直线与圆导学案
1.已知过点(2,5)的直线l 被圆C:x 2+y 2-2x-4y=0截得的弦长为4,则直线l 的方程为 .
x-2=0或4x-3y+7=0 【解析】x 2+y 2-2x-4y=0化成标准式为(x-1)2+(y-2)2=5.因为截得弦长为4小于直径,故该直线必有两条且圆心到直线的距离为
当斜率不存在时,l:x=2,显然符合要求.当斜率存在
时
=1,解得k=4
3,故直线l 的方程为4x-3y+7=0.
2.已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值是________．
解析 如图所示，由题意，圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心是C (1,1)，半
径为1，由P A ＝PB 易知四边形P ACB 的面积＝12(P A ＋PB )＝P A ，故P A 最
小时，四边形P ACB 的面积最小．由于P A ＝PC 2－1，故PC 最小时P A 最小，此时CP 垂直于直线3x ＋4y ＋8＝0，P 为垂足，
PC ＝|3＋4＋8|5
＝3，P A ＝PC 2－1＝22，所以四边形P ACB 面积的最小
值是2 2.
答案 2 2
3. 已知圆C 1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C 2:(x+b)2+(y+2)2=1相外切,则ab 的最大值为94 .
4.已知()24+3f x x x =-，集合()()(){}M=,|0x y f x f y +≤，集合
()()(){}N=,|0,x y f x f y x y -≥≥，则集合M N ?的面积是____
2π_____ 例1：已知圆M 的方程为()2221,x y +-=直线l 的方程为x-2y=0,点P 在直线l 上，
过点P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B
（1）若0APB=60∠，试求点P 的坐标；
（2）若点P 的坐标为()21，，过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当
直线CD 的方程；
（3）求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标。 例2：在平面直角坐标系xOy 中,直线x-y+1=0截以原点O 为圆心的圆所得的弦
(1) 求圆O 的方程.
(2) 若直线l 与圆O 切于第一象限,且与坐标轴交于点D,E,当DE 长最小时,求直线l 的方程.
(3) 设M,P 是圆O 上任意两点,点M 关于x 轴的对称点为N,若直线MP,NP 分别交x 轴于点(m,0)和(n,0),问:mn 是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说
明理由. (1) 因为点O 到直线x-y+1=0的距离
,
所以圆O
,故圆O 的方程为x 2+y 2=2. (2) 设直线l 的方程为x a +y
b =1(a>0,b>0), 即bx+ay-ab=0.
由直线l 与圆O 相切,
, 即21a +21b =1
2.
DE 2=a 2+b 2=2(a 2+b 2)
2211a b ??+ ???≥8, 当且仅当a=b=2时取等号,此时直线l 的方程为x+y-2=0.
所以当DE 长最小时,直线l 的方程为x+y-2=0.
(3) 设点M(x 1,y 1),P(x 2,y 2),则N(x 1,-y 1),21x +21y =2,22x +22y =2,
直线MP 与x 轴交点为122121-,0-x y x y y y ?? ??
?, 则m=1221
21--x y x y y y ,
直线NP与x轴交点为
1221
21
,0
x y x y
y y
??
+
?
+
??,
则n=
1221
21
x y x y
y y
+
+,
所以mn=
1221
21
-
-
x y x y
y y·
1221
21
x y x y
y y
+
+=
2222
1221
22
21
-
-
x y x y
y y=
2222
1221
22
21
(2-)-(2-)
-
y y y y
y y=2,
故mn为定值2.