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1.2.1 函数的概念(第一课时)
班级
姓名 时间 制作人:
课题
函数的概念
课 型
新 授 课
知识目标—— 通过丰富的实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系 的重要数学模型;用集合与对应的思想理解函数的概念;理解函数的三要素 及函数符号的深刻含义.
能力目标—— 培养学生观察、类比、推理的能力;培养学生分析、判断、抽
学习目标
重 点
难 点
学法指导
象、归纳概括的能力;强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想 情感目标——探究过程中,强化学生参与意识,激发学生观察、分析、探求 的兴趣和热情;体会由特殊到一般、从具体到抽象、运动变化、相互联系、 相互制约、相互转化的辩证唯物主义观点;逐渐形成善于提出问题的习惯, 学会数学表达和交流,发展数学应用意识;感受数学的抽象性和简洁美渗, 透数学思想和文化.
函数的概念、函数的三要素
函数概念及符号 y = f ( x ) 的理解
⑴先自学课本 15~18 页,尝试完成课本例题和练习题。 ⑵找准自学中存在的问题,以备课堂内解决。
一.知识链接:
1、在初中我们学习了哪几种基本初等函数?
一次函数,二次函数,反比例函数
2、在初中学习阶段,函数的定义是如何表述的?
在一个变化过程中,有两个变量x 与 y ,如果对于 x 的每一个值, y 都有唯一确定的值和它 对应,那么就说 x 是 y 的函数, y 叫自变量.
3、由上述定义你能判断“y=1”是否表示一个函数?函数 y=x 与函数 y = x 2 表示同一个函 x
数吗?
(学生思考、小组讨论)
教师点拨:仅用上述函数概念很难回答这些问题,我们需要从新的角度来认识函数概念。这 就是今天我们要学习的课题:函数的概念(板书)
二、新课探究:
1.实例感受:
实例一:一枚炮弹发射后,经过 26s 落到地面击中目标.炮弹的射高为845m ,且炮弹
距地面的高度 h (单位: m )随时间 t (单位: s )变化的规律是: y = 130t - 5t 2.
思考 1:(1). t 的范围是什么? h 的范围是什么?
(2). t 和 h 有什么关系?这个关系有什么特点?
(实例一由师生共同完成)
事实上生活中这样的实例有很多,随着改革开放的深入,我们的生活水平越来越高,
1
. x
需求越来越大,对环境的影响也越来越重,下面请同学们分析有关臭氧层空洞的问题和恩格
尔系数的问题:
实例二(多媒体展示内容)
师:(实例 2)引导学生看图,并启发:在 t 的变化范围内,任给一个 t ,按照给定的图象, 都有唯一的一个臭氧空洞面积 S 与之相对应。
生:动手测量,然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。
实例三:(多媒体展示内容)
通过先对两个实例的学生自学,然后请学生谈感受,老师提问,学生回答,师生共同完
成.
2.提出问题:
问题一:实例一、实例二、实例三的对应关系在呈现方式上有什么不同?
解析式,图像,表格(学生思考回答,老师补充)
问题二:以上三个实例有什么相同的特征?
学生活动:让学生分组讨论交流,总结归纳出:
共同特点:①都有两个非空数集 A, B ;
②两个数集之间都有一种确定的对应关系;
③对于数集 A 中的每一个 x ,按照某种对应关系 f ,在数集 B 中都有唯一确定的 y 值和它
对应.
问题三:满足以上共同特点的两个数集的对应关系,我们把它叫做什么呢?
(先让学生说,老师再做补充)
引导学生思考:在三个实例中,大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的
依赖关系,其中一个变量都是另一个变量的函数.
你能否用集合与对应的语言来刻画函数,抽象概括出函数的概念呢?
3. 函数的定义:
设 A 、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个 数 x ,在数集 B 中都有唯一确定的 f(x)和它对应,那么就称 f:A →B 为从集合 A 到集合 B 的 一个函数(function )记作 y=f(x).∈A .自变量 x 的取值范围 A 叫做函数的定义域(domain ); 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域(range ).
问题四:请同学们勾画出概念中的关键词,并用简洁的语言说明.
2
通过交流得出以下几点:
①A,B都是非空的数集;
②任意性与唯一性;
③确定的对应关系,对应关系f可以是解析式、图象、表格.
④值域C是集合B的子集
⑤不允许一对多,允许多对一
问题五:函数由几个要素?
三要素:定义域、值域、对应法则,缺一不可.
教师引导学生归纳总结:函数的三要素是定义域、值域及对应法则。在函数的三要素中,当其中的两要素已确定时,则第三个要素也就随之确定了。如当函数的定义域,对应法则已确定,则函数的值域也就确定了。
问题六:比较函数的近代定义与传统定义的异同点,你对函数有什么新的认识?
学生思考、讨论,教师点拨:
函数近代定义与传统定义在实质上是一致的,两个定义中的定义域与值域的意义完全相同。两个定义中的对应法则实际上也一样,只不过叙述的出发点不同,传统定义是从运动变化的
观点出发,近代定义的对应法则是从集合与对应的观点出发。
三、典型例题:
例1(1)判断下列关系是函数吗?
射击的次数123
击中的环数899
变式:下列四个图象中,是函数图象的是().
学生回答,教师分析:关键抓住函数的概念
3
2
x (3) y = x
例 2. 下列函数中哪个与函数 y = x 相等?
(1) y =
( x
)
(2) y =
3 3 2
(4) y =
x 2
x
师问:判断函数相等的依据是什么?
变式:若改(2)为 y = 3 t 3 呢?
思考:你能举出一些函数相等的具体例子吗?
变式:.判断下列函数是否相等,并说明理由:
(1) 表示炮弹飞行高度 h 与时间 t 关系的函数 h = 130t - 5t 2 和二次函数 y = 130 x - 5x 2 ;
(2)
y = 1 和 y = x 0
例 3.已知函数 f (x) = x + 3 +
1 x + 2
.
(1)求函数的定义域;
2
(2)求 f (-3), f (- ) 的值;
3
(3)当 a > 0 时,求 f (a), f (a - 1) 的
让学生思考,并提问个别学生。
师问:怎样求函数的定义域?
追问: f ( x ) 与 f (a) 有何区别与联系?
点拨: f (a) 表示当自变量 x = a 时函数 f ( x ) 的值,是一个常量,而 f ( x ) 是自变量 x 的函 数,它是一个变量, f (a) 是 f ( x ) 的一个特殊值。
四、课后达标检测
1.函数 y = f ( x ) 表示(
)
A . y 等于 f 与 x 的乘积 C . y 是 x 的函数
B . f ( x ) 一定是解析式
D .对于不同的 x , y 值也不同
2.集合 M = {x -2 ≤ x ≤ 2}, N = {y 0 ≤ y ≤ 2},给出下列四个图形,其中能表示以 M 为定
义域, N 为值域的函数关系的是(
).
y
2
y
2
y
2
y
2
-2 0
-2 0 2
-2 0
2
-2 0
x
x
x
A.
B.
C .
D.
2
x
4
y = x, y = 3 x 3
y =| x |, y = ( x ) 2
4. y 2 = 2 x , x ∈ x x ≥ 0} 是函数吗?
3.下列各组函数中,表示同一函数的是(
).
A. y = 1, y =
x
x
B. y = x -1 x +1, y = x 2
-1
C.
D.
{
5.求下列函数的定义域(1)
y = 4 - x 2 +
1
(2) f ( x ) = x 2 -1 + 1 - x 2
| x | -3
以学生回答、板演的形式进行,充分发挥师与生、生与生的互动,以教师、学生相互交流来
巩固本节课的学习。
五、小结
以同桌之间一人小结一人倾听的方式,以四人为一小组进行小组讨论,对本节课所学的内容
进行自主小结,教师及时进行归纳总结:
1.函数的近代定义与传统定义的异同点; 2.集合与函数的联系、区别; 3.函数的三要素; 4.数形结合的思想。
六、作业布置
学案第 11 页 A 组 选作 B 组
5