第5讲 三角形的全等HL

第6讲三角形全等（HL）

一、典型例题

【例1】如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌_____，全等的根据是_____．

【例2】已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．

求证：（1）AB＝DC：（2）AD∥BC．

【例3】已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．

求证：AD＝BC

【例4】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．

求证：ED⊥AC．

【例5】已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.

求证：AB∥DC.

二、课堂练习

（一）填空题

1．判定两直角三角形全等的“HL”这种特殊方法指的是_____．

2．直角三角形全等的判定方法有_____ （用简写）．

3．判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）

（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（）

（3）一个锐角和斜边对应相等；（）

（4）两直角边对应相等；（）

（5）一条直角边和斜边对应相等．（）

（二）选择题

4．下列说法正确的是（）

A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等

B．斜边相等的两个直角三角形全等

C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等

D．一边长相等的两等腰直角三角形全等

5．如图，AB＝AC，AD⊥BC于D，E、F为AD上的点，则图中共有（）对全等三角形．A．3 B．4 C．5 D．6

（三）解答题

1、如图，AB=CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，DF=BE，求证：AF=CE.

2、如图，△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，M是AB的中点，点N在BC上，MN⊥AB。求证:AN平分∠BAC。

3、如图，A、E、F、B四点共线，AC⊥CE、BD⊥DF、AE=BF、AC=BD，求证：△ACF≌△BDE.

4、已知在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，BD=CD.求证：AB=AC

1．如图，点C 在∠DAB 的内部，CD ⊥AD 于D ，CB ⊥AB 于B ，CD=CB 那么Rt △ADC ≌Rt △ABC 的理由是（ ）

A ．SSS

B. ASA

C. SAS

D. HL

2．如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，AC ∥DB ，且AC=BD ，那么Rt △AEC ≌Rt △BFC 的理由是（ ）.

A ．SSS

B. AAS

C. SAS

D. HL

3.下列说法正确的个数有（ ）.

①有一角和一边对应相等的的两个直角三角形全等；

②有两边对应相等的两个直角三角形全等；

③有两边和一角对应相等的两个直角三角形全等；

④有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等.

A ．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

4．如图，△ABC 中，∠C= 90，AM 平分∠CAB ，CM=20cm ，

那么M 到AB 的距离是（ ）cm.

5.如图，在△ABC 中，∠ACB=90。，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E,求证：DE=AD+BE

经典学而思全等三角形全套

第一讲全等三角形的性质及判定 【例1】 如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =． 【补充】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥． 【例2】 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证： OA OD =． 【补充】已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠． 【补充】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求 证：FC AD =． F E D C B A 【例3】 如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证： AC BD ∥． O F E D C B A F E D C B A D C B A F E O D C B A O D C B A

【补充】已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =． F E C B A 【例4】 如图，90DCE CD CE AD AC BE AC ∠=?=⊥⊥，，，，垂足分别为A B ，，试说明AD AB BE += E D C B A 【例10】 如图所示， 已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =． 【例11】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥． P F E D C B A 【补充】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证： BG CF BC +=． G A B C D E F F D C B A

第11章 全等三角形复习(含答案)

A F E D C B 第十一章 全等三角形复习 题号 一1 二2 三3 四4 五5 六6 七7 八8 得分 任何学习不可可能重复一次就可以掌握，必须经过多次重复、多方面、多个角度的反复训练才能取得跟多的收获，我们设计的试卷主要就是从这点出发，所以从你下载这张试卷开始，就与知识接近了一步。 ◆随堂检测 1．如图,已知AC 和BD 相交于O,且BO ＝DO,AO ＝CO,下列判断正确的是（ ） A ．只能证明△AOB ≌△COD B ．只能证明△AOD ≌△COB C ．只能证明△AOB ≌△COB D ．能证明△AOB ≌△COD 和△AOD ≌△COB 2．如图,已知△ABC 的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是 （ ） A ．甲和乙 Ｂ．乙和丙 Ｃ．只有乙 Ｄ．只有丙 3．“三月三,放风筝”,如图是小明制作的风筝,他根据DE ＝DF,EH ＝FH,不用度量,就知道 ∠DEH ＝∠DFH,小明是通过全等三角形的识别得到的结论,请问小明用的识别方法是＿＿＿＿＿（用字母表示）． 4如图，∠ACB=∠DFE ，BC=EF ，要使△ABC ≌△DEF ， 则需要补充一个条件，这个条件可以是 ．（只需填写一个） ◆典例分析

例：在△ABC中,∠ACB＝90o,AC＝BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E. ⑴当直线MN绕点C旋转到图⑴的位置时,求证:①△ACD≌△CEB;②DE＝AD＋BE ⑵当直线MN绕点C旋转到图⑵的位置时,求证:DE＝AD－BE; ⑶当直线MN绕点C旋转到图⑶的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系,并加以证明. 解:如图: 解析：这类问题每一问所用的思路基本相同 ⑴①∵∠ADC＝∠ACB＝90o, ∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2＝90o, ∴∠1＝∠3. 又∵AC＝BC,∠ADC＝∠CEB＝90o, ∴△ADC≌△CEB. ②∵△ADC≌△CEB, ∴CE＝AD,CD＝BE, ∴DE＝CE＋CD＝AD＋BE. ⑵∵∠ACB＝∠CEB＝90o, ∴∠1＋∠2＝∠CBE＋∠2＝90o, ∴∠1＝∠CBE. 又∵AC＝BC,∠ADC＝∠CEB＝90o, ∴△ACD≌△CBE,

第13讲全等三角形与平行四边形

第13讲全等三角形与平行四边形 专题一：全等三角形 （一）：【知识梳理】 1.全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”． （2）两角和它们的夹边对应相等的两个二角形全等，简写成“角边角”或"ASA” （3）两角和其中一角的对边对应角相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜过直角边定理” 或“HL”． 2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 3.注意事项： （1）说明两个三角形全等时，应注意紧扣判定的方法，找出相应的条件，同时要从实际图形出发，弄清对应关系，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．（2）注意三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，另外已知两个三角形的两边与一角对应相等的两个三角形也不一定全等． （二）：【经典考题剖析】 1.如图，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°， 则∠BCD的度数为（） A．145°B．130°C、110°D．70° 2.两个直角三角形全等的条件是（） A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等 C．一条边对应相等D．两条边对应相等 3.如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，且S△DEF=2， 则△ABC的面积为（） A．4 B．6 C．8 D．12 4.如图，已知AB=CD，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F， AE=CF，则图中全等三角形有（） A．1对B．2对C．3对D．4对 5.如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线 段AB、DC、CA上的点， （1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论； （2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论． （三）：【拓展与应用】 1.如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙 三个三角形中和△ABC全等的图形是（） A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙 2.如图，两个平面镜α，β的夹角为θ，入射光线AO平行于β入 射到α上，经两次反射后的反射光线CB平行于α，则∠α等于（） A．30o B．45 o C．60 o D．90 o

全等三角形HL判定的基本练习

全等三角形的判定HL练习题 1．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠DFE= 90，AB=DE，AC=DF，那么Rt△ABC与Rt △DEF （填全等或不全等） 2．如图，点C在∠DAB的内部，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，CD=CB那么Rt△ADC≌Rt△ABC 的理由是（） A．SSS B. ASA C. SAS D. HL 3．如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AC∥DB，且AC=BD，那么Rt△AEC≌Rt△BFC 的理由是（）. A．SSS B. AAS C. SAS D. HL 4．下列说法正确的个数有（）. ①有一角和一边对应相等的的两个直角三角形全等； ②有两边对应相等的两个直角三角形全等； ③有两边和一角对应相等的两个直角三角形全等； ④有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等. A．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5．过等腰△ABC的顶点A作底面的垂线，就得到两个全等三角形，其理由是 6．如图，△ABC中，∠C= 90，AM平分∠CAB，CM=20cm，那么M到AB的距离是cm.

7．在△ABC和△A`B`C`中，如果AB=A`B`，∠B=∠B`，AC=A`C`，那么这两个三角形（）. A．全等 B. 不一定全等 C. 不全等 D. 面积相等，但不全等 8．已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有几个（）（1）AD平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；（3）BD=CD；（4）AD⊥BC． A．1个B．2个C．3个D．4个 9.下列命题中正确的有（） ①两直角边对应相等的两直角三角形全等； ②两锐角对应相等的两直角三角形全等； ③斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等； ④一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等. A．2个B．3个C．4个D．1个 10．如图，△ABC和△EDF中,∠D=∠B=90，∠A=∠E，点B、F、C、D在同一条直线上，再增加一个条件，不能判定△ABC≌△EDF 的是（） A．ED=AB B．EF=AC C．AC// EF D．BF=DC 11．如图，AC=AB ，AC⊥BD 于D，AB⊥CE 于E，图中全等三角形的组数是（）A．2 B．3 C．4 D. 5

第4讲.全等三角形的经典模型(二).培优

等等…腰 漫画释义 满分晋级阶梯 4 全等三角形的 经典模型（二） 三角形11级 特殊三角形之直角三角形 三角形10级 勾股定理与逆定理 三角形9级 全等三角形的经典模型（二）

O F E C B A A F C O B E D H A B C D O E O G F E C B A “手拉手”数学模型： ⑴ ⑵ ⑶ 【引例】 如图，等边三角形ABE 与等边三角形AFC 共点于A ，连接BF 、CE ， 求证：BF =CE 并求出∠EOB 的度数. 【解析】 ∵△ABE 、△AFC 是等边三角形 ∴AE =AB ，AC =AF ，60∠=∠=?EAB FAC 知识互联网 思路导航 例题精讲 题型一：“手拉手”模型

3 N M C B A B N C A B C M N ∴∠+∠=∠+∠EAB BAC FAC BAC 即∠=∠EAC BAF ∴AEC ABF △≌△ ∴BF =EC ∠=∠AEC ABF 又∵AGE BGO ∠=∠ ∴60∠=∠=?BOE EAB ∴60∠=?EOB 【例1】 如图，正方形BAFE 与正方形ACGD 共点于A ，连接BD 、CF ，求证：BD =CF 并求出 ∠DOH 的度数. 【解析】 同引例，先证明ABD AFC △≌△ ∴BD =FC ，∠=∠BDA FCA ∵∠=∠DHO CHA ∴90∠=∠=?DOH CAD 【例2】 如图，已知点C 为线段AB 上一点，ACM △、BCN △是等边三角形． ⑴ 求证：AN BM =. ⑵ 将ACM △绕点C 按逆时针方向旋转180°，使点A 落在CB 上，请你对照原题图在图中画出符合要求的图形； ⑶ 在⑵得到的图形中，结论“AN BM =”是否还成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； ⑷ 在⑵所得的图形中，设MA 的延长线交BN 于D ，试判断ABD △的形状，并证明你的结论． 【分析】 这是一个固定 后运动变化的探索题，且在一定的条件下，探究原结论的存在性（不变性）； 需要画图分析、判断、猜想、推理论证． 【解析】 ⑴ ∵ACM △、BCN △是等边三角形 ∴AC CM =，BC CN = 60ACM BCN ∠=∠=° ∴∠=∠ACN MCB 在ACN △和MCB △中 典题精练 O H G D F E C B A

数学八年级上册人教版第11章全等三角形单元测试题目一

第 1 页 共 4 页 全等三角形测验题目1 班级： 姓名： 一、选择题（3*10=30） 1．下列命题中正确的 A ．全等三角形的高相等 B ．全等三角形的中线相等 C ．全等三角形的角平分线相等 D ．全等三角形对应角的平分线相等 2． 下列各条件中，不能作出惟一三角形的是 A ．已知两边和夹角 B ．已知两角和夹边 C ．已知两边和其中一边的对角 D ．已知三边 3．如图，在△ABC 中，∠A :∠B :∠C =3:5:10，又△MNC ≌△ABC ，则∠BCM ：∠BCN 等于 A ．1:2 B ．1:3 C ．2:3 D ．1:4 4．下列各组条件中，能判定△ABC ≌△DEF 的是 A ．A B =DE ，B C =EF ，∠A =∠D B ．∠A =∠D ，∠ C =∠F ，AC =EF C ．AB =DE ，BC =EF ，△ABC 的周长= △DEF 的周长 D ．∠A =∠D ，∠B =∠ E ，∠C =∠ F 5．下列说法正确的是 A.周长相等的两个三角形全等 B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 C.面积相等的两个三角形全等 D.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 6．如图， ∠AOB 和一条定长线段A ，在∠AOB 内找一点P ，使P 到OA 、OB 的距离都等于A ，做法如下：（1）作OB 的垂线NH ，使NH =A ，H 为垂足．（2）过N 作NM ∥OB ．（3）作∠AOB 的平分线OP ，与NM 交于P ．（4）点P 即为所求．其中（3）的依据是 A ．平行线之间的距离处处相等 B ．到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C ．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 D ．到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 7． 如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别是20、30、40，其三条 角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ︰S △BCO ︰S △CAO 等于 A ．1︰1︰1 B ．1︰2︰3 C ．2︰3︰4 D ．3︰4︰5 8．如图，从下列四个条件：①BC ＝B ′C ， ②AC ＝A ′C ，③∠A ′CA ＝∠B ′CB ，④AB ＝A ′B ′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9．要测量河两岸相对的两点A ，B 的距离，先在AB 的垂线B F 上取两点C ，D ，使CD =BC ,再定出B F 的垂线DE ，使A ，C ，E 在同一条直线上，如图，可以得到EDC ABC ?，所以ED =AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长，判定EDC ABC ?的理由是 A ．SAS B ．ASA C ．SSS D ．HL A M B

人教版三角形全等的判定HL教案

12.2三角形全等的判定---HL 班级：807班授课者：何小军时间：2015.10.14 教学目标 1．知识与技能 理解并掌握直角三角形全等判定定理-----HL，并能用于解决简单实际问题。 2．过程与方法 经历探索直角三角形全等判定定理形成的过程，掌握数学方法，提高合情推理的能力。 3．情感、态度与价值观 培养综合分析的几何推理意识，激发学生求知欲，感悟几何思维的内涵。 教学重点 理解并掌握直角三角形全等判定定理-----HL 教学难点 熟练运用直角三角形全等判定定理-----HL解决一些实际问题。培养学生综合分析的几何推理能力 教学过程 一、复习导入 1、口答：我们学过的判定三角形全等的方法哪些？ 2、认识：直角三角形------简写、直角边、斜边符号 3、思考：对于两个直角三角形，除了直角相等这个条件外，还要满足哪两个条件，这两个直角三角形就全等了？ 4、导入：设疑----两个直角三角形，如果满足斜边（L)和一条直角边(H)分别相等，这两个直角三角形全等吗？ 二、探究新知： 斜边（L)和一条直角边(H)分别相等，这两个直角三角形全等吗？ 1、画一画 任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。再画一个Rt△A′B′C′，使得∠C′= 90°，B′C′=BC，A′B′= AB。 步骤 ⑴作∠MC′N=90°; ⑵在射线C′M上取段B′C′=BC; ⑶以B′为圆心,AB为半径画弧，交射线C′N于点A′; ⑷连接A′B′. 2、我发现：（） 3、交流归纳：直角三角形全等判定定理---HL

（）和（）分别相等的两个（）全等。简写成“（斜边、直角边）”或“（HL ）”。 4、建模： 三、学以致用： 1、例题：如图：AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D,AC=BD. 求证：BC=AD. 2、变式练习 （1）如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出 发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达 D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E与路段AB 的距离相等吗？为什么？ （2）如图，AB=CD，AE ⊥BC，DF ⊥BC， CE=BF. 求证：AE=DF.

7年级春季班-第11讲-全等三角形的概念和性质及判定-学生版

七年级下学期春季班 （学生版） 最 新 讲 义

2 / 16 本节主要针对全等三角形的相关概念和性质及全等三角形的判定进行讲 解，重点是全等三角形的性质的运用和判定两个三角形全等的四个判定定理，要求同学们可以达到灵活运用判定定理进行说明三角形全等的理由．本节课是几何说理的基础，综合性不高，相对简单． 全等形、全等三角形及其相关的概念 （1） 全等形：能够重合的两个图形叫做全等形. （2） 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶 点叫做对应顶点；互相重合的角叫做对应角；互相重合的边叫做对应边． 如下图所示： 已知：△ABC ≌DFE ，A 与D ，B 与F 是对应顶点，则：(C 与E 是对应顶点) 对应边有：AB 与DF ，AC 与DE ，BC 与FE ． 对应角有：A D B F C E ∠∠∠∠∠∠与，与，与． 全等三角形的概念性质和判定 内容分析 知识结构 模块一：全等三角形的概念和性质 知识精讲 A B C D E F

3 / 16 全等三角形的数学语言： 三角形ABC 与三角形A ′B ′C ′全等，记作△ABC ≌△A ′B ′C ′，读作“三角形ABC 全等于三角形A ′B ′C ′”． 全等三角形的性质： （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等； （2）全等三角形的面积相等，周长相等； （3）全等三角形的对应线段（高线、中线、角平分线）相等． 全等三角形中应注意的问题： （1）要正确区分“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的不同含义； （2）符号“≌”表示的双重含义：①“∽”表示形状相同；②“=”表示大小相等； （3）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上； 画三角形： 确定三角形形状、大小的条件：六个元素（三条边、三个角）中的如下三个元素：两角及其夹边；两边及其夹角；三边. 【例1】 下列说法正确的是（ ） A ．全等三角形是指形状相同的三角形 B ．全等三角形是指面积相等的三角形 C ．全等三角形的周长和面积都相等 D ．所有的等边三角形都全等 【例2】 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（ ） A ．形状相同 B ．周长相等 C ．面积相等 D ．全等 【例3】 如图所示，△ABC ≌△CDA ，且AB ＝CD ，则下列结论错误的是（ ） A ．∠1＝∠2 B ．AC ＝CA C ．∠B ＝∠D D ．AC ＝BC 例题解析 2 1A B C D

《直角三角形全等的判定(HL)》教案讲课教案

《直角三角形全等的判定》教学设计中心发言人：DH 教学目标: （1）明确两个直角三角形的全等，可以利用“边边边，边角边，角边角，角角边”来证明；但是由于直角相等，所以两个直角三角形全等的判定，只需要增加两个条件即可。 （2）探索和掌握直角三角形全等的特殊判定方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角 形全等，并会用“SSS，SAS，ASA，AAS及HL”证明两个直角三角形全等。 教学重点： 探索和掌握直角三角形全等的特殊判定方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，并会用“SSS，SAS，ASA，AAS及HL”证明两个直角三角形全等。 教学难点： （1）满足“边边角”分别对应相等的两个三角形不一定全等，但满足“斜边和一条直角边对 应相等的两个直角三角形”符合“边边角”的条件，两个直角三角形却是全等的。 （2）要注意用HL直角三角形全等的证明格式 集体备教教学过程： 1、复习与回顾： （1）判定两个三角形全等的方法是，，， （2）回顾直角三角形的边、角的名称及相关性质。 2、尝试归纳两个直角三角形全等的判定方法： 如图，AB⊥BE于B，D E⊥BE于E， （1）若∠A=∠D，AB=DE， 则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）， 根据（用简写法）。 （2）若∠A=∠D，BC=EF， 则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”），个性补教 A B C E F D

根据（用简写法）。 （3）若AB=DE，BC=EF， 则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）， 根据（用简写法）。 （4）若∠A=∠D，AC=DF 则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）， 根据（用简写法）。 归纳：两个直角三角形全等的类型：ASA ,AAS ,SAS ,AAS (一锐角一直角边，一锐角一斜边，两直角边，共四种情形) 3、探究：一斜边一直角边对应相等，两直角三角形是否全等？（1）情景引入 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。 (2)情景分析 ∵∠ADB=∠ADC=90° ∴转化成：在Rt △ ABD 和Rt△ ACD中 已知AB=AC 探究：BD=CD？ 如果Rt△ABD≌Rt△ACD，那么BD=CD (全等三角形对应边相等). （3）画图探究 １、任意画出一个Rt△ ABC，使∠Ｃ＝９０°，

北京西城区学探诊__人教版八年级数学上册__第11章全等三角形

第十一章全等三角形 测试1全等三角形的概念和性质 学习要求 1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素．2．掌握全等三角形的性质；会利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题． 课堂学习检测 一、填空题 1．_____的两个图形叫做全等形. 2．把两个全等的三角形重合到一起，_____叫做对应顶点；叫做对应边；_____叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示_____的字母写在_____上． 3．全等三角形的对应边_____，对应角_____，这是全等三角形的重要性质． 4．如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，∠DEF的对应角是_____． 图1－1 5．如图1－1所示，ΔABC≌ΔDCB．（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____ （2）如果AC＝DB，请指出其他的对应边_____； （3）如果ΔAOB≌ΔDOC，请指出所有的对应边_____，对应角_____． 图1－2 图1－3 6．如图1－2，已知△ABE≌△DCE，AE＝2 cm，BE＝1.5 cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°． 7．一个图形经过平移、翻折、旋转后，_____变化了，但__________都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形 二、选择题 8．已知：如图1－3，ΔABD≌CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（）A．DB B．BC C．CD D．AD 9．下列命题中，真命题的个数是（） ①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等

第11章 全等三角形综合测试卷(含答案)

第11章全等三角形综合测试卷 题号一1 二2 三3 四4 五5 六6 七7 八8 得分 任何学习不可可能重复一次就可以掌握，必须经过多次重复、多方面、多个角度的反复训练才能取得跟多的收获，我们设计的试卷主要就是从这点出发，所以从你下载这张试卷开始，就与知识接近了一步。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．如图，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是（） A、5 B、4 C、3 D、2 2、如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（） A、20° B、30° C、35° D、40° 3、如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D； ④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（） A. 4个B、3个C、2个D、1个 4、如图，已知△ABC的六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则与△ABC 全等的三角形是（） A、只有乙 B、只有丙 C、甲和乙 D、乙和丙 5、如图，OA=OB，OC=OD，∠O=50°，∠D=35°，则∠AEC等于（）

A、60° B、50° C、45° D、30° 6、用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 7、如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，则以下结论： ①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是（） A、① B、② C、①② D、①②③ 8、如图所示，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形， 所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出（）个 A、2 B、4 C、6 D、8 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9、如图，若△ABC≌△DEF，则∠E= ___________度． 10、如图，如果△ABC≌△DEF，△DEF周长是32cm，DE=9cm，EF=13cm，∠E=∠B，则 AC= cm． 11、如图，若AB=DE，BE=CF，要证△ABF≌△DEC，需补充条件． 第6题

用HL证明三角形全等

课题：《11.2三角形全等的判定》(HL)导学案 编审:主备 审核 数学组 学科 数学 年级 八年级 时间 【学习目标】 姓名 ：班级 ；第 组 1、理解直角三角形全等的判定方法“HL ”，并能灵活选择方法判定三角形全等； 2．独立思考、小组合作、展示质疑，体会探索数学结论的过程，发展合情推理能力； 【学习过程】 一、学 （一）、自主学习： 1、复习思考 (1)、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、 (2)、如图，Rt △ABC 中，直角边是 、 ，斜边是 (3)、如图，AB ⊥BE 于B ，DE ⊥BE 于E ， ①若∠A=∠D ，AB=DE ， 则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ） 根据 （用简写法） ②若∠A=∠D ，BC=EF ， 则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ） 根据 （用简写法） ③若AB=DE ，BC=EF ， 则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法） ④若AB=DE ，BC=EF ，AC=DF 则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法） 2、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？ (1)自行预习：见书上13-14页探究8 ；动手画一画。 (2)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个特殊方法: 斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形 （可以简写成“ ”或“ ”） (3)用数学语言表述上面的判定方法 在Rt △ABC 和Rt '''A B C ?中, ∵''BC B C AB =??=? ∴Rt △ABC ≌Rt △ ( ) （5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、 “ ”、 “ ”、 “ ”、 还有直角三角形特殊的判定方法 “ ” 3、自行欣赏书上14页例题4 （二）、合作学习： 1、书上14页练习1、2题、 2、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ， AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？答： ， 说说你的理由 A B C A 1 B 1 C 1

第 十三 讲 全等三角形(5)

B A C A 1 B 1D C 1 D 1B A C A 1B 1 D C 1D 1第 十三 讲 全等三角形（5） 一、判断下列命题： 1．（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等. （ ） （2）全等三角形的周长、面积分别相等. （ ） （4）全等三角形对应边上的中线、角平分线、高线分别相等. （ ） 2．（1）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等. （ ） （2）两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等. （ ） （3）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等. （ ） （4）两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等. （ ） （5）三边对应相等的两个三角形全等. （ ） （6）三个角对应相等的两个三角形全等. （ ） （7）两边及其一边上的中线对应相等的两个三角形全等. （ ） （8）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等. （ ） （9）两边及其一边上的高对应相等的两个三角形全等. （ ） （10）两边及其第三边上的高对应相等的两个三角形全等. （ ） （11）两角及其一角的平分线对应相等的两个三角形全等. （ ） （12）两角及第三角的平分线对应相等的两个三角形全等. （ ） （13）一个角对应相等的两个等边三角形全等. （ ） （14）一条边对应相等的两个等边三角形全等. （ ） （15）腰对应相等的两个等腰三角形全等. （ ） （16）底边对应相等的两个等腰三角形全等. （ ） （17）周长和面积都相等的两个三角形全等. （ ） 二、两边及其一边上的中线对应相等的两个三角形全等. 如图，在△ABC 和△A 1B 1C 1中，AB=A 1B 1，BC=B 1C 1，AD 、A 1D 1分别为△ABC 和△A 1B 1C 1的中线， AD=A 1D 1，求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1. 三、两角及其一角的平分线对应相等的两个三角形全等. 两角及第三角的平分线对应相等的两个三角形全等. 如图，在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠ABC=∠A 1B 1C 1，∠ACB=∠A 1C 1B 1，AD 、A 1D 1分别为△ABC 和△A 1B 1C 1的角平分线，AD=A 1D 1，求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.

第十二章全等三角形教案

12．1 全等三角形 一、学习目标 1、知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素。 2、知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等。 3、能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。 二、重点难点 教学重点：全等三角形的性质。 教学难点：找全等三角形的对应边、对应角。 三、合作探究 １.观察p 2图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形 2．学生自己动手（同桌两名同学配合） 取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板 、 完全一样． 3．获取概念 形状与大小都完全相同的两个图形就是 ．（要是把两个图形放在一起，能够完全重合，就可以说明这两个图形的形状、大小相同．） 即：全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 推得出全等三角形的概念： 对应顶点： 、对应角： 、 对应边： 。 “全等”符号： 读作“全等于” 导入新课 将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF ；将△ABC 沿BC 翻折180°得到△DBC ；将△ABC 旋转180°得△AED ． 甲 D C A B F E 乙 D C A B 丙 D C A B E 议一议：各图中的两个三角形全等吗？ 得出： ≌△DEF ，△ABC ≌ ，△ABC ≌ ． （注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上） 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略． 观察与思考： 寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？ 全等三角形的性质： ， 。 四、精讲精练 精讲： 例1、如图，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，? 说出这两个三角形中相等的边和角． D C A B O

全等三角形的判定(HL)

11.2全等三角形的判定同步练习 （ HL ） 1、如图，已知MB=ND , / MBA= / NDC ,下列添加的条件中， 「 1 哪一个不能用于判定△ ABM ◎△ CDN 的是（） A C B D A. / M= / N B.AB=CD 2、下列说法正确的是（） A.面积相等的两个直角三角形全等 C.斜边相等的两个直角三角形全等 角三角形全等 3、如图已知 AB=CD , AE 丄BD 于 E , CF 丄BD 于 F , AE=CF , 4、 如图，在 Rt △ ABC 中，/ BAC=90 ° , DE 丄 BC , BE=EC , AC=6 , AB=10，贝ADC 的周长是 ____________________________________ . 5、 如图，AB=CD , AE 丄BC 于E , DF 丄BC 于F ,若 BE=CF ,则厶ABE ◎△ _,其依据是 C. AM=CN D.AM // CN B.周长相等的两个直角三角形全等 D. 有一个锐角和斜边上的高对应相等的两个直 则图中全等的三角形 有 （ ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

. 6、如图，AE 丄BC, DF 丄BC, E, F 是 垂足，且AE=DF , AB=DC , 求证：/ ABC= / DCB. D

7、如图，AB=CD , AE 丄BC, DF丄BC,垂足分别为E, F, CE=BF. 求证：AB // CD . &如图，在△ ABC中，/ B=Z C, D是BC中点，DE丄AB , DF丄AC , E, F为垂足, 求证：AD平分/ BAC . 答案：1、C 2、A 3、C 4、16 5、DCF HL 6、证：AE 丄BC, DF 丄BC, 所以在Rt A ABE和Rt A DCF中， = DF, DC t 所以Rt△ ABE 也Rt A DCF, 所以/ ABC= / DCB . 7、证：CE=BF，所以CE+EF=BF+EF , 即BE=CF, 在Rt A AEB 和Rt△ DCF 中， AB 二CD, BE 二CF, 所以△ ABE ◎△ DCF，所以/ B=Z C, 所以AB // CD.

第11章 全等三角形 全章各课时同步练习(含答案)

（第6题） A B E C D （第5题） A B C D E （第4题） A O D B C （第1题） A B F E D C 第十三章 全等三角形 第1课时 全等三角形 度的反复训练才能取得跟多的收获，我们设计的试卷主要就是从这点出发，所以从你下载这张试卷开始，就与知识接近了一步。 一、选择题 1．如图，已知△ABC ≌△DCB ，且AB=DC ，则∠DBC 等于（ ） A ．∠A B ．∠DCB C ．∠ABC D ．∠ACB 2．已知△ABC ≌△DEF ，AB=2，AC=4，△DEF 的周长为偶数，则EF 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 二、填空题 3．已知△ABC ≌△DEF ，∠A=50°，∠B=65°，DE=18㎝，则∠F=___°，AB=____㎝． 4．如图，△ABC 绕点A 旋转180°得到△AED ，则DE 与BC 的位置关系是___________，数量关系是___________． 三、解答题 5．把△ABC 绕点A 逆时针旋转，边AB 旋转到AD ，得到△ADE ，用符号“≌”表示图中与△ABC 全等的三角形，并写出它们的对应边和对应角． 6．如图，把△ABC 沿BC 方向平移，得到△DEF ． 求证：AC ∥DF 。

7．如图，△ACF≌△ADE，AD=9，AE=4，求DF的长． （第7题）

A D B C （第2题） A F E C D B （第3题） A B C （第4题） 一、选择题 1． 如果△ABC 的三边长分别为3，5，7，△DEF 的三边长分别为3，3x －2，2x －1，若这 两个三角形全等，则x 等于（ ） A ．7 3 B ．3 C ．4 D ．5 二、填空题 2．如图，已知AC=DB ，要使△ABC ≌△DCB ，还需知道的一个条件是________． 3．已知AC=FD ，BC=ED ，点B ，D ，C ，E 在一条直线上，要利用“SSS”，还需添加条件___________，得△ACB ≌△_______． 4．如图△ABC 中，AB=AC ，现想利用证三角形全等证明∠B=∠C ，若证三角形全等所用的公理是SSS 公理，则图中所添加的辅助线应是_____________________． 二、解答题 5． 如图，A ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB=FD ，BC =DE ，AE=FC ． 求证：△ABC ≌△FDE ． 6．如图，AB=AC ，BD=CD ，那么∠B 与∠C 是否相等？为什么？ 7．如图，AB=AC ，AD = AE ，CD=BE ．求证：∠DAB=∠EAC ． D C E F B A （第5题） （第6题） A B C D D C E B A （第7题）

第1讲.全等三角形的认识.尖子班.教师版

买玻璃 满分晋级 漫画释义 1 全等三角形的认识 三角形4级 全等三角形的 认识 三角形5级 全等中的 基本模型 三角形6级 特殊三角形之 等腰三角形 暑期班 第一讲 暑期班 第二讲 暑期班 第四讲

一、概念 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形． 对应顶点：完全重合时，互相重合的顶点为对应顶点． 对应角：完全重合时，互相重合的角为对应角． 对应边：完全重合时，互相重合的边为对应边． 如图，若ABC △与A B C '''△全等，记作“ABC A B C '''△≌△”，其中顶点A 、B 、C 分别与顶点A '、B '、C '对应． 注意：寻找全等三角形的对应角，对应边的一般规律是： ⑴把其中一个图形通过平移、翻折或旋转，能与另一个图形完全重合，则重合的边就是对应边，重合的角就是对应角，表示两个三角形全等时，要把对应字母写在对应位置上． ⑵有公共边时，则公共边为对应边；有公共角时，则公共角为对应角（对顶角为对应角）；最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角． 知识互联网 知识导航 模块一 全等三角形的概念和性质 C B A B' A'

二、全等三角形的性质 ⑴全等三角形的对应边相等； ⑵全等三角形的对应角相等； ⑶全等三角形的周长相等，面积相等． 【例1】 ⑴ 如果ABC DEF △≌△，则AB 的对应边是_______，AC 的对应边是_______ ，C ∠的对应角是_______ ，DEF ∠的对应角是__________．两个三角形的周长 ABC C △______DEF C △，两个三角形的面积ABC S △_____DEF S △（填“>” 、“=”、“<”）． ⑵ 如图，若ABC AEF △≌△，AB AE =，B E ∠=∠，则对应结论 ①AC AF =；②FAB EAB ∠=∠；③EF BC =； ④EAB FAC ∠=∠中 正确结论共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 （东城区期末检测） ⑶如图所示，若△ABE ≌△ACF ，且AB =5，AE =3，则EC 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．2.5 【解析】 ⑴DE ，DF ，F ∠，ABC ∠，=，=；⑵C ；⑶A. 【例2】 如图，已知ABC ADE △≌△，且10CAD ∠=?，25B ∠=?，120EAB ∠=?，求D F B ∠的 度数. 【解析】 ∵ABC ADE △≌△ ∴25D B ∠=∠=?，DAE BAC ∠=∠ 又∵10120CAD EAB ∠=?∠=?， ∴11()(12010)5522 DAE BAC EAB CAD ∠=∠=∠-∠=?-?=? ∴10552590DFB BAF B FAC CAB B ∠=∠+∠=∠+∠+∠=?+?+?=? 【教师备选】如图，△ABC ≌△ADE 中，BA ⊥AE ，∠BAC =30°，AD =5， 求BD 的长． 【解析】由题意得：∠BAC =∠DAE =30°，AB =AD ，∠BAE =90°， ∴∠CAD =30°， ∴∠BAD =60°， ∴△ABD 是等边三角形． 故可得：BD =AD =5． 能力提升 夯实基础 F E C B A F G E D C B A F E C A E D C B A

全等三角形HL的判定

D C B A A B D C E 全等三角形判定方法（4） 一、复习 (1)、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、 (2)、如图，Rt △ABC 中，直角边是 、 ，斜边是 二、直角三角形的特殊判定方法 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“ ”或“ ”） 用数学语言表述上面的判定方法 在Rt △ABC 和Rt '''A B C ?中, ∵''BC B C AB =??=? ∴Rt △ABC ≌Rt △ 三、例题 如图，AC=AD ，∠C ，∠D 是直角，求证：Rt △ABC ≌Rt △ABD 。 四、当堂练习 A 组 1、 如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是高， 则△ADB 与△ADC （填“全等”或“不全等” ） 根据 （用简写法） 第1题 第2题 2、如图，已知C 、D 、E 三点共线，AC 、BE 分别垂直于 CE ，垂足为点C 、E ， （1）若AD=BD ，AC=DE ，则判断△ACD ≌△DEB 的依据是 ； （2）若CD=BE ，AC=DE ，则判断△ACD ≌△DEB 的依据是 ； （3）若∠A=∠BDE ，则添加一个条件 ，可以判断 △ACD ≌△DEB ，其依据是 。 A B C A B C

A B D F C E 3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ） A 、两条直角边对应相等 B 、斜边和一锐角对应相等 C 、斜边和一条直角边对应相等 D 、两个锐角对应相等 4、如图，已知∠Ａ＝∠Ｄ＝90°, AC=BD ，试说明AB=DC. 5．已知：如图，AC=DF ，BF=CE ，AB ⊥BF ，DE ⊥BE ，垂足分别为B ，E ． 求证：AB=DE B 组 1. 如图，△ABC 中，D 是BC 边的中点, AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ， DF ⊥AC 于F . 求证：（1）DE= DF ；（2）∠B =∠C ． 五、当堂检测 如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ， （1）若∠A=∠B ，且AC=DB ，则△ACE ≌△BDF ，根据 （2）若∠A=∠B ，且AE=BF ，则△ACE ≌△BDF ，根据 （3）若AE=BF ，且CE=DF ，则△ACE ≌△BDF ，根据 （4）若AC=BD ，AE=BF ，CE=DF 。则△ACE ≌△BDF ，根据 （5） 若AC=BD ，CE=DF （或AE=BF ），则△ACE ≌△BDF ，根据 A B E F B C D A

初中七年级下册数学讲义第11讲-全等三角形的判定一(上体馆)B2NR82080FFP

学员姓名：学科教师： 年级：辅导科目： 授课日期时间 主题第11讲-全等三角形的判定一 学习目标1．掌握全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；掌握全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边；2．会根据已知条件画三角形（已知三边、两边一夹角、两角一夹边）； 教学内容 教师：只给一个条件（一条边或者一个角）画三角形时，大家画出的三角形唯一吗？ 学生回答 教师：如果给定两个条件画三角形，有几种可能情况，画出来的三角形可以确定是唯一的吗? 学生思考，动手画 教师：那么给出三个条件，有哪几种可能情况呢？他们是否都能确定三角形呢？ 提示：（三边，三角，两边一角，两角一边） 【知识梳理】 1. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 2. 全等三角形判定定理1：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（简写成“边角边”或“SAS”） 【例题精讲】 题型一：全等三角形的性质

例1：若ΔABC ≌ΔDEF ，且AB = 3，BC = 4，AC = 5，则ΔDEF 的周长是 答案：9 教法说明：全等三角形的对应边相等 例2： 如图，ΔABC ≌ΔADE ，∠B = ∠D ，则AC 与 是对应边，∠CAB = 答案：AE ，∠EAD 例3：如图，ΔABF ≌ΔCDE ，∠B = 30°，∠BAF = 88°，求∠DEC 的度数。 答案：DEC AFB ∠=?=???=∠628830180－－ 试一试： 1：如图，ΔABC ≌ΔDAE ，那么AB = ，∠B = A B F E D C D B E C A E