2020高三文科数学模拟试题及答案
一、选择题(5×10=50分)
1. 已知集合(){}03|<-=x x x P ,{}|22M x x =-<<,则P M =I ( ) A .()0,2- B .()2,0 C .()3,2 D .()3,2-
2.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如右图所示),则改样本的中位数、众数、极差分别是 ( )
A .46,45,56
B .46,45,53
C .47,45,56
D .45,47,53
3.等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ,若205=S ,则142a a +=( )
A . 9
B .12
C .15 D.18 4. “2 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 已知ο160sin ,3log ,2 2 2=== c b a ,则c b a ,,的大小关系为( ) A .c b a << B.b c a << C.b a c << D.a b c << 6. 已知βα,()π,0∈,51)sin(= +βα,7 5 sin =β,则αcos 等于( ) A .3529- B .3519- C.3529 D .3529或35 19- 7.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在的平面, 那么MA 与BD 的位置关系是( ) A .平行 B .垂直相交 C .异面垂直 D .相交但不垂直 8.为得到函数3cos(2)2 y x π =-的图像,只需将函数3sin(22)y x =-的图像( ) A .向左平移2个长度单位 B .向右平移2个长度单位 C .向左平移1个长度单位 D .向右平移1个长度单位 9.抛物线y =x 2 上的点到直线2x -y -10=0的最小距离为( ) A . 55 9 B .0 C .5 9 D .55 10.设i 是虚数单位,复数 12ai i +-为纯虚数,则实数a 为 ( ) A .12- B .2- C .1 2 D .2 二、填空题(5×5=25分) 11.执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出s 的值为 . 12.在ABC ?中,若4,2 1 cos -=?-=AB AC A 且,则ABC ?的 面积等于_____ 13.若()f x 是R 上的奇函数,则函数2)1(-+=x f y 的图象必过定点 14.设实数y x ,满足,0 320420 2?? ? ??≤-≥-+≤--y y x y x 则x y 的最大值是 15.抽取某地区若干户居民的月均用电量的数据,得到频率分布直方图如右图所示,若月均用电量在区间[110,120)上共有150户,则该地区的居民共有 户. 三、解答题(75分) 16.已知等比数列{}n a 中,128,252==a a . (1)求通项n a ; (2)若n n a b 2log =,数列{}n b 的n 项和为n S ,且 360=n S ,求n 的值 17.已知函数()sin(),(0,0,0)2 f x A x x R A π ω?ω?=+∈>><<其中的图象与x 轴的交点 中,相邻两个交点之间的距离为2π,且图象上一个最低点为2(,2).3 π - (1)求()f x 的解析式; (2)当[,],()122 x f x ππ ∈时求的值域 C A B D M 18.已知:圆22:240C x y y +--=,直线m y mx l =+-1:. (1)求证:对于任意的R m ∈,直线l 与圆C 恒有两个不同的交点; (2)若直线l 与圆C 交于A 、B 两点,17||=AB ,求直线l 的方程 19.设直线42-=x y 与抛物线x y 42=交于B A ,两点(点A 在第一象限) (1)求B A ,两点的坐标; (2)若抛物线x y 42 =的焦点为F ,求AFB ∠cos 的值 20. 已知()(]ln ,0,f x ax x x e =-∈,其中e 是自然常数,.a R ∈ (1)当1a =时,求()f x 的单调区间和极值; (2)若()3f x ≥恒成立,求a 的取值范围. 21. 如图,在平面四边形ABCD 中,已知45,90,A C ∠=∠=o o 105ADC ∠=o ,AB BD =,现将四边形ABCD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BDC ,设点F 为棱AD 的中点. (1)求证:DC ⊥平面ABC ; (2)求直线BF 与平面ACD 所成角的余弦值. B A F C D A BA CA D 参考答案 BABAC DCCAD 11.8 12.32 13.)2,1(-- 14.2 3 15.500 16.解:322-=n n a ,20=n 17.解:(1)由最低点为2( ,2)23 M A π -=得 由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π,得2,,222T T T ππ πω====即 由点2(,2)3M π-在图象上得242sin(2)2,33ππ ???+=-即sin(+)=-1 4232k ππ?π∴+=-,得12()6 k k Z π?π1=-∈, 又(0,),2π?∈∴66ππ ?=,于是f(x)=2sin(2x+) (2)7[,],2[,],122636 x x πππππ ∈∴+Q 当2,()626x f x πππ + = ,即x=时取得最大值2, 当72,,()662 x x f x πππ+==即时取得最小值-1, 故)(x f 的值域为[-1,2] 18.解、;(1)直线l 恒过定点(1,1),且点(1,1)在圆内,所以直线与圆恒有两个交点. 6分 (2 )23 3 m π π αα== = 或;-----12分 19.解:(1)由???-==4 242x y x y 消y 得 0452=+-x x …(3分) 解出11=x ,42=x ,于是,21-=y ,42=y 因为点A 在第一象限,所以B A ,两点的坐标分别为)4,4(A ,)2,1(-B ………(6分) (2)抛物线x y 42=的焦点为)0,1(F ,由(Ⅰ)知,)4,4(A ,)2,1(-B , 于是,5 4 25)2,0()4,3(||||cos -=?-?=??= ∠FB FA AFB ……(12分) 20.解:(1) ()'11 ln ()1x f x x x f x x x -=-=- = Q ∴当01x <<时,()'0f x <,此时()f x 为单调递减;当1x e <<时,()'0f x >,此时()f x 为单调递增. ∴当()f x 的极小值为()11f =,()f x 无极大值 (2)法一:∵()(]ln ,0,f x ax x x e =-∈,∴ln 3ax x -≥在(]0,x e ∈上恒成立, 即3 ln x a x x ≥+ 在(]0,x e ∈上恒成立, 令3ln ()x g x x x =+,(]0,x e ∈, ∴'222 31ln 2ln ()x x g x x x x -+=-+=- 令'()0g x =,则21 x e =, 当210x e <<时,()'0f x >,此时()f x 为单调递增,当21 x e e <<时,()'0f x <,此时() f x 为单调递减, ∴222max 21 ()()32g x g e e e e ==-=,∴2a e ≥. 21.(1)证明:在图甲中∵AB BD =且45A ∠=o ∴45ADB ∠=o ,90ABD ∠=o 即AB BD ⊥ 在图乙中,∵平面ABD ⊥平面BDC , 且平面ABD I 平面BDC =BD ∴AB ⊥底面BDC ,∴AB ⊥CD . 又90DCB ∠=o ,∴DC ⊥BC ,且AB BC B =I ∴DC ⊥平面ABC . (2)解:作BE ⊥AC ,垂足为E 。 由(1)知平面ABC ⊥平面ACD ,又平面ABC ?平面ACD=AC ,∴BF ⊥平面ADC , ∴AFE ∠即为直线BF 与平面ACD 所成角 设CD a =得 AB=2,BD a BC ==, ∴BE = ,BF = ,FE = ∴cos BFE ∠==∴直线BF 与平面ACD 所成角的余弦值为7 。