1+a5=18.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)令b n=
S n
n+c
(n∈N*),是否存在一个非零常数c,使数列{b n}也为等差数列?
若存在,求出c的值;若不存在,请说明理由.
第2讲 等比数列及其前n 项和
一、填空题
1.设数列{a 2n }前n 项和为S n ,a 1=t ,a 2=t 2
,S n +2-(t +1)S n +1+tS n =0,则{a n }
是________数列,通项a n =________.
解析 由S n +2-(t +1)S n +1+tS n =0,得S n +2-S n +1=t (S n +1-S n ),所以a n +2=ta n +1,所以a n +2a n +1=t ,又a 2
a 1=t ,
所以{a n }成等比数列,且a n =t ·t n -1=t n . 答案 等比 t n
2.等比数列{a n }的前n 项和为S n,8a 2+a 5=0,则S 6
S 3
=________.
解 ∵8a 2+a 5=8a 1q +a 1q 4=a 1q (8+q 3)=0 ∴q =-2
∴S 6S 3=1-q 6
1-q
3=1+q 3=-7. 答案 -7
3.数列{a n }为正项等比数列,若a 2=2,且a n +a n +1=6a n -1(n ∈N ,n ≥2),则此数列的前4项和S 4=________.
解析 由a 1q =2,a 1q n -1+a 1q n =6a 1q n -2,得q n -1+q n =6q n -2,所以q 2+q =6.又q >0,所以q =2,a 1=1. 所以S 4=a 1(1-q 4)1-q =1-241-2=15.
答案 15
4.已知等比数列{a n }的前n 项和S n =t ·5n -2-1
5,则实数t 的值为________.
解析 ∵a 1=S 1=15t -15,a 2=S 2-S 1=4
5t ,a 3=S 3-S 2=4t ,∴由{a n }是等比数
列知? ????45t 2=? ????
15t -15×4t ,显然t ≠0,所以t =5.
答案 5
5.已知各项都为正数的等比数列{a n }中,a 2·a 4=4,a 1+a 2+a 3=14,则满足a n ·a n
+1
·a n +2≥18的最大正整数n 的值为________.
解析 由等比数列的性质,得4=a 2·a 4=a 23(a 3>0),所以a 3=2,所以a 1+a 2
=14-a 3=12,于是由?????
a 1q 2=2,a 1()
1+q =12,
解得???
a 1=8,
q =1
2,
所以a n =8·? ????12n -1=? ??
??12n -4. 于是由
a n ·a n +1·a n +2=a 3n +1=?
?
???123(n -3)=? ??
??18n -3≥18,得n -3≤1,即n ≤4. 答案 4
6.在等比数列{a n }中,a n >0,若a 1·a 2·…·a 7·a 8=16,则a 4+a 5的最小值为________. 解析 由已知a 1a 2·…·a 7a 8=(a 4a 5)4=16,所以a 4a 5=2,又a 4+a 5≥2a 4a 5=22(当且仅当a 4=a 5=2时取等号).所以a 4+a 5的最小值为2 2. 答案 2 2
7.已知递增的等比数列{a n }中,a 2+a 8=3,a 3·a 7=2,则a 13
a 10
=________.
解析 ∵{a n }是递增的等比数列,∴a 3a 7=a 2a 8=2, 又∵a 2+a 8=3,
∴a 2,a 8是方程x 2-3x +2=0的两根,则a 2=1,a 8=2, ∴q 6
=a 8a 2=2,∴q 3
=2,∴a 13a 10
=q 3= 2.
答案 2
8.设1=a 1≤a 2≤…≤a 7,其中a 1,a 3,a 5,a 7成公比为q 的等比数列,a 2,a 4,a 6成公差为1的等差数列,则q 的最小值为________.
解析 由题意知a 3=q ,a 5=q 2,a 7=q 3且q ≥1,a 4=a 2+1,a 6=a 2+2且a 2≥1,那么有q 2≥2且q 3≥3.故q ≥33,即q 的最小值为33. 答案
33
二、解答题
11.在等差数列{a n }中,a 2+a 7=-23,a 3+a 8=-29.
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设数列{a n +b n }是首项为1,公比为c 的等比数列,求{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差是d .
依题意a 3+a 8-(a 2+a 7)=2d =-6,从而d =-3. 由a 2+a 7=2a 1+7d =-23,解得a 1=-1. 所以数列{a n }的通项公式为a n =-3n +2.
(2)由数列{a n +b n }是首项为1,公比为c 的等比数列, 得a n +b n =c n -1,即-3n +2+b n =c n -1, 所以b n =3n -2+c n -1.
所以S n =[1+4+7+…+(3n -2)]+(1+c +c 2+…+c n -1) =n (3n -1)
2+(1+c +c 2+…+c n -1
).
从而当c =1时,S n =n (3n -1)2+n =3n 2+n
2.
当c ≠1时,S n =n (3n -1)2+1-c n
1-c
.
12.设各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,S 4=1,S 8=17.
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)是否存在最小的正整数m ,使得n ≥m 时,a n >2 011
15恒成立?若存在,求出m ;若不存在,请说明理由.
解 (1)设{a n }的公比为q ,由S 4=1,S 8=17知q ≠1,所以得a 1(q 4-1)
q -1=1,
a 1(q 8-1)
q -1
=17. 相除得q 8-1
q 4-1=17,解得q 4=16.所以q =2或q =-2(舍去).
由q =2可得a 1=1
15,所以a n =2n -115.
(2)由a n =2n -115>2 011
15,得2n -1>2 011,而210<2 011<211,所以n -1≥11,即n ≥12.
因此,存在最小的正整数m =12,使得n ≥m 时,a n >2 011
15恒成立. 13.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 2·a 4=65,a 1+a 5
=18.
(1)求数列{a n }的通项公式a n .
(2)若1<i <21,a 1,a i ,a 21是某等比数列的连续三项,求i 的值;
(3)是否存在常数k ,使得数列{S n +kn }为等差数列?若存在,求出常数k ;若不存在,请说明理由.
解 (1)因为a 1+a 5=a 2+a 4=18,又a 2·a 4=65, 所以a 2,a 4是方程x 2-18x +65=0的两个根. 又公差d >0,所以a 2<a 4.所以a 2=5,a 4=13. 所以???
a 1+d =5,
a 1+3d =13,
解得a 1=1,d =4.所以a n =4n -3.
(2)由1<i <21,a 1,a i ,a 21是某等比数列的连续三项,所以a 1·a 21=a 2i ,即1·81=(4i -3)2,解得i =3. (3)由(1)知,S n =n ·1+
n (n -1)2
·4=2n 2
-n . 假设存在常数k ,使数列{S n +kn }为等差数列,
由等差数列通项公式,可设S n +kn =an +b ,
得2n 2+(k -1)n =an 2+2abn +b 恒成立,可得a =2,b =0,k =1.所以存在k =1使得{S n +kn }为等差数列.
第3讲 等差数列、等比数列与数列求和
一、填空题
1.设{a n }是公差不为0的等差数列,a 1=2且a 1,a 3,a 6成等比数列,则{a n }的
前n 项和S n =________.
解析 由题意设等差数列公差为d ,则a 1=2,a 3=2+2d ,a 6=2+5d .又∵a 1,
a 3,a 6成等比数列,∴a 23=a 1a 6,即(2+2d )2=2(2+5d ),整理得2d 2
-d =0.∵
d ≠0,∴d =12,∴S n =na 1+n (n -1)2d =n 24+74n . 答案 n 24+7
4n
2.数列{a n }的通项公式a n =1n +n +1,若前n 项的和为10,则项数为________.
解析 ∵a n =1n +
n +1
=
n +1-n ,∴S n =
n +1-1=10,∴n =120.
答案 120
3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 5=5,S 5=15,则数列?
????????
?1a n a n +1的前
100
项和为________.
解析 ∵a 5=5,S 5=15,∴5(a 1+a 5)
2
=15,即a 1=1.
∴d =a 5-a 1
5-1=1,∴a n =n .∴1a n a n +1=1n (n +1)=1n -1
n +1.设数列????
??1a n a n +1的前n 项和为T n .
∴T 100=? ????1-12+? ????12-13+…+? ??
??1
100-1101=1-1101=100101.
答案 100
101
4.已知数列{a n },{b n }都是等差数列,a 1=5,b 1=7,且a 20+b 20=60.则{a n +b n }的前20项的和为________.
解析 由题意知{a n +b n }也为等差数列,所以{a n +b n }的前20项和为:S 20=20(a 1+b 1+a 20+b 20)2=20×(5+7+60)
2=720.
答案 720
5.已知等比数列{a n }的前n 项和S n =2n -1,则a 21+a 22+…+a 2
n =________.
解析 当n =1时,a 1=S 1=1,
当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n -1-(2n -1-1)=2n -1,
又∵a 1=1适合上式.∴a n =2n -1,∴a 2n =4
n -1
. ∴数列{a 2n }是以a 21=1为首项,以4为公比的等比数列.
∴a 21+a 22+…+a 2n =
1·(1-4n )1-4=13(4n -1). 答案 1
3(4n -1) 6.定义运算:??
????a
b c
d =ad -bc ,若数列{a n }满足?????
???a 1 122 1=1且??????3 3 a n a n +1=12(n ∈N *),则a 3=________,数列{a n }的通项公式为a n =________. 解析 由题意得a 1-1=1,3a n +1-3a n =12即a 1=2,a n +1-a n =4. ∴{a n }是以2为首项,4为公差的等差数列, ∴a n =2+4(n -1)=4n -2,a 3=4×3-2=10. 答案 10 4n -2
7.在等比数列{a n }中,a 1=1
2,a 4=-4,则公比q =________;|a 1|+|a 2|+…+|a n |=________.
解析 ∵a 4a 1=q 3=-8,∴q =-2.∴a n =1
2·(-2)n -1,
∴|a n |=2n -2,∴|a 1|+|a 2|+…+|a n |=12(1-2n )1-2=2n -1-1
2.
答案 -2 2n -1-1
2
8.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,且S 11=35+S 6,则S 17的值为________.
解析 因S 11=35+S 6,得11a 1+
11×102d =35+6a 1+6×5
2d ,即a 1+8d =7,
所以S 17=17a 1+17×16
2d =17(a 1+8d )=17×7=119. 答案 119
9.等差数列{a n }的公差不为零,a 4=7,a 1,a 2,a 5成等比数列,数列{T n }满足条件T n =a 2+a 4+a 8+…+a 2n ,则T n =________.
解析 设{a n }的公差为d ≠0,由a 1,a 2,a 5成等比数列,得
a 22=a 1a 5,即(7-2d )2
=(7-3d )(7+d )
所以d =2或d =0(舍去).
所以a n =7+(n -4)×2=2n -1.又a 2n =2·2n -1=2n +1-1, 故T n =(22-1)+(23-1)+(24-1)+…+(2n +1-1) =(22+23+…+2n +1)-n =2n +2-n -4. 答案 2n +2-n -4
10.数列{a n }的通项公式a n =2n
-1,如果b n =2n a n +a n +1
,那么{b n }的前n 项和
为________. 解析 b n =2n
a n +a n +1
=
2n
2n -1+
2n +1-1
=
2n +1-1-
2n -1, 所以b 1+b 2+…+b n =22-1-2-1+
23-1-
22-1+…+
2n +1-1-
2n -1=
2n +1-1-1.
答案 2n +1-1-1
二、解答题
11.已知{a n }为等差数列,且a 3=-6,a 6=0.
(1)求{a n }的通项公式;
(2)若等比数列{b n }满足b 1=-8,b 2=a 1+a 2+a 3,求{b n }的前n 项和公式. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 3=-6,a 6=0,
所以???
a 1+2d =-6,a 1+5d =0.解得a 1=-10,d =2.
所以a n =-10+(n -1)·2=2n -12. (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2=a 1+a 2+a 3=-24,b 1=-8, 所以-8q =-24,即q =3.
所以{b n }的前n 项和公式为S n =b 1(1-q n )1-q
=4(1-3n ).
13. 记公差d ≠0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=2+2,S 3=12+
3 2.
(1)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n .
(2)已知等比数列{b nk },b n +2=a n ,n 1=1,n 2=3,求n k .
(3)问数列{a n }中是否存在互不相同的三项构成等比数列,说明理由. 解 (1)因为a 1=2+2,S 3=3a 1+3d =12+32, 所以d =2.
所以a n =a 1+(n -1)d =2n +2, S n =n (a 1+a n )
2=n 2
+(2+1)n .
(2)因为b n =a n -2=2n , 所以bn k =2n k .
又因为数列{bn k }的首项bn 1=b 1=2,公比q =b 3
b 1
=3,