离散数学期末练习题 (带答案)
离散数学期末练习题 (带答案)
1、第一遍复习一定要认真按考试大纲要求将本学期所学习内容系统复习一遍。
2、第二遍复习按照考试大纲的要求对第一遍复习进行总结。把大纲中指定的例题及书后习题认真做一做。检验一下主要内容的掌握情况。
3、第三遍复习把随后发去的练习题认真做一做,检验一下第一遍与第二遍复习情况,要认真理解,注意做题思路与方法。
离散数学综合练习题
一、选择题
1．下列句子中,（）是命题。
A．2是常数。B．这朵花多好看呀！
C．请把门关上！D．下午有会吗？
2．令p: 今天下雪了,q:路滑,r:他迟到了。则命题“下雪路滑,他迟到了”
可符号化为（）。
A. p q r
∨→
∧→ B. p q r
C. p q r
∨?
∧∧ D. p q r
3．令:p今天下雪了,:q路滑,则命题“虽然今天下雪了,但是路不滑”可符号化为（）。
A.p q
∧
∧? B.p q
C.p q
→?
∨? D. p q
4．设()
Q x:x会飞,命题“有的鸟不会飞”可符号化为（）。
P x:x是鸟,()
A. ()(()())
Q x
??∧())
??→ B. ()(()
x P x Q x
x P x
C. ()(()())
??∧())
Q x
??→ D. ()(()
x P x
x P x Q x
5.设()
f x:x的绝对值,(,)
L x y：x大于等于y；命题“所有整数的绝对值大于等于P x:x是整数,()
0”可符号化为（）。
A. (()((),0))
?→
x P x L f x
x P x L f x
?∧B. (()((),0))
C. ()((),0)
xP x L f x
?→
xP x L f x
?∧ D. ()((),0)
6.设()
G x:x犯错误,命题“没有不犯错误的人”符号化为（）。
F x:x是人,()
A．(()())
??→?
x F x G x
?∧B．(()())
x F x G x
C．(()())
x F x G x
x F x G x
??∧?
??∧D．(()())
7.下列命题公式不是永真式的是（）。
A. ()
→→
p q p
p q p
→→ B. ()
C. ()
p q p
→∨
?∨→ D. ()
p q p
8．设()
Q x:x为实数。命题“任何有理数都是实数”的符号化为（）R x:x为有理数；()
A．()(()())
x R x Q x
?∧
x R x Q x
?∧B．()(()())
C．()(()())
x R x Q x
?→
x R x Q x D．(()())
?→
9.设个体域{,}
=,与公式()
D a b
?等价的命题公式是( )
xA x
A．()()
→
A a A b
A a A b
∧B．()()
C ．()()A a A b ∨
D ．()()A b A a →
10.下列等价式不正确的是（ ）。
A ．(()())()()x P x Q x xP x xQ x ?∨??∨?
B ．(()())()()x P x Q x xP x xQ x ?∧??∧?
C ．(()())()()x P x Q x xP x xQ x ?∨??∨?
D ．(())()x P x Q xP x Q ?∧??∧
11. 设个体域{,}D a b =,与公式()xA x ?等价的命题公式是( )
A ．()()A a A b ∧
B ．()()A a A b →
C ．()()A a A b ∨
D ．()()A b A a → 12.设X ={,{},{,}}a a ??,则下列陈述正确的是（ ）。
A.a X ∈
B.{,}a X ?? C .{{,}}a X ??
D.{}X ?∈
13.有向图D 是连通图,当且仅当（ ）。 A. 图D 中至少有一条通路
B. 图D 中有通过每个顶点至少一次的通路
C. 图D 的连通分支数为一
D . 图D 中有通过每个顶点至少一次的回路 14.设A={a,b,c},则下列是集合A 的划分的是( ) A.{{,},{}}b c c B . {{},{,}}a b c C.{{,},{,}}a b a c
D. {{,},}a b c 15.下列谓词公式中是前束范式的是（ ）。
A ．()()()xF x x G x ?∧??
B ．()()xF x yG y ?∨?
C ．(()(,))x P x yQ x y ?→?
D ．(()(,))x y P x Q x y ??→
16.设12{|()0},{|()0}M x f x N x f x ====,则方程12()()0f x f x ?=的解为（ ）。 A ．M∩N
B ．M ∪ N
C ．M ⊕N C ．M-N
17.设,G A =<*>是群,则下列陈述不正确的是（ ）。
A. 11()a a --=
B. n m n m a a a += C . 111()ab a b ---= D. 11()n n a ba a b a --= 18.在整数集合Z 上,下列定义的运算满足结合律的是（ ）。
A. 1a b b *=+
B. 1a b a *=-
C. 1a b ab *=-
D . 1a b a b *=++
19. 设简单图G 所有结点的度数之和为50,则G 的边数为（ ）。 ( ) A. 50 B . 25 C. 10 D. 5
20.设简单无向图G 是一个有5个顶点的4－正则图,则G 有（ ）条边。 A. 4
B. 5
C . 10
D. 20
21.设集合{1,2,3,4}A =,A 上的等价关系{1,1,3,2,2,3,R =<><><>
4,4}
A I <>U ,则对应于R 的划分是（ ）。 A . {{1},{2,3},{4}} B. {{1,3},{2,4}} C. {{1,3},{2},{4}}
D. {{1},{2},{3},{4}}
22.设集合{1,2,3,4}A =,A 上的等价关系{1,3,3,1,2,4,R =<><><>
4,2}
A I <>U ,则对应于R 的划分是（ ）。 A. {{1},{2,3},{4}}
B . {{1,3},{2,4}}
C. {{1,3},{2},{4}}
D. {{1},{2},{3},{4}}
23.设,G A =<*>是群,则下列陈述不正确的是（ ）。 A. 11()a a --= B . 111()ab a b ---= C. n m n m a a a +=
D. 11()n n a ba a b a --=
24.{1,2,,10}A =L ,下列定义的运算关于集合A 是不封闭的是（ ）。 A. max{,}x y x y *=,即,x y 的较大数 B. min{,}x y x y *=,即,x y 的较小数
C. gcd{,}x y x y *=,即,x y 的最大公约数 D . {,}x y lcm x y *=,即,x y 的最小公倍数
25. 设{1,2,3},{,,,},{1,,2,,3,}X Y a b c d f a b c ===<><><>,则f 是
( )。 A ．从X 到Y 的双射
B ．从X 到Y 的满射,但不是单射
C ．从X 到Y 的单射,但不是满射
D ．从X 到Y 的二元关系,但不是从X 到Y 的映射
26.设简单无向图G 是一个有6个顶点的5－正则图,则G 有( )条边。 A. 5
B. 6
C . 15
D. 30
27.图G 如下图所示,以下说法正确的是( )。
A ．a 是割点
B ．{b,c }是点割集
C ．{b,d }是点割集
D ．{c }是割点 28.格L 是分配格的充要条件是L 不含与下面哪一个选项同构的子格（ ）。 A ．链
B ．钻石格
C ．五角格
D . 五角格与钻石格
29.下列图是欧拉图的是（ D ）。
d
30.给定一个有n 个结点的无向树,下列陈述不正确的是（ ）。 A ．所有结点的度数≥2
B ．无回路但若增加一条新边就会变成回路
C ．连通且1e v =-,其中e 是边数,v 是结点数
D ．无回路的连通图
31. 设A 有5个元素,则其幂集()P A 的元素总个数为（ ）。 A . 32 B.25 C. 50
D. 5
32．若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度,能画出图的是（ ）。 A. (1,2,2,3,4,5) B. (1,2,3,4,5,5) C . (1,1,1,2,3) D. (2,3,3,4,5,6)
33. 设{,{},{,{}}}A a a a a =则其幂集()P A 的元素总个数为（ ）。 A. 3 B. 4 C . 8
D. 16
34. 在实数集合R 上,下列定义的运算中不可结合的是（ ）。 A. 2a b a b ab *=++ B. a b a b *=+ C. a b a b ab *=++ D . a b a b *=- 35. 无向图G 是欧拉图,当且仅当（ ）。
A. G 的所有结点的度数全为偶数
B. G 中所有结点的度数全为奇数
C. G 连通且所有结点度数全为奇数 D . G 连通且所有结点度数全为偶数 36.下列不一定．．．
是树的是（ ） A. 无回路的连通图D
B . 有n 个结点,n -1条边的连通图 C. 每对结点之间都有通路的图 D. 连通但删去一条边则不连通的图
37. 设简单图G 所有结点的度数之和为48,则G 的边数为 ( ) A. 48 B . 24 C. 16 D. 12
38．下面既是哈密顿图又是欧拉图的图形是（ B ）。
39.下列必为欧拉图的是（ ） A.有回路的连通图
B.不可以一笔画的图
C.有1个奇数度结点的连通图 D .无奇数度结点的连通图
40.二部图 3,3K 是（ ）。 A.欧拉图 B . 哈密顿图 C.平面图
D. 完全图
41．下列所示的哈斯图所对应的偏序集中能构成格的是（ C ）。
A. B.
C. D.
42.设简单无向图G 是一个有6个顶点的3－正则图,则G 有( )条边。 A. 3 B. 6 C . 9
D. 18
43．下列式子为矛盾式的是（ ）。
A ．()p p q ∨∧
B ．p p ∨?
C ．p p ∧?
D ． ()p q p q ?∨??∧?
44.设集合{,,}A a b c =,A 上的关系{,,,,,}R a a a c c a =<><><>,则R 是（ ） A ．自反的 B ．对称的 C ．传递的 D ．反对称的 45．设12,R R 是集合{,,,}A a b c d =上的两个关系,其中1{,,,,R a a b b =<><>
,,,}b c d d <><>,2{,,,,,,,,,}R a a b b c b b c d d =<><><><><>,则2R 是1R 的（ ）闭包。
A ．自反
B ．对称
C ．传递
D ．自反、对称且传递闭包
46. 下列公式是前束范式的是（ ）。
A ．()()((,)())x y F z x G y ???∨
B ．(()()()())()x F x y G y H z ??∨?∧
C ．()(,)()()x F x y y G y ?→?
D ．()((,)()(,))x F x y y G x y ?→? 47. 设R 为实数集,函数:f R R →,2()25f x x x =-++,则f 是（ ）。
A ．单射而非满射
B ．满射而非单射
C ．双射
D ．既不是单射,也不是满射
48．下列各图中既是欧拉图,又是汉密尔顿图的是（ C ）。
A ．
B ．
C ．
D ． 49．下列四个格,是分配格的是（ C ）。
50．设集合A
={a,b,
c}上的关系如下,具有传递
性的是（ ）。
A ． R={
B ． R={
C ． R={
D ． R={
参考答案：（若有问题,可以到1#402或打电话问）
一、选择题
AAAAB DACAA CCDBD BCDBC ABBDC CBDDA ACCDD BBBDB CCCBB ADCCD
二、填空题
1．命题公式()p q ?→的成真指派为 10 ,成假指派为_00,01,11__。
2. 命题公式()p q p ∨→的成真指派为00 10 11,成假指派为_01__。
3．命题公式()p p q →∧的成真指派为00 01 11 , 成假指派为_ 10__。
4．公式()()(()(,))()(,)x y P y Q x z y R x y ??→∧?约束变元为 x,y ,自由变元为 x,z 。 5．公式(()())(,)x P x yR y Q x z ?∨?→约束变元为__x,y _,自由变元为_x,z _ 。 6．设{,,{,}}A a b a b =,{,}B a b =,则B A -=?,A B ⊕= {{a,b}} 。 7．设{1,2,3}A =,A 上的关系{1,2,2,1}R =<><>,则对称闭包
()s R = {<1,2>,<2,1>} ,传递闭包()t R = {<1,2>,<2,1>,<1,1>,<2,2>}。
8.设*是集合S 上的二元运算,若运算*满足__结合律_,并且存在__单位元_,则称,*S <>为独异
点。
9． 设{,,{,}}A a b a b =,{,,}B a b c =,则A A ⊕=?,A B ⊕= {{a,b},c} 。
10.一棵无向树的顶点数n 与边数m 的关系是 m=n-1 。6阶无向连通图至多有 6 棵不同构的生成树。
11．设()1f x x =-,2()g x x =,则复合函数()()f g x =2(1)x -,()()g f x =21x -。
12. ,n Z <⊕>是一个群,其中{0,1,2,,1}n Z n =-,()mod x y x y n ⊕=+,则当n =6时,在6,Z <⊕>
中,2的阶为___3___, 3的阶为_ 2 。
13．设
15. 设A ={l,2,3,4},A 上的二元关系R ={<1,2>,<2,3>,<3,2>},S ={
={<1,2>,<3,4>,<3,5>}
R 和={<2,1>,<3,3>,<5,5>}S 是集合={1,2,3,4,5}A 上
的两个关系,则R S = {<1,1>,<3,5>} , 11S R --= {<1,1>,<5,3>} 。
17． 设A ={2, 4, 6},A 上的二元运算*定义为：a *b =max {a ,b },则在独异点中,单位元是 2 ,零元是 6 。
18．一棵无向树的顶点数n 与边数m 关系是 m= n-1 。设G 是具有8个顶点的树,则G 中增加___21
_条边才能把G 变成完全图。 19．设复合函数g
f 是从A 到C 的函数,如果
g f 是满射,那么__
g ___必是满射,如果g f 是单射,那么_f _必是单射。
R I ,传递闭包()t R = R
23．命题公式()p q p ?∨→的成真赋值为 01 10 11 ,成假赋值为 00 。
24．公式()()p q p q ?∧?∨∧的成真赋值是 00,11 。成假赋值 01 10 25．公式()()p q p q ?∧∨∧的成真赋值是 01 11 。成假赋值 00 10 26．公式()()p q p q ∨?∧?∨的成假赋值是 01 10 。成假赋值 00 11
27．设个体域是实数集,命题)3(x x x <-?的真值为 1 ；命题2(10)x x ?+=的真值为
0 。
28.设f ∶R→R,f(x)=x+3,g ∶R→R,g(x)=2x+1,则复合函数(f g)()x = 2x+4 ,
(g f )(x)= 2x+7 。
29.给定集合A={1,2,3,4,5},在集合A 上定义两种关系：R={<1,2>,<3,4>,<2,2>},
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>,则R S = {<1,5>,<3,2>,<2,5>} 。 30．设A={0,1,2,3,6},{,|,(mod3)}R x y x y A x y x y =<>∈∧≠∧≡则
domR= {0, 3,6}_ ,ranR=_{0, 3,6} ,
31． 设6,Z <⊕>为模6加群,其中6{0,1,2,3,4,5}Z =,则2-3= 0 ,4-2= 4 。 32．一个结点为n 的无向完全图,其边的数目为n(n-1)/2 ,顶点的度为 n-1 。 33. 已知n 阶无向简单图G 有m 条边,则G 的补图G 中有 m- n(n-1)/2 条边。
参考答案： 1．_10_,00,01,11 2. 00 10 11, 01_ 3. _00 01 11, 10 4. _x ,y ,x ,z __ 5. _x ,y ,x ,z __ 6.?,, {{a,b}}
7.{1,2,2,1}<><>,{1,2,2,1,1,1,2,2}<><><><> 8. 结合律 , 单位元 9,, {{a,b},c} 10.n-1, 6 11. 2(1)x -,,21x - 12. 3 , 2 13. _24__,_8__ 14. {1,3,4,5},_{3}
15. {<1,3>,<3,3>},{<3,1>,<3,3>} 16. {1,1,3,5}<><>,{1,1,5,3}<><> 17. 2 , 6 18. m= n-1, _21 19. _g , _f_ 20. 45 , _5_
21. {1,1,2,2}<><>,{{1},{2}} 22. A R
I , R
23. 01 10 11,00 24. 00,11 ,01,10 25. 01,11 ,00,10 26. 01 10 , 00 11 27. 1 , 0 28. 24x +,27x + 29. {<1,5>,<3,2>,<2,5>} 30. {0, 3,6}, {0, 3,6} 31. 0 , 4 32. n(n-1)/2, n-1
33. m- n(n-1)/2
三、计算题（仅给出部分题目的解题思路,未给出答案自己完成） 1. 已知命题公式()()p q p r ?→→∧ （1）构造真值表
（2）求出公式的主析取范式
（2）()()p q p r ?→→∧
0157
()()()()
p q r p q r p q r p q r m m m m ??∧?∧?∨∧∧?∨∧?∧∨∧∧?∨∨∨
2.已知命题公式()()p q p r ∨→?∨ （1）构造真值表；
（2）用等值演算法求公式的主析取范式。
（2）主析取范式
012
()()()()()()(()())(()r )(()()(r )(r )p q p r p q p r p q p r p q r r p q q p q r p q r p q p q m m m ∨→?∨??∨∨?∨??∧?∨?∧???∧?∧?∨∨?∧?∨∧???∧?∧?∨?∧?∧∨?∧?∧?∨?∧∧??∨∨ 3．求公式(())()p r p q p →∨∧→ 的主合取范式及主析取范式。 4．构造命题公式(p ?∧)r ∨()p q →的真值表。 5. 一棵（无向）树有2结点的度为2, 1个结点的度为3,3个结点的度为4, 其余都是叶结点,问该树有几个叶结点？
解：在一个有限图中,各结点的度数总和是边数的2倍；而树中的边数为结点数减1。 根据这两点,可知树中各结点的度数总和=2*（树中点数-1）,设树叶有x 个, 于是,2*2+3+3*4+x=2*（2+1+3+x-1） 得x=9。
6.一棵无向树T 有5片树叶,3个2度分支点,其余的分支点都是3度顶点,问T 有几个顶点？ 提示：类似上题求解。
7.设2:,()2f R R f x x →=-,:,()4g R R g x x →=+,3:,()1h R R h x x →=-, 其中R 表示实数集。 （1）求函数f g ,g f ；
（2）,,f g h 哪些函数有反函数？如果有,求出这些反函数。 解：（1）22()(())(4)(4)2814g f x f g x f x x x x ==+=+-=++ 22()(())(2)2f g x g f x g x x ==-=+ （2）g 和h 有反函数,11:,()4g R R g x x --→=-；
11:,()h R R h x --→=
8.设A ＝{a,b,c},R 是A 上的二元关系,且R ＝{
s(R)=R ∪R -1={
t(R)= R ∪R 2∪R 3={
（3）求子集B=｛3, 6, 9｝的上确界与下确界。 解：（1）哈斯图
4
24
9 54
（2）A 中的极大元为 24,54；极小元为1；最大元：无；最小元：1 （3）求子集B=｛3, 6, 9｝的上确界为54,下确界为3。 10.设有向图D 如图所示,用邻接矩阵完成以下计算。 （1）1v 到4v 长度小于或等于4的通路数； （2）1v 到自身长度小于或等于4的回路数； （3）求出D 的可达矩阵,并说明D 的连通性。
有向图的邻接矩阵为
121000100001001
0A ?????
?=??
?
???,21231000100100001A ??
????=??????
31243001000010010A ?????
?=??????,41264000100100001A ??????=??????
（1）v 1到v 4长度小于或等于4的通路数为
4
()14
1
01348i i a
==+++=∑
（2）v 1到自身长度小于或等于4的回路数为
4
()11
1
11114i i a
==+++=∑
（3）11110111()00110011P D ????
?
?=??????
由可达矩阵可知D 是单向连通的。
11．设{0,1,2}A =,给出幂集合()P A 对称差运算的运算表。 12．设6{0,1,2,3,4,5}Z =,给出模6加运算的运算的运算表。 参看教材P167例9.4 与9.5 14.
设A ＝{1,2,3,4,5},R 是A 上的二元关系,且R ＝{<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>},求r(R)、s (R)和t(R)。 解：r(R)=R ∪I A
s(R)=R ∪R -1
t(R)= {<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,（2,2>,<5,5>} 15.下图为一连通赋权图,计算该图的最小生成树和权值。
四、简答题
1.设集合}654321{，，，，，A =上的关系{(1,1,1,3,1,6,2,2,R =><><><>
2,5,3,1,3,3,3,6,4,4,5,2,5,5,6,1,6,3),6,6}<><><><><><><><><<>（1）画出R
的关系图,并写出R 的关系矩阵；
（2）R 是否为等价关系？若是,写出R 的所有等价类。
解：（1）R 的关系图为
（2）R 的关系矩阵 1
010001
0011
0100
000100
1
01?????
?
??????????
由关系图可以看出R 是等价关系。等价类为：
[1][3][6]{1,3,6},[2]{2,5},[4]{4}=====
1
2
3
6
5
4
或写为：A/R={{1,3,6},{2,5},{4}}
2. 设{1,3,(1,4,2,2,3,1,3,3),4,1}R =<>><><><<>是A ={1,2,3,4}上的二元关系。 （1）画出R 的关系图； （2）写出R 的关系矩阵； （3）讨论R 的性质。 解：（1）R 的关系图
（2）R 的关系矩阵 00110
10010001
0?
????
???????
（3）R 非自反、非反自传、对称、非反对称 、非传递的 （4）R 不是函数,不满足函数单值性的要求。
3．设A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},R 是A 上的二元关系, R={|x,y ∈A ∧x+y=10} 说明R 具有哪些性质。
解：R={<1,9>,<2,8> ,<3,7> ,<4,6> ,<5,5> ,<9,1>,<8,2> ,<7,3> ,<6,4> }
易知 R 既不是自反也不是反自反的 R 是对称的 R 不是反对称的 R 不是传递的。
4．判断下图是否为二部图？若是,找出它的互补结点子集。它是否为哈密顿图？若是,找出一条
哈密顿回路。
5.判断下图G 是否是二部图？若是,找出它的互补结点子集。它是否为哈密顿图？若是,找出一条哈密顿回路。
6.设{1,3,5,9,45}A =,≤为A 上的整除关系。 （1）,A <≤>是否为偏序集,若是,画出其哈斯图；
4
f
c 1
v 2
v
（2）,A <≤>是否为格？说明理由； 解：（1）,A <≤>是偏序集。哈斯图为：
（2）
<
四、证明题
1．用一阶逻辑的推理理论证明：
前提：(()())x F x G x ?→?,(()())x F x H x ?∨, ()x H x ?? 结论： ()x G x ?? 证明：（1）(()())x F x H x ?∨ 前提引入 （2）()()F x H x ∨ （1）?- （3）()x H x ?? 前提引入 （4）()H x ? （3）?-
（5）()F x （2）（4）析取三段论 ………（4分）
（6）(()())x F x G x ?→? 前提引入 （7）()()F x G x →? （6）?-
（8）()G x ? （5）（7）假言推理
（9）()G x ?? （8）?+ ………（3分） 2．设A 是非空集合,F 是所有从A 到A 的双射函数的集合, 是函数的复合运算。 证明：,F <>是群。
证明：由于集合A 是非空的,A I F ∈,,因此F 非空 。
(1) ,f g F ∈,因为f 和g 都是A 到A 的双射函数,故f g 也是A 到A 的双射函数,从而集合F 关
于运算 是封闭的。
(2) ,,f g h F ∈,由函数复合运算的结合律有()()f g h f g h =,故运算 是可结合的。 (3) A 上的恒等函数A I 也是A 到A 的双射函数即A I F ∈,且f F ∈有A A I f f I =, 故A I 是
,F <>中的幺元。
(4) f F ∈,因为f 是双射函数,故其逆函数是存在的,也是A 到A 的双射函数,且有
11A f
f f f I --==,因此1f -是f 的逆元
由此上知,F <>是群
45
3．设代数系统6,V Z =<⊕>,6{0,1,2,3,4,5}Z =,⊕为模6加法。证明：6Z 关于⊕运算构成群。 证明：集合6Z 显然非空。
(1) 6,a b Z ?∈,6a b Z ⊕∈,从而集合6Z ⊕关于运算是封闭的。 (2) 6,,a b c Z ?∈,有()()a b c a b c ⊕⊕=⊕⊕,故运算⊕ 是可结合的。 (3) 6a Z ?∈, 0a a ⊕=,故0是6,Z <⊕>中的幺元。 (4) 6a Z ?∈,因为(6)0a a ⊕-=,因此6a -是a 的逆元
由此上知6,Z <⊕>是群
4．设A 是集合,P(A)是A 的幂集合,⊕是对称差运算, 证明
5．设{,|,A x y x y =<>为正整数},在A 上定义二元关系R 如下：,,x y R u v <><>当且仅当
x y u v -=-。
证明：R 是一个等价关系。 证明：
任取,x y <>
,,,x y A x y x y x y R x y <>∈?-=-?<><>
所以R 自反的。
任取,,,x y u v <><>
,,,,x y R u v x y u v u v x y u v R x y <><>?-=-?-=-?<><>
所以R 是对称的。 任取,,,,,x y u v s t <><><>
,,,,x y R u v u v R s t x y u v u v s t <><>∧<><>?-=-∧-=-
,,x y s t x y R s t ?-=-?<><>
所以R 是传递的。 因此,R 是等价关系。
6.设R 是A 上的关系,如果R 满足以下两条件： （1）对于任意的a ∈R, 都有aRa, （2）若aRb, aRc, 则有bRc, 证明：R 是等价关系 证明： 任取,,a b c R ∈
（1）由已知条件（1）得
,a a R <>∈,,所以R 是自反的。
（2）由已知条件（1）、（2）得
,,,a b R a a R b a R <>∈∧<>∈?<>∈
所以R 是对称的。 （3）由已知条件（1）、（2）得
,,,,a b R b c R b a R c b R <>∈∧<>∈?<>∈∧<>∈
,,,b c R b a R c a R
<>∈∧<>∈?<>∈ 所以R 是传递的。
五、应用题（仅给出第7题的参考答案,未给出参考答案的自己完成） 1. 构造下列推理的证明。
如果今天是星期一,则要进行英语或离散数学考试。如果英语老师有会,则不考英语。今天是星期
一,英语老师有会,所以进行离散数学考试。
2. 构造下列推理的证明。
小王是理科学生,则他的数学成绩很好。如果小王不是文科学生,则他一定是理科学生。小王的数学成绩不好, 所以小王是文科学生。 3．如果甲是冠军,则乙或丙将得亚军；如果乙得亚军,则甲不能得冠军； 如果丁得亚军,丙不
能得亚军；事实是甲已得冠军。因此丁不能得亚军。 参照作业：P54 17,18 4.用一阶逻辑推理证明
每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车,每个人或喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车。有的人不喜欢乘
汽车,所以,有的人不喜欢步行（个体域为人类集合）
解: 令():F x x 喜欢步行, ():G x x 喜欢骑自行车, ():H x x 喜欢乘汽车 前提：(()())x F x G x ?→?,(()())x F x H x ?∨, ()x H x ?? 结论： ()x G x ?? 证明：（1）(()())x F x H x ?∨ 前提引入 （2）()()F x H x ∨ （1）?- （3）()x H x ?? 前提引入 （4）()H x ? （3）?-
（5）()F x （2）（4）析取三段论
（6）(()())x F x G x ?→? 前提引入 （7）()()F x G x →? （6）?-
（8）()G x ? （5）（7）假言推理 （9）()G x ?? （8）?+
5．今有于,,,,,a b c d e f 7个人,已知下列事实： a 会讲英语； b 会讲英语和汉语； c 会讲英语、意大利语和俄语；d 会讲日语和汉语； e 会讲德国和意大利语；f 会讲法语、日语和俄语； g 会讲法语和德语。
试问这七个人应如何排座位,才能使每个人都能和他身边的人交谈？
解：用结点表示人,用边表示连接的两个人能讲同一种语
言,构造出图G如下：
g
华南农业大学 离散数学 期末考试2013试卷及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2013-2014学年第 一 学期 考试科目： 离散结构 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 ①本试题分为试卷与答卷2部分。试卷有四大题，共6页。 ②所有解答必须写在答卷上，写在试卷上不得分。 一、选择题（本大题共 25 小题，每小题 2 分，共 50 分） 1、下面语句是简单命题的为_____。 A 、3不是偶数 B 、李平既聪明又用功 C 、李平学过英语或日语 D 、李平和张三是同学 2、设 p:他主修计算机科学, q:他是新生，r:他可以在宿舍使用电脑，下列命题“除非他不是新生，否则只有他主修计算机科学才可以在宿舍使用电脑。”可以符号化为______。 A 、r q p →?∧? B 、r q p ?→∧? C 、r q p →?∧ D 、r q p ∧→ 3、下列谓词公式不是命题公式P →Q 的代换实例的是______。 A 、)()(y G x F → B 、),(),(y x yG y x xF ?→? C 、))()((x G x F x →? D 、)()(x G x xF →? 4、设个体域为整数集，下列公式中其值为 1的是_____。 A 、)0(=+??y x y x B 、)0(=+??y x x y C 、)0(=+??y x y x D 、)0(=+???y x y x
2 5、下列哪个表达式错误_____。 A 、 B x xA B x A x ∧??∧?)())(( B 、B x xA B x A x ∨??∨?)())(( C 、B x xA B x A x →??→?)())(( D 、)())((x xA B x A B x ?→?→? 6、下述结论错误的是____。 A 、存在这样的关系，它可以既满足对称性，又满足反对称性 B 、存在这样的关系，它可以既不满足对称性，又不满足反对称性 C 、存在这样的关系，它可以既满足自反性，又满足反自反性 D 、存在这样的关系，它可以既不满足自反性，又不满足反自反性 7、集合A 上的关系R 为一个等价关系，当且仅当R 具有_____。 A 、自反性、对称性和传递性 B 、自反性、反对称性和传递性 C 、反自反性、对称性和传递性 D 、反自反性、反对称性和传递性 8、下列说法不正确的是：______。 A 、R 是自反的，则2R 一定是自反的 B 、R 是反自反的，则2R 一定是反自反的 C 、R 是对称的，则2R 一定是对称的 D 、R 是传递的，则2R 一定是传递 9、设R 和S 定义在P 上，P 是所有人的集合，=R {x P y x y x ∧∈><,|,是y 的父亲}，=S {x P y x y x ∧∈><,|,是y 的母亲}，则关系{y P y x y x ∧∈><,|,是的x 外祖父}的表达式是：______。 A 、11--R R B 、11--S R C 、11--S S D 、11--R S 10、右图描述的偏序集中，子集},,{f e b 的上界为_____。 A 、c b , B 、b a , C 、b D 、c b a ,, 11、以下整数序列，能成为一个简单图的顶点度数序列的是_____。 A 、1，2，2，3，4，5
离散数学期末试题及答案
326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )，)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ). 5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定是( )图，且其每个面恰由( )条边围成，G 的面数为( ).
中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案
《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群
19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设
离散数学期末试卷A卷及答案
《离散数学》试卷（A 卷） 一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3，则4+5=9； B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3，则4+5≠9； D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ?B)|=128，则|A ?B|=??2???.
2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为???1???。 4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分） 1、“这个语句是真的”是真命题。 （ F ） 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 （ F ） 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 （ T ） 4、)(T S R T R S R ??????。 （ F ） 5、恒等关系具有自反性，对称性，反对称性，传递性。 （ T ） 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 （ T ） 7、若g f ?是满射，则g 是满射。 （ F ） 8、若A B ?，则)()(A P B P ?。 （ T ） 9、若R 具有自反性，则1-R 也具有自反性。 （ T ） 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 （F ） 四、计算题（共 3 小题，每题 10 分，共30 分） 1、调查260个大学生，获得如下数据：64人选修数学课程，94人选修计算机课程，58人选修商贸课程，28人同时选修数学课程和商贸课程，26人同时选修数学课程和计算机课程，22人同时选修计算机课程和商贸课程，14人同时选修三门课程。问 （１）三门课程都不选的学生有多少？ （２）只选修计算机课程的学生有多少？
离散数学期末试题
离散数学考试试题（A 卷及答案） 一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))的主析取范式 解：(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))??(?( P ∨Q ))∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q )∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨?Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨(R ∧?R ))∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨?R )∧(P ∨Q ∨R ) ?0M ∧1M ?2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P ∧Q 乙：?Q ∧P 丙：?Q ∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P ，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为： ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?' R 。则sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。
大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)
1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项，这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则，T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 3.谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 4.集合 1.N ，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A 中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A ，以集合A 的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A 有n 个元素，幂集P(A)有n 2个元素，|P(A)|=||2A =n 2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 5.关系 1.若集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，则笛卡尔A ×B 的基数为mn ，A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系； 2.若集合A 有n 个元素，则|A ×A|=2n ，A 上有22n 个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4.前域(domR)：所有元素x 组成的集合； 后域(ranR)：所有元素y 组成的集合； 5.自反闭包：r(R)=RU Ix ; 对称闭包：s(R)=RU 1-R ; 传递闭包：t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系：集合A 上的二元关系R 满足自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系； 7.偏序关系：集合A 上的关系R 满足自反性，反对称性和传递性，则称R 是A 上的一个偏序关系； 8.covA={
安徽大学期末试卷离散数学上卷及参考答案.doc
安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《离散数学（上）》考试试卷（A 卷） （时间120分钟） 院/系 专业 姓名 学号 题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 一、单选题（每小题2分，共20分） 1. 设A={a,b,c}，A 上二元关系R={〈a,a 〉，〈b,b 〉,〈a,c 〉}，则关系R 的对称闭包S(R)是( ) A.R ∪I A B.R C.R ∪{〈c,a 〉} D.R ∩I A 2. 设X={a,b,c},I x 是X 上恒等关系，要使I x ∪{〈a,b 〉，〈b,c 〉，〈c,a 〉，〈b,a 〉}∪R 为X 上的等 价关系，R 应取( ) A. ｛〈c,a 〉，〈a,c 〉｝ B.{〈c,b 〉，〈b,a 〉} C. {〈c,a 〉，〈b,a 〉} D.{〈a,c 〉，〈c,b 〉} 3. 下列式子正确的是( ) A. ?∈? B.??? C.{?}?? D.{?}∈? 4. 设解释R 如下：论域D 为实数集，a=0, f(x,y)=x-y, A(x,y):x 离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ). 离散数学期末测验试题（有几套带答案1) ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期: ? 离散数学试题(A卷及答案） 一、证明题（10分） １)(?P∧(?Q∧Ｒ)）∨(Q∧R）∨(P∧R）?Ｒ 证明：左端?(?P∧?Q∧R)∨（(Q∨Ｐ)∧R)?（(?P∧?Q)∧R))∨((Ｑ∨Ｐ)∧R） ?(?(P∨Q）∧R)∨((Q∨P)∧Ｒ)?(?(P∨Q)∨(Ｑ∨Ｐ))∧R ?(?(P∨Q)∨(Ｐ∨Ｑ))∧R?T∧R(置换）?R 2）?x(Ａ（ｘ)→B(x)）??xＡ(x）→?xB(x) 证明:?x(A(x)→Ｂ(x））??x（?A（x)∨B(x))??x?A(x)∨?xB(x)???xA（x)∨?xB(x)??xA(x)→?xＢ(ｘ） 二、求命题公式(P∨(Q∧Ｒ))→(Ｐ∧Q∧R）的主析取范式和主合取范式(１０分) 证明:(P∨（Ｑ∧Ｒ））→(P∧Q∧R)??(P∨(Ｑ∧Ｒ）)∨（P∧Q∧R)) ?（?P∧（?Q∨?R)）∨(Ｐ∧Q∧Ｒ） ?(?P∧?Ｑ)∨(?P∧?R)）∨(Ｐ∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Ｑ∧?R）∨(?Ｐ∧Q∧?R)）∨(?P∧?Q∧?R)）∨(Ｐ∧Ｑ∧R) ?m0∨ｍ1∨m2∨ｍ７ ?Ｍ3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题(10分) 1）Ｃ∨D， (C∨D)→?E, ?Ｅ→(A∧?B), (A∧?B)→(R ∨S)?R∨S 证明:(1) (C∨D）→?E (２) ?E→（A∧?Ｂ) ?? (3）（C∨D）→（A∧?Ｂ) （４) （Ａ∧?B)→(R∨Ｓ) ?? (5) （C∨D）→（R∨Ｓ) ? (6) C∨Ｄ?? (7) R∨S 2) ?x(P(ｘ)→Q(ｙ）∧R(x)），?xP(x)?Q(y）∧?x（P(x)∧R(x)) 证明（1)?xP(ｘ) (2）P(a) （3)?ｘ(P(x)→Q(y）∧R(x)) (4）P（a)→Q(y)∧R(a) (５)Q(y)∧Ｒ(a) (6)Q(y) （７)R(a） (8)P(a) (9)P(ａ)∧R(a) （10)?x(Ｐ(x)∧R(ｘ)) (11)Q（ｙ)∧?x(P（x）∧R(x)） 五、已知Ａ、B、C是三个集合,证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) （１5分) 证明∵x∈A-（Ｂ∪C)?x∈A∧x?（Ｂ∪C)?x∈A∧(x?Ｂ∧ｘ?C）?(x∈A∧x?B)∧（x∈A∧x?C）?x∈（Ａ-B)∧ｘ∈(A－C）?x∈(A－B）∩（A-Ｃ)∴A-(B∪Ｃ）=（A-B)∩(A-C） 六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：Ｒ=｛＜x，ｙ>| x，y∈N∧y=x2｝，Ｓ={ 一（6%）选择填空题。 (1) 设S = {1，2，3}，R 为S 上的二元关系，其关系图如右图所示，则R 具有（ ）的性质。 A. 自反、对称、传递； B. 反自反、反对称； C. 自反、传递； D. 自反。 (2) 设A = {1, 2, 3, 4}， A 上的等价关系 R = { (4)没有不犯错的人。 五（10%）在自然推理系统Ｐ中构造下面推理的证明： 如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生，则他一定学过DELPHI语言且学过C++语言。只要他学过DELPHI语言或者Ｃ++语言，那么他就会编程序。因此如果他是计算机系本科生，那么他就会编程序。 六（10%）在自然推理系统中构造下面推理的证明（个体域：人类）： 每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车，每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车，因而有的人不喜欢步行。 七（14%）下图给出了一些偏序集的哈斯图，判断其是否为格，对于不是格的说明理由，对于是格的说明它们是否为分配格、有补格和布尔格（布尔代数）。 八（12%）设S = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}，“ ”为S上整除关系， (1)画出偏序集> ,S的哈斯图； < (2)设B = { 2, 3, 4, 6, 12}，求B的极小元、最小元、极大元、最大元，下界，上界。 九（8%）画一个无向图，使它是： (1)是欧拉图，不是哈密尔顿图； (2)是哈密尔顿图，不是欧拉图； (3)既不是欧拉图，也不是哈密尔顿图； 并且对欧拉图或哈密尔顿图，指出欧拉回路或哈密尔顿回路，对于即不是欧拉图也不是哈密尔顿图的说明理由。 十（8%）设6个字母在通信中出现的频率如下： 12 13 :c :b% 45 :a% % :e% :f 9 5 : d% % 16 用Huffman算法求传输它们的最佳前缀码。要求画出最优树，指出每个字母对应的编码，n个按上述频率出现的字母需要多少个二进制数字。 并指出传输)2 ( n 10≥ 精品文档院术师范学广东技模拟试题 科目：离散数学 120 分钟考试时间: 考试形式：闭卷 姓名：学号：系别、班级： 2分，共10分）一．填空题（每小题__________。?x?y?P(x)∨Q(y) 1. 谓词公式的前束范式是 __)xxQ(?xP(x)????????____，，2. 设全集A?_{4,5}B =__则A∩ {2}__,,?E?1,2,3,4,55,A?21,,32,B_____ __ {1,3,4,5}??BA????b,c}} __________，则3. 设__ ， b?,c,b,a,A?Ba???B(A)?)(_____Φ_______。???)(AB()?4. 在代数系统（N，+）中，其单位元是0，仅有_1___ 有逆元。 ne条边，则G有___e+2-n____个面。5．如果连通平面图G有个顶点，二．选择题（每小题2分，共10分） P?(Q?R)等价的公式是（1. 与命题公式） （A）（B）（C）（D）R?P?Q)()?R)R?(QPP?(Q?R?Q)(P??????b?b,?a,aA??a,b,cR?,不具备关系( 2. 设集合上的二元关系,A)性质 （A）(A)传递性(B)反对称性(C)对称性(D)自反性 G??V,E?中,结点总度数与边数的关系是3. 在图( ) ??E?Edeg(v)deg(v)?2deg(v)?Evdeg()?2E(A)(C)(B) (D) iiiiVv?Vv?4. 设D是有n个结点的有向完全图,则图D的边数为( ) n(n?1)n(n?1)n(n?1)/2n(n?1)/2(A)(B)(D)(C) 5. 无向图G是欧拉图,当且仅当( ) (A)G的所有结点的度数都是偶数(B)G的所有结点的度数都是奇数 精品文档． 精品文档 (C)G连通且所有结点的度数都是偶数(D) G连通且G的所有结点度数都是奇数。 三．计算题（共43分） p?q?r的主合取范式与主析取范式。（1. 求命题公式6分） 解：主合取方式：p∧q∨r?(p∨q∨r)∧(p∨?q∨r)∧(?p∨q∨r)= ∏0.2.4 主析取范式：p∧q∨r?(p∧q∧r) ∨(p∧q∧?r)∨(?p∧q∧r) ∨(?p∧?q∧r) ∨(p∧?q∧r)=∑1.3.5.6.7 1000????0111?????Md,A?a,b,c,的上的二元关集2. 设合系R关系矩阵为求 ??R0000????1000??)tR(),(RsRr()(),(),(rRsRtR),的关系图。R的关系矩阵，并画出分）10（，离散数学期末试题及答案完整版
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