非线性不确定系统滑模变结构观测器理论

E-mail address: veluvolu@ee.knu.ac.kr (K.C. Veluvolu).

2 变增益反馈设计，当误差较大时，选择比较小的ε，当误差较小时选择较大的ε。

()i T

r r T

H

αεεαε

α

,1,0,1∈??????= 。

1 分离原理separation principle

把随机控制系统的控制器分解成状态估计和确定性反馈控制两部分分别进行设计的一

种原理。应用这个原理时，先根据随机观测数据估计系统的状态，再把估计值看作为真实状态，按照确定性系统设计最优控制规律。这是对随机最优控制系统设计技术的一种简化。这样设计出来的系统常常不是真正最优的。只有对某些特定类型的系统，可按分离原理设计出最优的随机控制策略。这类系统称为可分离系统。线性二次型高斯 (LQG)随机过程控制问题就属于这一类，它的求解和实现都比较容易，有较大的实用意义。下图为按分离原理设计的控制器结构。状态估值器可采用卡尔曼滤波器来实现（见卡尔曼-布什滤波），它给出受控过程内部状态x 的最优估计值悯。而后用的信息按确定性的反馈律给出控制и 的值，

对可分离性的概念进行更深入的研究，还可导出中立性和确定性等价两个概念。中立性条件只说明在设计反馈控制律时不必顾及它对估计精度的影响，这个条件较可分离性条件为弱。确定性等价条件则比可分离性更强,它要求由悯到и 的反馈控制律与随机干扰为零时得到的确定性系统的最优控制律完全一致。在确定性等价条件满足时，设计过程可进一步简化。

参考文献：A.N. Atassi, H.K Khalil.Separation results for the stabilization of nonlinear systems using dierent high-gain observer designs. Systems & Control Letters 39 (2000) 183-191.

High-gain observers have been used in the design of output feedback controllers due to their ability to robustly estimate the unmeasured states while asymptotically attenuating disturbances. The available techniques for the design of high-gain observers can be classified into three groups: pole-placement algorithms , Riccati equation-based algorithms , and Lyapunov equation-based algorithms.

传统的隆伯格观测器是基于系统的可观测性和可控性，

1对于非线性系统设计观测器，许多学者通过借助多种线性化方法（参考非线性控制理论），把非线性系统转换为线性系统，然后通过极点配置方法设计高增益观测器，以保证系统矩阵的稳定性。

2有的学者通过将高增益观测器和滑模观测器结合形成一种新的观测器即高增益滑模观测器。

3另一类是根据超扭曲算法设计的高阶滑模（一般二阶滑模用的比较多）观测器。 1) J. Alvarez, Y. Orlov, andL. Acho, “An invariance principle for discontinuous dynamic systems with application to a coulomb friction oscillator,”J. Dyna. Syst., Measure., Control, vol. 122, pp. 687–690, 2000.

2) Y. Orlov, L. Aguilar, andJ. C. Cadiou, “Switched chattering control vs. backlash/friction phenomena in electrical servo-motors,” Int. J. Control,vol. 76, no. 9–10, pp. 959–967, 2003.

3)A. Pisano and E. Usai, “Output -feedback control of an underwater vehicle prototype by higher-order sliding modes,” Automatica, vol. 40, pp.1525–1531, 2004.

4 Levant, A. (2005a). Homogeneity approach to high-order sliding mode design.

Automatica , 41(5), 823–830. 5 Levant, A. (2005b). Quasi-continuous high-order sliding-mode controllers.IEEE Transactions on Automatic Control , 50(11), 1812–1816.

文献1,2是基于极点配置是系统渐进稳定，需要证明分离原理。

separation principle(分离原理): This principle describes, essentially, a situation in which it is

possible to separate the estimation problem from the control problem, i.e., the control does not need to have the full dual characteristic 文献3对1,2进行了改进，设计了一种基于超扭曲算法的二阶滑模实时鲁棒微分器，能够使观测器在有限的时间内达到收敛。4,5 Levant 利用同一性质[6](homogeneity properties)具有有限时间收敛的任意阶实时微分器。

1在控制系统设计中,很多控制器的设计是建立在被控系统的所有状态可直接获得的假定上的.但在众多场合,系统的状态是不能完全测得的,因此一个很自然的问题就是如何利用被控系统输入、输出的信息设计观测器,对系统状态实现重构. Luenberger 在1971年提出一种用于确定的线性统中的观测器,利用观测器输出与系统输出之的偏差修正观测器的估计值,使得观测器状态系统状态之间的偏差渐近趋于零.但实际更普遍的情况是系统中存在非线性不确定性Luenberger 观测器不具有鲁棒性,在这种情况下能很好的估计出系统的状态.Walcott 和Zak 等采用变结构技术,提出了Walcott-Zak 观测器,对统中的非线性不确定性均具有鲁棒性,并且不要知道非线性项的具体信息,只需要非线性不确定性满足匹配条件且有上界.但设计过程中,设计参数矩阵必须满足严格的假设条件在设计过程中,需要大量不等式计算,设计过程繁琐,当系统维数较高时,难以设计。

本文提出一种鲁棒滑模观测器,解决了上述问题.通过采用新的观测器的控制策略,使设计参数的选取不需要求解大量方程,极大简化了设计过程,同时能保证对系统的非线性不确定项具有鲁棒性.通过设计滑模,可以调整观测器跟踪系统状态的收敛速度,使状态估计达到预期的指标.仿真结果验证了提出方法的有效性.

2 状态观测器

在下面有关状态观测器的讨论中，我们用 表示被观测的状态向量。在许多实际情况中，一般将被观测的状态向量用于状态反馈，以便产生期望的控制输入。 考虑如下线性定常系统

Bu Ax x += ,Cx y =(1) 可构造如下观测器

)~(~~x C y K Bu x A x e -++= (2)

根据(1),(2)得到

e C K A e

e )(-=

系统完全能观测（可观测，可控）是存在观测器的充分条件，而且观测器极点可以任意配置。

其中中的状态x ~

来近似，则该式表示状态观测器，其中e K 称为观测器的增益矩阵。注意到状态观测器的输入为y 和u ，输出为x ~

。误差向量的动态特性由矩阵C K A e -的特征值决定。如果矩阵C K A e -是稳定矩阵，则对任意初始误差向量)0(e ，误差向量)(t e 都将趋近于零。

也就是说，不管)0(x 和)0(~x 的值如何，)(~t x 都将收敛到)(t x 。如果所选的矩阵C K A e -的特征值使得误差向量的动态特性渐近稳定且足够快，则任意误差向量)(t e 都将以足够快的速度趋近于零 (原点)，此时将)(~t x 称为)(t x 的渐近估计或重构。

Hurwitz matrix:假设有 如下微分方程

Bu x A x

+=* ,若果A 的特征根严格的具有负实部，则x 是渐进稳定的，即()0→∞→t t x 1考虑一个简单的二阶系统u x x

=- ξ,0>ξ 设状态反馈x u ?-=,?值可取a 或者-a 。对应的两种结构，系统都不稳定，但是如果将两种反馈方法按照一定的规律有机结合起来，??

?<->=0

,0,xs a xs a ?，则直线两侧的轨迹最终在

此直线并收敛到原点。cx x

s += 。若取x=0,???

?

?

?++-∈+=a c cx x s 4

2,0,2

ξ

ξ

,s=0两侧的

相轨线都引向切换线s=0,由此状态轨线一旦到达切换线，就沿此直线收敛到原点。（为坐标轴的坐标系）x

x ,其解为()()ct e x t x -=0。

2 对于一阶非线性系统，()t u x f x

,,= ，动态滑模存在的条件是,0,0lim 0

<<+

→S S S S s 或者只能保证系统从任意一点出发的状态能够到达滑模面，但不能反映出状态是如何到达滑模面的，高为炳提出了滑动模态趋近概念，

()()s f s S

--=sgn ε ，随着f(s)的不同，幂次趋近规律为()s s k S a sgn -= ;指数趋近规律，()0,0,sgn >>--=k ks s S

εε 对于抖动问题，burton 提出了δ

+=||||s ks u ,加入正常数西格

玛，

3 右端不连续微分方程

()()()()?????<>==-

+

)(,,0)(,,,,,x s u x f

x s u x f

u x f u x f x

,s(0)=0,可微分，即()

dt x ds 存在，

例子1 设二阶系统

???+-==u x y y y x 2 ，其中x u ψ-=,y x s xs sx +=??

?<->+=5.0,0,40

,4ψ,x(0.5x+y)即x=0,0.5x+y=0两条直线为边界，而且最终由y x

= 和0.5x+y=0得到t e x x x x 5.00,02-==+ 4 滑模变结构控制系统设计：

4.1切换函数设计，即滑模面,

对于输入系统n x x c x c s +++=...2211，c 越大相应的收敛速度越快；一般对于带有输入控制的切换函数设计为21,;x r e x r e e

ce s -=-=+= 。非线性切换函数 ()()都为整数

终端滑模切换函数

动态滑模切换函数

0,,/1

2>>+=+=q p x x x s du cx x s p

q β4.2控制作用选取

一些常用的控制结构比如常值切换控制()s u u sgn 0=， 函数切换控制()()x s u u u eq sgn 0+=，

比例切换控制比例切换()()()s e e a s x u i

i i sgn sgn 1 βψ+==∑u;?

?

?<>=0,0

,xs xs a β?，等效控制等()的值，u 0=x s

。一般针对带有不确定性和外加干扰的系统，一般采用等效控制加切换控制的形式vss eq u u u +=.。

5 常见的有基于比例控制的滑模变结构、和基于趋近律的滑模变结构、基于准动态滑模的控制、基于上下界的滑模变结构控制：对于带有不确定性和外部干扰的系统状态

5.1 基于趋近律的变结构控制

()()

slaw

CAx

CB u ks s slaw x C s

cx s Bu Ax x

+-=--====+=-1.)sgn(,;带入得到设切换函数ε 对于位置追踪型()[]slaw x A x A r x r c B u ---+-=-222121212

???=???=??????=???=0,,2

12212211121B B B A A A A A x x x

5.2 基于准动态滑膜的控制

在连续系统中，常用的两种准动态滑模方法： 1 用饱和函数sat （s ）代替sgn （s ） ??

?

???-<-?=?≤?>=s k s ks s s sat ,1/1,||,,1)(

1

()sgn() 1

x x sat x x x ?≤?=?>??

2 用连续函数()）（代替s sgn s θ，()δ

θ+=

s s s

ps ：在观测器的设计中为了减少抖动，采用了()δ

+=s s s sgn 的方法，式中δ为大

于0的常数，一般取值为0.01。

5.2基于上下界的滑模变结构控制 ()()()()()()??

?++?+==t d t au t x f t x f t x t x t x

)(,,2

21 （1） d(t)为外部干扰，|d(t)|

控制器设计：设计切换函数()()()t x t cx t s 21+=；控制规律取

()()()()[],)s

g n (,,12s t x k t cx t x f a

t u ---=

()()()0,,,,>++=ηηD t x F t x k t x k 为增益项，且其中

6 二阶滑模控制

所谓二阶滑模状态，是指系统状态运动轨迹位于状态空间内两个平面s 和s

的交线上，对于 二阶滑模控制策略，要求在有限时间内滑模控制变量s 及其一阶导数均为零

()()()t x s y u x g x f x

,;=+= ，x 为状态变量，u 为输入控制信号，s 为滑模变量，f 、g 为光滑不确定函数，但是有界，假使控制的目的是使s(x,t)为零，对其微分可得 ()[]()[]u x s g

u x g x f x

s s u x g x f x s s ??

?

?

???++??=

+??=)()(若满足(){()}0,,|2==∈=t x s

t x s X x S ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5参考文献

[1] Arie Levant ，Principles of 2-sliding mode design ，Automatica 43 (2007) 576–586 [2] Esfandiari, F., & Khalil, H. K. (1992). Output feedback stabilization of fully linearizable systems. International Journal of Control, 56, 1007-1037.

文献介绍了一种高增益观测器具有能够减小建模误差且快速构建系统状态，高增益观测器形式如下

()()x C y H d u x Bf Ax x ?,,0-++= , 其中观测器增益()0

,1,0,11

1221=++++∈??????=--r r r r T

r

r s s s H αααεεαε

αεα 方程的根具有负实

部。

[3] Stefen Hui, Stanislaw H.ak Z

.OBSERVER DESIGN FOR SYSTEMS WITH UNKNOWN INPUTS. Int. J. Appl. Math. Comput. Sci., 2005, Vol. 15, No. 4, 431–446. 针对如下述控制模型

??

?=++=Cx

y u B u B Ax x 2211

其中p m R u R u R y R x m m p n ≤∈∈∈∈221,,,,21若给出C ,B ,B A,21。若符合提条件：

())

(22B CB rank rank =成立，且存在矩阵G ，使得GC -A A 0=有稳定的特征值，

()F

F F T

T

P Q A P P A P B FC -=+=002,，其中P,Q 均为对称正定矩阵。Walcott 和Zak 提出了一

种观测器

()v B y x C G u B x x

211????+-++=A

其中x

?为观测器估计的系统状态，v 为观测器输入，且具有如下形式 ()()()()?????

=-≠---=0?0

0???x x

FC x x

FC x x FC x x FC v ρ

其中ρ是一个正的设计参数。

Walcott-Zak 鲁棒观测器实现时的困难在于找到增益矩阵G 和Lyapunov 矩阵P 。

[4] Karanjit Kalsi, Jianming Lian, Stefen Hui, Stanislaw H.ak Z

.Sliding-mode observers for systems with unknown inputs-A high term-gain approach. Automatica 46 (2010) 347-353 Karanjit Kalsi, Jianming Lian 对文献[4]的方法进行了改进，利用辅助输出(auxiliary

outputs)来构建观测器[7,8]能够突破限制条件。其改进方法如下： [5] 高为炳.变结构的控制理论及设计方法.北京：科学出版社,1996年

[6] Edwards, C.,&Spurgeon, S. K. (1998). Sliding mode control: Theory and

applications.London, UK: Taylor and Francis Group. [7] Floquet, T., Edwards, C., & Spurgeon, S. K. (2007). On sliding mode observers for systems

with unknown inputs. International Journal of Adaptive Control and Signal Processing, 21, 638-656.

[8] 张袅娜,冯勇,邱东,非线性不确定系统的鲁棒滑模观测器设计.控制理论与应用。2007年5

月，第24卷第五期。

()?

?

?=++=Cx y u x t f Bu Ax x

,, 其中非线性项f (t ,x ,u )满足匹配条件，()()[]T

t t B u x t f )2cos(2)2sin(2u x,t,,,ππξ==,因

此||ξ(t ,x ,u )||≤2. 其中||()u x,t,ξ||

滑模选择(),?y x

FC Me s -==其中主要是求参数F ，其算法： 1)选择0A 的谱，计算相应的矩阵G ； 2)用矩阵F 各个元素符号表示出矩阵M ；

3)根据式11

2012011M M A A A M --=以及希望的M A 矩阵的特征值，选取矩阵F 的各个元素．

其中

()()

()()

m

m m n m m

m n m n m n R

M R

M R

A R

A ?-??--?-∈∈∈∈21011011,,,

构造观测器()Bv y x C G Bu x A x

+--+=??? ，e

=Ae?Bξ +Bv 滑模控制(

)

(

)6.0,2,0,00

,

5.022==???

????=≠+-=ηββρη

η

MB s MB s s MB s MB

s MB s v T T

T

T

T

7 滑模观测器

例子4 文献（10）

7 Super Twisting sliding mode （超扭曲滑模）

1 高阶滑模理论

滑模控制具有算法简单，抗干扰性能好，尤其是它对扰动和参数变化的鲁棒性以 及进入滑模运动以后的完全自适应性，使得滑模控制受到了国内外控制界的普遍重视。但是，滑模存在一定的缺陷，最突出的就是‘抖振’问题，其次，传统的滑模控制——等效控制方法，实质上只考虑了执行机构的慢时变或平均作用。然而，忽略了执行机构的快时变动力学特性，往往会导致实际滑模控制系统的不稳定性，因此在实际应用中还应该适当考虑执行机构的快时变作用和滑模的高阶动态特性对系统性能的影响。针对传统滑模控制存在的上述缺陷，一些国外学者近年来提出了高阶滑模(Higher Order Sliding Mode)控制方法。高阶滑模是对经典滑模思想的扩展．它把不连续控制项作用于滑动模的高阶导数中而不影响它的一阶导数。

2 高阶滑模定义

设[]T

m σσσ,...,1=使n m R R -的完全完全平滑的约束函数且每一分量i σ直到i r 阶

的导数均为光滑函数：()T

m r r r ,...,~1=下列等式

()

()m i r i i i ,..,1,0,...,1===-σσ

σ （1）

定义的集合Ω在Filippov 意义下为一局部积分集，则在Ω上的运动模态称为是向量约束函数σ具有滑动阶r ~的滑动模，而称整数m r r r ++=...1为总的滑动阶数，如果此积分滑动集合是(渐近)稳定的，则称滑动模是(渐近)稳定的。对于

()R u R x u x g x f x

∈∈=+=,,)()(σσ 其中σ,,g f 为光滑函数. 使系统具有与输出变量σ有关的相关度r,这就意味着李导σσσ2,...,,-r h f g f g L L L L L 在给定的点的邻域内等于且在这点上01≠-σr h f L L 滑动的阶数实际上代表着滑动流形求导后连续的阶数，尤其刻画了系统动态在滑动面临近区域的光滑程度。这样，高阶滑模不仅具有传统滑模控制方法对非线性和及不确定因素的鲁棒性，最重要的是能够大大削弱滑模控制系统的抖振，另外，它考虑高阶动态特性和快时变动力学的影响，即使被控对象和控制设备存在缺陷，也可确保较高的准确度。

从理论上讲，系统运动轨迹到达滑模流行后就始终保持在其上运动，称这种滑动模为理想滑模；但在实际系统中，由于惯性、执行机构的切换滞后等非理想因素的存在，系统运动轨迹不可能保持在此滑模流行上运动，而是在滑模流行附近来回抖动。这种滑动模称为实际滑模。实际上，没有哪种控制方法可以使系统理想地保持在约束面上。从约束条件()0,=x t σ可得控制u ，控制开关u 的设计质量直接影响着滑动的精 3 二阶滑模

为了避免普通一阶滑模控制固有的抖动现象，可以采用高阶滑模控制技术。

Emelyanov 等人最早提出了对滑模变量的高阶微分的观点，并提出了二阶滑模算法，比如Twisting 算法，该算法是按指定控制律收敛[]。所谓Super —Twisting 算法，是针对系统滑模变量的相关度为[]提出的，该算法完全消除了抖动。Levant 描述了在二阶滑模控制中，滑模变量与开关延时时间的平方比关系，因此是一种比较好的高阶滑模控制方法[]。为了不失一般性，设控制系统空间状态方程为： 文献 1 Rajemanl ＆and Cho Y M ，Existence and design of observers for nonlinear ：relation to distance to unobservabiIity 【J 】．Int ．J ．Contr ．1998，69(5)：717．731．

()

??

?=+=t x h y u x g x f x ,)()(

其中：x 为状态变量，u 为控制输入信号，f,g 为光滑不确定函数，h 为输出函数。 根据定义3-l ，当且仅当系统轨迹位于状态空间两个流形0=σ和0=σ 的交界面 时，系统为二阶滑模动态。假设控制的目标是使()0,=t x σ，对σ两次求导得到

[][][][][]u

u

u x g x f x

u x g x f x σσσ

σσ??+

+??=+??=)()()()(

则二阶滑模流形定义为()()}{n R t x t x x ∈==∈=Ωχσσχ,0,,| 。超扭曲二阶滑模控

制的详细算法请参考。

8 高增益观测器

1 J. P . Gauthier, H. Hammouri, and S. Othman, “A simple observer for nonlinear systems applications to bioreactors,” IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 37, no. 6, pp. 875–880,

1992.

2 F. Deza, E. Busvelle, J. P . Gauthier, and D. Rakotopara, “High gain estimation for nonlinear systems,” Systems & Control Letters, vol. 18, pp. 292–299, 1992.

3 K. Busawon, M. Farza, and H. Hammouri , “Observer design for a special class of nonlinear systems,” International Journal of Control, vol. 71, pp. 405–418, 1998.

4 A. N. Atassi and H. K. Khalil,“A separation principle for the stabilization of a class of nonlinear systems,” IEEE Transactions o n Automatic Control, vol. 44, no. 9, pp. 1672–1687, 1999.

5 V .I. Utkin, Sliding Modes in Control and Optimizations, Springer-V erlag, Berlin, Germany, 1992.

6 J. P . Barbot, T. Boukhobza, and M. Djemai, “Sliding mode observer for triangular input form,” in Proceedings of the 35th IEEE Conference on Decision and Control, Kobe, Japan, 1996, pp. 1489–1490.

7 A. J. Koshkouei and A. S. I. Zinober, “Sliding mode state observation for non-linear systems,” International Journal of Control, vol. 77, no. 2, pp. 118–127, 2004.

8 B.L. Walcott, S.H. Zak, State observation of nonlinear uncertain dynamical systems, IEEE Transactions on Automatic Control 32 (2) (1987) 166–170.

9 Stefen Hui, Stanislaw H.ak Z

.OBSERVER DESIGN FOR SYSTEMS WITH UNKNOWN

INPUTS. Int. J. Appl. Math. Comput. Sci., 2005, Vol. 15, No. 4, 431–446.

10 K. C. V eluvolu, Y . C. Soh, W . Cao, and Z. Y . Liu, “Observer with multiple sliding modes for a class of nonlinear uncertain systems,” in Proceedings of the 24th American Control Conference, Portland, USA, June 2005, pp. 2445–2450.

11 S. V . Drakunov, “Sliding mode observers based on equivalent control method,” in Proceedings of the 31st IEEE Conference on Decision and Control, Tuscon, Arizona, 1992, pp. 2368–2369.

12 Kalyana C. V eluvolu, Dongik Lee. Sliding mode high-gain observers for a class of uncertain nonlinear systems. Applied Mathematics Letters 24 (2011) 329–334.

介绍了一类特殊的单输出非线性系统的滑模观测器,确保了未知输入相对输出的可观测性。

()()()();

,,,Cx y t x d x p x u x y s x =++=γα

()()()?????

?

???

???=-00,00,011

y s a y s x n αα 可设计观测器

()()()()()()()x C y sign t u t u x p x C y L x u x x x

r r ?,??,??-=+-++=ργα其中 增益阵L 可有下面的式子得出，

T

C S L 1

1

--Γ=θ

其中θS 是下面的Lyapunov equation 的唯一解，θ是一个正的设计参数(and θ is a positive parameter which can be chosen to overcome system constants and bounds)

0=-+=C C A S S A S T

T

θθθθ

其中A 是斜对角单位矩阵。[]

?

???

?

???????==Γ--n T

n a a a a a CA

CA C

12

11

10

1

()()()!

!!

,,1,1,1

1

2

r r n n C n j i C j i S r

n j i j j i j i -=

<<-=

++--+

+θ

θ;()()y s A y s ,,1

1

--Γ

Γ

=α

n n

l ,11θθγ=>

为系统矩阵的阶数

()d e y s a i +><<

a=factorial(n)=n!;或者gamma （n+1）;或者a=’(n+1)!’,

[13] Jeffrey H. Ahrens,Hassan K. Khalil.High-gain observers in the presence of measurement noise: A switched-gain approach. Automatica 45 (2009) 936-943. [14] Kalyana C. V eluvolu, Y eng Chai Soh, High-Gain Observers With Sliding Mode for State and Unknown Input Estimations. IEEE Transactions On Industrial Electronics, V ol.56,No.9,September 2009.

[15 ] Kalyana C. Veluvolu, Soh Yeng Chai. High Gain Observers with Multiple Sliding Mode

For State and Unknown Input Estimations. 2009 4th IEEE Conference on Industrial Electronics and Applications, ICIEA 2009, 1179-1186.

The unknown inputs are assumed to be bounded and not necessarily Lipschitz, and do not require any matching condition. A new nonlinear transformation is proposed and the observer design and analysis are performed in the transformed domain.By imposing a structural

assumption on the unknown input distribution matrix, the observability of the unknown inputs w.r.t. the outputs is safeguarded. In the multiple sliding mode, the disturbances/unknown inputs under the equivalent controls becomes the increments of the Lipschitzian functions, and the convergence of the estimation error dynamics can be proven similar to the analysis of a high-gain observer. Also, the unknown inputs can be reconstructed from the multiple sliding modes structurally. The observer in the original space is readily obtaine d by means of inverse transformation . Finally, simulation results are given to demonstrate the effectiveness of the proposed method.

假设未知输入有界但是不满足Lipschitz （李普希茨）连续性条件，而且观测器设计不需要满足匹配条件。一种新的非线性线性化变换方法

文献1,2针对单输出规范型可观测系统提出了高增益观测器的设计方法，文献3 针对一类特殊的不满足可线性化条件的非线性系统提出了常值增益观测器。由于高增益观测器具有能够估计未知状态和对输入干扰衰减的的能力，文献4中Khalil 和他的合作者进一步将高增益观测器和滑模控制用来设计反馈控制器，并且证明在存在建模误差和系统不确定性的情况下控制器的稳定性。

而另一方面滑模控制对外界干扰和系统参数不确定性具有较强的鲁棒性，最近几年在得到了广泛的关注。基于相似的原理滑模观测器在由于具有较强的鲁棒性和稳定性，在状态估计方面也有着广泛的应用，文献5,6,通过滑模面和等效控制的方法设计出了具有较强鲁棒性的滑模观测器。文献7对文献5,6的方法进行了扩展，对一类满足Lipschitz 条件的非线性系统设计滑模观测器。Walcott and Zak[8,9]考虑了存在不确定性和干扰的情况下系统的可观测性，在满足匹配性条件下用基于李亚普诺夫规则的方法构造一类线性系统的滑模观测器,文献11 S. V . Drakunov 通过对滑模观测器引入等效控制，但这种方法需要满足比如未知输入能够在线性变换后的坐标下解耦或者分立出来这样的结构条件，这些方法选择系统状态输出和状态估计的误差以及误差的高阶导数作为滑模面。本文提出了一种新的变换方法能够直接估计未知输入。

)()()()Cz

y t z d z p u z z a Az z =+++=,γ

针对变换后的系统，如果要使01→e ，则应当满足

.,1max

111θθθγ=+>=n

u l l n l a

[16] Floquet,T. Barbot, J.P . Super twisting algorithm-based step-by-step sliding mode observers for nonlinear systems with unknown inputs.2005,38(10),803-815. [17] Leonid Fridman1, Y uri Shtessel, Christopher Edwards and Xing-Gang Y an3. Higher-order sliding-mode observer for state estimation and input reconstruction in nonlinear systems. Int. J. Robust Nonlinear Control (in press),2007.

[17] J. Davi la, L. Fridman, and A. Levant, “Second -order sliding-mode observer for mechanical systems,” IEEE Trans. Autom. Control, vol. 50, no. 11, pp. 1785–1789, Nov. 2005.

()()u x x t u x x t f x

x x

,,,,,,2121221ξ+==

其中()u x x t ,,,21ξ为系统的不确定部分和干扰项等。

则构造观测器如下

()2212121,?,,???z u x x t f x

z x x

+=+=

其中：21??x x

和为估计状态，21z z 和是修正项，其表达式为 ()()????

?-?=--=112112/1111???x

x sign a z x x sign x

x z λ 假设观测器初始值是112?,0?x x x

==,定义,?,?222111x x e x x e -=-=得到估计误差方程 ()()()????

??-=-=1221212

/1121?,,,e sign a x x x t F e

e sign e e e

λ 这里()()()()，u x x t u x x t f u x x t f x x x t F ,,,,?,,,,,?,,,212121221ξ+-=

假设系统是BIBS(有界输入有界状态)稳定，即输入()21,,x x t U u =是有界的，则系统是有界的。那么存在常数η使得

()η<221?,,,x

x x t F 对于任何2221sup 2?,,x x

x x t ≤和都是成立的。 令分别满足不等式和λa :

()()

()

1

0,112<<

-++->

>p p p a a a ηη

λη

引理 1 假设观测器中的参数按照上述规则选取λα和，那么观测器状态能够在有限的时间内收敛到系统状态，即()()2121,?,?x x x x

→

在观测器中需要选取的参数主要是α和λ，通常由下面两个等式定义这两个参 数：2/121,ηαληαα==，其中5.1,1.121==αα是已经确定的数。

[18] K.C.V eluvolu,Y .C.Soh and W .Cao,Robust observer with sliding mode estimation for nonlinear uncertain systems. IET Control Theory and Applications,2007,1(5) 1533-1540. 对于如下非线性系统

()()()()?

??=++=x h y t x d x p u x b x f x ,~)(

如果满足精确线性化条件，精确线性化：考虑一个具有关系度r =n 的非线性系统， 相关度定义如下:

(1),0)(=x h L L k

f g 则对于x0的一个领域内的所有x ，以及k

即这个系统的关系度在某个点x =x 0恰好等于状态空间的维数。 在这种情况下，要求构造标准形的坐标变换由下式给出：

()()()()()???????

???????=?????????

???ΦΦΦ=-)()(121x h L x h L x h x x x x Φf

n f

n ，

经过线性化后得到如下系统

()()()()Cz

y t z d z p u z z a Az z =+++=,γ

假设 1:

其中：

()[]()()[]

()()()[]T n T n

f

n n n z z z x h L z a C I A γγγ,..,,,0...,,0,0,0,...,01,0011)1(1===?????

?=?-?-

()()()()()[]()()x h L L z p z p z p z p x h L L z i f p

i T

n i f b i 1

~11

,,..,,--===γ 则对线性化后的系统设计高增益观测器如下：

()()()z C y H u z z a z A z

?????-+++=γ 其中增益矩阵H 的形式()i T

r r T

H αεεαε

α

,1,0,1∈??????= 为使得方程011

1=++++--i r r r s s

s

ααα

有负的实部根的系数。（也可以根据A-H*C 为hurwitz 矩阵）

其改进的滑模观测器如下

()()()()()t u z p z C y H u z z a z A z

r ??????+-+++=γ 其中()()d e z

C y sign t u r +>-=max 2,?ρρ，

同时也可根据线性化前系统设计的观测器

()()()()()()()x h y sign x p x

h y L x x u x b x f x ??)?(??1

-+-??

?????Φ?++=-ρ ()ψ

λl P 21max ≤

;取2.0=ψl ;()d t x d ≤,,取1=d ;1=r u ;8.0max =u ;;01

=γl 01.0~=p

l 1=eq u ;143.0*

~=p

b ;01.0;5.1==ερ;;6;521==l l 001.0=δ [19] K. C. V eluvolu and Y . C. Soh, “Discret e-time sliding-mode state and unknown input estimations for nonlinear systems,” IEEE Trans. Ind.Electron., vol. 56, no. 9, pp. 3443–3452, Sep.

2009.

()()()[][]

()[]8.0,01

,5.10

,..,max 21

1==-==u z p x z z z T

T

T

n γγγ

??

????==??

?

???=?

???

??????---

=--2132

21322

2,2.2111θθθθθθ

θθ

θθ

θθ

θT

C S L S S ，这里取4=θ；则[]T L 168= ()())?(?)sin(8.0?5.1?)?2sin(4????111211*********x x sat x x l x x

x x x x x l x x

-?--+?--=-+=ρ

15 Xinhua Wang, Hai Lin. Design and frequency analysis of continuous finite-time-convergent differentiator. Aerospace Science and Technology, 20 May 2011.

where k1 = 6, k2 = 30, α = 0.2. Parameters: k1 = 2, k2 = 25, α = 0.6.

16 Y uri B. Shtessel, Ilya A. Shkolnikov, Arie Levant.Smooth second-order sliding modes: Missile guidance application. Automatica 43 (2007) 1470 – 1476. p =m +1, m 》1,p=3,m=2

17 另一种实时微分器(效果一般)

史永丽，侯朝桢. 改进的非线性跟踪微分器设计.控制与决策. 第23卷第6期. ()()

[]

()

[]

R

x R x

R

x x

R x

x x

q

p q

p //2/2

2

21/1

2

1221---+--==βαυυβα

：R=40，al=4，a2=4，p=1.8，

18 自己的方法由状态2观测状态1(有待继续研究)

()2212121,?,,???z u x x t f x

z x x

+=-=

其中：21??x x

和为估计状态，21z z 和是修正项，其表达式为 ()()????

?-?=--=222222

/1221???x

x sign a z x x sign x

x z λ