2018全国高中数学联赛模拟试题1及参考答案

? ? ?

? + 2

高中联赛模拟试题 1

一试部分

考试时间：80 分钟

满分：120 分

一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）

1. 设集合 A = {x -2 ≤ x < 5}， B = ?x 3a > 1

．若 A B ≠? ，则实数 a 的取值范围是 ．

? x - 2a ?

2. 已知甲、乙两只盒子中装有相同规格的乒乓球，其中，甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅有

三 个白球．若从甲盒中任取三个放入乙盒中，则从乙盒中任取一个是红球的概率是

．

2 c os 2 ? 1 x - 1 ?

- x

3. 函数 f ( x )

= ? 2 2 ? 的对称中心的坐标为 ．

x - 1

V + V 4. 已知四棱锥 S - ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，O 是四棱锥内任意一点．则 四面体OSAB 四面体

OSCD

=

V 四面体OSBC + V 四面体OSDA

．

5. 在椭圆 x

2

= 1(a > b > 0) 中，记右顶点、上顶点、右焦点分别为 A , B , F ．若 ∠AFB = ∠BAF + 90 ， a b

则椭圆的离心率为 ．

6. 平面上 n 个三角形最多把平面分成

部分．

sin

2π ? sin 8π

7. 计算：

15 15

= ．

cos π

? cos 2π ? cos 4π 5

5

5

8. 设复数 α, β ,γ , z 满足 α + β + γ = αβ + βγ + γα = αβγ = 1．则 α - z + β - z + γ - z 的最小值为

．

2

y 2

BB 1

CC 1 ( )

二、解答题（第 9 小题 16 分，第 10、11 小题 20 分，共 56 分）

9. 已知动直线 l 过定点 A (2, 0) 且与抛物线 y = x 2 + 2 交于不同的两点

B ,

C ．设 B , C 在 x 轴上的射影分别 PB 为 B 1 ,C 1 ． P 为线段 BC 上的点，且满足

PC

= ，求 ?POA 的重心的轨迹方程．

10. 设 f ( x ) = sin x ．已知当 x ∈[0,π ]时，有 sin x + 1 ≥ 2

x + cos x ．

π

证明： f ? π ? + f ? 2π ? + + f ? (n + 1)π ? ≥ 3 2 (n + 1) ． 2n + 1?

2n + 1?

2n + 1 ? 4(2n + 1) ? ? ? ? ? ?

p

11. 已知 p 为大于 3 的素数．求 ∏ k 2 + k + 1 除以 p 的余数．

k =1

高中联赛模拟试题 1

加试部分

考试时间：150 分钟满分：180 分一、（本题满分 40 分）

已知a, b, c∈，且3 9a + 3 3b + c = 0 ．证明：a = b = c = 0

二、（本题满分 40

分）a2b2 b2c2 c2 a2 3( 3 -1)

已知正实数a, b, c满足a2 + b2 + c2 = 1．证

明：

++≥．

abc + c4abc + a4abc + b4 2

三、（本题满分 50 分）

已知圆Γ 内有两定点A 、B ，过A 作一动弦CD ，延长CB 、DB ，与圆Γ 分别交于点E 、F ．证明：弦EF 通过一个与C 、D 无关的定点．

四、（本题满分 50 分）

在80 座城市之间执行如下两种方式的飞行航线：

（1）任意一座城市至少与七座城市有直航；

（2）任意两座城市可以通过有限次直航来连接．

求最小的正整数n ，使得无论如何安排满足条件的航线，任意一座城市到其他城市均最多可以经过n 次直航到达．

C

3 3

高中联赛模拟试题 1

解答

一试部分

考试时间：80 分钟

满分：120 分

一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）

1. 0 < a < 5

或 -1 < a < 0 ．

2

解析：由题意可知 B = {x 2a < x < 5a , a > 0}?{x 5a < x < 2a , a < 0}． 又因为 A ? B ≠ ? ， ? 0 < 2a < 5或 - 2 < 2a < 0 ．

2.

1

． 4

C k C 3-k

解析：由题设知乙盒中红球个数的可能值 ξ =0，1，2，3 ．故 P (ξ = k ) = 3 3

(k = 0,1, 2,3)．从而得出

6

P ( A ) = ∑P (ξ = k )P ( A ξ = k ) = 1

．

k =0

4 3.

(1, -1) ．

解析：由题设知 f ( x ) = cos ( x -1) - 1 ．因为 g ( x ) = cos x

为奇函数，其对称中心为 (0, 0) ，故 f ( x ) 的对

称中心为 (1, -1) ．

x -1 x

4. 1．

解析：延长 SO 与底面 ABCD 交于点 X ．由底面 ABCD 是平行四边形，

? S ?XAB + S ?XCD = S ?XBC + S ?XDA ? V 四面体OSAB + V 四面体OSCD = V 四面体OSBC + V 四面体OSDA

5. 5 -1 ．

2

解析：设左焦点为 F '．则由 ∠AFB = ∠BAF + 90

? ∠AF ' B + ∠BAF ' = 90

? AB ⊥ BF ' ．

又 AB 2

= a 2 + b 2 , BF ' 2

= a 2 , AF ' 2

= (a + c )2

．由勾股定理知 a 2 + b 2 + a 2 = (a + c )2

，由此， ? c = 5 - 1 ．

a 2

6. 3n2 - 3n + 2 ．

解析：设n 个三角形最多把平面分成S

n 个部分．S

1

= 2 ．

因为任意一个三角形与另一个三角形至多有6 个交点，这些交点将该三角形的周长分成至多6(n - 1)

1 1

2 2 0 0

? BB 1 CC 1 AB 1 AC 1 1 , 段，每一段将其所在平面一分为二，增加了 6(n - 1) 个部分．从而 S n - S n -1 = 6(n - 1)(n ≥ 2) ．

7.

-2 ． 解析：

sin 2π ? sin 8π

8sin π

sin 2π sin 8π

4sin

π ?

cos 2π - cos 2π ?

2?sin 3π - sin π ? + 2sin π 15 15

5

15

5 5

3 ?

5 5 ? 5 cos π

? cos 2π

? cos 4π =

=

cos 8π

?

? = cos 8π

?

? ．

sin 8π

5 5 5

5

5

5

8.

．

解析：注意到 α, β ,γ 为一元三次方程 x 3 - x 2 + x -1 = 0 的根，从而可令α = i , β = -i ,γ = 1．在复平面上，

?

令 α, β ,γ 分别对应于点 A (0,1), B (0, -1),C (1, 0) ．当 z 取到 ?ABC 的费马点,0? 时取值最小． ? ?

?

二、解答题（第 9 小题 16 分，第 10、11 小题 20 分，共 56 分） 9. 当 l ⊥ x 轴时，直线 l 与抛物线不可能有两个交

点． 故设直线

l : y = k ( x - 2)． 与抛物线的方程联立得： x 2 - kx + 2k + 2 = 0 ．（1） 由 ? > 0 ? k > 4 + 2 6或k < 4 ．（2）

设 B ( x , y ),C ( x , y ), P ( x , y ) ．则 ?

x 1 + x 2 = k , （3）

令 λ = CP

= = = 2 - x 1 2 - x 2

?x 1 x 2 = 2k + 2.

（4）

? ??x = 设重心 G ( x , y ) ．则 ? (2 + x 0 ), 3 ．将式（2），（3），（4）代入，并注意到 y = k ( x

- 2)得： 0 0

? y = y .

?? 3 0

?x = 4 - 4k ?? 3(4 - k ) ?

? 12x - 3y - 4 = 0 ．从而得 k = 4 y ，代入（2）式得： 1

? ? ? y = ??

-4k 4 - k y - 4

4

y < 4 或 4 <

y <

4 G 的轨迹方程为：

3 3

? 12x - 3y - 4 = 0 4 -< y < 4或4 < y < 4 ． 3 3 ?

- ，故

? ?3 ( ) ( ) 10. 由已知条件 ? sin x - cos x ≥ 2

x -1 ?

2 sin ? x - π ? ≥ 2

x -1 ．又当1 ≤ k ≤ n + 1时，0 ≤ k π + π ≤ π ．

π

4 ? π 2n +1 4 ? ?

而 2 sin k π ≥ 2 ? k π + π ? -1 = 2k 1

2n + 1 π 2n +1 4 ? 2n +1 2

? ? π ? ? 2π ? ? (n + 1)π ?? n +1

? 2k 1 ? 3(n + 1)

2 ? f ? + f ? + + f

?? ≥ ∑ - ? =

?? ? 2n + 1 ? ? 2n + 1 ?

? 2n + 1 ???

k =1

? 2n + 1 2 ? 2

(2n +1)

? π ?

? 2π ?

? (n + 1)π ? 3 2 (n + 1) f ? + f ? + + f

? ≥ ． ? 2n + 1? ? 2n + 1? ? 2n + 1 ? 4(2n +

1)

11. 注意到 k ≠ 1时， k 2 + k + 1 = k -1

．而当 k 取遍 2,3, , p 时，分母 k -1 取遍1, 2, , p -1．

k -1

由费马小定理， x p -1 ≡ 1(mod p ) 在1 ≤ x ≤ p 恰有 p -1 个解．

（1）当 p ≡ 1(mod3 )时， x 3 -1 为 x p -1 -1 的因子，于是 x 3 -1 ≡ 0(mod p )在1 ≤ x ≤ p 内恰有三个解．于 是当 k 取遍 2,3, , p 时，分子 k 3 -1 中恰有两项为 p 的倍数，而分母不含 p 的因子． p

故 ∏ k 2 + k + 1 ≡ 0(mod p ) ．

k =1

（2）当 p ≡ 2(mod 3)时，3 与 p -1 互素，于是存在整数 a ,b 使得 3a + ( p - 1)b = 1． 假设有一个 2 ≤ k ≤ p 满足 k 3 ≡ 1(mod p ) ．由费马小定理得 k ≡ k 3a +( p -1)b ≡ 1(mod p )，矛盾． 因此， x 3 -1 ≡ 0(mod p )只有 x ≡ 1(mod p ) 这一个解．

故当 k 取遍1, 2, , p 时， k 3 除以 p 的余数两两不同，正好也取遍1, 2, , p ．

从而当 k 取遍 2,3, , p 时， k 3 -1 除以 p 的余数取遍1, 2, , p -1．

p

3

p p

3

故 ∏ k -1 ≡ 1(mod p ) ? ∏ (k 2 + k + 1) ≡ 3 ∏ k -1 ≡ 3(mod p ) ．

k =2 k -1 k =1 k =2 k -1

p

综上， ∏ k 2 + k + 1 除以 p 的余数为 0 或 3．

k =1

(( ) ( ) ( )) ( )

t

1

一、（本题满分 40 分）

加试部分

考试时间：150 分钟

满分：180 分

为无理数，且若 a , b , c 中有一个为 0，则其余两个也为

0． 下面假设 a , b , c 均不为 0．

易证明：若 a , b , c 均为非 0 b + c = 0 ；（1）

d ,

e ,

f 均为非 0 e + f = 0 ，则 a = b = c ．

d e f

（1 c + 3a = 0 ；

（1 c + + 3b

= 0 ． 于是， b = c = 3a

= k ．（2）

c 3a 3b

由 a , b , c 均为非 0 有理数知其中必有两个同号．结合（2）式，知 a , b , c 同号．从而（1）式左边不为 0，矛盾． ? a = b = c = 0 ．

二、（本题满分 40 分）

x 2 y 2 z 2

令 a 2

= yz ,b 2

= zx , c 2

= xy ．则 xy + yz + zx = 1．原式左边 = + + x + yz y + zx z + xy

．由柯西不等式得：

? x 2

y 2 z 2 ? 2

+ + ?

x + yz + y + zx + z + xy ≥ x + y + z ? x + yz y + zx z + xy ?

x 2

y

2

z 2

( x + y + z )2

( x + y + z )2

?

+ + ≥ = x + yz y + zx z + xy x + y + z + ( yz + zx + xy ) ． x + y + z + 1

由 ( x + y + z )2

≥ 3( x y + yz + zx ) ? x + y + z ≥

t = x + y + z

2 因为 f (t ) = = (t + 1) + - 2 +∞) 上单调递增，所以：

t + 1 t + 1 3

31)

原式左边 ≥ f (t ) =

．

2

三、（本题满分 50 分）

连结 AB 并延长与圆 Γ 交于点 G ， H ，与弦 EF 交于点 P ． 设 ∠ECD = ∠EFD = α,∠CDF = ∠CEF = β .

由S

?ABC ?

S

?PBF ?

S

?ABD ?

S

?PBE = 1 ，得

AC ? BC sin α ? PB ? FB ? AD ? BD sin β ? PB ? EB = 1

．

S

?PBF S

?ABD

S

?PBE

S

?ABC

PF ? BF sinα AB ? DB PE ? BE sin β AB ? C B

整理得PB2 ? AC ? AD = AB2 ? PE ? PF ．在圆Γ 中，由相交弦定理得：

PB2 ? AG ? AH = AB2 ? PG ? PH ．（1）

设AB = a, PB = b, BG = c > a, BH = d > b ，其中，a, c, d 为常数，b 未定．

则（1）式 ? b 2 (c - a )(d + a ) = a 2 (d - b )(c + b ) ． 整理得 ((c - a )d + ac )b 2 + a 2 (c - d )b - a 2cd = 0 ．

该二次方程的二次项系数与常数项符号相反，因此有且仅有一个正数解．故 b 是定值．即 BP 是定值． 从而无论 C , D 如何选取， EF 总是与 AB 交于一个固定点 P ．

四、（本题满分 50 分）

n 的最小值为 27． 若两座城市可以通过有限次直航来连接，称这两个城市”通航”． 首先证明： n ≤ 27 ．

反证法：若 n ≥ 28 ，不妨设有两座城市 A 1 到 A 29 间至少经过 28 次到达．设城市 A 1 到 A 29 的一个最短连 接路线为 A 1 → A 2 → → A 29 ．因为每一座城市至少和七座城市通航，所以， A 1 , A 29 与除去 A 2

A 28 以

外的至少六座城市通航，城市 A 2

A 28 与除去 A 1

A 29 以外的至少五座城市通航．

设 A = {A 1 , A 2 , , A 29 } ．设分别与城市 A 1 , A 4 , A 7 , A 10 , A 13 , A 16 , A 19 , A 22 , A 25 , A 29 通航，且不属于 A 的所有城市 组成的集合为 X i (i = 0,1, , 9)．易知， X 0

≥ 6, X 9 ≥ 6, X i ≥ 5(i = 1, 2, ,8)

． 又 X i ? X j = ?(i ≠ j ) ，否则，城市 A 1 , A 29 之间有更短的连接路线． 故 A ? ( X 0 ? X 1 ? ? X 9 ) ≥ 29 + 6 ? 2 + 5 ? 8 = 81 > 80 ，矛盾．从而 n ≤ 27 ． 其次证明： n = 27 是可以的．

事实上，取 28 座城市 A 1 , A 2 , , A 28 与城市集合 X i (i = 0,1, , 9)． 当 i = 0, 9 时， X i

= 6 ；

当 i = 1, 2, ,8 时， X i

= 5 ，且对于 0 ≤ i < j ≤ 9 ， X i ? X j = ? ， X i 中不包含城市 A 1 , A 2 , , A 28 ．

对于1 ≤ k ≤ 8 ，城市 A 3k , A 3k +1 , A 3k +2 与集合 X k 中所有的城市通航；城市 A 1 , A 2 与集合 X 0 中所有的城市通

航；城市 A 27 , A 28 与集合 X 9 中所有城市通航；集合 X i (0 ≤ i ≤ 9)中任意一座城市与上述的城市 A s 通航， 与且仅与集合 X i 中其余城市通航；城市 A i 与 A i +1 (i = 1, 2, , 27) 通航． 这样，城市 A 1 A 28 至少与七座城市通航，集合 X i 中任意一座城市均只与七座城市通航，且城市

A 1

A 28 至少经过 27 次直航来连接．

因此， n = 27 ．

2018年全国高中数学联合竞赛(A卷)

2018年全国高中数学联赛竞赛 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分。 1.设集合{1,2,3,99}A =…，{2|},{|2}B x x A C x x A =∈=∈，则B C I 的元素个数为______. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30?且不大于60?，则这样的点Q 所构成的区域的面积为______. 3.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为______. 4.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是12F F 、，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P 。已知线段,,,PU PS PV PT 的长分别为1,2,3,6，则12PF F ?的面积为______. 5.设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足()1,(2)2f f ππ==，则不等式组121()2x f x ≤≤??≤≤? 的解集为______. 6.设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为______. 7.设O 为ABC ?的外心，若2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则sin BAC ∠的值为______. 8.设整数数列1210,,,a a a …满足1012853,2a a a a a =+=，且 1{1,2},1,2,,9i i i a a a i +∈++=…， 则这样的数列的个数为______。 二、解答题：本大题共3小题，满分56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.（本题满分16分）已知定义在R + 上的函数()f x 为 3|log 1|,09,()49x x f x x -<≤??=?->?? 设,,a b c 是三个互不相同的实数，满足()()()f a f b f c ==，求abc 的取值范围。 10.（本题满分20分）已知实数列123,,,a a a …满足：对任意正整数n ，有(2)1n n n a S a -=，其中n S 表示数列的前n 项和。证明： 1）对任意正整数n ，有n a < 2）对任意正整数n ，有11n n a a +<。 11.在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线2 4y x =的过点(1,0)F 的弦，AOB ?的外接圆交抛物线于点P （不同于点,,O A B ）。若PF 平分APB ∠，求||PF 的所有可能值。 加试（A 卷） 一、（本题满分40分）设n 是正整数，1212,,,,,,,n n a a a b b b ?…，,A B 均为正实数，满足 ,,1,2,,i i i a b a A i n ≤≤=…，且 1212n n b b b B a a a A ≤……。 二、（本题满分40分）如图，ABC ?为锐角三角形，AB AC <，M 为BC 边的中点，点D 和E 分别为 ABC ?的外接圆?BAC 和?BC 的中点，F 为ABC ?的内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上，满足NB AB ⊥。 证明：若BN EM =，则DF FG ⊥。（答题时请将图画在答卷纸上）

2018年高中数学会考题

2018年高中数学会考题

2018届吉林省普通高中学业模拟考试（数学） 注意事项: 1.答题前将自己的姓名、考号、考籍号、科考号、试卷科目等项目填写或涂在答题卡在试卷规定的位置上。考试结束时,将试卷和答题卡一并交回。 2.本试题分两卷,第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为书面表达题。试卷满分为120分。答题时间为100分钟。 3.第Ⅰ卷的选择题答案都必须涂在答题卡上。每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后·再选涂其他答案标号。选择题答案写试卷上无效。 4.第Ⅱ卷的答案直接写在试卷规定的位置上，注意字迹清楚，卷面整洁。 第Ⅰ卷 选择题（共50分) 一、选择题:本大题共15小题，只有一项是正确的.第1-10每小题3分，第11-15 每小题4分，共50分） 1．已知集合{0,2},{|02}M N x x ==≤<，则M ∩N 等于 （ ） A ．{0，1，2} B ．{0，1} C ．{0，2} D ．{0} 2．下列结论正确的是（ ） A ． 若 ac>bc ， 则 a>b B ．若a 2>b 2，则a>b C ．若a>b,c<0，则 a+c

C ．65π D ．32π 4．已知奇函数()f x 在区间[3，7]上是增函数，且 最小值为5，那么函数()f x 在区间 [-7，-3]上（ ） A ．是减函数且最小值为-5 B ．是减 函数且最大值为-5 C ．是增函数且最小值为-5 D ．是增 函数且最大值为-5 5. 函数2 ()1log f x x =-的零点是（ ） A. 1 B. (1,1) C. 2 D. (2,0) 6．在等比数列{}n a 中，若3 2 a =，则12345 a a a a a = （ ） A. 8 B. 16

2018年吉林省高中会考(数学)模拟考试题

2018年吉林省普通高中学业考试模拟试题（数学） 注意事项： 1．答题前将自己的姓名、考籍号、科考号、试卷科目等项目填写或涂 在答题卡和试卷规定的位置上。考试结束时.将试卷和答题卡一并交回。 2．本试题分两卷.第1卷为选择题.第Ⅱ卷为书面表达题。试卷满分为 120分。答题时间为100分钟。 3．第1卷选择题的答案都必须涂在答题卡上。每小题选出答案后.用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后.再选涂其他答案标号。选择题答案写在试卷上无效。 4．第Ⅱ卷的答案直接写在试卷规定的位置上.注意字迹清楚.卷面整洁。 参考公式： 标准差： 锥体体积公式： V= 31S 底·h 其中．s 为底面面积.h 为高, 柱体体积公式 V=s.h 球的表面积、体积公式 S= 2 4R π V=3 43 R π 其中．s 为底面面积.h 为高, V 为体积 .R 为球的半径 第1卷 （选择题 共50分） 一、选择题（本大题共15小题.每小题的四个选项中只有一项是正确的.第1-10小题每 小题3分.第11-15小题每小题4分.共50分） 1.设集合M={－ 2.0.2}.N={0}.则( ). A ．N 为空集 B. N∈M C. N M D. M N 2．已知向量(3,1)=a .(2,5)=-b .那么2+a b 等于（ ） A (1,11)- B (4,7) C (1,6) D (5,4)- 222121[()()()] n s x x x x x x n =-+-++-L

3．函数2log (1)y x =+的定义域是（ ） A (0,)+∞ B (1,)-+∞ C (1,)+∞ D [1,)-+∞ 4．函数sin y x ω=的图象可以看做是把函数sin y x =的图象上所有点的纵坐标保持不变.横坐标缩短到原来的 1 2 倍而得到的.那么ω的值为（ ） A 14 B 1 2 C 4 D 2 5．在函数3y x =.2x y =.2log y x = .y =中.奇函数是（ ） A 3y x = B 2x y = C 2log y x = D y = 6.一个几何体的三视图如图所示. 该几何体的表面积是（ ） A 3π B 8π C 12π D 14π 7．11sin 6 π的值为（ ） A 12- B 2- C 1 2 D 2 8．不等式2320x x -+<的解集为（ ） A {}2x x > B {}1x x > C {}12x x << D {}12x x x <>或 9．在等差数列{}n a 中.已知12a =.24a =.那么5a 等于（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．16 俯视图 左（侧）视图 主（正）视图2 2

2018年全国高中数学联合竞赛(B卷)

2018全国高中数学联赛（B卷） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 1.设集合A={2,0,1,8} ，B={2a|a^A}，则AUB的所有元素之和是 ______________ . 2?已知圆锥的顶点为P，底面半径长为2，高为1.在圆锥底面上取一点Q，使得直线PQ与底面所成角不大于45。，则满足条件的点Q所构成的区域的面积为_____________ . 3. ___________________________________________________________________________ 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc + def是奇数的概率为_____________________________ . 4. __________________________________________________________ 在平面直角坐标系xOy中，直线l通过原点，n =（3,1）是丨的一个法向量.已知数列{a n}满足：对任意正整数n,点（a n+,a n）均在I上.若a2 =6，则a-ia2a3a4a5的值为 __________________________________________________ . 5. 设。.戶满足tan（?+—） = -3，tan（0 —巴）=5，则tan（a -P、的值为 3 6 6. 设抛物线C: y2 =2x的准线与x轴交于点A，过点B（-1,0）作一直线l与抛物线C相切于点K，过点A 作丨的平行线，与抛物线C交于点M , N，则△KMN的面积为________ . 7.设f （x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间［1,2］上严格递减，且满足f （二）=1, f （2二） =0， 0兰x兰1 则不等式组《一一'的解集为______________ . ［0 兰f（x）兰1 8.已知复数乙厶：满足| Z| AZ |=| Z31,|乙Z2 Z3 r，其中r是给定实数，则△?匕?生的实部 Z2 Z3 Z1 是______ （用含有r的式子表示）. 二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. （本题满分16分）已知数列{a n} : a1=7,勺」=a n? 2, n =1,2,3,….求满足耳-42018 a n 10. （本题满分20分）已知定义在R ■上的函数f （x）为 | Iog3x -1|,0 ::: X 乞9, 4 -、、x,x 9. 11. （本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A B与C、D分别是椭圆 2 2 x y C:二2=1（a b 0的左、右顶点与上、下顶点.设P、Q是C上且位于第一象限的两点，满足 a b OQ//AP , M是线段AP的中点，射线OM与椭圆交于点R. 证明：线段OQ、OR、BC能构成一个直角三角形. ir 冬二f ” \ c—r ■X? 加试（B卷） 9 的最小正整数n. f (x)二 设a,b, c是三个互不相同的实数，满足 f (a) = f (b) = f (c)，求abc的取值范围

2018-2019年山东高二水平数学会考真题及答案解析

2018-2019年山东高二水平数学会考真题及答案解析班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________ 题号一二三总分 得分 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、选择题 1.条件，条件，则p是q的（）． A．充分不必要条件B．必要不充分条件充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析：，，的充分不必要条件． 考点：四种条件的判定． 2.已知等差数列的前n项和为，满足( ) A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 试题分析：,又，所以，那么． 考点：等差数列的前n项和． 3.下列函数中，在x=0处的导数不等于零的是（） A．B．C．y=D． 【答案】A 【解析】 试题分析：因为，，所以，，所以，在x=0处的导数为1， 故选A。

考点：导数计算。 点评：简单题，利用导数公式加以验证。 4.设，若，则等于（） A．e2B．e C．D．ln2 【答案】B 【解析】 试题分析：因为，所以所以，解得 考点：本小题主要考查函数的导数计算. 点评：导数计算主要依据是导数的四则运算法则，其中乘法和除法运算比较麻烦，要套准公式，仔细计算. 5.曲线的直角坐标方程为（） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 试题分析：化为 考点：极坐标方程 点评：极坐标与直角坐标的关系为 6.是虚数单位,复数( ) A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 试题分析： 考点：复数运算 点评：复数运算中 7.关于直线与平面，有下列四个命题： ①若，且，则； ②若且，则； ③若且，则；

2018年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案) 精品

2018各省数学竞赛汇集 2018高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合 {}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为 _____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2 (4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位） ，则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且 倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜 率为___1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的 体积为_____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足： 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组 (,,)a b c 的个数为__24___.

2018-2019学年北京市普通高中学业水平考试数学试题 解析版

绝密★启用前 2018年北京市普通高中学业水平考试数学试卷 一、单选题 1．已知集合，1，，那么等于 A．B．C．D．1， 【答案】B 【解析】 【分析】 利用交集定义直接求解． 【详解】 集合，1，， ． 故选：B． 【点睛】 本题考查交集的概念与运算，属于基础题. 2．平面向量，满足，如果，那么等于 A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用数乘向量运算法则直接求解． 【详解】 平面向量，满足，， ． 故选：D． 【点睛】 本题考查向量的求法，考查数乘向量运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

3．如果直线与直线平行，那么实数k的值为 A．B．C．D．3 【答案】D 【解析】 【分析】 利用两条直线相互平行的充要条件即可得出． 【详解】 直线与直线平行， ，经过验证满足两条直线平行． 故选：D． 【点睛】 本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．如图，给出了奇函数的局部图象，那么等于 A．B．C．2 D．4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，由函数的图象可得f（﹣1）的值，结合函数的奇偶性可得f（1）的值，即可得答案． 【详解】 根据题意，由函数的图象可得， 又由函数为奇函数，则， 故选：B． 【点睛】 本题考查函数的奇偶性的性质，关键是掌握函数奇偶性的性质，属于基础题．

5．如果函数，且的图象经过点，那么实数a等于 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意代入点的坐标，即可求出a的值． 【详解】 指数函数的图象经过点， ， 解得， 故选：B． 【点睛】 本题考查了指数函数的定义，考查计算能力，属于基础题． 6．某中学现有学生1800人，其中初中学生1200人，高中学生600人为了解学生在“阅读节”活动中的参与情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为180的样本，那么应从高中学生中抽取的人数为 A．60 B．90 C．100 D．110 【答案】A 【解析】 【分析】 根据分层抽样的定义和题意知，抽样比例是，根据样本的人数求出应抽取的人数【详解】 根据分层抽样的定义和题意，则高中学生中抽取的人数人． 故选：A． 【点睛】 本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在所求的层中抽取的个体数目． 7．已知直线l经过点，且与直线垂直，那么直线l的方程是

2018全国高中数学联赛试题

2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α

高中数学会考题

2018届吉林省普通高中学业模拟考试（数学） 注意事项: 1.答题前将自己的姓名、考号、考籍号、科考号、试卷科目等项目填写或涂在答题卡在试卷规定的位置上。考试结束时,将试卷和答题卡一并交回。 2.本试题分两卷,第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为书面表达题。试卷满分为120分。答题时间为100分钟。 3.第Ⅰ卷的选择题答案都必须涂在答题卡上。每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后·再选涂其他答案标号。选择题答案写试卷上无效。 4.第Ⅱ卷的答案直接写在试卷规定的位置上，注意字迹清楚，卷面整洁。 第Ⅰ卷 选择题（共50分) 一、选择题:本大题共15小题，只有一项是正确的.第1-10每小题3分，第11-15 每小题4分，共50分） 1．已知集合{0,2},{|02}M N x x ==≤<，则M ∩N 等于 （ ） A ．{0，1，2} B ．{0，1} C ．{0，2} D ．{0} 2．下列结论正确的是（ ） A ．若ac>bc ，则a>b B ．若a 2>b 2，则a>b C ．若a>b,c<0，则 a+c

2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(含答案)

2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 (考试时间:2018年6月30日上午9:00) 一、填空题(每题8分，共64分，结果须化简) 1、设三个复数1, i, z在复平面上对应的三点共线，且|z|=5，则z= 2、设n是正整数，且满足n5=438427732293，则n= 3、函数f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期= 4.设点P,Q分别在函数y=2x和y=log 2 x的图象上，则|PQ|的最小 值= 5、从1,2,…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2≤1的概率= 6、在边长为I的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC 1 相切，则小球半径的最大值= 7、设H是△ABC的垂心，且3450 HA HB HC ++=，则cos∠AHB= 8、把1，2，…,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格T n ，第一行是1,2,…,n.例如：3 123 894 765 T ?? ?? =?? ?? ??设2018在T 100 的第i行第j列，则(i,j)=· 二、解答题(第9-10题每题21分，第11-12题每题22分，共86分) 9、如图所示，设ABCD是矩形，点E, F分别是线段AD, BC的中点，点G在线段EF上，点D, H关于线段AG的垂直平分线L对称.求证:∠HAB=3∠GAB.

10、设O是坐标原点，双曲线C:上动点M处的切线交C的两条渐近线于A,B两点。（1）减B 两点:`(1)求证：△AOB的面积S是定值。（2）求△AOB的外心P的轨迹方程. 11、（1）求证：对于任意实数x,y,z都有: ) 222 x23 y z xy yz zx ++≥++ . （2）是否存在实数x.y,z下式恒成立？ () 222 x23 y z k xy yz zx ++≥++ ，试证明你的结论. 12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.

2018年全国高中数学联合竞赛试题(B卷)

2018年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷） 一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。 1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 2、已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于045，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为 5、设βα,满足3)3tan(-=+ πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为 6、设抛物线x y C 2:2=的准线与x 轴交于点A ，过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点N M ,，则KMN ?的面积为为 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组???≤≤≤≤1 )(010x f x 的解集为 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则1 33221z z z z z z ++的实部是 （用含有r 的式子表示）

二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9、（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：71=a ， 21+=+n n n a a a ， ,3,2,1=n ，求满足20184>n a 的最小正整数n 。 10、（本题满分20分）已知定义在+R 上的函数)(x f 为???--=x x x f 41log )(39,90,>≤>b a ）的左、右顶点与上、下顶点．设Q P ,是椭圆上且位于第一象限的两点，满足AP OQ //，M 是线段AP 的中点，射线OM 与椭圆交于点R . 证明：线段BC OR OQ ,,能构成一个直角三角形。

2018年云南高中会考数学真题及答案

2018年云南高中会考数学真题及答案 （满分100分，考试时间120分钟） 参考公式： 圆锥的侧面积公式Rl S π=圆锥侧，其中R 是圆锥的底面半径，l 是圆锥的母线长. 圆锥的体积公式S 3 1 V =圆锥h , 其中S 是圆锥的底面面积，h 是圆锥的高. 第Ⅰ卷 一、选择题：（共20个小题，每小题3分，共60分） 在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前 的字母按规定要求涂抹在“机读答题卡”第1—20题的相应位置上。 1. 设全集I {0,1,2,3}=，集合{0,1,2}M =，{0,2,3}N =，则=N C M I （ ） A ．{1} B ．{2,3} C ．{0,1,2} D ．? 2. 在等比数列}{n a 中,,8,1685=-=a a 则=11a ( ) A. 4- B. 4± C. 2- D. 2± 3. 下列四个函数中，在区间(0,)+∞上是减函数的是 （ ） A ．3log y x = B ．3x y = C ．1 2 y x = D ．1y x = 4. 若5 4 sin = α，且α为锐角，则αtan 的值等于 （ ） A ． 5 3 B ．53- C ．34 D ．34- 5.在ABC ?中，,4 ,2,2π = ∠= =A b a 则=∠B （ ） A. 3π B. 6π C. 6π或65π D. 3 π或32π 6. 等差数列{}n a 中，若99=S ，则= +65a a （ ） A.0 B.1 C.2 D.3

7. 若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是 ( ) A. b a 11< B.22b a > C.1 122 +>+c b c a D.||||c b c a > 8. 已知二次函数2()(2)1f x x =-+，那么 （ ） A ．(2)(3)(0)f f f << B ．(0)(2)(3)f f f << C ．(0)(3)(2)f f f << D ．(2)(0)(3)f f f << 9.若函数()35 1 9 1 x x f x x x +≤?=? -+>?，则()f x 的最大值为 （ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 10.在下列命题中，正确的是 （ ） A ．垂直于同一个平面的两个平面互相平行 B ．垂直于同一个平面的两条直线互相平行 C ．平行于同一个平面的两条直线互相平行 D ．平行于同一条直线的两个平面互相平行 11．已知0x >,函数x x y 1 + =的最小值是 ( ) A.1 B. 2 C. 3 D.4 12. 随机调查某校50个学生在“六一”儿童节的午餐费，结果如下表： 这50（ ） A.2.4，56.0 B.2.4，56.0 C.4，6.0 D.4，6.0 13. 下列命题中正确命题个数为 （ ） ○ 1?=?a b b a ○20,,?=≠?00a b a b = ○ 3?=?a b b c 且,,≠≠00a b 则=a c ○4,,,≠≠≠000a b c 则()()??=??a b c a b c A.0 B.1 C.2 D.3 14.函数x x y 2cos 2sin =是 （ ） A ．周期为 2π的奇函数 B ．周期为2 π 的偶函数 C ．周期为π的奇函数 D ．周期为π的偶函数 15. 如图,一个空几何体的正视图(或称主视图)与侧视图（或称左视图）为全等的等边三角形，俯视图为 一个半径为1的圆，那么这个几何体的全面积为( ) A ．π B ．3π

2018北京市春季普通高中会考数学试题

2018年北京市春季普通高中会考数学试卷 一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合A={1，2，3}，B={1，2}，那么A∩B等于（） A．{3} B．{1，2} C．{1，3} D．{1，2，3} 2．（3分）已知直线l经过两点P（1，2），Q（4，3），那么直线l的斜率为（）A．﹣3 B． C．D．3 3．（3分）对任意，下列不等式恒成立的是（） A．x2＞0 B．C．D．lgx＞0 4．（3分）已知向量，，且，那么x的值是（）A．2 B．3 C．4 D．6 5．（3分）给出下列四个函数①；②y=|x|；③y=lgx；④y=x3+1，其中奇函数的序号是（） A．①B．②C．③D．④ 6．（3分）要得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位 C．向上平移个单位D．向下平移个单位 7．（3分）某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出S的值是（）

A．3 B．6 C．10 D．15 8．（3分）设数列{a n }的前项和为S n ，如果a 1 =1，a n+1 =﹣2a n （n∈N*），那么S 1 ， S 2，S 3 ，S 4 中最小的是（） A．S 1B．S 2 C．S 3 D．S 4 9．（3分）等于（） A．1 B．2 C．5 D．6 10．（3分）如果α为锐角，，那么sin2α的值等于（）A．B．C．D． 11．（3分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=8，那么ab的最大值等于（）A．4 B．8 C．16 D．32 12．（3分）cos12°cos18°﹣sin12°sin18°的值等于（） A．B． C．D． 13．（3分）共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示： 为调查共享单车使用满意率情况，线采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取20﹣30岁的人数为（） A．12 B．28 C．69 D．91 14．（3分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）

【高中会考】2018年6月 高中数学会考标准试卷(含答案)

2018年6月 高中数学会考标准试卷 参考公式： 圆锥的侧面积公式Rl S π=圆锥侧，其中R 是圆锥的底面半径，l 是圆锥的母线长. 圆锥的体积公式S 3 1 V = 圆锥h , 其中S 是圆锥的底面面积，h 是圆锥的高. 第Ⅰ卷 （机读卷60分） 一、选择题：（共20个小题，每小题3分，共60分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求涂抹在“机读答题卡”第1—20题的相应位置上。 1. 设全集I {0,1,2,3}=，集合{0,1,2}M =，{0,2,3}N =，则=N C M I （ ） A ．{1} B ．{2,3} C ．{0,1,2} D ．? 2. 在等比数列}{n a 中,,8,1685=-=a a 则=11a ( ) A. 4- B. 4± C. 2- D. 2± 3. 下列四个函数中，在区间(0,)+∞上是减函数的是 （ ） A ．3log y x = B ．3x y = C ．12 y x = D ．1y x = 4. 若5 4 sin = α，且α为锐角，则αtan 的值等于 （ ） A ． 5 3 B ．53- C ．34 D ．34- 5.在ABC ?中，,4 ,2,2π = ∠= =A b a 则=∠B （ ） A. 3π B. 6π C. 6π或65π D. 3 π或32π 6. 等差数列{}n a 中，若99=S ，则= +65a a （ ） A.0 B.1 C.2 D.3 7. 若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是 ( ) A. b a 11< B.22b a > C.1 12 2+>+c b c a D.||||c b c a > 8. 已知二次函数2()(2)1f x x =-+，那么 （ ） A ．(2)(3)(0)f f f << B ．(0)(2)(3)f f f << C ．(0)(3)(2)f f f << D ．(2)(0)(3)f f f <<

2018年全国高中数学联合竞赛

２６ 中 等 数 学 ２０ １ ８ 年 全 国 高 中 数学 联 合 竞 赛 中图分类号 ： Ｇ４２４ ７９ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ００５ ６４ １ ６ （ ２０１８ ） １ １ ００２６ ０６ ８． 设整数数列 ａ ｉ ， ａ２ ， ， 。 满足 ： … 第 一 试 ， 一 、 填空题（ 每小题 ８ 分， 共 ６４ 分 ） １． 设集合 ＾ ＝ ｛ １ ， ２ ． ． ． ， ， ９９ ｜ ， Ｂ ＝ ＼ ２ｘ ｘ ＾ Ａ ＼ ， Ｃ － ＼ ｘ ２ｘ Ａ ＼ ． 则ｆｉ ｎ ｅ 的元素个数为 ２． 设点 ／ ＞ 到平面 ａ 的距离为Ｖ ５ ， 点 （ ？ 在 平面 ａ 上 ， 使得直线 与平面 ａ 所成 角 不小于 ３０ 。 且不大于 ６０ 。 ． 则这样的点 所构成 的区域的面积为 ． ３ ． 将 １ 、 ２ 、 ３ 、 ４ 、 ５ 、 ６ 随机排成一 行 ， 记 为ａ 、 ６ 、 ｃ 、 《 ｆ 、 ｅ 、 ／ 则 ａ６ ｃ ＋ ｃ ｅｆ ／ 是偶数 的 概 率为 ４． 在平面直角 坐标 系 中， 椭 圆 Ｃ ： ％ ＋ ＆ ＝ ｌ （ ａ ＞ ６ ＞ ０ ） 的 左、 右焦点 分别 为 ａ 〇 心、 Ｆ２ ， 弦 Ｓ ７＼ Ｃ／Ｆ 分别平行于 ＊ 轴 、 ｙ 轴 ， 且交 于点 Ｒ 已知线段 ／ ＾ 、 朽 、 ／ ＾ 、 ／＾ 的长分别 为 １ 、２ 、３ 、６． 则 的面积为 ． ５． 设／（ ＊ ） 是定义在 Ｒ 上的 以 ２ 为周期 的偶函数 ， 在区间 ［ ０ ， １ ］ 上严格递减 ， 且满足 ／（ ７Ｃ ） ＝ ｌ ， ／（ ２７ｔ ） ＝ ２ ． 则不等式组 １ ＾ ＊ ＾ ２ ， １ 矣／〇 ） 矣２ 的解集为 ６． 设复数 ｚ 满足 Ｉ ｚ ＝ １ ， 使得关于 ＊ 的方 程ｚａ ＋ ２ｚ＊ ＋ ２ ＝ ０ 有实根． 则这样 的复数ｚ ２ 的和为 ？ ７． 设 为△ＡＢＣ 的外心． 若 ＡＯ ＾ ＝ ＡＢ ＋ ２ ＡＣ ， 则ｓｉ ｎ Ｚ： 似 Ｃ 的值为 ． 且 ａ ｉ ＋ １ ６ Ｕ ＋ ａ ￡ ， ２ ＋ ａ Ｊ （ ｉ ＝ ｌ ， ２ ， … ， ９ ） ． 则这样的数列的 个数为 ？ 二、 解答题 （ 共 ５６ 分） ９． （ １６ 分） 已 知定义在 Ｒ ＋ 上的函数 ｆ ｌｏｇ３ ％ － １ ， ０ ＜％ 矣９ ； ／（ ＊ ） ＝ 厂 １ ４ － ａ ／ 尤 ， ｘ ＞ ９ ． 设（ ＊ 、 ６ 、 ＜ ； 为三个互不相同 的实数 ， 满足 ／（ ａ ） ＝ ／（ ６ ） ＝ ／（ ｃ ） ． 求 Ｍｅ 的取值范围 ． １ ０ ．（２０分 ）已知实数列ａ ｉ，ａ２，… 满足对任意正整数 ￣ 均有 ａ ｎ （ ２Ｓ ｎ＾ ａ ｎ ） ＝ １ ， 其中 表示数列 的前 ｎ 项和． 证明 ： （ １ ） 对任意正整数 ／ Ｉ ， 均有 ａｎ ＜ ２ Ａ ； ⑵ 对任意正整数 ？ 均有 ａ？ ａ ？ ＋ ｆ １ ． １１ ． （ ２０ 分） 在平面直角 坐标系 中 ， 为抛物线 ｙ２ ＝ ４＊ 的 过点Ｆ （ １ ， ０ ） 的 弦 ， △ ＡＯＢ 的外接圆与抛物线交于点 Ｐ （ 不 同于 点０ 人５ ） ？ 若 平分Ｚ 求 仲 的 所有可能值 ． 加 试 一 、 （ ４０ 分） 设 ７１ 为正整数 ， ａ！ ， ａ２ ， ． ． ． ， ａｎ ， ｈ ，６ ２，… Ａ 及４ 、ｉｆ均为正实数 ，满足 ： ａ ； 斗 ， ａ； ＾４ “ ＝ １ ， ２ ， … ， ｎ ） ， 且 丛 ＾ｆ 证明 ． ：… ａ Ａ ｎ （ ｆｅ ！ ＋ ｌ ） （ ６２ ＋ ｌ ） － （ ６ ｎ ＋ ｌ ） Ｂ ＋ ｌ （ ｏ １ ＋ ｌ ） （ ａ２ ＋ ｌ ） － ＊ － （ ａ ｎ ＋ ｌ ） Ａ＋ ＼ 二、 （ ４０ 分） 如 图 １ ， △ 狀Ｃ 为锐角 三角 形， ＡＳ ＜ ４Ｃ ， Ｍ 为边 ＢＣ 的 中点 ， Ｄ、 Ｅ 分别为 △ Ａ５Ｃ 的 外接 圆 弧 ２、 ＆ 的 中 点 ， ｆ 为

2018年泉州市普通高中数学学科竞赛试题印刷.doc

2018 年泉州市普通高中数学学科竞赛试题 （总分 200 分，考试时间： 150 分钟） 学校 姓名 准考证号 一、填空题：本大题共 15 小题，每小题 6 分，共 90 分．请将答案填写在答题卡的相应位置． 1．已知全集 U R ，集合 M { x | x 2 x 2 0} ， N { x | x 3} ， 则 ( e U M ) N ___________． x y 4 0， 2．实数 x ， y 满足约束条件 x y 2 0， 则 z 3x 2 y 的最小值为 ___________． x 3， 3．若 sin cos 3 ，且 2 ，则 cos sin 的值为 ___________． 8 4 4．已知等差数列 a n 满足 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 40 ，则 4a 6 a 9 ___________． 5．若 x log 4 2 log 2 9 log 4 9 ，则 2x 2 x ___________． 6．在 ABC 中， AB AC 2， BAC 90 ， BP BC (0 1) ， 则 ( AB AC) AP ___________ ． 7．设函数 f ( x) ax 2 2x 1，当 x [0, 2] 时， f (x) 0恒成立，则 a 的取值范围是 ． 8．四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧面 PCD 为等边三角形， AB=2 3 ，BC =2 ， PA 4 ，则 P ABCD 外接球的表面积为 ___________． 9．已知 P 为圆 x 2 y 2 4 上的动点， A(0, 2 2) ，B( 2, 2) ，则 PB 的最大值为 ________． PA 10．已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f (x 2) f (x) ，且当 x [0,1] 时， f ( x) 3x ． 函数 g( x) f (x) kx 2k (k 0) 的所有零点为 n x 1 ， x 2 ， x 3 ， ， x n ，若 8 x i 12 ， i 1 则 k 的取值范围是 ___________．

2018全国高中数学联赛广东赛区选拔赛 含答案

2018年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试卷 一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分. 1. 函数1()1x x ae f x e --+=+（1a ≠）的值域为 ． 2.设集合2{|[]2}A x x x =-=和{|||2}B x x =<，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则 A B = ． 3.已知方程20x xe k -+=在区间(2,2)-内恰有两个实根，则k 的取值范围是 ． 4.已知ABC ?的三个角A 、B 、C 成等差数列，对应的三边为a 、b 、c ，且a 、c 成等比数列，则2:ABC S a ?= ． 5.已知点(1,1)A ，(1/2,0)B ，(3/2,0)C ，经过点A ，B 的直线和经过A ，C 的直线与直线 y a =（01a <<）所围成的平面区域为G ，已知平面矩形区域{(,)|02,01} x y x y <<<<中的任意一点进入区域G 的可能性为 1 16 ，则a = ． 6.袋中装有m 个红球和n 个白球，4m n >≥.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系40m n +≤的数组(,)m n 的个数为 ． 7.已知关于x 的实系数方程2 220x x -+=和2 210x mx ++=的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是 ． 8.已知圆2 2 8x y +=围成的封闭区域上（含边界）的整点（坐标均为整数的点）数是椭圆 22 214 x y a +=围成的封闭区域上（含边界）整点数的15，则正实数a 的取值范围是 ． 二、解答题 ：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.设函数()1x f x e x =--， （1）求()f x 在区间1[0,]n （n 为正整数）的最大值n b ； （2）令1 1n n n a e b =--，1421321 k k k a a a p a a a -= （n ，k 为正整数），求证：

2018年全国高中数学联赛A卷真题word版

一试 一、填空题 1. 设集合{}99,,3,2,1Λ=A ，{}A x x B ∈=2，{} A x x C ∈=2，则C B I 的元素个数为 . 2. 设点P 到平面α的距离为3，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于?30且不大于?60， 则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 3. 将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是偶数的概率为 . 4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点分别是21,F F ，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P .已知线段PT PV PS PU ,,,的长分别为6,3,2,1， 则21F PF ?的面积为 . 5. 设()x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]1,0上严格递减，且满足()()22,1==ππf f ， 则不等式组()?? ?≤≤≤≤2 121x f x 的解集为 . 6. 设复数z 满足1=z ，使得关于x 的方程0222=++x z zx 有实根，则这样的复数z 的和为 . 7. 设O 为ABC ?的外心，若2+=，则BAC ∠sin 的值为 . 8. 设整数数列1021,,,a a a Λ满足1103a a =，5822a a a =+，且{}9,,2,1,2,11Λ=++∈+i a a a i i i ， 则这样的数列的个数为 . 二、解答题 9. 已知定义在+R 上的函数()x f 为()???? ?--=, 4,1log 3x x x f .9. 90>≤