关于三角函数的练习题
关于三角函数的练习题
一．选择题（共12小题）
1．（2015?四川模拟）若函数f（x）=﹣sin2ωx﹣6sinωxcosωx+3cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为2π，若对任意x∈R ．C
2．（2014?包头一模）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）
）单调递增，其图象关于直线对称
）单调递增，其图象关于直线对称
）单调递减，其图象关于直线对称
）单调递减，其图象关于直线对称
3．（2014?郴州二模）若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）．C D．
4．（2014?太原二模）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与．
5．（2014?抚顺二模）已知sin（π﹣2x）﹣1=cos2x（0＜x＜π），则tan2x的值是（）
C．
22
7．（2014?邯郸二模）函数f（x）=1﹣2sin2（x﹣）是（）
的偶函数最小正周期为
8．（2014?浙江模拟）定义式子运算为
=a 1a 4﹣a 2a 3将函数f （x ）=
的图象向左平移n （n ＞0）
． C
D ．
9．（2011?安徽）已知函数f （x ）=sin （2x+φ），其中φ为实数，若f （x ）≤|f （）|对x ∈R 恒成立，且f （）＞
，
]+
]，10．（2013?惠州模拟）如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧
的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d=f （l ）的图象大致为（ ）
．
C
D ．
11．（2011?长春模拟）已知函数f （x ）=sinx ，对于满足0＜x 1＜x 2＜π的任意x 1，x 2，给出下列结论： ①（
x 2﹣x 1）[f （x 2）﹣f （x 1）]＞0； ②x 2f （x 1）＞x 1f （x 2）；
③f （x 2）﹣f （x 1）＜x 2﹣x 1； ④
．
12．（2011?中山市三模）方程
=k （k ＞0）有且仅有两个不同的实数解θ，φ（θ＞
φ），则以下有关两根关系
二．解答题（共12小题）
13．（2015?泸州模拟）已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）图象的相邻两对称轴间的距离为，若将
函数f （x ）的图象向左平移
个单位后图象关于y 轴对称．
（Ⅰ）求使f（x）≥成立的x的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=﹣cosωx，其中g′（x）是g（x）的导函数，若g（x）=，且，
求cos2x的值．
14．（2014?北京）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．
15．（2014?重庆）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上
相邻两个最高点的距离为π．
（Ⅰ）求ω和φ的值；
（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．
16．（2014?湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣cos t
﹣sin t，t∈[0，24）．
（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；
（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．
17．（2014?湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：
f（t）=10﹣，t∈[0，24）
（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；
（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
18．（2014?广东）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．
（1）求A的值；
（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．
19．（2014?淮安模拟）某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A 与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）
（1）设∠BAC=θ（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；
（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．
20．（2013?福建）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后
得到函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式
（2）是否存在x0∈（），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定
x0的个数，若不存在，说明理由；
（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．
21．（2011?福建）设函数f（θ）=，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．
（Ⅰ）若点P的坐标为，求f（θ）的值；
（Ⅱ）若点P（x，y）为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．
22．求tan9°+cot117°﹣tan243°﹣cot351°的值．
23．定义双曲正弦函数y=sin hx=（e x﹣e﹣x），双曲余弦函数y=cos hx=（e x+e﹣x）．
（1）各写出四条双曲正弦函数和双曲余弦函数的性质．（定义域除外）
（2）给出双曲正切函数、双曲余切函数、双曲正割函数和双曲余割函数的定义式，探究并证明六者间的平方关系．（3）模仿三角函数中两角的和与差关系，探究并证明双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数的“两角”和与差关系．
24．已知对任意x∈R，acosx+bcos2x+1≥0，恒成立（其中b＞0），求a+b的最大值．
关于三角函数的练习题
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2015?四川模拟）若函数f（x）=﹣sin2ωx﹣6sinωxcosωx+3cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为2π，若对任意x∈R ．C
×=2cos2
x+1=x]
=，
T=，则3sinx+1=
﹣
2．（2014?包头一模）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）
）单调递增，其图象关于直线对称
）单调递增，其图象关于直线对称
）单调递减，其图象关于直线对称
）单调递减，其图象关于直线对称
）2x+）
）单调性，即可得到答案．
）2x+）2x+=
x=）单调递减，所以
3．（2014?郴州二模）若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）．C D．
x+=6k+ x+，向右平移）]x+
﹣
（
．
4．（2014?太原二模）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与．
个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．
个单位长度后，所以
5．（2014?抚顺二模）已知sin（π﹣2x）﹣1=cos2x（0＜x＜π），则tan2x的值是（）
C．sin
，
的值是﹣．
22
，它的周期是
7．（2014?邯郸二模）函数f（x）=1﹣2sin2（x﹣）是（）
的偶函数最小正周期为
化简函数
解：函数
8．（2014?浙江模拟）定义式子运算为=a1a4﹣a2a3将函数f（x）=的图象向左平移n（n＞0）．C D．
）
x+n+）为偶函数
x+n+）x+n+
n+）n+
n+
n+）n+
+k
的最小值等于
9．（2011?安徽）已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＞，]+]，
（
的值，结合
）等于函数的最大值或最小值
×+，
，
，满足条件
∈，
∈
10．（2013?惠州模拟）如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为（）
．C D．
d=2sin，根据正弦函数的图象知，
11．（2011?长春模拟）已知函数f（x）=sinx，对于满足0＜x1＜x2＜π的任意x1，x2，给出下列结论：
①（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＞0；
②x2f（x1）＞x1f（x2）；
③f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1；
④．
、由于，将视为曲线12．（2011?中山市三模）方程=k（k＞0）有且仅有两个不同的实数解θ，φ（θ＞φ），则以下有关两根关系
二．解答题（共12小题）
13．（2015?泸州模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）图象的相邻两对称轴间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移个单位后图象关于y轴对称．
（Ⅰ）求使f（x）≥成立的x的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=﹣cosωx，其中g′（x）是g（x）的导函数，若g（x）=，且，求cos2x的值．
≥
的解析式，再根据求得
）﹣]
（Ⅰ）∵函数图象的相邻两对称轴间的距离
）的图象向左平移个单位后得到的函数为
轴对称，∴
，∴，即
得：
的的取值范围是
∴
得
，∴
，∴
14．（2014?北京）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．
﹣，﹣]2x+
2x+
=
=
，﹣]
∈，
=0时，
=﹣
15．（2014?重庆）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上
相邻两个最高点的距离为π．
（Ⅰ）求ω和φ的值；
（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．
对称，结合﹣
．再根据的范围求得）的值，再根据+﹣+
=
对称，可得×++
≤φ可得﹣
（=＜＜
﹣=﹣
＜，
）=，
））]﹣cos+cos﹣sin
．
16．（2014?湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣cos t
﹣sin t，t∈[0，24）．
（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；
（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．
（t
cos t sin t
﹣cos﹣sin）﹣=10
cos sin（t
＜+，故当+t=
+t=，即
17．（2014?湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：
f（t）=10﹣，t∈[0，24）
（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；
（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
（t+
（t+）＜﹣≤t+
=10t+
≤t+＜，故当t+=
t+=时，函数取得最小值为
（t+）
t+）＞t+）＜﹣，即≤t+＜
18．（2014?广东）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．
（1）求A的值；
（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．
（
）=，
﹣
x+）．
+）=A=
A=
sin x+
sin）sin+=2sin cos=
=）．
﹣﹣==
19．（2014?淮安模拟）某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A 与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）
（1）设∠BAC=θ（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；
（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．
，∴
，
=
）上单调递增，在（，
=
20．（2013?福建）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后
得到函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式
（2）是否存在x0∈（），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定
x0的个数，若不存在，说明理由；
（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．
，利用三角函数的图象变换可求得
，）时，＜，＜
在（，）在（，）内单（）＞
﹣=2
）×+=
的图象向右平移个单位长度后得到函数）的图象，
，）时，＜，＜
，）内是否有解．
，）
，）
）在（，
（＜）＞）在（，
，）满足题意．
，
﹣
，
x=，
）（，（
21．（2011?福建）设函数f（θ）=，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．
（Ⅰ）若点P的坐标为，求f（θ）的值；
（Ⅱ）若点P（x，y）为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．
，我们将点的坐标
）画出满足约束条件
=2
≤θ≤
，即
22．求tan9°+cot117°﹣tan243°﹣cot351°的值．
23．定义双曲正弦函数y=sin hx=（e x﹣e﹣x），双曲余弦函数y=cos hx=（e x+e﹣x）．
（1）各写出四条双曲正弦函数和双曲余弦函数的性质．（定义域除外）
（2）给出双曲正切函数、双曲余切函数、双曲正割函数和双曲余割函数的定义式，探究并证明六者间的平方关系．（3）模仿三角函数中两角的和与差关系，探究并证明双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数的“两角”和与差关系．
sin hx=cos hx=（
sin hx=
（
；；sec hx=csc hx=
；．24．已知对任意x∈R，acosx+bcos2x+1≥0，恒成立（其中b＞0），求a+b的最大值．
[t=
|
?
﹣||
，则，则a+b
，时，
t=∈||
，