《三角函数的概念》教学设计【高中数学人教A版必修1(新课标)】

《三角函数的概念》教学设计

本课是《任意角的三角函数》这一章的概念课，具有核心地位、统领全局的作用． 在此之前，学生已经学习了锐角三角函数，弧度制，对三角函数（正弦，余弦，正切）有一定的了解，了解了锐角三角函数在解三角形中的作用．为本节课的学习提供了知识准备． 本节将学习任意角三角函数的概念、表示及关系．借用单位圆直观的表示三角函数的对应值．

1．了解任意角三角函数概念的形成过程，培养学生抽象问题的能力；

2．掌握任意角三角函数的代数表示，理解任意角三角函数的正弦，余弦，正切概念，体会用单位圆进行数学研究的一般过程．

教学重点：本节的重点是利用单位圆模型理解任意角三角函数概念的形成过程． 1．教学问题： （1）学生在理解用终边上任意一点的坐标来表示锐角三角函数是可能会出现障碍，由于学生在此之前学习了直角三角形中的锐角三角函数，并习惯了直观地用有关边长的比来表示锐角三角函数，要克服这一点，关键是帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直角三角形有关边长的比值的联系；

（2）学生在理解将终边上任意一点去在终边与单位圆的交点这一特殊位置上时，又可能会形成障碍．

（3）学生在将用单位圆定义锐角三角函数推广到定义任意角的三角函数时，可能会受初中锐角三角函数定义的影响，仍然局限在直角三角形中思考问题．

2．教学支持条件：计算机，几何画板，科大讯飞问答系统．

【问题1】在初中，我们学过锐角三角函数，如图1，在直角三角形OMP 中，M ∠是直角，那么根据锐角三角函数的定义，O ∠的正弦，余弦，正切分别是什么？

【设计意图】帮助学生回顾初中学过的锐角三角函数的定义．

【预设师生活动】教师提出问题，学生回答．

【问题2】在上节课的学习中，我们已经将角的概念推广到了任意角，现在说说的角可以是任意大小的正角，负角和零角．那么任意角的三角函数又该怎么定义呢？

【设计意图】引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数．

【预设师生活动】老师引导学生：

（1）能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？

（2）将锐角推广到任意角时，我们是把角放在哪里进行研究的？

（3）如图2：在平面直角坐标系中如何定义任意角α的三角函数？

（4）终边是OP 的角一定是锐角吗？如果不是，能用直角三角形的边长

来定义吗？当α的终边不在第一象限该怎么办？

（5）我们知道，借助平面直角坐标系，就可以把几何问题代数化，大家能不能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示定义式中的一条边长呢？（渗透数形结合的思想）

（6）利用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来定义有什么好处？

【问题3】大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点？

【设计意图】为引入单位圆做铺垫．

【预设师生活动】教师提出问题后，课组织学生展开讨论，在学生不能回到正确时，可启发他们思考：

（1）我们在定义1弧度的角时，利用了一个什么图形？所用的圆与半径大小有关吗？用半径多大的圆定义起来更简单易懂？

（2）对于一个三角函数，比如sin y α=．它的函数值是由什么决定的？那么当一个角的终边位置确定后，能不能取终边任意一点来定义三角函数？取哪一点可以使得我们的定义式变得简单易懂些？怎样取？（加强与几何的联系））

【问题4】大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了？

【设计意图】引导学生在用单位圆定义锐角三角函数的基础上，进一步给出任意角三角函数的定义．

【预设师生活动】由学生给出任意角三角函数的定义，教师进行整理

【问题5】根据任意三角函数的定义，要求角α的三个三角函数值其实就是求什么？

【设计意图】让学生从中体会，用单位圆上点的坐标定义三角函数不仅简化了定义式，还更能突出三角函数概念的本质．

【预设师生活动】

在学生回答问题的基础上，引导学生利用定义求三角函数值

例1 已知角α的终边过点P （12，2-），求角α的正弦、余弦和正切值． 【设计意图】从最简单的问题入手，然后通过变式，让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题，进而加深对定义的理解，加强定义应用中与几何的联系，体会数形结合的思想．

【预设师生活动】在完成本题的基础上，可通过下列变式引导学生对三角函数的概念作进一步的认识．

变式1：求3

5π的正弦、余弦和正切值． 变式2：已知角α的终边过点P （－3，－4），求角α的正弦、余弦和正切值．

【问题6】你们能否给出正弦、余弦和正切函数在弧度制下的定义域？

【设计意图】研究一个函数，就是要研究其三要素，而三要素中最本质的是对应法则和定义域，三角函数的对应法则已经有定义式给出，所以在给出定义之后就要研究其定义域，通过利用定义求定义域，即完善了三角函数概念的内涵，同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念．

【预设师生活动】学生求出定义域，教师进行整理

【问题7】上述三种函数的值在各象限的符号会怎么样？

【设计意图】通过定义的应用，让学生了解三种函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想．

【预设师生活动】

学生回答，教师进行整理．

例2. 求证：（1）当不等式组?

??><0tan 0sin θθ成立时，角θ为第三象限角； （2）当角θ为第三象限角时，不等式组??

?><0tan 0sin θθ成立．

【设计意图】通过问题的解决，熟悉和记忆函数值在各象限的符号的变化规律，并进一步理解三角函数的概念．

【预设师生活动】在完成本题的基础上，可视情况改变题目的条件或结论，作变式训练；

【问题8】三角函数的函数值是由角的终边的位置决定的，那么角的终边每绕原点旋转一周，它的大小将会怎样变化？它所对应的三角函数值又将怎样变化？

【设计意图】引出公式一，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想．

【预设师生活动】

在教师的引导下，由学生讨论完成．

例3 先确定下列三角函数值的符号，然后再求出它们的值；

)672cos()4();6

11tan()3(;3cos )2(;49sin )1(0--πππ． 【设计意图】将确定函数值的符号与求函数值这两个问题结合在一起，通过应用公式一解决问题，让学生熟悉和记忆公式一，并进一步理解三角函数的概念．

【预设师生活动】先完成题（1），再通过改变函数名称和角，逐步完成其他各题． 练习

（1）填表．

（2）设α是三角形的一个内角，在αsin ，αcos ，αtan ，2tan

中，有可能取负值的是．

（3）选择“>”，“<”，“=”填空： ;0_____)34sin(π-;0_____556tan 0;0_____)450cos(0-;0_____)8

17tan(π- （4）选择0tan )5(;0tan )4(;0cos )3(;0sin )2(;0sin )1(<>><>ααααα中适当的关系式的序号填空：

（1）当角α为第一象限角时，，反之也成立；

（2）当角α为第二象限角时，，反之也成立；

（3）当角α为第三象限角时，，反之也成立；

（4）当角α为第四象限角时，，反之也成立；

（5）求6

7π的正弦，余弦和正切值． （6）已知角θ的终边经过点P （-12，5），求角θ的正弦，余弦和正切值．

（7）求下列三角函数值： );431tan();1050sin(;319tan ;1109cos 00ππ-- 例4（备选）如图1是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R ，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA 出发（如图1所示），过了30秒后，你离地面的高度为多少？过了t0 秒呢？

【设计意图】通过应用三角函数定义，熟悉和记忆特殊角的三角函数值，三角函数值的符号，公式一，以及求三角函数值，加强对三角函数概念的理解．

【预设师生活动】根据教学的实际情况，对练习题的数量和内容做具体调整．

5. 小结

【问题9】从锐角三角函数的定义推广到任意角的三角函数的定义，你能回顾一下我们是如何借助单位圆给出任意角的三角函数的定义的吗？

锐角三角函数与解直角三角形相关，在初中我们是利用直角三角形边的比值来表示锐角的三角函数．通过今天的学习，我们知道任意角的三角函数虽然是锐角三角函数的推广，但它与解三角形已经没有什么关系了，我们是利用单位圆来定义任意角的三角函数．借助平面直角坐标系中的单位圆，我们建立了角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，进而利用单位圆点的坐标或坐标的比值来表示圆心角的三角函数．

【设计意图】回顾和总结本节课的主要内容．

【预设师生活动】

在学生给出定义后，教师进一步强调用单位圆定义三角函数的优点．

【问题10】今天我们不仅学习了任意角三角函数的定义，还接触了定义的一些应用，能不能归纳一下，今天我们利用定义解决了那些问题？

【设计意图】回顾和总结三角函数在本节课中的应用．

【预设师生活动】

图1

在学生回顾与总结的基础上，教师有意识地引导学生定义应用过程中所蕴含的数形结合的思想．