2015 年全国初中数学联合竞赛(初二年级)

2015年全国初中数学联合竞赛（初二年级）

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1. 若22222220x y z xy yz x ++---+=，则x y z ++= （ ）

A.3.

B.4.

C.5.

D.6. 设实数,,a b c 满足：3a b c ++=， 222

4a b c ++=，则 222222 222 a b b c c a c a b +++ ++= --- （ ） A.9. B.6. C.3. D.0.

. 3．锐角△

ABC 中，BC 边的中垂线和ABC ∠的角平分线相交于点P ．若72A ∠=?，24ACP ∠=?，则ABP ∠＝ （ ）

A. 24°.

B. 28°.

C. 30°.

D. 36°.

4. 三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为 （ ） A.11.

B 5. 设A = A 的最大整数为 （ ）

A.2017.

B.2016.

C.2015.

D.2014.

6. 满足22105b a a b +

=+，22104a b a b +=+的整数对(,)a b 的组数为 （ ） A.4.

B.3.

C.2.

D.1.

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1. 在直角△ABC 中，90ACB ∠=?，AC BC ==AD 为CAB ∠的平分线，

BE AD ⊥交AD 的延长线于点E ，则AE =______.

A 2. 已知,a b 为实数，对任何满足01x ≤≤的实数x ，都有||1ax b +≤成立，则a 的最大值为______.

3. 设n 是小于100的正整数且使2

232n n --是6的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和是_____. 4.将数字1，2，3，……，34，35，36填在6×6的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为______.

5. |1||2||3||4|x x x x -+-+-+-的最小值为

（ ）

A.4.

B.5.

C.6.

D.10.

1.设[]x 表示不超过x 的最大整数，则++++ 的值为_____.

一、（本题满分20分）求所有的两位数A ，使得2

A 的末两位数字构成的数恰好为A . 二、（本题满分25分）在四边形ABCD 中，4AC =，3CD =，45AD

B ABD ACD ∠=∠=∠=?，求B

C .

E

三．（本题满分25分）已知实数,,a b c 满足条件2220()()()

a b c b c c a a b ++=---.求代数式a b c b c c a a b

++---的值.

二、（本题满分25分）如图，过△ABC 内一点P 作三边的垂线，

垂足分别为D 、E 、F ，已知5AB =，7BC =，6AC =，1BE AD -=，求AD BE CF ++.

B

三、（本题满分25分）已知非零实数,,a b c 满足2a b c ++=，222

(1)(1)(1)3a b c bc ac ab ---++=，求ab bc ca ++的值.

最新全国大学生数学竞赛简介

全国大学生数学竞赛 百度简介

中国大学生数学竞赛

该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。 编辑本段竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 (2009年首届全国大学生数学竞赛) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分

一、集合与函数 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学

全国初中数学联赛

全国初中数学联赛一、选择题（本大题满分42分，每小题7分） 1、化简1- 3+2 3-2 的值是（） A、0 B 、23C、- 23D、4 2.实数a,b,c满足a+b+c=0, abc=1,则a,b,c中正数的个数是（）. A、0 B、 1 C、 2 D、 3 3.在一个圆柱形水池内，有一个进水管和一个出水管，进水管流水速度是出水管流水速度的两倍，开始时有一满池水，出水管开始放水，到池水只有一半池时，打开进水管放水（此时出水管不关）直到放满池水关闭进水管，再由出水管放完池水，则在这一过程水池中的水量v随时间t的变化关系的图像是（ ） 4.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，AE是∠BAD的平分线，EF垂直于AE,则AF的长为（）. A、32 B、4 C、25 D、10 5方程|x-2|-|x-3|的解的个数为（） A、1个 B、 2个 C、 3个 D、无数个 6.在△ABC中，∠B和∠C的角平分线交点是I，则∠BIC是（） A、锐角 B、直角 C、钝角 D、无法确定 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 1.用火柴棍按照如下图所示的规律搭建三角形，“...”表示按照前面的规律一直搭建下去，当搭建到第n个编号三角形的时候，所用火柴棍的根数是 （用含有n的式子表示）. 2.若a为整数，则关于x的方程（a-1）x=a+1 的所有整数解的和是 3.a,b为常数，且对任何实数x,都有 2 x+3a b =+ 2222 (x+1)(x +2)x +1x+2 成立，则 a b =

4.在长方形纸片ABCD中，AB=1，BC=2，设E为边BC的中点，现将纸片折叠，使A、E重合，则折痕将长方形纸片分成两部分中，较大部分面积与较小部分面积之比的值为 三、（本大题满分20分） 解不等式 |x-2|< 3x-1. 四、（本大题满分25分） 如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC, DE⊥BC与E,若DE=3,BD=5,求梯形ABCD的面积。 五、（本大题满分25分） 已知正整数a、b满足（a+b）2=a3+b3，试求a、b的值。

全国大学生数学竞赛试题及答案

河北省大学生数学竞赛试题及答案 一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。 【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续，故dx x ?1 02-1存在，且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i ， 所以，= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。 二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必 须为无穷小量，于是可知必有0=b ，当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?， 由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x ， 综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。 三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。

【解】 作变换t x -= 2 π ，则 =I 22 20π π = ?dt ， 所以，4 π= I 。 四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。 又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0， 容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。 所以，x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。 而3 3 1 2 132> ? <

全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

M N A O A B C 1996年全国初中数学联赛试题 第一试 一、选择题 1. 实数a 、ｂ满足ａb =１,记M ＝＼ｆ(1，1+a )+错误!，Ｎ＝错误!+错误!，则的关系为 [ ] A ．M ＞N ? B ．M ＝N Ｃ.Ｍ

A B C D D ′ B ′ C O M P A B C D E F 3.设1９９5x 3 ＝１996y ３ =199７z 3, xy ｚ＞0,且 =，则１ x +错误!+错误!＝__＿___． 4.如图,将边长为1的正方形ABCD 绕A 点按逆时针方向旋转60°至A B ′C ′Ｄ′的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是__＿__＿. 第二试 1． 某校在向“希望工程”捐款活动中,甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男人和ｎ个女生的捐款总数相等，都是（m ·n +9m +11n +14５）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数. ２.设凸四边形ABC Ｄ的对角线AC 、B Ｄ的交点为M ，过点Ｍ作A Ｄ的平行线分别交A Ｂ、ＣＤ于点Ｅ、F ,交B Ｃ的延长线于点Ｏ,P 是以O 为圆心ＯＭ为半径的圆上一点(位置如图所示）,求证：∠ＯP Ｆ＝∠OEP . 3. 已知a 、b 、c 都是正整数,且抛物线ｙ=ａｘ2＋ｂx ＋c 与x 轴有两个不同的交点A 、Ｂ,若A 、Ｂ到原点的距离都小于1，求a +b ＋c 的最小值．

历年全国初中数学联赛试题总汇47321

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是 两两不同的实数，则2 22 23y xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）3 5 ． 答（ ） ２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ３． 方程012=--x x 的解是 （A ） 25 1±； （B ）251±-； （C ） 2 5 1±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ） ４． 已知：)19911991(2 11 1 n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是 （Ａ）11991-； （Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ） ５． 若M n 1210099321=?????Λ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自 然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．

答（ ） ６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ， 32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） ８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =，ο60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤2 1 ； 答（ ） （C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题 １．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ． ２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+a c b 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，q p n m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ． ４．四边形ABCD 中，∠ ABC ο135=，∠BCD ο120=，AB 6=，BC 35-=， CD = 6，则AD = ． 11=S 3S =1 32=S ο 120ο 135

全国大学生数学竞赛大纲(数学专业组)

中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业组) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集 、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式 性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞ =+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O 与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理，Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项). 3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、

2008年全国初中数学联赛

2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数. 第一试 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 本题共有6小题，每题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的．将你所选择的答案的代号填在题后的括号内．每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分． 1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式22 11 a b +的值为 （ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11. 【答案】B 【解析】 由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，所以a ，b 是一元二次方程 2310 x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--?+====． 故选B 2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为（ ） A ． 185 B ．4 C ．215 D ．245 【答案】D 【解析】 因为AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，易知B ，C ，E ，F 四点共圆， 于是AEF ABC △∽△，故 35AF EF AC BC ==，即3cos 5BAC ∠=，所以4 sin 5 BAC ∠=． 在Rt ABE △中，424 sin 655 BE AB BAC =∠=?=．故选D 3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ ） A ．15 B ． 310 C ． 25 D ． 12 . 【答案】C 【解析】 能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45， 51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个． 所以所组成的数是3的倍数的概率是 82 205 =．故选C 4．在ABC △中，12ABC ∠=，132ACB ∠=，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则 （ ） A ．BM CN > B ．BM CN = E F D C B A

2017年全国初中数学联赛(整理好)

2017年全国初中数学联合竞赛试题 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准．第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数． 第一试(A) 一、选择题(本题满分42分，每小题7分) 1．已知实数a ，b ，c 满足2a ＋13b ＋3c ＝90，3a ＋9b ＋c ＝72，则3b ＋c a ＋2b ＝( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 2．已知△ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，有以下三个结论： (1)以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在； (2)以a 2，b 2，c 2为边长的三角形一定存在； (3)以|a －b |＋1，|b －c |＋1，|c －a |＋1为边长的三角形一定存在． 其中正确结论的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若正整数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c 且abc ＝2(a ＋b ＋c )，则称(a ，b ，c )为好数组．那么，好数组的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．设O 是四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，若∠BAD ＋∠ACB ＝180 ，且BC ＝3， AD ＝4，AC ＝5，AB ＝6，则DO OB ＝( ) A ．109 B ．87 C ．65 D ．43 5．设A 是以BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥BC 于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB 的延长线上，满足∠BAF ＝∠CAE ．已知BC ＝15，BF ＝6，BD ＝3，则AE ＝( ) A ．43 B ．213 C ．214 D ．215 6．对于正整数n ，设a n 是最接近n 的整数，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 200 ＝( ) A ．1917 B ．1927 C ．1937 D ．1947

2017全国初中数学联赛初二卷

2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷 第一试 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则3 2 b c a b + + 的值为（）. A.2 B.1 C.0 D.-1 2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1， 111 135 a b c ++= +++ ，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）. A.125 B.120 C.100 D.81 3.若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）. A.4 B.3 C.2 D.1 4.已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）. A.424 B.430 C.441 D.460 5.梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）. C. D. 6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，点E在AB上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE的值为（）. A.56 B.58 C.60 D.62 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 7.a的值为________. 8.已知△ABC的三个内角满足A＜B＜C＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A中的最小者，则θ的最大值为 ________. 9.设a,b是两个互质的正整数，且 3 8ab p a b = + 为质数.则p的值为________.

10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________. 第二试 一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值. 二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P 为AD与EF的交点.证明：EF=2PD. 三、（本题满分25分）已知a,b,c为有理数，求 222 a b c a b c ++ ++ 的最小值.

2015山东省大学生数学竞赛(专科)试卷2015总决赛答案

绝密★启用前 山东省大学生数学竞赛（专科）总决赛试卷 （非数学类，2015） 一、填空题（每小题5分，共30分） 一、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在题中横线上。） 1. 已知1 )1(42 +=+x x x x f ，)(x f =___________. 2. 设8)2(lim =-+∞→x x a x a x ，则a =___________. 3. 设方程x y e xy cos 2=+确定y 为x 的函数，则dx dy =_________________. 4. 曲线22)3()1(--=x x y 的拐点个数为__________个. 5. 求不定积分=___________. 2 02 d 6. cos d ______.d x x t t x =? 二、综合题（本题共6小题，共70分，请写出相应演算步骤。） 1. （15分） 1cos ,0()sin 0, 0(1)0(2)'(). x x f x x x x x f x ?-≠?=??=?=讨论函数在处的连续性和可导性；求出导函数 2. （12分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1()0(==f f ，1)21(=f ，试证： （1）存在)1,21(∈η，使得ηη=)(f （2）对任意实数λ，必存在),0(ηξ∈，使得1])([)(=--'ξξλξf f 3. （13分）求dx x t t 1 0 ?- 4. （10分）求平面上的圆盘)0()(222b a a y b x <<≤+-绕y 轴旋转所得圆环体的体积. 5. （10分）选做题（考生在下面两道题中选择一道作答，答题时请标明题号，两题全答的只计算一题得分。） 2222222(1)r r r r r x y z ???=++=???已知成立.

最新的全国初中数学联赛试题及详解

2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.计算=（ ） （A 1 （B ）1 （C （D ）2 【答案】（B ） 【解析】原式=1)3)1-=-=，故选（B ）. 2.满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和为（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】（A ） 【解析】分三种情况进行讨论： （1）若21m -=，即1m =时，满足已知等式； （2）若21m -=-，即3m =时，()2242(1)1m m m ---=-=满足已知等式； （3）若21m -≠±，即1m ≠且3m ≠时，由已知，得22020 m m m -≠??--=?解得，1m =- 故满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和13(1=3++-），故选（A ）. 3.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠= ，ABC ∠的平分线交圆O 于 点D ，若CD =，则AB =（ ） （A ）2 （B （C ） （D ）3 【答案】（A ） 【解析】连接OC ,过点O 作ON CD ⊥于点N ，则 CN DN ==,OC OA =,从而15OCA CAB ∠=∠= ,由AB 是圆O 的直径，得90ACB ∠= ,因CD 平分ACB ∠,故45ACD ∠= ,30OCN ACD OCA ∠=∠-∠= , 在Rt ONC ?中，∵cos CN OCN OC ∠= =,1OC =∴,∴22AB OC ==,故选（A ）. 4.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数解(,)x y 的组数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（B ）

2016年初中数学全国联赛试题及解析

2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 1 页 2016年初中数学全国联合竞赛试题 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30) 一、选择题(满分42分，每小题7分) 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知23t = -a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a -= ( ) .A 12 .B 32 .C 1 .D 3 2.3种图书的单 价分别 为10元、15元和20元，某学 校计划恰 好用500元购买上述图书 3 0本，那么不同的购 书 方 案 有( ) .A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：3333 21(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 ( ) .A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 3(B ）.已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab = ( ) .A 0 .B 14 .C 34 - .D 2- 4.已知O e 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O e 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ?的面积为 ( ) .A 12 .B 15 .C 16 .D 18 5.如图，在四边形ABCD 中，090BAC BDC ∠=∠=，5AB AC ==1CD =,对角 线的交点为M ，则DM = ( ) .A 32 .B 53 .C 22 .D 12 6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( )

09-16大学生数学竞赛真题(非数学类)

2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，? = 10 d )()(t xt f x g ，且A x x f x =→) (lim ，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系 数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

2019年全国初中数学竞赛试题及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2019年全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若 20 10a b b c ==，，则a b b c ++的值为（ ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）21011 解：D 由题设得12012101111110 a a b b c b c b +++===+++． 2．若实数a ，b 满足21202 a a b b -++=，则a 的取值范围是 （ ）． （A ）a ≤2- （B ）a ≥4 （C ）a ≤2-或 a ≥4 （D ）2-≤a ≤4 解．C 因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21202b ab a -+ += 的判别式 21()41(2)2a a ?--??+＝≥0,解得a ≤2-或 a ≥4． 3．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =BC =4-CD ＝AD 边的长为（ ）． （A ） （B ）64 （C ）64+ （D ）622+ 解：D 如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ， F ． 由已知可得 BE =AE ，CF ＝DF ＝ ， 于是 EF ＝4 ． 过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得 AD == 2+ 4．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，且当k ≥2时，1121444k k k k x x -?--?????=+-- ?????? ?????

2019年全国初中数学联赛试题及详解

2019年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4. 解： 由已知可推得011a b b c a c -=??-=±?-=±? 或 110 a b b c a c -=±??-=±?-=?，分别代入即得。 2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （ C ） A ．0. B ．1. C ．2. D ．3. 解：由已知，693)15121512c b b b b ==-=-≤，∴2c ≤. 3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-a b b a 则 （ C ） A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423 a b <+≤. 解：当a b =时，可计算得23a b ==，从而43a b +=。观察4个选项，只能选C. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ A ） A ．－13. B ．－9. C ．6. D ． 0. 解：由已知：42x ax bx c +++一定能被231x x --整除。 ∵4222(31)(310)[(333)(10)]x ax bx c x x x x a a b x a c +++=--+++++++++ ∴(333)(10)0a b x a c +++++=，故3330213100 a b a b c a c ++=??+-=-?++=? 5．在△ABC 中，已知?=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且?=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B ) A ．15°. B ．20°. C ．25°. D ．30°. 解：如图，由已知，ADE 是正三角形。作BF ∥DE 交 AC 于F ，则BD ＝EF ，从而EC ＝DE+BD ＝AB ＝BF ，DE ＝FC ， 又∠1＝∠2＝120○ ，故ΔEDC ≌ΔFCB .故x θ?+=. ∵∠CDB ＝2?，∠BDE ＝120○ ，∴40?=，故 40x θ+= 由406020θ?θθ+=+=?=，得：20x =.

全国大学生数学竞赛简介

全国大学生数学竞赛 第一届 2009年，第一届全国大学生数学竞赛由中国数学会主办、国防科学技术大学承办。该比赛将推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才。 第二届 2011年3月，历时十个月的第二届全国大学生数学竞赛在北京航空航天大学落幕。来自北京、上海、天津、重庆等26个省(区、市)数百所大学的274名大学生进入决赛，最终，29人获得非数学专业一等奖，15人获数学专业一等奖。这次赛事预赛报名人数达3万余人，已成为全国影响最大、参加人数最多的学科竞赛之一。 竞赛用书 该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。 竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 (2009年首届全国大学生数学竞赛) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 1.竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 1.竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 1.集合与函数 2. 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性 定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 3. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.

全国初中数学联赛试题及答案

全国初中数学联赛试题 及答案 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】

2010年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4. 2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （ C ） A ．0. B ．1. C ．2. D ．3. 3．若b a ,是两个正数，且 ,011 1=+- +-a b b a 则 （ C ） A ．1 03a b <+≤. B ．1 13a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．4 23a b <+≤. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ A ） A ．－13. B ．－9. C ．6. D ． 0. 5．在△ABC 中，已知?=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且?=∠60AED ， CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B ) A ．15°. B ．20°. C ．25°. D ．30°. 6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=， 201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++= （ D ） A ．28062. B ．28065. C ．28067. D ．28068. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 15165132 21 53= ??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4= A 。因此310 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面22 22 -+=y x z 在

全国数学联赛初中数学试题及答案---打印版

全国初中数学竞赛试题 班级 姓名 成绩 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=??++=? ，，则222 ab bc ca a b c ++++的值为（ ）． （A ）12 - （B ）0 （C ）12 （D ）1 2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程2 0ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以 211x ，22 1 x 为两个实根的是（ ）． （A ）2 2 2 2 (2)0c x b ac x a +-+= （B ）2 2 2 2 (2)0c x b ac x a --+= （C ）2 2 2 2 (2)0c x b ac x a +--= （D ）2 2 2 2 (2)0c x b ac x a ---= 3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）． （A ）OD （B ）OE （C ）DE （D ）AC 4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）． （A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8 （第3题） （第4题）