当前位置：搜档网 › 数学竞赛准备策略

数学竞赛准备策略

关于参加全国大学生数学竞赛的应对策略建议

(内部资料，严禁外传！)

2015年全国大学生数学竞赛再有一个多月就要举行了，现根据竞赛特点提出以下意见和建议，供参赛同学参考。

一、竞赛内容：高等数学上下册。近几年出现了高等数学教材中打*的内容

数学竞赛考察的内容属于高等数学的较高要求，题目既有基础的内容，也有提高的内容，具有较强的灵活性。下面就一些平时不要求但需要注意的内容进行一些说明，共大家参考。

1. 泰勒公式

泰勒公式是分析函数性质的重要工具，在整个微积分中起着重要作用。从某个角度讲，泰勒公式掌握的是否熟练，是检验一个人微积分水平的一个标志。泰勒公式在极限计算、级数敛散性判定、函数项级数和反常积分收敛、一致收敛、定积分等式证明、不定积分不等式证明中均起重要作用。因此参加数学竞赛的同学请务必熟练掌握泰勒公式，可以翻阅数学分析（数学系学生学习的）的有关参考书。也是培训的重要内容之一。

2. 微分中值定理

罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理现在教学要求中不要求掌握构造辅助函数证明等式不等式的题目。但是在研究生入学考试和数学竞赛中一直属于测试内容。特别是证明存在两个中值的题目一般教材没有，但是考研试题中屡屡出现，需要通过练习掌握其方法技巧。

3. 利用对称性计算多元函数的积分

在教材中要求不高但在考研中十分重要。包括区域对称性和轮换对称性在计算二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分中经常遇到，需要掌握。

4. 用定义计算或证明导数、偏导数、全微分

5. 各类积分的物理应用

6. 熟练掌握各类积分的计算，掌握格林公式、高斯公式、曲线积分与路径无关的条件等。

7. 空间解析几何中平面、直线的位置关系，用线性代数中有关秩的理论研究这些关系。

8. 微分方程的计算（经常与曲线积分、实际应用题目结合）

9. 级数的敛散性判别

10. 各类不等式的证明

二、补充知识点

1．利用Stolz定理求极限、利用定积分求极限、利用级数求极限、利用数列的变形求极限、利用单调有界定理证明数列极限存在及解方程法求极限、利用夹逼准则求带有积分号的极限、利用泰勒公式求极限（熟练掌握）。

2. 不等式证明：利用泰勒公式证明代数不等式、微分不等式、积分不等式（有些难度较大）；利用函数单调性、拉格朗日中值定理、极值最值、凹凸性、各类积分的估值性质、拉格朗日乘数法证明不等式、利用二重积分与定积分的关系证明定积分不等式。

3. 变换偏微分方程：利用变量代换化简常微分方程和偏微分方程（其中化简偏微分方程已经在以前竞赛题中出现过），包括只有自变量进行变换和自变量与因变量同时变换的题目（自变量和因变量同时变换的题目参考：吉米多维奇：数学分析习题集）

4. 用定义计算或证明函数在某点的可导性、多元函数的可微性、判断函数的间断点类型等。

′′′表

5. 反函数导数（前几年考研题出现过，竞赛中似乎还没有见到）：就是在高阶导数的习题中用,y y

示x对y的二阶导数、三阶导数（请参考前几年的一道考研题，与微分方程进行了综合）

6. 利用最大最小值定理、介值定理、中值定理证明某些结论。

7、全微分方程（在曲线积分中）

8．利用变量代换计算二重积分、三重积分（特别是广义极坐标变换求二重积分、广义球坐标变换计算三重积分）

9. 利用含参变量积分计算定积分（同济高数下册第五节）。

10. 函数项级数的一致收敛性（只需要会做同济下册第十二章第六节后习题4）

三、应对策略

1. 熟练掌握各类求导数公式（包括一元函数与多元函数中复合函数求导、隐函数求导、反函数求导数、偏导数等）、求积分公式，熟记基本初等函数的泰勒展开式。

2. 掌握有关概念，掌握各类积分的计算方法。

3. 请关注近年来研究生入学考试试题。前几届竞赛试题中多次出现考研题（有些就是原题）

4. 竞赛试题中难免有难度较大题目，在竞赛中可以选择放弃自己力所不能及的题目，把时间和精力用在自己能够解决的问题上。

四、补充说明

1. 要有足够信心。竞赛跟平时考试不同，不一定要及格。例如2012年山西省获奖分数为：

高等数学：42分以上为一等奖；35分以上为二等奖；30分以上为三等奖。上次数学协会摸底测试在50分以上的稍微下点功夫都可以冲击山西省一等奖。

2. 因中秋国庆等原因，数学竞赛培训只能放在国庆节后，但是参赛同学不能等到培训后才开始下功夫。要提前下功夫。我们认为：或者不参加，既然要参加就要下点功夫，取得自己满意的成绩。

3. 基本功需要每个同学各自夯实，培训重在提高。培训不是面面俱到，而是根据竞赛特点选择若干典型重要的专题进行讲授。根据前几年的情况，效果是令人满意的。

拟培训内容为：泰勒公式在各类问题中的应用；有关微分中值定理的题目；对称性在各类积分计算中的应用；各类求极限方法；各种不等式的证明；级数和微分方程的若干综合性题目；多元函数积分中的若干问题（变量代换、格林公式、高斯公式）、多元微分学的若干问题。

4. 培训目的是希望协助参赛同学获得理想成绩，但因培训要收费（培训教师的劳务、有关组织宣传服务），请有关同学根据本人经济条件和数学基础自愿报名。（不参加培训不影响参赛和成绩，数学竞赛由山西省数学会组织竞赛和阅卷等工作）

初中数学奥林匹克竞赛方法与测试试题大全

初中数学奥林匹克竞赛方法与试题大全

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

初中数学奥林匹克竞赛教程

初中数学竞赛大纲（修订稿）数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。素数和合数，最大公约数与最小公倍数。奇数和偶数，奇偶性分析。带余除法和利用余数分类。完全平方数。因数分解的表示法，约数个数的计算。有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式综合除法、余式定理。拆项、添项、配方、待定系数法。部分分式。对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形恒等式，恒等变形。整式、分式、根式的恒等变形。恒等式的证明。 4、方程和不等式含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。含绝对值的一元一次、二次方程的解法。

高中数学竞赛解题策略几何分册勃罗卡定理

第32章勃罗卡定理勃罗卡()Brocard 定理凸四边形ABCD 内接于O e ，延长AB 、DC 交于点E ．延长BC 、AD 交于点F ．AC 与BD 交于点G ．联结EF ，则OG EF ⊥．证法1如图321-，在射线EG 上取一点N ，使得N ，D ，C ，G 四点共圆（即取完全四边形ECDGAB 的密克尔点N ），从而B 、G 、N 、A 及E 、D 、N 、B 分别四点共圆．分别注意到点E 、G 对O e 的幂，O e 的半径为R ，则22EG EN EC ED OE R ?=?=-． 22EG GN BG GD R OG ?=?=-．以上两式相减得() 22222EG OE R R OG =---，即22222OE EG R OG -=-．同理，22222OF FG R OG -=-．又由上述两式，有2222OE EG OF FG -=-．于是，由定差幂线定理，知OG EF ⊥．证法2如图321-，注意到完全四边形的性质．在完全四边形ECDGAB 中，其密克尔点N 在直线EG 上，且ON EG ⊥，由此知N 为过点G 的O e 的弦的中点，亦即知O ，N ，F 三点共线，从而EN OF ⊥．同理，在完全四边形FDAGBC 中，其密克尔点L 在直线FG 上，且OL FG ⊥，亦有FL OE ⊥．于是，知G 为OEF △的垂心，故OG EF ⊥．证法3如图321-．注意到完全四边形的性质，在完全四边形ABECFD 中，其密克尔点M 在直线EF 上，且OM EF ⊥．联结BM 、CM 、DM 、OB 、OD ．此时，由密克尔点的性质，知E 、M 、C 、B 四点共圆，M 、F 、D 、C 四点共圆，即有BME BCE DCF DMF ∠=∠=∠=∠，从而9090BMO DMO DMF DCF ∠-∠=?-∠=?-∠ 11180909022BOD BOD BOD ??=?-∠-?=?-∠=∠ ??? ，即知点M 在OBD △的外接圆上．同理，知点M 也在OAC △的外接圆上，亦即知OM 为OBD e 与OAC e 的公共弦．由于三圆O e ，OBD e ，OAC e 两两相交，由根心定理，知其三条公共弦BD ，AC ，OM 共点于G ．即知O ，G ，M 共线，故OG EF ⊥．该定理有如下推论推论1凸四边形ABCD 内接于O e ，延长AB 、DC 交于点E ，延长BC 、AD 交于点F ，AC 与BD 交于点G ，直线OG 与直线EF 交于点M ，则M 为完全四边形ABECFD 的密克尔点．事实上，若设M '为完全四边形ABECFD 的密克尔点，则M '在EF 上，且OM EF '⊥．由勃罗卡定理，知OG EF ⊥，即OM EF ⊥．而过同一点只能作一条直线与已知直线垂直，从而OM 与OM '重合，即M 与M '重合．推论2凸四边形ABCD 内接于圆，延长AB 、DC 交于点E ，延长BC 、AD 交于点F ，AC 与BD 交于点G ，M 为完全四边形ABECFD 的密克尔点的充要条件是GM EF ⊥于M ．推论3凸四边形ABCD 内接于圆O ，延长AB 、DC 交于点E ，延长BC 、AD 交于点F ，AC 与BD 交于点G ，则G 为OEF △的垂心．事实上，由定理的证法2即得，或者由极点公式：22222EG OE OG R =+-，22222FG OF OG R =+-，22222EF OE OF R =+-两两相减，再由定差幂线定理即证．下面给出定理及推论的应用实例．例1（2001年北方数学邀请赛题）设圆内接四边形的两组对边的延长线分别交于点P ，Q ，两对角线交于点R ，则圆心O 恰为PQR △的垂心．

高中数学竞赛中数论问题的常用方法

高中数学竞赛中数论问题的常用方法数论是研究数的性质的一门科学,它与中学数学教育有密切的联系.数论问题解法灵活,题型丰富,它是中学数学竞赛试题的源泉之一.下面介绍数论试题的常用方法. 1.基本原理为了使用方便,我们将数论中的一些概念和结论摘录如下: 我们用),...,,(21n a a a 表示整数1a ,2a ,…,n a 的最大公约数.用[1a ,2a ,…,n a ]表示1a ,2a ,…,n a 的最小公倍数.对于实数x ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,用{x }=x -[x ]表示x 的小数部分.对于整数 b a ,,若)(|b a m -,,1≥m 则称b a ,关于模m 同余,记为)(mod m b a ≡.对于正整数m ,用)(m ?表示 {1,2,…,m }中与m 互质的整数的个数,并称)(m ?为欧拉函数.对于正整数m ,若整数m r r r ,...,,21中任何两个数对模m 均不同余,则称{m r r r ,...,,21}为模m 的一个完全剩余系；若整数)(21,...,,m r r r ?中每一个数都与m 互质,且其中任何两个数关于模m 不同余,则称{)(21,...,,m r r r ?}为模m 的简化剩余系. 定理1 设b a ,的最大公约数为d ,则存在整数y x ,,使得yb xa d +=. 定理2(1)若)(mod m b a i i ≡,1=i ,2,…,n ,)(m od 21m x x =,则 1 1n i i i a x =∑≡2 1 n i i i b x =∑； (2)若)(mod m b a ≡,),(b a d =,m d |,则 )(mod d m d b d a ≡； (3)若b a ≡,),(b a d =,且1),(=m d ,则)(mod m d b d a ≡； (4)若b a ≡(i m mod ),n i ,...,2,1=,M=[n m m m ,...,,21],则b a ≡(M mod ). 定理3(1)1][][1+<≤<-x x x x ； (2)][][][y x y x +≥+； (3)设p 为素数,则在!n 质因数分解中,p 的指数为 ∑≥1 k k p n . 定理4 (1)若{m r r r ,...,,21}是模m 的完全剩余系,1),(=m a ,则{b ar b ar b ar m +++,...,,21}也是模 m 的完全剩余系； (2)若{)(21,...,,m r r r ?}是模m 的简化剩余系,1),(=m a ,则{)(21...,,m ar ar ar ?}是模m 的简化剩余系. 定理5(1)若1),(=n m ,则)()()(n m mn ???=. (2)若n 的标准分解式为k k p p p n ααα (2) 121=,其中k ααα,...,21为正整数,k p p p ,...,21为互不相

初中数学竞赛教程

七年级第一讲有理数（一）一、【能力训练点】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0)||(0) a a a a a ≥?=? -≤? ② 非负性 2 (||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。二、【典型例题解析】： 1．如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 2.已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 22006 ()( )()x a b c d x a b c d -+++++-的值。 3.如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（） A.2a B.2a - C.0 D.2b 4.有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 5.设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0， b a ，b 的形式，求20062007a b +。

6.三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 7.若,,a b c 为整数，且2007 2007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。第二讲有理数（二）一、【能力训练点】： 1、绝对值的几何意义 ① |||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离。② ||a b -表示数a 、b 对应的两点间的距离。 2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。二、【典型例题解析】： 1．若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++- 2．试化简|1||2|x x +-- 3.若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。 4.已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++-求()f x 的最小值。 5．若|1|a b ++与2 (1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。

全国数学竞赛概述

数学竞赛意义数学竞赛是发现人才的有效手段之一。一些重大数学竞赛的优胜者，大多在他们后来的事业中卓有建树。因此，世界发达国家都十分重视数学竞赛活动。十余年来，我国中学数学竞赛活动蓬勃发展，其影响越来越大，特别是我国中学生在影响最大、水平最高的国际数学奥林匹克竞赛中，多次荣登榜首，成绩令世人瞩目，充分显示了中华民族的聪明才智和数学才能。了解国际赛史，熟悉国内赛况，认识数赛意义是必要的，也是有益的。在“普及的基础上不断提高”的方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未艾，特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩，使广大中小学师生和数学工作者为之振奋，热忱不断高涨，数学竞赛活动进入一个新的阶段，为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《数学竞赛大纲》以适应当前形势的需要。本大纲是在国家教委制定的“全日制中学数学教学大纲”的精神和基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出；“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性”。具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。在竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程度，有更高的要求。而“课堂教学。为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。因此，本大纲所列的课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，这样才能加强基础，不断提高。 —试全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。二试 1．平面几何基本要求：掌握初中竞赛大纲所确定的所有内容。补充要求：面积和面积方法。几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点——费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点——重心。三角形内到三边距离之积最大的点——重心。

高中数学竞赛解题方法篇(不等式)

高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1．排序不等式定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有 1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或 12...n b b b ===时成立.

（说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1 2 12...n r r n r S a b a b a b =+++。不等式 1 2 12...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有 .n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1）事实上， ()()()0n n n n n k r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥ 不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了 1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++. 再证不等式左端, 由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，得 1211(...)n n n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++

高中数学竞赛培训工作总结

高中数学竞赛培训工作总结篇一：高中数学竞赛精华(小结) 高中数学竞赛精华小结一、三角函数常用公式由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）：半角公式： sin 21cos 2 1cos 2 1cos1cossin 1cossin1coscos2tan 2 积化和差： sincos1sinsin 2 1cossinsinsin 2 1coscoscoscos 2 1sinsincoscos 2 和差化积： sinsin2sin

22 sinsin2cossin 22 coscos2coscos 22 coscos2sinsin 22 万能公式： cos sin22tan 21tan 1tan2cos2 21tan tan22tan 1tan2 三倍角公式： sin33sin4sin34sin60sinsin60 cos34cos33cos4cos60coscos60 二、某些特殊角的三角函数值除了课本中的以外，还有一些三、三角函数求值给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去。举个例子

246coscos 777 2提示：乘以2sin，化简后再除下去。 7求值：cos 求值：cos10cos50sin40sin80 来个复杂的设n为正整数，求证22sin i1ni2n1 2n12n 另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲。四、三角不等式证明最常用的公式一般就是：x为锐角，则sinxxtanx；还有就是正余弦的有界性。例求证：x为锐角，sinx+tanx 设xyz 12，且xyz 2，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值。注：这个题目比较难数列 1给递推式求通项公式 (1)常见形式即一般求解方法 ①an1panq 若p=1，则显然是以a1为首项，q为公差的等差数列，若p≠1，则两边同时加上qq，变为an1p1p1qpanp1 显然是以a1q为首项，p为公比的等比数列 p1

新人教版八年级数学竞赛教程附练习汇总(共15套)

新人教版八年级数学竞赛教程附练习汇总（共15套） 1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式,根据乘法分配律的逆运算,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时,取相同字母的最低次幂。（2）系数和各项系数的最大公约数,公因式可以是数、单项式,也可以是多项式。下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】 1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2 2 13 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数,一般要提出“－”号,使括号内的第一项系数是正数,在提出“－”号后,多项式的各项都要变号。解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 2 2 1323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式,如：当n 为自然数时,()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；,是在因式分解过程中常用的因式变换。解：a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22

) 243)((] 2)(2))[(() (2)(2)(222 223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368 987 521136898745613689872681368987123? +?+?+? 分析：算式中每一项都含有987 1368 ,可以把它看成公因式提取出来,再算出结果。解：原式)521456268123(1368987 +++?= =?=987 1368 1368987 3. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组23 532x y x y +=-=-?? ? ,求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。分析：不要求解方程组,我们可以把2x y +和53x y -看成整体,它们的值分别是3和-2, 观察代数式,发现每一项都含有2x y +,利用提公因式法把代数式恒等变形,化为含有2x y +和53x y -的式子,即可求出结果。解：()()()()()()()223322233253x y x y x x y x y x y x x y x y +-++=+-+=+- 把2x y +和53x y -分别为3和-2带入上式,求得代数式的值是-6。 4. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n,32322 2n n n n ++-+-一定是10的倍数。分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形,接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 3 23233222 222n n n n n n n n ++++-+-=+-- =+-+=?-?33122110352 22n n n n ()() Θ对任意自然数n,103?n 和52?n 都是10的倍数。 ∴-+-++3 2322 2n n n n 一定是10的倍数 5、中考点拨：例1。因式分解322x x x ()()--- 解：322x x x ()()---

山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第25章九点圆定理汇总

第25章九点圆定理九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆．如图25-1，设ABC △三条高AD ，BE ，CF 的垂足分别为D 、E 、F ，三边BC 、CA 、AB 的中点分别为L 、M 、N ，又AH 、BH 、CH 的中点分别为P 、Q 、R ，则D 、E 、F 、L 、M 、N 、P 、O 、R 九点共圆． H O Q L R N M P F E D C B A 图25-1 证法1联结PQ ，QL ，LM ，MP ，则1 2 L M B A Q P ∥∥，即知L M P Q 为平行四边形，又LQ CH AB LM ⊥∥∥，知LMPQ 为矩形．从而L 、M 、P 、Q 四点共圆，且圆心V 为PL 与QM 的交点．同理，MNQR 为矩形，从而L 、M 、N 、P 、Q 、R 六点共圆，且PL ，QM ，NR 均为这个圆的直径．由90PDL QEM RFN ∠∠=∠=?=，知D ，E ，F 三点也在这个圆上，故D 、E 、F 、L 、M 、N 、P 、Q 、R 九点共圆．证法2如图25-1，由1 1801802NQD BQD BHD ∠=?-∠=?-∠，以及注意到DE 是N 与R 的公共弦，知 NR DE ⊥，有1 2 N R D D R E C ∠= ∠=∠，亦即180NRD EHD ∠=?-∠，从而知 ()360180NQD NRD BHD EHD ∠+∠=?-∠+∠=?．因此，N 、Q 、D 、R 四点共圆．同理，Q 、L 、D 、R 四点共圆．即知N 、Q 、L 、D 、R 五点共圆．同理，L 、D 、R 、M 、E 以及R 、M 、E 、P 、F ；E 、P 、F 、N 、Q ；F 、N 、Q 、L 、D 分别五点共圆．故D 、E 、F 、L 、M 、N 、P 、Q 、R 九点共圆．证法3如图25-1．联结PL 、PN 、PQ 、PF 、LQ 、LF 、QN 、FL ，则90PDL ∠=?．注意到PN BH ∥，NL AC ∥，BE AC ⊥，则PN NL ⊥，即90PNL ∠=?．又PQ AB ∥，QL CH ∥，而CH AB ⊥，则QL PQ ⊥，即90PQL ∠=?．注意到PF PH =，则PFH PHF CHD ∠∠∠==．由LF LC =，有CFL HCD ∠∠=．因90CHD HCD ∠+∠?=，则90PFL PFH CFL ∠∠+∠?==．同理，PM L ∠、PEL ∠、PRL ∠皆等于90?．即D 、N 、Q 、F 、M 、E 、R 各点皆在以PL 为直径的圆周上．故D 、E 、F 、L 、M 、N 、P 、Q 、R 九点共圆．证法4如图25-1，注意到LQHR 为平行四边形，QP BA ∥，RP CA ∥，则么180180QLR QHR A QPR ∠=∠?-∠?∠==-，即知L 、Q 、P 、R 四点共圆．又180180QDR QDH RDH QHD RHD QHR A QPR ∠∠+∠∠+∠∠?∠?-∠====-=（注意QP BA ∥，

初中数学竞赛大纲(修订稿)

初中数学竞赛大纲（修订稿）中国数学会普及工作委员会制定数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制"初中数学教学大纲"精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出："要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。"具体作法是："对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能"，"要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力"。《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻"少而精"的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。素数和合数，最大公约数与最小公倍数。奇数和偶数，奇偶性分析。带余除法和利用余数分类。完全平方数。因数分解的表示法，约数个数的计算。有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式综合除法、余式定理。拆项、添项、配方、待定系数法。

小学数学工作总结

小学数学工作总结导读:本文小学数学工作总结,仅供参考,如果能帮助到您,欢迎点评与分享。老师想要提高学生得成绩,离不开教学过程中得教研工作。下面就是为大家整理得关于小学数学工作总结,供您参考。小学数学工作总结一一学期即将过去,可以说紧张忙碌而收获多多。总体瞧,全体数学教师认真执行学校教育教学工作计划,转变思想,积极探索,改革教学,在继续推进我校“自主——创新”课堂教学模式得同时,把新课程标准得新思想、新理念与数学课堂教学得新思路、新设想结合起来,收到很好得效果。一、课程标准走进教师得心,进入课堂我们怎样教数学《国家数学课程标准》对数学得教学内容,教学方式,教学评估教育价值观等多方面都提出了许多新得要求。无疑我们每位数学教师身置其中去迎接这种挑战,就是我们每位教师必须重新思考得问题。二、课堂教学,师生之间学生之间交往互动,共同发展。本学期我们每位数学教师都就是课堂教学得实践者,为保证新课程标准得落实,我们把课堂教学作为有利于学生主动探索得数学学习环境,把学生在获得知识与技能得同时,在情感、态度价值观等方面都能够充分发展作为教学改革得基本指导思想。把数学教学瞧成就是师生之间学生之间交往互动,共同发展得过程。在教研组长得带领下,紧

扣新课程标准,与我校“自主——创新”得教学模式。在有限得时间吃透教材,撰写教案,根据本班学生情况说课、主讲、自评;积极利用各种教学资源,创造性地使用教材,反复推敲完善出精彩得案例。实践表明,这种备课方式,既照顾到班集得实际情况,又有利于教师之间得优势互补,从而整体提高备课水平。课前精心备课,撰写教案,实施以后趁记忆犹新,回顾、反思写下自己执教时得切身体会或疏漏,记下学生学习中得闪光点或困惑,就是教师最宝贵得第一手资料,教学经验得积累与教训得吸取,对今后改进课堂教学与提高教师得教学水评就是十分有用。课前准备不流于形式,变成一种实实在在得研究,课后得反思为以后得教学积累了许多有益得经验与启示。综合起来瞧教学活动兼顾到知识教育与人文教育得与谐统一,而这些都并非就是一朝一夕就能完完成得。需要教师不断学习、不断修炼,提高文化水平与做人境界,这将就是一个长期而非常有价值得努力过程。我们在总结成绩得同时,不断反思教学,以科研促课改,以创新求发展,不断地将公开课上得精华延伸运用于日常教学实践。努力处理好数学教学与现实生活得联系,努力处理好应用意识与解决问题得重要性,重视培养学生应用数学得意识与能力。重视培养学生得探究意识与创新能力。常思考,常研究,常总结,以科研促课改,以创新求发展,进一步转变教育观念,坚持“以人为本,促进学生全面发展,打好基础,培养学生创新能力”,以“自主——创新”课堂教学模式得研究与运用为重点,努力实现教学高质量,课堂高效率。

初1数学竞赛教程含例题练习及答案⑾

初一数学竞赛讲座第11讲染色和赋值染色方法和赋值方法是解答数学竞赛问题的两种常用的方法。就其本质而言, 染色方法是一种对题目所研究的对象进行分类的一种形象化的方法。而凡是能用染色方法来解的题, 一般地都可以用赋值方法来解, 只需将染成某一种颜色的对象换成赋于其某一数值就行了。赋值方法的适用范围要更广泛一些, 我们可将题目所研究的对象赋于适当的数值, 然后利用这些数值的大小、正负、奇偶以及相互之间运算结果等来进行推证。一、染色法将问题中的对象适当进行染色, 有利于我们观察、分析对象之间的关系。像国际象棋的棋盘那样, 我们可以把被研究的对象染上不同的颜色, 许多隐藏的关系会变得明朗, 再通过对染色图形的处理达到对原问题的解决, 这种解题方法称为染色法。常见的染色方式有：点染色、线段染色、小方格染色和对区域染色。例1用15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片（如下图所示）, 能否覆盖一个8×8的棋盘？解：如下图, 将 8×8的棋盘染成黑白相间的形状。如果15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片能够覆盖一个8×8的棋盘, 那么它们覆盖住的白格数和黑格数都应该是32个, 但是每个“T”字形纸片只能覆盖1个或3个白格, 而1和3都是奇数, 因此15个“T”字形纸片覆盖的白格数是一个奇数；又每个“田”字形纸片一定覆盖2个白格, 从而15个“T”字形纸片与1个“田”字形纸片所覆盖的白格数是奇数, 这与32是偶数矛盾, 因此, 用它们不能覆盖整个棋盘。例2如左下图, 把正方体分割成27个相等的小正方体, 在中心的那个小正方体中有一只甲虫, 甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任何一个中去。如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次, 那么甲虫能走遍所有的正方体吗？

【数学竞赛各阶段书籍推荐】

金牌学生推荐（可参照选择）一、第零阶段：知识拓展《数学选修4-1：几何证明选讲》《数学选修4-5：不等式选讲》《数学选修4-6：初等数论初步》二、全国高中数学联赛各省赛区预赛（即省选初赛） 1、《五年高考三年模拟》B版或《3年高考2年模拟》第二轮复习专用 2、《高中数学联赛备考手册》华东师范大学出版社（推荐指数五颗星） 3、《奥赛经典：超级训练系列》高中数学沈文选主编湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星） 4、单樽《解题研究》（推荐指数五颗星） 5、单樽《平面几何中的小花》（个别地区竞赛会考到平几） 6、《平面几何》浙江大学出版社 7、奥林匹克小丛书第二版《不等式的解题方法与技巧》苏勇熊斌著三、第二阶段：全国高中数学联赛一试 0、《奥林匹克数学中的真题分析》沈文选湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星） 1、《高中数学联赛考前辅导》熊斌冯志刚华东师范大学出版社 2、《数学竞赛培优教程（一试）》浙江大学出版社 3、命题人讲座《数列与数学归纳法》单樽 4、《数列与数学归纳法》（小丛书第二版，冯志刚） 5、《数列与归纳法》浙江大学出版社韦吉珠 6、《解析几何的技巧》单樽（建议买华东师大出版的版本） 7、《概率与期望》单樽 8、《同中学生谈排列组合》苏淳 9、《函数与函数方程》奥林匹克小丛书第二版 10、《三角函数》奥林匹克小丛书第二版 11、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星） 12、《圆锥曲线的几何性质》 13、《解析几何》浙江大学出版社二试平几 1、高中数学竞赛解题策略(几何分册)沈文选（推荐指数五颗星）

2、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星） 3、奥林匹克小丛书第二版《平面几何》 4、浙大小红皮《平面几何》 5、沈文选《三角形的五心》 6、田廷彦《三角与几何》 7、田廷彦《面积与面积方法》不等式 8、《初等不等式的证明方法》韩神 9、命题人讲座《代数不等式》计神 10、《重要不等式》中科大出版社 11、奥林匹克小丛书《柯西不等式与平均值不等式》数论（9,10，11选一本即可，某位大神说二试改为四道题以来没出过难题） 12、奥林匹克小丛书初中版《整除，同余与不定方程》 13、奥林匹克小丛书《数论》 14、命题人讲座《初等数论》冯志刚组合 15、奥林匹克小丛书第二版《组合数学》 16、奥林匹克小丛书第二版《组合几何》 17、命题人讲座刘培杰《组合问题》 18、《构造法解题》余红兵 19、《从特殊性看问题》中科大出版社 20、《抽屉原则》常庚哲四、中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad）及以上命题人讲座《圆》田廷彦《近代欧式几何学》《近代的三角形的几何学》《不等式的秘密》范建熊、隋振林《奥赛经典：奥林匹克数学中的数论问题》沈文选《奥赛经典：数学奥林匹克高级教程》叶军《初等数论难题集》命题人讲座《图论》奥林匹克小丛书第二版《图论》《走向IMO》

初中数学竞赛大纲

初中数学竞赛大纲数学竞赛活动对于开发学生智力、开拓视野、促动教学改革、提升教学水平、发现和培养数学人才都有着积极的作用。这项活动也激励着广大青少年学习数学的兴趣，吸引他们去实行积极的探索，持续培养和提升他们的创造性思维水平。数学竞赛的教育功能显示出这项活动已成为中学数学教育的一个重要组成部分。为了使全国数学竞赛活动持久、健康地发展，中国数学会普及工作委员会于1994年制定了《初中数学竞赛大纲》这份大纲的制定对全国初中数学竞赛活动的展开起到了很好的指导作用，使我国初中数学竞赛活动日趋规范化和正规化。新的课程标准的实施在一定水准上改变了初中数学课程的体系、内容和要求。同时，随着国内外数学竞赛活动的发展，对竞赛活动所涉及的知识内容、思想和方法等方面也有了一些新的要求。为了使新的《初中数学竞赛大纲》能够更好地适合初中数学教育形势的发展和要求，经过广泛征求意见和多次讨论，中国数学会普及工作委员会组织了对《初中数学竞赛大纲》的修订。本大纲是在《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的精神和基础上制定的。在《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中提到：“……要激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新与实践；……要注重学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使每个学生都得到充分的发展；……”因为各种不同的因素，学生在数学知识、技能、水平方面和志趣上存有差异，教学中要承认这种差异，区别对待，因材施教，因势利导。应根据基本要求和通过选学内容，适合学生的各种不同需要；对学有余力的学生，要通过讲授选学内容和组织课外活动等多种形式，满足他们的学习愿望，发展他们的数学才能；鼓励学生积极参加形式多样的课外实践活动。学生的数学学习活动理应是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程，不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。教师要根据学生的不同基础、不同水平、不同兴趣和发展方向给予具体的指导，引导学生主动地从事数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，协助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学的思想和方法，获得广泛的数学活动经验。《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的基本要求。在竞赛中对同样的知识内容，在理解水准、灵活使用水平以及方法与技巧掌握的熟练水准等方面有更高的要求。“课堂教学为主，课外活动为辅”也是应遵循的原则。所以，本大纲所列的课程标准外的内容充分考虑到学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，重在培养学生的学习兴趣、学习习惯和学习方法，使不同水准的学生在数学上都得到相对应的发展，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提升的关系。 1、数：整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示性，约数个数的计算；

高中数学竞赛解题方法篇不等式

高中数学竞赛解题方法篇不等式 The pony was revised in January 2021

高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个着名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1．排序不等式定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有 1211...n n n a b a b a b -+++(倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或 12...n b b b ===时成立. （说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。

不等式1212...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到最大值 1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有 .n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+（1-1）事实上，不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++. 再证不等式左端, 由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，得即1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++. 例1（美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3 ()a b c a b c a b c abc ++≥. 思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设a b c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥ 根据排序不等式有：以上两式相加，两边再分别加上lg lg lg a a b b c c ++