(完整版)高二数学周测卷--导数及其应用(含答案)
2019—2020学年第二学期高二数学周测试卷 2020.3.1
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设函数y ＝f (x )在(a ，b )上可导，则f (x )在(a ，b )上为增函数是f ′(x )>0的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 y ＝f (x )在(a ，b )上f ′(x )>0?y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数，反之，y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数?f ′(x )≥0?/f ′(x )>0.
答案A
2．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程是2x ＋y －1＝0，则( )
A ．f ′(x 0)>0
B ．f ′(x 0)<0
C ．f ′(x 0)＝0
D ．f ′(x 0)不存在
解析曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率为f ′(x 0)＝－2<0. 答案B
3．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－5
3)处切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．150° 解析y ′＝x 2，k ＝tan α＝y ′|x ＝－1＝(－1)2＝1， ∴α＝45°. 答案B
4．曲线f (x )＝x 3＋x －2的一条切线平行于直线y ＝4x －1，则切点P 0的坐标为( )
A．(0，－1)或(1,0) B．(1,0)或(－1，－4) C．(－1，－4)或(0，－2) D．(1,0)或(2,8)
解析设P0(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20＋1＝4，
∴x20＝1，∴x0＝1，或x0＝－1.
∴P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．
答案B
5．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝sin2x B．y＝x3－x
C．y＝x e x D．y＝－x＋ln(1＋x)
解析对于C，有y′＝(x e x)′＝e x＋x e x＝e x(x＋1)>0.
答案C
6．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x，x∈(－2,2)，则f(x)有( ) A．极大值5，极小值为－27 B．极大值5，极小值为－11 C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析f′(x)＝3x2－6x－9
＝3(x＋1)(x－3)．
当x<－1时，f′(x)>0，
当－1 ∴x＝－1是f(x)的极大值点． 且极大值为f(－1)＝5，在(－2,2)内无极小值． 答案C 7．函数y＝2x3＋x2的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－13)∪(0，＋∞) B ．(－1 6，＋∞) C ．(－∞，－13)和(0，＋∞) D ．(－∞，－1 6) 解析y ′＝6x 2＋2x ＝2x (3x ＋1)， 令y ′>0，得x <－1 3，或x >0. ∴函数y ＝2x 3＋x 2的单调增区间为 (－∞，－1 3)和(0，＋∞)． 答案C 8．如图是函数y ＝f (x )的导函数的图象，给出下面四个判断： ①f (x )在区间[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点； ③f (x )在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点． 其中，所有正确判断的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①②③④ 解析由函数y ＝f (x )的导函数的图象可知： (1)f (x )在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； (2)f (x )在x ＝－1处取得极小值，在x ＝2处取得极大值．故②③正确． 答案 B 9．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．－4 C ．－2 D ．2 解析f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2，∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 答案B 10．函数f (x )＝－x 3＋x 2＋x －2的零点个数及分布情况为( ) A ．一个零点，在? ? ???－∞，－13内 B ．二个零点，分别在? ? ???－∞，－13，(0，＋∞)内 C ．三个零点，分别在? ? ? ??－∞，－13，? ?? ??－13，0，(1，＋∞)内 D ．三个零点，分别在? ? ? ??－∞，－13，(0,1)，(1，＋∞)内 解析 利用导数法易得函数f (x )在(－∞，－1 3)内单调递减，在 ? ????－13，1内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，而f ? ?? ??－13＝－59 27<0， f (1)＝－1<0，故函数f (x )的图象与x 轴仅有一个交点，且交点横坐标在? ? ? ??－∞，－13内 答案A 11．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)<2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1) D ．f (0)＋f (2)>2f (1) 解析当1≤x ≤2时，f ′(x )≥0，则f (2)≥f (1)； 而当0≤x ≤1时，f ′(x )≤0，则f (1)≤f (0)， 从而f (0)＋f (2)≥2f (1)． 答案C 12．设f (x )是定义在R 上的可导函数，且满足f ′(x )>f (x )，对任意的正数a ，下面不等式恒成立的是( ) A ．f (a ) B ．f (a )>e a f (0) C ．f (a ) D ．f (a )>f (0) e a 解析 构造函数g (x )＝ f (x ) e x ，则g ′(x )＝ f ′(x )－f (x )e x >0，故函数 g (x )＝f (x )e x 在R 上单调递增，所以g (a )>g (0)，即f (a )e a >f (0)e 0，即f (a )>e a f (0)． 答案B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．若函数f (x )＝13x 3 －f ′(1)·x 2＋2x ＋5，则f ′(2)＝________. 解析 ∵f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋2， ∴f ′(1)＝1－2f ′(1)＋2. ∴f ′(1)＝1. ∴f ′(x )＝x 2－2x ＋2. ∴f ′(2)＝22－2×2＋2＝2. 答案2 14．过点(2,0)且与曲线y ＝1 x 相切的直线的方程为________． 解析：设所求切线与曲线的切点为P (x 0，y 0)， ∵y ′＝－1x 2，∴y ′ |x ＝x 0＝－1 x 20 ，所求切线的方程为 y －y 0＝－1 x 20 (x －x 0)． ∵点(2,0)在切线上， ∴0－y 0＝－1 x 20 (2－x 0)，∴x 20y 0＝2－x 0.① 又∵x 0y 0＝1，② 由①②解得????? x 0＝1，y 0 ＝1， ∴所求直线方程为x ＋y －2＝0. 答案x ＋y －2＝0. 15．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列???? ?? 1f (n )(n ∈N ＋)的前n 项和是________． 解析：f ′(x )＝mx m －1 ＋a ＝2x ＋1，得? ???? m ＝2， a ＝1. 则f (x )＝x 2＋x ，1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ， 其和为? ????11－12＋? ????12－13＋? ????13－14＋…＋? ?? ??1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 答案 n n ＋1 16．已知函数f (x )＝12mx 2 ＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________． 解析：根据题意，知f ′(x )＝mx ＋1 x －2≥0对一切x >0恒成立，∴m ≥ －? ????1x 2＋2x ，令g (x )＝－? ????1x 2＋2x ＝－? ?? ??1x －12＋1，则当1x ＝1时，函数g (x )取得最大值1，故m ≥1. 答案 [1，＋∞) 三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知函数f(x)＝13x 3 －4x ＋m 在区间(－∞，＋∞)上有极大值283. (1)求实数m 的值； (2)求函数f(x)在区间(－∞，＋∞)的极小值． 解 f ′(x)＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x)＝0，得x ＝－2，或x ＝2. 故f(x)的增区间(－∞，－2)和(2，＋∞),减区间为(－2,2)． (1)当x ＝－2，f(x)取得极大值， 故f(－2)＝－83＋8＋m ＝28 3， ∴m ＝4. (2)由(1)得f(x)＝1 3x 3－4x ＋4， 又当x ＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－4 3. 18．(12分)已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0,2）,且在 点M ))1(,1(--f 处的切线方程为076=+-y x . (1)求函数)(x f y =的解析式； (2)求函数)(x f y =的单调区间. 解（Ⅰ）由)(x f 的图象经过P （0，2），知d=2，所以, 2)(23+++=cx bx x x f .23)(2c bx x x f ++='由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x 知 . 6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即.3,0,32.121,623-==? ??=-=-???=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f （2）.012,0363.363)(222=--=----='x x x x x x x f 即令解得 .21,2121+=-=x x 当;0)(,21,21>'+>- .0)(,2121<'+<<-x f x 时故)21,(233)(23--∞+--=在x x x x f 内是增函 数，在)21,21(+-内是减函数，在),21(+∞+内是增函数. 19.(12分) 已知函数323()(2)632 f x ax a x x =-++- （1）当2a >时，求函数()f x 极小值； （2）试讨论曲线()y f x =与x 轴公共点的个数 解（1）2a >时 '22 ()33(2)63()(1),f x ax a x a x x a =-++=-- 由0)(>'x f 得 a x x 2 1<>或 由0)(<'x f 得 12 < ∴()f x 极小值为(1)2 a f =- （2）①若0a =，则2()3(1)f x x =--，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点； ②若0a <， ∴()f x 极大值为(1)02a f =- >，()f x Q 的极小值为2 ()0f a <， ()f x ∴的图像与x 轴有三个交点； ③若02a <<，()f x 的图像与x 轴只有一个交点； ④若2a =，则'2()6(1)0f x x =-≥，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点； ⑤若2a >，由（1）知()f x 的极大值为22133 ()4()044 f a a =---<，()f x ∴的图像 与x 轴只有一个交点； 综上知，若0,()a f x ≥的图像与x 轴只有一个交点；若0a <，()f x 的图像与x 轴有三个交点。 20．(12分)设函数f (x )＝a 3x 3 ＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两根分别为1,4. (1)当a ＝3，且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围． 解 由f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得 f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ，∵f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两根分别为1,4， ∴?? ? a ＋2 b ＋ c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0， (*) (1)当a ＝3时，由(*)得?? ? 2b ＋c －6＝0， 8b ＋c ＋12＝0， 解得b ＝－3，c ＝12. 又∵曲线y ＝f (x )过原点，∴d ＝0. 故f (x )＝x 3－3x 2＋12x . (2)由于a >0，所以“f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极 值点”，等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”． 由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)， 解?? ? a >0， Δ＝9(a －1)(a －9)≤0， 得a ∈[1,9]， 即a 的取值范围是[1,9]． 21．(12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图像经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直． (1)求实数a ，b 的值； (2)若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，求m 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图像经过点M (1,4)， ∴a ＋b ＝4.① 又f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则 f ′(1)＝3a ＋2b ，由条件f ′(1)(－1 9)＝－1， 得3a ＋2b ＝9② 由①、②解得a ＝1，b ＝3. (2)f (x )＝x 3＋3x 2，f ′(x )＝3x 2＋6x ， 令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0，得x ≥0，或x ≤－2， 若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，则[m ，m ＋1]?(－∞，－2]∪[0，＋∞)， ∴m ≥0，或m ＋1≤－2，即m ≥0，或m ≤－3， ∴m 的取值范围是(－∞，－3]∪[0，＋∞)． 22．(12分)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1. (1)若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1，求a 的取值范围； (2)证明：(x －1)f (x )≥0. 解 (1)f ′(x )＝x ＋1x ＋ln x －1＝ln x ＋1 x ， xf ′(x )＝x ln x ＋1， 题设xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1等价于ln x －x ≤a . 令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1 x －1. 当0 综上，a 的取值范围是[－1，＋∞)． (2)由(1)知，g (x )≤g (1)＝－1， 即g (x )＋1≤0，即ln x －x ＋1≤0， 当0 当x ≥1时， f (x )＝ln x ＋(x ln x －x ＋1) ＝ln x ＋x (ln x ＋1 x －1) ＝ln x －x (ln 1x －1 x ＋1)≥0. 所以(x －1)f (x )≥0.