新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习解析

第二章：实数

知识梳理

【无理数】

1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

2. 常见无理数的几种类型：

（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；

（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。

（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-π是无理数

（4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如2π,

（5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π）

3.有理数与无理数的区别：

（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；

（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。 例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥3

2-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。（填序号）

（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个

【算术平方根】：

1. 定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，

读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。例如32=9，那么9的算术平方根是3，即39=。

特别规地，0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根

2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数a 是非负数。（2）算术平方根本身是非负数。

3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。

例：（1）下列说法正确的是 （ ）

A ．1的立方根是1±；

B ．24±=；（

C ）、81的平方根是3±； （

D ）、0没有平方根；

（2）下列各式正确的是（ ）

A 、981±=

B 、14.314.3-=-ππ

C 、3927-=-

D 、235=

-

（3）2)3(-的算术平方根是 。（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。

（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。

（6）（提高题）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。求x － y 的值.

平方根：

1.定义：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根；，我们称x 是a 的平方（也

叫二次方根），记做：)0(≥±=a a x

2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；

（2）0只有一个平方根，它是0本身； （3）负数没有平方根

例（1）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （2）当x 时，x 23－有意义。

（3）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？

3. 的性质与22)0()(a a a ≥

（1）

77)0()22=≥=）如：（a a a （2）||2a a =中，a 可以取任意实数。如5|5|52== 3|3-|3-2==）（

例：1.求下列各式的值

（1）27 （2）27-）（ （3）249-）（

2.已知1)12-=-a a （，那么a 的取值范围是 。

3.已知2＜x ＜3,化简=-+|3|)-22x x （ 。

【立方根】

1.定义：一般地，如果以个数x 的立方等于a ，即x 3

=a,那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）记为3a ，读作，3次根号a 。如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。 2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1，-1. 例：（1）64的立方根是

（2）若9.28,89.233==ab a ，则b 等于 （3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832

±=±。 其中正确的有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个

【估算】

用估算法确定无理数的大小：对于带根号的无理数的近似值得确定，可以通过平方运算或立方运算并采用“夹

逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼来完成。首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分位等小数部分。

“精确到”与“误差小于”的区别：精确到1m ，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m ，答案在其值左右1m 内都符合题意，答案不唯一。

方法点拨：解决此类问题的关键是依据平方根（立方根）及开平方（开立方）的定义，进而采取两边夹逼的办法求解。

例：估算下列各数的大小

（1））（误差小于1.0327 （2）

）（精确到1.0327 （3））（误差小于133453

用估算的方法比较数的大小 用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，且在比较大小时，一般先采用分析法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较

当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：

（1）若a ＞b ≥0,则b a （2）若a ＞b ，则3333b a b a 或

（3）若a 、b 都为正数，且a ＞b 时，则a 2＞b 2

例：通过估算比较下列各组数的大小

比较两个数的大小：

方法一：估算法。如3＜10＜4 方法二：作差法。如a ＞b 则a-b ＞0.

方法三：乘方法.如比较3362与的大小。

例：比较下列两数的大小

（1）

2

123-10与 （2）5325与 【实数】 定义：（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。

（2）实数也可以分为正实数、0负实数。

实数的性质：实数a 的相反数是-a ；实数a 的倒数是

a 1（a ≠0）；实数a 的绝对值|a|=???<-≥)

0()0(a a a a ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。

实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大

于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一 实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的

（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。

（2）数轴上的每个点都表示已个实数。

例：（1）下列说法正确的是（ ）；

A 、任何有理数均可用分数形式表示 ；

B 、数轴上的点与有理数一一对应 ；

C 、1和2之间的无理数只有2 ；

D 、不带根号的数都是有理数。

（2）a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )

A 、b a -

B 、ab

C 、b a +

D 、a b -

（3）比较大小(填“>”或“<”).

-， 76______67， 215- 2

1， （4）数 2,3-- 的大小关系是 ( )

A. 32-<-

B. 32-<<-

C. 23-<-

D. 32-<-<（5）将下列各数：51,3,8,23---，用“＜”连接起来；______________________________________。

（6）若2,3==b a ，且

0

【二次根式】 定义：形如）（0≥a a 的式子叫做二次根式，a 叫做被开方数

注意：（1）从形式上看二次根式必须有二次根号“”，如9是二次根式，而9=3,3显然就不是二次根式。

（2）被开方数a 可以是数，也可以是代数式。若a 是数，则这个数必须是非负数；若a 是代数式，则这个代数式的取值必须是非负数，否则没有意义。

例：下列根式是否为二次根式

（1）3- （2）｜｜3- （3）a - （4）3

2--

二次根式的性质：

性质1：)0,0(.≥≥=b a b a ab 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质也可以对

二次根式进行化简。

性质2：)0,0.( b a b

a b a ≥= 商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。 最简二次根式：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。 例：1.化简：

（1）1512? （2）)0(2724≥b b a （3）

x

94 2.计算： 32278115.041--+ 3238116

13125.0??? ??-+-

3.已知：()()06

4.01,121732-=+=-y x ，求代数式3245102y y x x ++--的值。

6.（提高题）观察下列等式：回答问题：

①2111111112111122=+-+=++

②6111212113121122=+-+=++ ③1211131311413112

2=+-+=++，…… （1）根据上面三个等式的信息，请猜想2

251411++的结果； （2）请按照上式反应的规律，试写出用n 表示的等式，并加以验证。