单调性学案(一)
2.1.3函数的单调性 分层学案（一）
主备人：郭艳 审核人：封新宽
注：带有*的题目是为学有余力的学生准备的，请同学们自己选择完成。
【学习目标】
1．能理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性．
2．能够利用定义或图象求函数的单调区间，能够利用函数的单调性解决有关问题。
3．通过本节课的学习，体会数形结合的数学思想．
【学习重点】 函数单调性的概念；会判断和证明一些简单的函数的单调性。
【学习难点】
函数单调性的证明。
学习过程
【知识回顾】
1.22
a b -=_____________；
2.=-33b a _____________；
3.正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数的解析式及图象。 【自主预习】
㈠ 作出函数x y =,x y -=,2x y =的图象，观察图象特征：
x y =的图象，自左向右是______，即函数值随着x 的增大而______；
x y -=的图象，自左向右是______，即函数值随着x 的增大而______；
2x y =的图象，在区间（-∞，0]上是______，即函数值随着x 的增大而______；在区间（0,+∞）上是______，即函数值随着x 的增大而______。
我们把具有这种性质的函数叫做增函数或减函数。
函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数是______，若图象是下降的，则此函数是_____________。
㈡ 阅读课本44页，你能默写出函数单调性的定义吗？
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
㈢ 阅读课本例1与例2，完成以下问题：
1.不看课本你能否独立完成两个例题的证明？
（1）证明函数()21f x x =+在R 上是增函数。
（2）证明函数1()f x x
=，在区间(,0),(0,)-∞+∞上分别是减函数。
2. 根据两个例题的证明，你能否给出证明函数单调性的一般步骤，在这些步骤中你认为最关键的地方是什么?
【自主探究】
1．如图是定义在区间[5,5]-]上的函数()y f x =，根
据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，
它是增函数还是减函数？
2.函数x
y 1=的单调递减区间是_________； 3．函数22y x x =-的单调增区间为_________；单调减区间为_________。
【典例剖析】
例1：画出反比例函数1()f x x
=的图象. （1）这个函数的定义域I 是什么？
（2）它在定义域I 上的单调性是怎样的？证明你的结论.
思考：函数1()f x x
=的单调区间可以写成(,0)(0,)-∞+∞ ？
讨论：判断函数单调性的方法步骤？
利用定义证明函数()f x 在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：
〖跟踪练习〗
证明函数()21f x x =-+在R 上是减函数.
例2. 证明函数x x y 1
+=在（1，+∞）上为增函数．
〖跟踪练习〗
1.证明函数11
)(+=x x f 在)1,(--∞上是单调减函数。
【课堂小结】
1.判断或证明函数单调性的方法：
2. 用定义证明函数单调性的严格步骤：
【当堂检测】
1．若函数b mx y +=在),(+∞-∞上是增函数，那么
（
） A.b>0 B. b<0 C.m>0 D.m<0
2．函数2x y -=的单调增区间为 （ ）
A.]0,(-∞
B.),0[+∞
C.),(+∞-∞
D.
),1(+∞- 3．下列函数在(0,1)上是增函数的是
A ．y ＝1－2x
B ．y ＝x －1
C ．y ＝－x 2＋2x
D ．y ＝5
*4．证明函数3)(x x f =在（-∞，+。
课后训练
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是∞）上是增函数
( )． A ．f (x )＝x
B ．g (x )＝－2x
C ．h (x )＝－3x ＋1
D ．s (x )＝1x
2．定义域在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有
f (a )－f (b )a －b ＞0，则必有( ) A ．函数f (x )先增后减
B ．函数f (x )先减后增
C ．函数f (x )在R 上是增函数
D ．函数f (x )在R 上是减函数
3．下列命题正确的是( )
A ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若存在x 1、x 2∈(a ，b )，使得x 1 B ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若有无穷多对x 1，x 2∈(a ，b )，使得x 1 C ．若f (x )在区间A 上为减函数，在区间B 上也为减函数，则f (x )在A ∪B 上也为减函数 D ．若f (x )在区间I 上为增函数且f (x 1) 4．给出下列命题：①y ＝1x 在定义域内是减函数； ②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数； ③y ＝－1x 在(－∞，0)上是增函数； ④y ＝kx 不是增函数就是减函数． 其中错误的命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3.3.1《函数的单调性与导数》教学案 教学目标： 1．了解可导函数的单调性与其导数的关系； 2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程： 一．创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． 二．新课讲授 1．问题：图3.3-1(1)，它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现： (1)运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>． (2) 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减 函数．相应地，'()()0v t h t =<． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在 点00(,)x y 处的切线的斜率． 在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的， 课题：函数单调性 知识梳理： 1、函数单调性的定义： 如果函数)(x f 对定义域内的区间I 内的任意21,x x ，当21x x <时都有 ，则()x f 在I 内是增函数；当21x x <时都有 ，则()x f 在I 内时减函数． 2、单调性的定义的等价形式： 设[]b a x x ,,21∈，那么()()()x f x x x f x f ?>--02 121在[],a b 是 函数； ()()()12120x x f x f x --(1x ，I x ∈2)． ① 比较函数值的大小； ② 可用来解不等式； ③ 求函数的值域或最值等． 4．证明或判断函数单调性的方法：讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究 函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集． 巩固练习 一、选择题 1、下列函数中，在区间)0,(-∞上是增函数的是 （ ） A ．842+-=x x y B ．)(log 2 1x y -= C ．12+- =x y D ．x y -=1 2、若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 A ．[)3,-+∞ B ．(],3-∞- C ．(],3-∞ D ．[)3,+∞ 3、函数()f x 在递增区间是()4,7-，则(3)y f x =-的递增区间是 （ ） A ．()2,3- B ．()1,10- C ．()1,7- D ．()4,10- 4、已知函数()x f 为R 上的减函数，则满足()11f x f 《函数的单调性与极值》教学案设计 教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 掌握利用导数判断函数单调性的方法； 教学重点：利用导数判断函数单调性； 教学难点：利用导数判断函数单调性 教学过程： 一 引入： 以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 1 2 极大值与极小值 观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。 一般地，设函数y=f(x)在0x x 及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 （ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， 高中数学复习学案函数的单调性 高考要求 了解函数单调性的概念，把握判定一些简单函数的单调性的方法会用函数单调性解决一些咨询题 知识点归纳 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容在复习中要肯于在对定义的深入明白得上下功夫 复习函数的性质，能够从〝数〞和〝形〞两个方面，从明白得函数的单调性定义入手，在判定和证明函数的性质的咨询题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用咨询题的过程中得以深化 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质函数的单调性是对某个区间而言的，因此要受到区间的限制 1函数单调性的定义： 2 证明函数单调性的一样方法: ①定义法：设2121,x x A x x <∈且；作差)()(21x f x f -〔一样结果要分解为假设干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清晰地判定出〕；判定正负号 ②用导数证明： 假设)(x f 在某个区间A 内有导数，那么()0f x ≥’ ，)x A ∈（ ?)(x f 在A 内为增函数；?∈≤)0)(A x x f ，（’ )(x f 在A 内为减函数 3 求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法 4复合函数[])(x g f y =在公共定义域上的单调性： ①假设f 与g 的单调性相同，那么[])(x g f 为增函数； ②假设f 与g 的单调性相反，那么[])(x g f 为减函数 注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集 5一些有用的结论： ①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内： 1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析： (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点； 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质． 函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质． 函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画． 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位． 教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）． (2)教学内容的知识类型； 在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识； 在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源； 生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+，能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置： 本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下： (1)知识与技能： 理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念； 能利用图象法直观判断函数的单调性； 函数的单调性与最值 导学目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值． 自主梳理 1．单调性 (1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 2.1.3 函数的单调性 学案 【预习要点及要求】 1.函数单调性的概念； 2.由函数图象写出函数单调区间； 3.函数单调性的证明 4.能运用函数的图象理解函数单调性和最值 5.理解函数的单调性 6.会证明函数的单调性 【知识再现】 1.22a b -=_____________ 2.=-33b a _____________ 3.=+33b a _____________ 【概念探究】 阅读课本44页到例1的上方，完成下列问题 1从直观上看，函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数是______，若图象是下降的，则此函数是_____________- 2不看课本，能否写出函数单调性的定义？ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3对区间的开闭有何要求？ 4如何理解定义中任意两个字？ 5一个函数不存在单调性，如何说明？ 6完成课后练习A 第1，2题 【例题解析】 阅读课本例1与例2，完成下列问题 1． 不看课本你能否独立完成两个例题的证明 （1） 证明函数()21f x x =+在R 上是增函数 （2） 证明函数1()f x x =，在区间(,0),(0,)-∞+∞上分别是减函数 2． 根据两个例题的证明，你能否给出证明函数单调性的一般步骤，在这些步骤中你认为最 关键的地方是什么？ 3有的同学证明1()f x x = 在(0,)+∞上是减函数时是这样证的，你是否认可其作法，为什么？ 证明：设120x x <<，则1211x x >，即12()()f x f x >，根据定义可得1()f x x =在(0,)+∞上是减函数 4完成课后练习A 第3，4题，习题2-1A 第5题 2.2.1函数的单调性（一）学案（含答案） 2.2函数的简单性质 2.2.1函数的单调性一学习目标 1.理解函数单调性.单调区间等概念. 2.会划分函数的单调区间，判断单调性. 3.会用定义证明函数的单调性知识点一函数的单调性设函数yfx的定义域为A，区间I A.1如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有fx1fx2，那么就说yfx在区间I上是单调增函数，I称为yfx 的单调增区间2如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有fx1fx2，那么就说yfx在区间I上是单调减函数，I称为yfx的单调减区间知识点二函数的单调区间如果一个函数在某个区间I上是单调增函数或单调减函数，就说这个函数在这个区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间提示1单调区间要写成区间形式，不能写成集合或不等式的形式2函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开3单调区间D定义域I.4遵循最简原则，单调区间应尽可能大题型一求单调区间并判断单调性例1求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是单调增函数还是单调减函数1fx；2fx3fxx22|x| 3.解1函数fx的单调区间为，0，0，，其在，0，0，上都是单调增函数2当x1时，fx是单调增函数，当x1时，fx是单调减函数，所以fx的单调区间为，1，1，，并且函数fx在，1上是单调减函数，在1，上是单调增函数3因为fxx22|x|3根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数fx的单调区间为，1，1,0，0,1，1，fx在，1，0,1上是单调增函数，在1,0，1，上是单调减函数反思感悟 1.求函数单调区间的方法1利用常见函数的单调性，如本例1和2，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；2利用函数的图象，如本例32若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例3跟踪训练11根据下图说出函数在每一单调区间上，函数是单调增函数还是单调减函数；2写出y|x22x3|的单调区间解1函数在1,0，2,4上是单调减函数，在0,2，4,5上是单调增函数2先画出fx的图象，如图所以y|x22x3|的单调减区间为，1，1,3；单调增区间为1,1，3，题型二证明单调性例2求证函数fxx在1，上是增函数考点函数的单调性的判定与证明题点定义法证明具体函数的单调性证明设x1，x2是1，上的任意实数，且1x1x2，则fx1fx2x1x1x2x1x2x1x2x1x 2.1x1x2，x1x20,1x1x2，0，故x1x20，即fx1fx20，即 fx1fx2fxx在区间1，上是增函数反思感悟定义法证明或判断函数 1.3.1利用导数判断函数的单调性学案编号：GEXX1-1T3-3-1 【学习要求】1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 【学法指导】结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想. 一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系： 导数函数的单调性 f′(x)>0单调递 f′(x)<0单调递 f′(x)＝0常函数 探究点一函数的单调性与导函数正负的关系 问题1观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？ 问题2若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？ 问题3(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题1中(4)的单调区间. (2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？ 例1已知导函数f′(x)的下列信息： 当1 (1)f (x )＝2x (e x －1)－x 2； (2)f (x )＝3x 2－2ln x . 跟踪训练2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 2 －ln x ； (2)f (x )＝e x x －2 ； (3)f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x <2π). 探究点二 函数的变化快慢与导数的关系 问题 我们知道导数的符号反映函数y ＝f (x )的增减情况，怎样反映函数y ＝f (x )增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？ 例3 如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象. 跟踪训练3 已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象只可能是 ( ) 【达标检测】 1.函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是 ( ) A.单调增函数 B.单调减函数 C.在????0，1e 上是减函数，在????1e ，6上是增函数 D.在????0，1e 上是增函数，在????1 e ，6上是减函数 2. f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是 ( ) 数学必修一函数的单调性学案 学习目标要求： 1.理解函数单调性的概念； 2.掌握判断函数单调性的一般方法； 3.体验数形结合思想在函数性质研究中的价值，掌握其应用。 一、函数单调性的概念 1：增函数 (1)定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1 (1)单调性是函数在定义域上的“整体”性质吗? 不是，由定义中“定义域I内某个区间D”知函数的单调递增区间或单调递减区间是其定义域的子集，这说明单调性是与“区间”紧密相关的，一个函数在定义域的不同区间可以有不同的单调性。 (2)定义中的“x1、x2”具备什么特征? 定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1,x2，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1 第四讲：函数的单调性 【 学习要求 1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性. 自学评价 观察函数x x f =)(，2)(x x f =的图象 从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的， 2 )(x x f =的图象在y 轴左侧是______的， )(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的. (2). x x f =)( 在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2)(x x f =在]0,(-∞ 上， f （x ）随着x 的增大而_______;2)(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着 x 的增大而________. 讲授新课 函数的单调性 ※ 增函数、减函数的定义 【经典范例】 例1 下图是定义在区间[-5，5]上的函数(x f y =根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？ 思维点拔: x )()(21x f x < )()(21x f x > 例2 证明:函数x x f 1)(=在),0(+∞上是减函数. 证明: 例3 物理学中的玻意耳定律V k p = （k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体,当其体积 V 减小时，压强p 将增大，试用函数的单调性证明之. 思维点拔: 只需证明函数V k p =在区间()+∞,0上是减函数即可. 归纳:用定义法证明函数单调性的一般步骤: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 【拓展训练】 1.下列函数中,在)0,(-∞上为减函数的是( ) A.y=3x B.y=-x 2 C.y=︱x ︱ D.y=2x+1 2.函数3)1()(-+=x k x f 在),(+∞-∞上单调递减，则k 的取值范围是（ ） A.k>0 B.k<0 C.k>-1 D.k<-1 3.函数1062 +-=x x y 在区间（1，4）上为（ ）函数. A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增 4．已知函数)(x f 在（－2，3）上是减函数，则有（ ） A.f(-1) 高中数学函数的单调性学案新人教B版必修1 一、三维目标： 知识与技能: （1）理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征； （2）能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明。 （3）理解函数的最值是在整个定义域上研究函数，体会求函数最值是函数单调性的应用之一。 过程与方法： 由一元一次函数、一元二次函数的图象，让学生从图象获得“上升”“下降”的整体认识；借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念，培养应用函数的单调性求解函数最值问题。 情感态度与价值观： 在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美。 二、学习重、难点： 重点：理解增函数、减函数的概念。应用函数单调性求函数最值。 难点：单调性概念的形成与应用。理解函数最值可取性的意义。 三、学法指导： 阅读自学课本P44——P46，完成下面问题： 1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： ○1 随x 的增大，y ○ 2 ○3 2． 1． f(x) = x ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? 在区间 ______上，随着x 的增大，f(x)2．f(x) = -2x+1 ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ______ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________。 3．f(x) = x 2 ○ 1在区间 ________ 上，f(x)的值随着x 的增大而 ________ 。 ○ 2 在区间 _______ 上，f(x)的值随着x 的增大而 ________ 。 4．画出下列函数的图象，标出图象的最高点或最低点及其坐标。 （1）32)(+-=x x f ，]2,1[-∈x （2）（3）2)(x x f =-2x-15, ]2,1[-∈x 四、学习过程： 2、2、1 函数的单调性 第一部分 走进预习 【预 习】教材第44～46页，了解： （1）增函数和减函数的定义：①图形语言 ②符号语言 （2）单调性和单调区间的定义 第二部分 走进课堂 【导 言】 从这一节开始我们研究函数的性质，函数的性质主要指单调性、奇偶性和周期性。我们首先来研究函数的单调性。 【探索新知】2、2、1函数单调性的定义 例子： 对于函数2)(x x f = 图形语言：在),0(+∞上，y 随x 的增大而增大； 在)0,(-∞上， y 随x 的增大而减小。 请同学们将图形语言改为符号语言，就得到增函数和减函数的定义。 ①增函数的定义： ②减函数的定义： 单调性和单调区间的定义： x y 1= 1)(=x f 利用单调性的图形语言可以判断下列函数的单调性： ①x x f 1)(= ②x x x f 2)(2-= ③||2)(2x x x f -= ④|2|)(2x x x f -= 例1、判断下列说法是否正确 （1）如图是)(x f y =的图像 取41-=x ，22=x 显然21x x <，],35[21-∈x x 、 )()(21x f x f < 所以)(x f y =在],35[-上是增函数。 （2）若)(x f y =在b)(a,上是增函数，在c)[b,上是增函数，于是)(x f y =在c)(a,上也是增函数。 例2、用函数单调性的定义证明 （1）32)(2++-=x x x f 在)4 1 ,(-∞上是增函数。 （2）1)(3 +-=x x f 在,0)(-∞上是减函数。 反思总结： 第三部分 走向课外 【课后作业】 1、证明1)(3+-=x x f 在),(+∞-∞上是减函数。 2、证明x x x f 4)(+ =在),2(+∞上是增函数。 3、证明1)(2+= x x x f 在,-1)(-∞上是减函数。 4、证明4)(2-= x x x f 在,2)2(-上是减函数。 高三数学一轮复习 15.导数的应用（一）单调性学案 【学习目标】 1．了解可导函数的单调性与其导数的关系． 2．导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性．每年高考都从不同角度考查这一知识点，往往与不等式结合考查． 预习案 函数的单调性 (1)设函数y＝f(x)在某个区间内，若f′(x) 0，则f(x)为增函数； 若f′(x) 0，则f(x)为减函数． (2)求可导函数f(x)单调区间的步骤： ①确定f(x)的；②求导数f′(x)； ③令f′(x) 0(或f′(x) 0)，解出相应的x的范围； ④当时，f(x)在相应区间上是增函数，当时，f(x)在相应区间上是减函数． 【预习自测】 1. 函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为． 2. 函数y＝1 2 x2－ln x的单调减区间为 ( ) A．(－1,1] B．(0,1] C．[1，＋∞) D．(0，＋∞) 3.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf′(x)的图像可能是 ( ) 4．已知函数f(x)＝x2(x－a)． (1)若f(x)在(2,3)上单调，则实数a的取值范围是； (2)若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的取值范围是． 5．已知f(x)＝sin x＋2x，x∈R，且f(1－a)＋f(2a)<0，则a的取值范围是． 6．若f(x)＝－1 2 x2＋b ln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是 ( ) A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1) 探究案题型一求函数的单调区间 例1. (1)求函数f(x)＝x2＋1 x－1 的单调区间．(2)求函数f(x)＝x＋21－x的单调区间． (3)求函数f(x)＝ 1 x ln x 的单调区间．（4）f(x)＝(x－1)e x－x2. 题型二讨论函数的单调性 例2已知函数f(x)＝.求f(x)的单调区间． 1.2.6 函数的单调性（1） 【学习目标】 １.能举例说明单调函数的意义； 2.能运用函数图象观察出单调区间，会运用函数单调性的定义来判断和证明函数在区间上的单调性； ３.能运用数形结合的思想来研究数学问题，激发学习数学的兴趣． 【学习重点】函数单调性、单调区间的概念，探究函数的单调性及单调区间． 【难点提示】理解单调性的本质、单调性的灵活运用. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材1516P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“九字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达. 【学习过程】 一、学习准备 １、熟悉下列函数吗？请作出它们的图象． （1）1)(-=x x f （2）1)(+-=x x f （3）32)(2--=x x x f 2、观察三个函数的图象，指出函数的图象上升与下降的特征以及函数值与自变量的大小变化的规律． （1）函数1)(-=x x f 的图象是 ，而且函数值y 随着x 的增大而 ； （2）函数1)(+-=x x f 的图象是 ，而且函数值随着x 的增大而 ； （3）函数()322 --=x x x f 的图象是 ，而且在区间(]1,∞-上函数值随x 的 增大而 ，在区间)( 1,+∞上函数值随x 的增大而 ． 二、探究新知 １、函数单调性的概念 （1）观察思考 请阅读教材第27至29页的内容，仔细观察图13中的函数图象，找出图象上升与下降的区间，分析函数值随自变量增大有什么变化规律． 你能结合学习准备探究的问题，把函数值与自变量之间的大小变化规律抽象出来吗？能用几种方式来描述呢？ （2）归纳概括 ① 图形描述：在给定的区间上，函数)(x f y =的图象从左至右，如果是连续上升的，就称y=f （x ）是增函数，如果是 的，就称)(x f y =是减函数； 函数的单调性导学案 学习目标 1．理解函数单调性概念； 2．掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性； 3．提高观察、抽象的能力． 学习重点 1．理解函数单调性概念； 2．掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性。 学习难点 掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性学习导航 一．学习探究 1.作出一次函数f(x)=x和二次函数f(x)=x2的图像并观察，说说当x增大时图像的升降情况。 (1)f(x)=x的图像 (2)f(x)=x2的图像在y轴的左侧，在y轴的右 侧。 (3)图像的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质：。 2.以二次函数f(x)=x2为例，结合其图像和下表，发现： （1）函数f(x)=x2的图像在y轴左侧是，即在区间（-∞，0）上，随着x的增大，相应的f(x)反而。可以描述为：在区间（-∞，0） 上，任取两个x 1,x 2 ，得到f(x 1 )=x 1 2,f(x 2 )=x 2 2,当x 1 ＜x 2 时，总有。这 时就说函数f(x)=x2在区间（-∞，0）上是函数。 （2）函数f(x)=x2的图像在y轴右侧是，即在区间（0，+∞）上，随着x的增大，相应的f(x)也随着。可以描述为：在区间（0，+∞） 上，任取两个x 1,x 2 ，得到f(x 1 )=x 1 2,f(x 2 )=x 2 2,当x 1 ＜x 2 时，总有。这时 就说函数f(x)=x2在区间（0，+∞）上是函数。 二．基本概念 1．单调增函数的定义（如图④）： 单调减函数的定义（如图⑤）: 3.单调区间: 2.1.3 函数的单调性 自主学习 学习目标 1．理解单调性的定义． 2．运用单调性的定义判断函数的单调性． 自学导引 1．增函数与减函数 一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间M ?A .如果取区间M 中的________________，改变量Δx ＝x 2－x 1>0，则当____________________时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是增函数(如图甲)，当____________________时，那么就称函数y ＝f (x )在区间M 上是减函数(如图乙)． 2．单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M 上是________或是________，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性，区间M 称为________________． 3．a >0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的单调递增区间为__________． 4．k >0时，y ＝kx ＋b 在R 上是________函数． 5．函数y ＝k x (k >0)的单调递减区间为________________． 对点讲练 知识点一 利用图象求单调区间 例1 求下列函数的单调区间． (1)f (x )＝3|x |； (2)f (x )＝|x 2＋2x －3|. 规律方法 函数的单调区间可以是开的，也可以是闭的，也可以是半开半闭的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也单调．因此，只要单调区间 端点使f (x )有意义，都可以使单调区间包括端点．但要注意，不连续的单调区间必须分开写，不能用“∪”符号连接它们． 变式迁移1 写出函数f (x )＝ax 2 |x | ＋1(a ≠0)的单调区间． 知识点二 利用定义证明函数的单调性 例2 证明：函数f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数． 规律方法 证明函数的单调性的常用方法是利用函数单调性的定义．其步骤为(1)取值(注意x 1、x 2的任意性)；(2)作差变形(目的是便于判断符号)；(3)判断差的符号；(4)写出结论． 变式迁移2 利用单调性的定义证明函数y ＝x －1x 在(0，＋∞)上是增函数． 知识点三 函数单调性的应用 例3 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3x (x ∈[2，＋∞))， (1)求f (x )的最小值； (2)若f (x )>a 恒成立，求a 的取值范围． 规律方法 运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．另外f (x )>a 恒成立，等价于f (x )min >a ，f (x ) 函数的单调性与导数导学案 【学习目标】 1、了解可导函数的单调性与其导数的关系. 2、掌握利用导数判断函数单调性的方法. 【学习重难点】 教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性. 教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性. 【学法指导】 运用导数这个工具研究函数的单调性，体会导数在研究函数中的应用，并与以前知识相比较，体会导数在研究函数中优越性。 知识链接 1．增函数、减函数的定义 一般地，设函数f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数． 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数．2．函数的单调性 如果函数y＝f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y＝f(x) 的单调区间． 在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的． 3.几类常见函数的导数 （1）常函数： ='C(C为常数)； （2）幂函数： = )' (n x(Q n∈) （3）三角函数：(sinx)＇= (cosx)＇= （4）对数函数的导数:(lnx)＇＝ = )' (log x a （5）指数函数的导数: = )' (x e= )' (x a （a>0,a≠1） 4.导数的几何意义 2( =≥y x x [课堂小结] 函数的导数与单调性:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a ，b ）内有导数,如果在这个区间内---------,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的-----函数;如果在这个区间内----------，那么函数y=f(x)在为这个区间内的-------函数. [当堂检测] 1判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: [拓展提升] 1.讨论二次函数 的单调区间. 2.求证: 函数 在（0，2）内是减函数 2(1) ()24; (2) (); x f x x x f x e x =-+=-332 (3) ()3; (4) ().f x x x f x x x x =-=--)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 762)(2 3+-=x x x f《3.3.1函数的单调性与导数》教学案
函数单调性学案(5)
《函数的单调性与极值》教学案设计
高中数学复习学案函数的单调性
人教版高中数学《函数的单调性与最值》教学设计全国一等奖
03 函数的单调性与最值学案学生版
高中数学：2.1.3函数的单调性学案新人教B必修
2.2.1函数的单调性(一)学案(含答案)
人教新课标版数学高二-数学选修2-2导学案 1.3.1利用导数判断函数的单调性
数学必修一函数的单调性学案
函数的单调性学案+练习(精华)
新人教B版必修1高中数学函数的单调性学案
函数的单调性导学案
高三数学一轮复习15.导数的应用(一)单调性学案
函数的单调性 学案
新人教版高中数学函数的单调性导学案
高一数学人教B版必修1：2.1.3 函数的单调性 学案
函数的单调性与导数导学案
相关文档
- 2.2.1函数的单调性(一)学案(含答案)
- 高一数学人教B版必修1：2.1.3 函数的单调性 学案
- 人教A版函数的单调性学案
- 《函数的单调性》教学设计
- 《3.3.1函数的单调性与导数》教学案
- 函数的单调性学案
- 函数的单调性学案+练习(精华)
- 2.1.3函数的单调性学案(
- 函数的单调性导学案(经典)
- 高二数学学案：函数的单调性与导数
- 03 函数的单调性与最值学案学生版
- 函数的单调性 学案
- 人教A版 函数的单调性 学案
- 人教B版高中数学必修一【学案9】函数的单调性
- 新人教B版高中数学必修1函数的单调性学案
- 数学必修一函数的单调性学案
- 《函数的单调性》学案
- 高中数学人教A版必修1数学初高中衔接课7函数单调性和最值学案(无答案)
- 函数的单调性导学案
- 《函数的单调性与极值》教学案设计