从方程论到群论

从方程论到群论

南京航空航天大学

二О一三年四月十四日

摘要：群论深刻而优美，却又因为过于深奥很难被全面把握。本文尽量使用通俗性语言，从新角度针对群论进行历史的、具体的剖析。为群论理论普及服务。整个故事从方程论开始。从17世纪开始，对方程论的研究就一直没有中断，这个课题在数学中是基础性课题。方程论的核心任务是，寻求一般方程的系数根式解。从得出一元一次方程、一元二次方程的解法开始，经过多年知识积累人们先后又得出了一元三次、一元四次方程解法，但是在寻求解一般五次方程时人们遇到了无法逾越的障碍。就此，人们开始对之前个方程的解法进行归纳统一，以期能找到解一般五次方程的蛛丝马迹，其中的代表人物是范德蒙、拉格朗日，但是也失败了。这就迫使人们转而研究方程的解的存在问题。1832年挪威天才数学家阿贝尔在21岁时综合欧拉、高斯等人的研究成果，用反证法证明了一般五次方程无根式解。这是方程论的一次巨大飞跃。之后伽罗瓦发展了范德蒙、拉格朗日思想，结合阿贝尔的成果，综合自己多年研究，引进了群、域、扩域等概念，创造性地将群论、方程论结合起来，终于系统地完成了方程论的研究，创立了伽罗瓦理论。

关键词：范德蒙思想、拉格朗日思想、群、域、预解式、伽罗瓦群、系数扩展。

引言

1832年5月30日，一声枪响划破巴黎郊区清晨的寂静，一位年轻人倒在了血泊中，不久即结束了不到21岁的生命，他就是伽罗瓦，数学史上唯一具有浪漫色彩的数学家，因感情纠纷死于与他人决斗。在决斗前夜，他通宵达旦写下了自己几年来在数学领域的研究成果，在离去前为人类留下了一份宝贵的珍品--伽罗瓦理论。

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伽罗瓦理论完全而又彻底的解决了几百年来困扰无数数学家的多项式方程求解问题，宣告了方程论的结束，新的理论——群论的开始。伽罗瓦思想大大超越了时代，其及其深奥以致当时最优秀的数学家都得要花几个月时间才能彻底掌握。伽罗瓦开辟了新的时代，从群论开始，经历代数学家们的大力发展，一门崭新是学科——近世代数诞生了。现在，群论已经成为数学、物理、化学、晶体学、密码学等学科中不可或缺的重要工具。

1.一元一次、一元二次方程

人们在应用数学求解实际问题时，为简化运算，常常把所要求的量用一个符号代替，这就是代数这一概念的由来。例如问题1，我和朋友共同买10个苹果，分配我去买3个，那么应该分配给朋友去买几个呢？用小学老师教过的方法去算，当然是10-3=7个了。然而，历史的发展并不着眼于此简单的问题，从另一角度、另一方法去分析问题，往往获得质的提升。在分析更复杂，更多变问题的时候，这种方式显得尤为重要。对以上简单问题，换另一角度。假设我不知道朋友应该去买多少个，我用一个符号去代替，用X吧。X是多少我也不知道，他可能是0，可能是1，也可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10···但是我知道，一个关系必须成立，这个关系是

X+3=10

这就是一个代数方程，最简单的代数方程，一元一次方程。这个方程有自己的运算法则，有自己的性质，是由3+7=0这类等式性质抽象分析得出的。对等式移项得

X-7=0

为一般化分析奠定良好基础，统一方程为这种形式，即：含未知量的式子放等号左边，0放等号右边。对一元一次方程，以上的方程化分析如此繁琐，但是，这里所代表的意义，所蕴含的思想，是具有划时代意义的--人类开始摆脱对感观感受的依赖，迈入理性分析的大门。对更加复杂问题的分析，这时感官感觉效能将发现自己是多么吃力。例如问题2，象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.

经核实，那么是谁统计错了呢？还是全部都统计错了呢？.这次比赛共有多少个选手参加.这个时候，问题就不像上面的10-3=7那么容易了。需要一番分析才能最终得出结果。对最不想动脑的人，他可能会一个一个从1到10000000进行尝试（不可能）。有了代数这种概念，这种武器，我们对问题的分析将会更加简化具体。

假设有X个人参加比赛，那么每个选手都要与X-1个选手比赛一局，总共进行X（X-1）局，

但是两个选手对局从每个选手角度个统计了一次，因此实际比赛应为

2

1 -

X

X）

（局。由于每局共计2分，所以全部选手总共为X(X-1)分。因此X和X-1是相邻自然数，相邻自然数末尾乘积只能是0、2、6，因此总分是1917、1984、1985是不可能的。因此只有1980分是正确的。这时候有关系

X（X-1）=1980

化为统一形式为

X2-X-1980=0

从以上分析可以看出，如果仅仅将人的思维停留在10-3=7这个阶段，将导致无法分析更复杂的问题，社会发展的效率也将很低下。有了代数的概念和方法，我们会发现分析的效率会大大提高，例如对以上问题的分析只需要求我们等价分析

X-7=0 X2-X-1980=0

这两个式子即可。这是第一层抽象，这一层抽象引入了代数的概念，这是具有划时代意义的大事件，是人类思想解放的起步点。既然是代数，那么我们将7、1980分别用p、q代替，就得到方程

X-p=0 X2-X-q=0

那么，如何对这些方程进行分析呢？对更一般的方程又如何分析呢？

3

①一元一次方程解的研究

我们从小接触数是从自然数0、1、2、3、4···开始的，这群数是最自然不过的数，所以称为自然数，借用集合论的概念，全体自然数组成一个集合，叫自然数集，用N 表示。我们知道，X-7=0在N 中是有解的，这个解是X=7.但是方程X+7=0呢？我们发现0、1、2、3、4、···这些数每个数加7都不等于0，即这个方程的解不在自然数集N 中。这时怎么办呢？一个方法是引入新的数——负数，即把自然数集N 扩大到集合Z ，使Z 能包容方程X+7=0的解，这时我们将会发现，尽管X+7=0在N 中无解，但是却在Z 中有解，这个解是X=-7。这时，一般的方程，X+a=0，（其中a 在N 中）将会在Z 中有解，稍微有数学知识的人都会懂得Z 就是整数集，Z={···-3，-2，-1,0,1,2,3···}。

上边的这个思想，即一个方程在一个数集中没有解，那么把这个数集进行扩展到更大的数集，使方程在更大的数集里有解的思想，及其重要，但是又因为过于简单明显而显得无用，长期被人忽视。当对五次方程的一般解法的探索过去了300年均无成效后，人们才闪出这个思想的蛛丝马迹。应用这个思想继续分析更一般的问题

pX+q=0 （p ，q ∈Z ）

这时解得X=-q p ，当p=2，q=-3时，X=32。这时X=2/3也不在Z 中，这时需要把Z 进行扩大，

添加进所有类似2/3这样的数，于是又得到一个更大的集合，这个集合称为有理数集，记为Q 。用通俗的话讲，集合Q 包含了所有的分数。于是一元一次方程

pX+q=0 （p ，q ∈Q )

在Q 中有解。比较上边的这个方程跟其他更以上方程的区别，就会发现这个方程的系数在Q 中，但是它的解也在Q 中，即拿集合Q 中任意两个元素进行+、-、X 、 的结果扔在Q 中，这样的特殊集合称为域，Q 就是一个域，在方程论中很基本、很重要的一个域。

总结一下，对一次方程的解的研究我们取得丰硕的成果，用了一种思想，扩系数范围直至

包含方程的解；引入一个概念，域。一次方程的解到有理数域Q的时候实现了自我封闭，而数系，通过对解的研究一步步从自然数集N扩展到整数集Z，再从整数集Z扩展到有理数集Q。尽管自然数、负数、分数、我们从小就接触知道意义并懂得使用，但是从自然数出发，通过扩张的方法一步步得到负数、分数，还是令人难以接受。但是西方思想的核心就在于此，由最基本事实出发，运用一系列逻辑法则层层演绎，进而得出结果，令人无处可驳。这也是西方的美，逻辑美、形式美，但是只有真正了解她的人，才能进入她的思想圈子，感受美的无限。否则一切都是单调的枯草，令人不屑。

②一元二次方程的解的研究

二次方程的一般形式是

aX2+bX+c=0 （a≠0，a，b，c∈Q）

用配方法解这个方程得X=

a2

ac 4-

b

b-2

±

，随便带入一个数，当b=0，a=1/2，c=-1时，得X=2。2又是个什么东西呢？它在不在有理数集Q中呢？应用反证法我们可以证明，2不在有理数集Q中，即二次方程的解有些并不在系数域Q中，称这样的数为无理数。应用上次分析一次方程时的系数扩张方法，将系数域Q进行扩展，将所有满足b2-4ac≥0的方程的解X扩充到系数域Q中，得到一个更大的数系，实数系R。这时发现，对所有a、b、c∈R，且b2-4ac≥0的二次方程，其解也在R中，即实数系R中的任意两个元素进行+、-、X、÷的结果仍在实数系R 中，所以实数系R是一个域。这个域包含了有理数域Q，记为Q?R。但是实数域R是不是仅仅包含有有理数域Q呢？当然不是，例如a+b2，（a，b∈Q）也是一个域，它还有特别的记号，为Q（2）。

上边对实数域R进行分析时有个限制，即ω如果没有呢？例如a=1/2，b=0，c=1/2时，得X=1-，那么，1-是个什么东西呢？跟2之间有什么联系呢？我们知道，两个相同的数相乘不可能小于0，那么1-这个东西有没有实际意义呢？而且2=1.414···，那1-=？

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我们姑且不管1-的实际意义，由之前的扩系数理论知道，若对系数之间的关系不加任何限制，那么解中不仅出现2这种数，而且还会出现1-这种数。而且1-更加普遍。我们将实数域R进一步扩展，使其包含1-这种数，而且用反证法可以证明，1-不在R中，因此扩展后的集合将比实数集R更大，记为C。则二次方程在C中绝对有解，且R?C。由前边分析可得C中的数可表为a+b1-，用i代替1-，即得a+ib，称这种数为复数。而且当a，b，c∈C 时，二次方程的解也在C中，即取C中任意两个元素作+、-、X、÷的结果仍在C中，即C也是一个域，称为复数域。

对一次方程、二次方程的解进行分析后，我们得到三个重要的域，即有理数域Q、实数域R、复数域C，运用了一个重要的理论，系数扩展理论。由最基本的自然数集开始，通过方程解的研究，运用系数扩展理论，我们依次得到整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C。人们最早知道自然数，然后是有理数、负数、整数、无理数、实数，最后才是复数。而且这些认识有的相隔几百年，有的甚至几千年才被人发现，最后有过了很多年才被人认可。但是由以上分析、推论，这些数的得到是我们进行分析后想当然的结果。为什么会有这种差别呢？留给看过这篇文章的人自己去分析品味吧。数系由自然数开始，一步步扩充到复数，这时不禁疑问，在分析更高次的方程如三次、四次方程的解后，会不会产生新的数系呢？对此问题，高斯曾证明过，运用扩展系数方法不会产生比复数系更大的数系了，即，代数王国已经完成了它的扩张。虽然英国数学家哈密尔顿运用他的天才方法发明了一种新数，a+ib+jc+kd，即四元数，后来又扩展有八元数、十六元数···但那不是解方程时引出的，只是人纯抽象的产物，这另当别论，也不违反高斯的定理。

2.三次方程、四次方程

①在完全解决一次、二次方程的解，把数系由自然数扩展到复数后，在此基础上，我们再来分析三次、四次方程的一般解。解这两种方程需要极高的技巧。三次方程的一般解法的最先发现者是1535年意大利波洛那的塔尔塔利亚，他的解法是这样的：

对于一般形式的三次方程X3+aX2+bX+c=0（a，b，c∈Q），令X=Y-a/3，则原方程可简化

7 为

Y 3+pY+q=0运用恒等式（u+v)3=u 3+v 3+3uv(u+v)。令u+v=Y ，3uv=p ，u 3+v 3=q ，得u 6+qu 3-p 3/27=0,同理有v 6+qv 3-p 3/27=0,此时只要解出u 、v ，即可解出Y ，解出Y ，即可解出X 。再经过一系列复杂计算后，塔尔塔利亚得 Y=33233227-4-2q -2742q -p q p q +++

这个公式称为卡丹公式，至于为什么不叫塔尔塔利亚公式，那是数学史上的事了。但是这个公式也不是精确的，因为从表面来看，Y 应该有3X3=9种结果，这是荒谬的，这是在无代数基本定理、无复数概念仅仅有实数概念下得到的结果，碰见复数时用根不存在以避之。但是有了复数概念，在复数下进行分析时，得对卡丹公式进行修正为：

332233227-4-2q -274

2q -p q p q εε+++ 其中ε=1，ω，ω2 ，是1的立方根。至于如何得到这个公式，请参考冯承天先生的《从一元

一次方程到伽罗瓦理论》。这样，三次方程的问题就彻底解决了。

②再考虑四次方程的根式求解，一般的四次方程为：

X 4+aX 3+bX 2+c=0

令Y=X-a/4，方程可化为：

Y 4+pY 2+qY+r=0

用法国数学家笛卡尔在1637年提出的方法，令

Y 4+pY 2+qY+r=（Y 2+kY+l ）（Y 2+nY+m ）

展开后比较系数得n=-k，l+m-k2=p，k（m-l）=q，lm=r。因此，只要解出k，l，m，n，则四次方程可化为俩个二次方程的乘积。由以上关系不难得出：

k6+2pk4+（p2-4r）k2-q2=0

这是关于k2的三次方程，因此k2也是可解的，k解出后，l，m，n就容易多了。尽管方法简单，但是计算是冗长的，这里就不解了。

3.

4.五次方程和代数基本定理

我们已经解决了一次、二次、三次、四次方程，在解决一次、二次方程的过程中，我们扩充了数系，从自然数集N到复数集C。我们知道，在复数C上，当方程系数是复数时，其解也是复数，因为复数是一个域；并知道，一次方程在复数C上有一个解，二次方程在复数C上有两个解（重根按重数计算），那么三次方程、四次方程在复数C上有多少个解呢？似乎不好容易看出，但是经过人们大量计算实践发现三次方程在复数C上有三个根，而四次方程有四个。

那么，当方程的系数在实数系R上呢？由扩系数理论知，方程的全部解必全部在复数C上，但是在实数集R上解的个数呢？如何进行判别？这个在实际应用中是很关键的问题。这个问题可归结为范德蒙行列式。

靠高度技巧，人们解决了三次、四次方程的求解，这种技巧是对方程进行降阶，当继续应用这种技巧在一般五次方程上时，人们遇到了麻烦，三百年过去了，这种技巧仍未被找到。方程论就这样被卡在五次方程上几百年。

当人们认识到一条路走不通时，历史要求新的探路者的到来。在多年正面攻击一般五次方程受挫后，人们开始怀疑一般五次方程的解是否存在？若存在，是否可以用系数构造出来？这时人们不再思考方程的系数的变换技巧，转而开始研究解的性质。

第一个重要的问题是解的存在问题。给一个方程，对方程进行求解，如果解都不存在的话，

9 只是浪费时间做无用功。如果解存在，那是否唯一呢？这个问题在哲学上是形而上学问题，这种问题的提法是否合法？存在是什么？是数学解决不了的。但是在方程论这种问题又是关键的，而且不仅仅限于方程论，存在性的证明在数学中及其基础和普遍的。在解决了一次、二次、三次、四次方程时，发现这些方程在复数C 中根的个数分别是1、2、3、4，而且特殊n 次方程分园方程X n

-1=0有n 个不同的解，于是应用归纳法可以猜想n 次方程在复数域C 上有n 个解。高斯曾应用复数坐标系证明了n 次方程至少存在一个解，但这个结果跟我们最初初衷证明n 次方程有n 个解相差还很远。经日后数学家们不断完善，最终证明了： 代数基本定理：n 次方程在复数C 上有n 个根

证明过程很繁杂，要了解更详细信息，可参考莫里斯·克莱因的《古今数学思想》。有了代数基本定理，就可以安心地进行下一步工作了。证明了解的存在后，接下的问题是，存在的解可用系数表出来吗？为什么一般五次方程的解存在但是所有想用系数把解表示出来的尝试都失败了呢？这时，一个想当然的工作是，拨开技巧的外衣，将对一次、二次、三次、四次的方程的解法统一起来，运用到五次方程上寻找线索。范德蒙、拉普拉斯是其中的代表，而且成就显著。

4. 范德蒙思想

1771年，范德蒙在法国科学院宣读了一篇论文，这篇论文就是他的全部数学成果。在介绍范德蒙思想之前，有几个知识是必要介绍的，一是韦达定理、一是牛顿定理。

韦达定理：设α1

，α2是二次方程X 2+bX+c=0的两个解，则有 -b 12=+αα，α1α2=c

推广的韦达定理：设α1、α2

、α3是三次方程X 3+bX 2+cX+d=0的三个解，则 α1+α2+α3=-b ，α1α2+α2α3+α1α3=c ，α1α2α3=-d

还可继续推广到四次、五次、六次···方程上这个发现将方程的根跟方程的系数联

系了起来，这个认识对解决问题“方程的根能否用方程的系数表示出来”是至关重要的，范德蒙就是深刻把握了这个认识从而在统一化方程解法的尝试上获得突破。但是范德蒙的成就比起跟他同时代的拉格朗日来说就微不足道了。为能应用关键概念进行描述，再介绍牛顿小时候的一个小数学成就，牛顿定理：

牛顿定理：任何一个关于变量α1、α2、α3···αn的对称多项式都可以唯一地表示为初等对称多项式σ1、σ2、σ3···σn的多项式。

牛顿定理将我们对方程解的研究带到研究多项式的对称性上，第一个准确把握这条路的人就是范德蒙，这是他超越时代的条件。关于α1、α2、α3···αn的多项式是多种多样的，对称多项式是其中一种特殊的多项式，它在关于α1、α2、α3···αn的任意两个变量的位置置换后多项式的值保持不变。而初等对称多项式σ1、σ2、σ3···σn分别为（例如当n=3时）σ1=α1+α2+α3，σ2=α1α2+α2α3+α1α3，σ3=α1α2α3

由此可知α31+α32+α33是对称多项式，且α31+α32+α33=

（α1+α2+α3）3-3（α1+α2+α3）（α1α2+α2α3+α1α3）+3（α1α2α3）= σ31-3σ1σ2+3σ3

有以上知识铺垫，就可阐述范德蒙思想。因为每一个系数对应相应根的初等对称多项式，若方程的解可用系数表示出，那么表达式必是对称的。于是，范德蒙试图把方程的每一个根统一表示成所有根的对称函数，在用这种统一方法处理二次、三次、四次方程时，范德蒙都获得了成功，但是在处理五次方程时失败了。

5.拉格朗日思想

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拉格朗日曾给自己提出一个任务：分析解二次、三次、四次方程的各种解法，看这些方法为什么能把方程解出来，这些方法对解更高次的方程能提供什么线索。与范德蒙思想类似，但拉格朗日表述得更具体。范德蒙直接把着眼点放在根的通用形式上，很复杂。拉格朗日则取范德蒙通用形式中的某一普遍表达式来研究，拉格朗日称为预解式，使研究问题变得更具体、更有效率。拉格朗日核心思想为：看预解式方程在所有根的置换下发生了什么变化。

对于三次方程X 3+qX+p=0，引进变换X=Y-q/3Y 得

Y 6+pY 3-q 3/27=0

这方程称为简化方程，设r=Y 3，则

r 2+pr-q 3/27=0

于是可算出根r 1，r 2，但是从r 到Y 必须解方程

Y 3-r=0

所以Y=31r ，312r ω，31r ω，32r ，32r ω，322r ω，带回X X=31r +32r X=31r ω+322r ω

X=312r ω+32r ω

这样原方程的解就是由简化方程得到，拉格朗日证明他的前辈们用的各种不同方法都相当于上面的方法。打开这些方程的奥秘一定是隐藏在把简化方程的解用原先的方程的解的联系中，这是拉格朗日思想的前瞻之处。

当X1，X2，X3按特定顺序取出时，每一个Y值都能写成（因为1+ω+ω2=0）形式

Y=（X1+ωX2+ω2X3）/3

这个式子可以带领我们发现简化方程的两条性质：

①所有的Y值有3！=6个，因而Y应该满足一个6次方程，故简化方程的次数由原方程的根的置换个数决定。

②为什么简化方程可化为2次方程，因为在6种置换中，方程只取两个值。就此，还可定义拉格朗日预解方程，从而得出解。

拉格朗日用他的预解式研究方程的解，再用预解方程得出解的表达式。这个方法应用在二次、三次、四次方程求解时非常成功，但是在解五次方程时也失败了。但是拉格朗日抓住了关键点：为了弄明白方程的可解性必须观察他们解的置换，以及在这些置换下特定的关键表达式，即预解方程发生了什么变化。此外拉格朗日还证明了一个重要定理，拉格朗日定理：对含有n个变量的多项式，作这些变量的所有n！个变换，假设这些变换的结果有A种，那么，A可整除n！。

6.伽罗瓦思想和群论

伽罗瓦继承了拉格朗日的工作，在研究方程预解式的n！种变量置换时，将所有置换组成的集合称为一个群，这个群的阶是它元素的个数，所这种置换群的阶是n！，这种群称为伽罗瓦群。将置换群的最基本性质选择出定义群这个概念：

①封闭性：群中任意两个元素的结合仍在群中

②结合性：如果a、b、c是群中任意元素，则aX（bXc）=（aXb）Xc

③存在单位元：群中存在这样一个元素，当群中任意元素与这个元素结合时都

保持不变。

④每个元素都有逆元素：如果a是这个群中的任意一个元素，那么在群里能找到一个元素b，满足axb=e（e是单位元）

群的概念的引入是伽罗瓦的天才创造，这样，方程的可解性的研究，就转变为对其所对应的置换群的结构的研究。伽罗瓦在研究置换群的结构后发现：二次方程之所以可解，是因为二次方程根的置换群的阶是2，阶是2的置换群是可解的；三次方程根的置换群的阶是6，所以它的简化方程是6次的，但是这个置换群存在一个阶为2的子群，所以它的简化方程可以化为一个二次方程，所以方程也是可解的；四次方程的根的置换群的阶是24，所以它的简化方程是24次的，但是这个群存在阶为6的子群，所以简化方程还可简化为一个6次的方程，又这个6阶的子群里又存在3阶的子群，所以这个6次方程还可化简为一个3次方程，三次方程是可解的，故四次方程也可解。但是对一个五次方程，其根的置换群的阶是120，但是这个群不存在阶为4或3的子群，所以一般五次方程是不能根式求解的。

这样，伽罗瓦用根的置换群成功地解决了方程的有无根式解问题，彻底解决了困扰数学家们300年的五次判别方程的可解性问题。尽管一般五次方程不可根式求解，但是特殊的方程还是可以根式求解的，如分园方程。这些方程又如何判别其可解性？

由前边系数扩展理论，当一个方程在系数域内无解时，就要进行扩域。将域扩展到包含方程全部解的新域内，这个域称为方程的解域。伽罗瓦的又一天才创造是将方程的伽罗瓦群跟方程的扩域联系起来，他发现方程解的形式取决于系数域和解域这两个域之间的关系。对于任意给定的方程我们需要考虑这个解域的某些置换，在解域的诸多置换中，存在某个置换的子序列，它保持系数域不变，这个子序列形成一个群，称为方程的伽罗瓦群，所有关于方程的可解性问题都可以转化为这个群的结构问题。

解域到自身的同构称为自同构，且解域K的自同构T是集合K到自身的双射，

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所以所有自同构组成的集合在乘积下满足群的四种所有性质，所以其构成一个群，这个群就是方程的伽罗瓦群，这个群跟根的置换群同构，解域K在系数域F上的自同构群是由保持F中元素不变的K的那些自同构群，即是原来群的子群。而且还可以证明，系数域F的有限扩张K的任意自同构T把K的每个元素u映射到u在F中的共轭元素uT。例如方程X4-3=0由爱森斯坦定理在域Q上是不可约的，并有四个根r，ir，-r，-ir。根域N=Q（r，ir，-r，-ir），可以看做是由i，r生成，故N=Q （r，i）。因为r在Q上是四次的，因此i在实域Q（r）是2次的，故根域N在Q 上是8次。这个系数扩张N由8个元素1，r，r2，r3，i，ir，ir2，ir3构成一组基。所以自同构T只要知道rT和iT就可完全确定。

7.总结

从最初自然数集N，抽象有了方程概念后，通过系数扩张理论，可以一步步得到整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C。由二次方程系数扩展得到复数集C 后，数系王国即完成扩张。方程的系数，根都将在复数集C内考虑。代数基本定理的证明为下一步的研究工作打下了良好基础。之后数学家们便集中精力解决方程的根式可解问题，在成功解决了二次、三次、四次方程后，多次五次方程根式求解研究的失败，使数学家们的研究方向转到根的结构的研究上来，并取得丰硕的成果。伽罗瓦在总结前人工作的基础上，高瞻远瞩，创造性地将群论、扩域理论、方程的根式可解理论联系起来，创造了伽罗瓦理论，彻底解决了方程的根式求解问题，并产生了一门新的理论——群论。群论由于过于深奥，故很难得以普及。若从群这一极其抽象概念出发去推导其性质，则一般人很难接受。群论是一门描述对称的理论，故本文从系数扩张理论开始，到对称多项式为高潮，一步步指导读者将扩域理论与伽罗瓦群结合起来，避免了直接接触群论。

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高一数学必修一函数与方程知识梳理

高一数学必修一函数与方程知识梳理 函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，以下是函数与方程知识梳理，请大家学习。 1、函数零点的定义 (1)对于函数)(xfy，我们把方程0)(xf的实数根叫做函数)(xfy 的零点。 (2)方程0)(xf有实根函数()yfx的图像与x轴有交点函数()yfx 有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(xf是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(xf，所得实数根就是()fx的零点(3)变号零点与不变号零点 ①若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()fx的变号零点。②若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()fx的不变号零点。 ③若函数()fx在区间,ab上的图像是一条连续的曲线，则 0)()(bfaf是()fx在区间,ab内有零点的充分不必要条件。 2、函数零点的判定 (1)零点存在性定理：如果函数)(xfy在区间],[ba上的图象是连续不断的曲线，并且有()()0fafb，那么，函数)(xfy在区间,ab 内有零点，即存在),(0bax，使得0)(0xf，这个0x也就是方程0)(xf的根。(2)函数)(xfy零点个数(或方程0)(xf实数根的个

数)确定方法 ①代数法：函数)(xfy的零点0)(xf的根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。(3)零点个数确定 0)(xfy有2个零点0)(xf有两个不等实根; 0)(xfy有1个零点0)(xf有两个相等实根; 0)(xfy无零点0)(xf无实根;对于二次函数在区间,ab上的零点个数，要结合图像进行确定. 3、二分法 (1)二分法的定义:对于在区间[,]ab上连续不断且()()0fafb的函数()yfx,通过不断地把函数()yfx的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; (2)用二分法求方程的近似解的步骤: ①确定区间[,]ab,验证()()0fafb,给定精确度 ②求区间(,)ab的中点c; ③计算()fc; (ⅰ)若()0fc,则c就是函数的零点; (ⅱ) 若()()0fafc,则令bc(此时零点0(,)xac (ⅲ) 若()()0fcfb,则令ac(此时零点0(,)xcb 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的

电路系统的状态空间模型分析 开题报告

大学 毕业设计（论文）开题报告 课题名称电路系统的状态空间模型分析 课题类型理论研究指导教师 学生姓名学号 一、研究或设计的目的和意义： 控制理论研究如何改进动态系统的性能以达到所需目标，这个广义定义包含了人类活动的许多方面。控制理论试图以定量方式描绘这些问题，并集中于寻求一些精确的数学描述方法。控制理论有两个目标：了解基本控制原理；以数学表达它们，使它们最终能用以计算进入系统的控制输入，或用以设计自动控制系统。 控制系统之所以能得到如此普遍的应用，不但要归功于现代仪表化(完备的传感器和执行机构)与便宜的电子硬件，还由于控制理论有处理其模型和输出信号所具有的不确定性动态系统的能力。在控制理论中已完善的各种方法愈来愈得到普遍应用的同时，先进的理论概念的应用却仍集中在像空间工程那样的高技术方面。当然，由于计算机技术的飞速发展和世界性的激烈的工业竞争，这种情况将会改变。 控制理论中的各种方法对现代技术的发展有很大影响。基于经典理论的单回路控制系统，以及最近出现的第一代自适应控制器，已在许多工业生产中得到广泛应用。

二、研究或设计的国内外现状和发展趋势： 控制理论的产生和发展要分为以下几个发展阶段：经典（自动）控制理论、现代控制理论和鲁棒控制理论。 科学技术的发展不仅需要迅速地发展控制理论，而且也给现代控制理论的发展准备了两个重要的条件—现代数学和数字计算机。现代数学，例如泛函分析、现代代数等，为现代控制理论提供了多种多样的分析工具；而数字计算机为现代控制理论发展提供了应用的平台。 在二十世纪五十年代末开始，随着计算机的飞速发展，推动了核能技术、空间技术的发展，从而出现了多输入多输出系统、非线性系统和时变系统。五十年代后期，贝尔曼（Bellman）等人提出了状态分析法；在1957年提出了动态规划。1959年卡尔曼（Kalman）和布西创建了卡尔曼滤波理论；1960年在控制系统的研究中成功地应用了状态空间法，并提出了可控性和可观测性的新概念。1961年庞特里亚金（俄国人）提出了极小（大）值原理。罗森布洛克（H.H.Rosenbrock）、欧文斯（D.H.Owens）和麦克法轮（G.J.MacFarlane）研究了使用于计算机辅助控制系统设计的现代频域法理论，将经典控制理论传递函数的概念推广到多变量系

高一数学函数与方程知识点整理

高一数学函数与方程知识点整理在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。数学分为两部分，一部分是几何，另一部分是代数。精品小编准备了高一语文函数与方程知识点，希望你喜欢。 1.设f(x)=x3+bx+c是[-1,1]上的增函数，且f(-12)f(12)0，则方程f(x)=0在[-1,1]内() A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根 C.有唯一的实数根 D.没有实数根 解析：由f -12f 120得f(x)在-12，12内有零点，又f(x)在[-1,1]上为增函数， f(x)在[-1,1]上只有一个零点，即方程f(x)=0在[-1,1]上有唯一的实根. 答案：C 2.(2019长沙模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，x、f(x)的对应关系如下表： x123456 f(x)136.1315.552-3.9210.88-52.488-232.064 则函数f(x)存在零点的区间有 A.区间[1,2]和[2,3] B.区间[2,3]和[3,4] C.区间[2,3]、[3,4]和[4,5] D.区间[3,4]、[4,5]和[5,6]

解析：∵f(2)与f(3)，f(3)与f(4)，f(4)与f(5)异号， f(x)在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]上都存在零点. 答案：C 3.若a1，设函数f(x)=ax+x-4的零点为m，g(x)=logax+x-4的零点为n，则1m+1n的取值范围是 A.(3.5，+) B.(1，+) C.(4，+) D.(4.5，+) 解析：令ax+x-4=0得ax=-x+4，令logax+x-4=0得logax=-x+4，在同一坐标系中画出函数y=ax，y=logax，y=-x+4的图象，结合图形可知，n+m为直线y=x与y=-x+4的交点的横坐标的2倍，由y=xy=-x+4，解得x=2，所以n+m=4，因为 (n+m)1n+1m=1+1+mn+nm4，又nm，故(n+m)1n+1m4，则 1n+1m1. 答案：B 4.(2019昌平模拟)已知函数f(x)=ln x，则函数g(x)=f(x)-f(x) 的零点所在的区间是 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析：函数f(x)的导数为f(x)=1x，所以g(x)=f(x)-f(x)=ln x-1x.因为g(1)=ln 1-1=-10，g(2)=ln 2-120，所以函数g(x)=f(x)-f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B. 答案：B

单元15-时序逻辑电路

第十六单元时序逻辑电路 （8学时——第49～56学时） 主要容：时序逻辑电路的分析与设计 教学重点：时序逻辑电路的分析与设计方法 教学难点：时序逻辑电路的设计 教学方法：启发式教学、探究式教学 教学手段：实验、理论、实际应用相结合 第一部分知识点 一、时序电路概述 时序电路的状态及输出是与时间顺序有关的，由组合电路和存储电路（多为触发器）组成，1、特点 任意时刻的输出，不仅与该时刻的输入有关、还与电路原来的状态有关。 2、分类 按逻辑功能分为计数器、寄存器等，按触发器工作分为同步电路和异步电路，按电路输出信号特性分为Mealy型（输出与输入及电路现态有关）和Moore型（输出仅与电路现态有关）电路。 二、时序电路的分析 1、分析步骤 （1）写出电路的时钟方程（各触发器的CP表达式）、输出方程（各输出端表达式）及驱动方程（各触发器的触发信号表达式）。 （2）求出电路的状态方程（各触发器的状态表达式） （3）计算得出电路工作状态表 （4）画状态图及时序图 （5）分析电路功能 2、分析举例 分析时序电路

（1）时钟方程CP0=CP1=CP2=CP 输出方程n n n Q Q Q Y 1 2 = 驱动方程n Q J 2 =、n Q K 2 =，n Q J 1 =、n Q K 1 =，n Q J 1 2 =、n Q K 1 2 =（2）状态方程 将J、K代入JK触发器特征方程n n n Q K Q J Q+ = +1得各触发器状态方程： n n Q Q 2 1 = +、n n Q Q 1 1 = +、n n Q Q 1 1 2 = + （3）计算得到状态表 现态次态输出 n Q 2 n Q 1 n Q 1 2 | n Q+1 1 + n Q1 + n Q Y 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 （4）画状态图及时序图 （5）逻辑功能 这是一个有六个工作状态的同步工作电路，属Moore型电路。 （6）有效态和无效态

高中数学函数与方程知识点总结例题及解析高考真题及答案

函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0?

函数与方程复习讲义

.函数与方程复习讲义 一．【目标要求】 ①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系， ②判断一元二次方程根的存在性及根的个数． ③会理解函数零点存在性定理，会判断函数零点的存在性. 二．【基础知识】 1．函数零点的概念： 对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 2．函数零点与方程根的关系： 方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有点?函数)(x f y =有零点 3．函数零点的存在性定理： 如果函数)(x f y =在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有 0)()(<或恒成立，则没有零点。 三．【技巧平台】 1.对函数零点的理解及补充 （1）若)(x f y =在x a =处其函数值为0，即()0f a =，则称a 为函数()f x 的零点。 （2）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(

新人教版高一数学函数与方程知识要点

新人教版高一数学函数与方程知识要点 新人教版高一数学函数与方程知识要点 一、方程的根与函数的零点 教材内容分析新课程标准的要求是,结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系。 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即： 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法： 求函数的零点： 1(代数法)求方程的实数根; 2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点： 1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点. 2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点. 二、用二分法求方程的近似解

用二分法求方程的近似解的方法,二分法,又称分半法,是一种方程式根的近似值求法。 1.二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点______________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求 ___________________________________________________________ _____________. 2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤： (1)确定区间[a，b]，验证____________，给定精确度ε; (2)求区间(a，b)的中点____; (3)计算f(c); ①若f(c)=0，则________________; ②若f(a)·f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈________); ③若f(c)·f(b)<0，则令a=c(此时零点x0∈________). (4)判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b);否则重复(2)～(4).

函数与方程教学讲义

函数与方程教学讲义 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使__f(x)＝0__成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．注：函数的零点不是点．是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是y＝f(x)与x轴的交点．(2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与__x轴__有交点?函数y＝f(x)有__零点__. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有__f(a)f(b)＜0__，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二分法 (1)对于在区间[a，b]上连续不断且__f(a)f(b)<0__的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__一分为二__，使区间的两个端点逐步逼近__零点__，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． (2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε； ②求区间(a，b)的中点c； ③计算f(c)； (Ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点； (Ⅱ)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c (此时零点x0∈(a，c))； (Ⅲ)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c (此时零点x0∈(c，b))． ④判断是否达到精确度ε，即：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④. 1．有关函数零点的结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． (4)由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号． (5)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)<0?函数f(x)在[a，b]上只有一个零点． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 的图象 与x轴的交点(x1,0)(x2,0)(x1,0)无交点 零点个数两个零点一个零点无零点 1．(教材改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x12345 f(x)－4－2147 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(B) A．(1,2)B．(2,3) C．(3,4)D．(4,5) [解析]由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2,3)内有零点，故选B． 2．(教材改编)为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值(精确度0.1)如下表所示： x 1.25 1.3125 1.375 1.4375 1.5 1.5625 f(x)－0.8716－0.5788－0.28130.21010.328430.64115

第一章-第四讲-n元线性方程组求解

第四讲 n 元线性方程组求解 上一讲我们介绍了当n 元一次线性方程组的系数矩阵A 可逆时，可求出方程组解1X A b -=， 实际上这也是方程组的唯一解。如果方程组系数矩阵A 不可逆或A 不是方阵时，该如何来讨论方程组的解？这一讲将通过矩阵的初等变换来研究n 元一次线性方程组（齐次、非齐次）在什么条件下有解、如何求解以及各种解的表达形式等. n 元一次线性方程组是指形如 ???????=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112 22221211 1212111 ... ...（4.1） 令 111212122212 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ???L L L L L L L ，12n x x X x ?? ? ?= ? ???M ，12m b b b b ?? ? ?= ? ??? M 则方程组的矩阵方程形式AX b =.其中：A 称为方程组（4.1）的系数矩阵，°()A A b =称为方程组（4.1）的增广矩阵。 当b O ≠时，称（4.1）式为一元线性非齐次线性方程组; 当b O =时，称 (4.2 ) 式为一元线性齐次线性方程组，其矩阵形式AX O =. 111122121122221122000 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??+++=?? ??+++=?L L L L L L L L L L L L L L L ... ...(4.2) 显然X O =是（4.2）式的当然解。所以说，齐次线性方程组的解只有两种情况：唯一解(零解)和无穷多解(非零解)。 把非齐次线性方程组（4.1）式的每个方程右边的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组。（即：（4.2）是（4.1）的导出组） 在第二讲的例2.12中，非齐次方程组的解是通过对方程组的增广矩阵实施初等行变换得到的. 那么，这种求解方法是不是对任意的线性方程组都适用？答案是肯定的。下面我们就给出理论证明. 定理4.1 若将非齐次线性方程组AX b =的增广矩阵°()A A b =用初等行变换化为

11-6 电路 状态方程

§11-6 状态方程 一、状态：指在某给定时刻描述网络所需要的一组最少量信息，它连同从该时刻开始的任意输入，便可以确定网络今后的性状。 二、状态变量：描述系统所需要的一组最少量的变量。 三、状态方程：以状态变量为未知量的一组一阶微分方程。 状态变量[,]T c L X u i =取 1 11 C L L L c s C L L c L s du C i dt di L Ri u u dt du i dt C di R u i u dt L L L ==--+==--+ 写成矩阵形式 . 10011C c s L L du u dt C u i di R L dt L L X AX BU ???? ?? ????????=+??????????????--??????? ? ??=+标准形式 状态变量的选择不唯一, 也可12[,][, ]T C C du X x x u dt ==取 1 22 212211 ()C C S C S dx x dt d u du dx R x x u LC RC u u dt LC L LC dt dt ==--+++= 写成标准形式 ()C u t

11 2201011S dx x dt u R dx x LC L LC dt ?? ????????????=+??????? ?- -???????? ???? 四、状态方程的列写 1, 直观法 1 c C du i dt C =对仅含一条电容支路的节点列KCL 方程 1L L di u KVL dt L =对仅含一条电感支路的节点列方程 例1：列写如下图所示电路的状态方程。 解：选取单一电感回路，如图l 1、l 2所示；状态变量1 2 [,]T L L X i i =取 12 2 1 1112 112221211s s L L L di R i u L dt di R i R i u L dt i i i i i + =++==+= 整理并消去中间变量i 1、i 2，得 1122122225s s L L L L L L d u dt d u dt i i i i i i =--+=--+ 写成标准形式 R R 2L 21L H

Maab求解线性方程组非线性方程组

M a a b求解线性方程组非 线性方程组 The latest revision on November 22, 2020

求解线性方程组solve，linsolve例：A=[5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1];%矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格B=[3;1;1;0]X=zeros(4,1);%建立一个4元列向量 X=linsolve(A,B)diff（fun，var，n）：对表达式fun中的变量var求n阶导数。 例如：F=sym（'u(x,y)*v(x,y)'）; %sym（）用来定义一个符号表达式diff(F); %matlab区分大小写pretty(ans) %pretty（）：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式 非线性方程求解 fsolve(fun,x0,options) 其中fun为待解方程或方程组的文件名； x0位求解方程的初始向量或矩阵； option为设置命令参数 建立文件： function y=fun(x) y=[x(1)*sin(x(1))*cos(x(2)), ... x(2) - *cos(x(1))+*sin(x(2))]; >>clear;x0=[,];fsolve(@fun,x0,optimset('fsolve'))注：...为续行符m文件必须以function 为文件头，调用符为@；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve（）主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。 Matlab求解线性方程组AX=B或XA=B在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。如：X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解；X＝B/A表示矩阵方程XA=B 的解。对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A 的列数，方程X＝B/A同理。 如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有：m＝n 恰定方程，求解精确解；m>n 超定方程，寻求最小二乘解；m

函数与方程知识点总结经典例题及解析高考真题及答案

函数与方程 【考纲说明】 1、 了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。 2、 能够根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0?

(完整版)方程与函数的区别

方程与函数的区别? 代数式:用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子,叫代数式。 函数:如果对于一个变量(比如x)在某一范围内的每一个确定的值,变量(比如y)都有唯一确定的值和它对应,那么,就把y叫做x的函数。 函数式:用解析法(公式法)表示函数的式子叫函数式。 方程:含有未知数的等式叫方程。 解析式表示因变量与自变量的关系。 联系:函数式和方程式都是由代数式组成的.没有代数式,就没有函数和方程.方程只是函数解析式在某一特定函数值的解。方程表示特定的因变量的自变量解。如5x+6=7这是方程；y=5x+6这是解析式。 区别: 1.概念不一样. 2.代数式不用等号连接. 3.函数表示两个变量之间的关系.因变量(函数)随变量(自变量)的变化而变化. 4.方程是含有未知数的等式.其未知数(变量)的个数不固定.未知数之间不存在自变和因变的关系. 方程重在说明几个未知数之间的在数字间的关 系；方程可以通过求解得到未知数的大小；方 程可以通过初等变换改变等号左右两边的方程。方程的解是固定的，但函数无固定解值解。式；函数只可以化简，但不可以对函数进行初等变换。 5. 函数和方程本质区别就是:方程中未知数x是一个常量（虽然方程可能有多个解），函数中x是变量，因此y也是变量，并且是由于x的变化而变化。 6.函数：重在说明某几个自变量的变化对因变量的影响；特定的自变量的值就可以决定因变量的值；就像平面解析几何里圆就是方程、区别在于函数就看他们的值是否一一对应。就像圆的方程（x-a）^2+(y-b)^2=r^2就是方程，它们的值不是一一对应关系，所以不是函数是方程的一种，函数强调的是一一对应，及1个X值（自变量）只能有一个Y值（应变量）与之对应比如：y=x+1 它是函数，y^2=x 它不是函数，但它是方程。 7.函数和方程是数学中的两个基本概念，在许多情况下它们可以相互转化。例如在一元函数y = f(x)用一个解析式表示并且不需要区分自变量和因变量(函数)时，这个函数式就可以看作一个二元方程；反之，能够由方程F(x, y) = 0确定的函数关系称为隐函数([4], p.9)。但是函数与方程是有差别的。 8. 首先,函数的自变量和因变量是一一对应的,一个X值只有一个相应的Y值与之对应,而曲线方程则不然,比如一个椭圆方程中,对于一个X值有两个Y值与之对应.像这样的曲线方程就不能成为一个函数的表达式.其次,函数表达式表示的是两个变量之间一一对应的关系,而曲线方程则借用点的集和的方式来将一个曲线以代数的形式表现出来,实质上一个曲线的表达。 二者关系可以通过例子来看：x^2+x-1=0相当于函数y=x^2+x-1函数值y=0，解方程问题就转化为函数的自变量x定义域中取什么值时y=0？有点像求反函数。自然x^2+x-1=1 变成x^2+x-1=y也未尝不可，解方程转化为函数的自变量x定义域中取那个值时y=1？实际上上了大学学了高等数学就知道都可以，数学是工具为人所用，怎么简单就怎么来。但是刚开始学习函数，函数是有自己的规律法则的。所以x^2+x-1=1要把他转换成函数形式就要把1 移到左边即x^2+x-2=y，相当于规定都求y=0时的x，这个规定也是约定俗成的，数学中方程标准都是形式都是右边为零。 方式应该是{(x,y)|曲线方程｝ 按照定义，方程是含有未知数的等式，函数是两个非空数集之间的一个映射。方程F(x, y)

线性方程组的解法

线性方程组的解法 1 引言 在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多的数学问题，而这些问题往往需要求数值解。在进行数值求解时，经离散后，常常归结为求解形如Ax= b的大型线性方程组。而如插值公式，拟合公式等的建立，微分方程差分格式的构造等，均可归结为求解线性方程组的问题．在工程技术的科学计算中，线性方程组的求解也是最基本的工作之一．因此，线性方程组的解法一直是科学和工程计算中研究最为普遍的问题，它在数值分析中占有极其重要的地位。20世纪50年代至70年代，由于电子计算机的发展，人们开始考虑和研究在计算机上用迭代法求线性方程组Ax =b的近似解，用某种极限过程去逐渐逼近精确解，并发展了许多非常有效的迭代方法，迭代法具有需要计算机存储单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点。例如Jacobi方法、Gauss—Seidel 方法、SOR方法、SSOR 方法，这几种迭代方法是最常用的一阶线性定常迭代法。 2 主要算法 20世纪50年代至70年代，人们开始考虑和研究用迭代法求解线性方程组。 Ax = b (1) 的近似解，发展了许多有效的方法，其中有Jacobi方法、Gauss—Seidel方法，SOR方法、SSOR方法，这几种迭代方法均属一阶线性定常迭代法，即若系数矩阵A的一个分裂：A =M-N ；M 为可逆矩阵，线性方程组(1)化为： (M－N)X =b； →M X = NX + b； →X= M -1NX+ M-1b 得到迭代方法的一般公式： X（k+1）=HX（k）+d （2） 其中：H =MN-1，d=M-1b，对任意初始向量X（0） 一阶定常迭代法收敛的充分必要条件是: 迭代矩H的谱半径小于1，即ρ(H) < 1；又因为对于任何矩阵范数恒有ρ(H)≤‖H‖，故又可得到收敛的一个充分条件为：‖H‖< 1。 2.1 Jacobi迭代法 若D为A的对角素构成的对角矩阵，且对角线元素全不为零。系数矩阵A的一个分解：A =

线性方程组解的判定

1 / 3 第四节 线性方程组解的判定 从本节开始,讨论含有n 个未知量、m 个方程的线性方程组的解. 11112211211222221122n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++= ? (13—2） 主要问题是要判断出方程组（13-2）何时有解？何时无解?有解时解有多少?如何求出方程组的解。 线性方程组有没有解，以及有怎样的解，完全决定于方程组的系数和常数项。因此，将线性方程组写成矩阵形式或向量形式，以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具,将带来极大的方便。 方程组（13-2)中各未知量的系数组成的矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ??????=?????? 称为方程组（13-2）的系数矩阵.由各系数与常数项组成的矩阵，称为增广矩阵，记作A ，即 11121121 222212n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b ??????=?????? 方程组(13-2)中的未知量组成一个n 行、1列的矩阵（或列向量）,记作X ；常数项组成一个m 行、1列 的矩阵（或列向量），记作b ，即12n x x X x ??????=??????,12m b b b b ??????=?????? 由矩阵运算,方程组（13—2)实际上是如下关系111212122212 n n m m mn a a a a a a a a a ????????????12n x x x ????????????=12m b b b ???????????? 即 AX=b

函数与方程复习讲义(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】 .函数与方程复习讲义 一．【目标要求】 ①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系， ②判断一元二次方程根的存在性及根的个数． ③会理解函数零点存在性定理，会判断函数零点的存在性. 二．【基础知识】 1．函数零点的概念： 对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数 )(x f y =的零点。 2．函数零点与方程根的关系： 方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y = 的图象与x 轴有点?函数 )(x f y =有零点 3．函数零点的存在性定理： 如果函数)(x f y =在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有 0)()(<或恒成立，则没有零点。 三．【技巧平台】 1.对函数零点的理解及补充 （1）若)(x f y =在x a =处其函数值为0，即()0f a =，则称a 为函数()f x 的零点。 （2）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(

(完成)二阶电路响应的三种(欠阻尼、过阻尼及临界阻尼)状态轨迹及其特点

实验二 二阶电路响应的三种（欠阻尼、过阻尼及临界阻尼）状态轨迹及其特点 一、实验目的 1、熟练掌握二阶电路微分方程的列写及求解过程； 2、掌握RLC 二阶电路零输入响应及电路的过阻尼、临界阻尼和欠阻尼状态； 3、学会利用MULTISIM 仿真软件熟练分析电路，尤其是电路中各电压电流的变化波形。 二、实验原理 用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件。二阶电路微分方程式一个含有二次微分的方程，由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电路的响应。二阶方程一般都为齐次方程。 齐次方程的通解一般分为三种情况：（RLC 串联时） 1、 21S S ≠ 为两个不等的实根（称过阻尼状态） t S t S h e A e A f 211121+= 此时，C L R 2>，二阶电路为过阻尼状态。 2、 σ==21S S 为相等实根（称临界状态） t h e A A f σ)21+=（ 此时，C L R 2=，二阶电路为临界状态。 3、 ωσj S ±-=21、为共轭复根（称欠阻尼状态） t h e t f σβω-+=)sin( 此时C L R 2<，二阶电路为欠阻尼状态。 这三个状态在二阶电路中式一个重要的数据，它决定了电路中电流电压关系

以及电流电压波形。 三、实验内容 电路中开关S 闭合已久。t=0时将S 打开，并测量。 1、欠阻尼状态（R=10Ω,C=10mF,L=50mH ） 如图所示，为欠阻尼状态时的二阶电路图。 波形图展示了欠阻尼状态下的C U 和L U 波形(橙色线条为电容电压衰减波形，红色线条为电感电压衰减波形)。 2、临界阻尼（R=10Ω,C=10mF,L=0.25mH ） 如图所示，为临界状态的二阶电路图。图展示了临界状态下的C U 的波形。

函数与方程及解题方法

高三专题复习函数（3）函数与方程 一、基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如：