由一道课本例题研究高考
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学科：数学
从一道课本例题研究高考
摘要：本文通过将课本的一道例题进行有效性认识，明确数学所考知识点，培养学生归纳总
结能力，明确教学过程尤其要精讲精练，勤于思考，善于举一反三。从而更好地引导学生用题干的不同视角研究问题，并总结出差异，提升他们的数学思维。 关键词：弦长；举一反三；思考；读题能力；数学思维
0 前言
圆锥曲线的弦长问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，文科一般为压轴题的最后一题，理科一般为最后三道大题之一，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于中高难度题目，考试的得分率极低。然而再高难度的压轴题都不可能是书本没有教过或者没有用过的方法和思维方式。书本是根基，再高的楼房也是在根基之上。
高中生普遍觉得数学难且枯燥，理科中下生以及文科生更容易引起学生对数学的疲惫和厌倦，当他们认真听课或进行题海战术后，考试的成绩仍然让人心酸。这时候恶性循环就来了，兴趣的日渐衰减，使学习数学成为苦差事。笔者认为，结合当前高考制度下，如何精读课本是取胜的关键，也是有效削弱学生学习数学的两极分端的情况。
1．例题解读
课本例题；人教版选修2-1第60页例6如下：
如图2.3-10，过双曲线16
32
2
=-y x 右焦点2F 作倾斜角为300的直线交双曲
线于A 、B 两点，求
AB 。
解（书本解法）：由双曲线方程得，两焦点分别为)0,3(1-F ，)0,3(2F .因为直线AB 的倾斜角是0
30，且直线经过焦点2F ，所以，直线AB 的方程为)3(3
3
-=
x y
①。又16
32
2
=-y x ②。联系方程，消去y,得027652
=-+x x
。解这个
方程得59,32
1=-=x x 。将21,x x 代入①，得5
32,3221-=-=y y 。
于是， A,B 两点的坐标分别为)32,3(--，)5
32,5
9(-
所以，.
)()(2
2
1
2
2
1
y y x x AB -+-=
5
316)53232()593(2
2
=+-+-
-=
总结1：求出B A ,两点的坐标，再用两点的距离公式求得弦长AB ，这是学生最容易想到的方法。在这过程中，计算量大，容易出错是本题解法的弊端。这时候，我们思考一个问题：能否推出圆锥曲线被直线所截的弦长AB 的公式？从
而简化计算？
2
1
,y y 可以用2
1
,x x 表示，b kx y +=1
1
，b kx y +=2
2
。
2
21
2
2
2
1
)()(x x k y y -=-，2
12
1x x k AB -+=。
解法二（弦长公式）：设),(11y x A ，),(22y x B 。同解法一，5
62
1
-
=+x x
，
5
272
1
-
=?x x 。 又
2
1
2
2
1
2
2
1
4)(x x x x x x -+=-，解得，5
242
1
=-x x 。
所以2121x x k AB -+=.
5
316=
总结2：弦长公式大大减少了计算量，只需要用韦达定理求解即可。两点坐标设而不求是本题计算量减少的关键。
解法三：由16
32
2
=-y x 知，3,6,3===c b a ，3=e 。设),(1
1
y x A ，
),(22y x B 。由双曲线的第二定义，得e d
AF =2
，c a x d 2
1+-=，即a ex AF +-=12；同理，a ex BF -=22。=AB 2
2
BF AF -a x x e 2)(21++-=。同解法一，
5
62
1
-=+x x 。所以
5
316=
AB
。 总结2：通过焦半径求弦长的方便之处在于，焦半径的式子只与两点的横坐标有关（或者只与两点的纵坐标有关），进而利用韦达定理求得。 解法四：如图，前同解法二，52421=-x x 。5
31630cos 0
21=-=x x AB 。
总结4：数形结合，两点的距离可以放在一个直角三角形内讨论，此时两条直角边均可以用韦达定理求得，再利用边角关系即可。
2．实战高考
高考注重基础，高考的中高档难度的题目也要建立在基础之上，所以我们说，只要读透书本的例题，就可以做高考数学的尖子生。下面是一道有关弦长的高考题，看看是如何取之于书本的精髓。
（07湖北理19）在平面直角坐标系xOy 中，过定点(0)C p ，作直线与抛物线
22x py =（0p >）相交于A B ，两点．（I ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB △面积的最小值；
．
解法1：（Ⅰ）如图，构建直角三角形，
2
1
x
x -是
BCN
ACN
?
?,以CN 为底的
高的和。12
1
22ABN BCN ACN S S S p x x =+=-△△△·。依题意，点N 的坐标为(0)N p -，
，可设1122()()A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为y kx p =+，与2
2x py =联
立得
x
22x py y kx p ?=?=+?，．消去y 得22
220x pkx p --=．由韦达定理得122x x pk +=，2122x x p =-
．
于是12
1
22ABN BCN ACN S S S p x x =+=-△△△·
．12p x x =-=
2p ==∴当0k =
时，2
min ()ABN S =△．
解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得
12AB x =-=
2=
又由点到直线的距离公式得
d =
．
从而112222ABN S d AB p ===△···，
∴当0k =
时，2
min ()ABN S =△．
3．金指点晴
练习：1. 已知斜率为1的直线l 过椭圆1
42
2
=+x y
的上焦点F 交椭圆于A 、
B 两点，求 AB .
2．过双曲线1
32
2
=-y
x 的左焦点F 作倾斜角为6π的直线l 交双曲线于
A 、
B 两点，求AB .
（用弦长公式，解得1.58
2. 3）
4．结论
总的来说，数学教学一方面为了更好地应对高考，一方面让学生学得得心应手，笔者认为，主要的方法为：数学教学要举一反三，多对题干的条件和解题过程反思。尤其是书本的例题，高考不可以游离于书本，参考《（广东卷）数学（文/理）考试大纲的说明》，书本例题囊括所有考点。如何从课本例题研究高考，是必要的。