《大学物理》第二版课后习题答案第九章
习题精解
9-1.在气垫导轨上质量为m 的物体由两个轻弹簧分别固定在气垫导轨的两端，如图9-1所示，试证明物体m 的左右运动为简谐振动，并求其振动周期。设弹簧的劲度系数为k 1和k 2. 解：取物体在平衡位置为坐标原点，则物体在任意位置时受的力为 12()F k k x =-+ 根据牛顿第二定律有
2122()d x
F k k x ma m dt
=-+==
化简得
212
20k k d x x dt m
++
= 令2
12k k m
ω+=则22
20d x x dt ω+=所以物体做简谐振动，其周期
22T π
ω
=
=；
9-2 如图所示在电场强度为E 的匀强电场中，放置一电偶极矩P=ql 的电偶极子，+q 和-q 相距l ，且l 不变。若有一外界扰动使这对电荷偏过一微小角度，扰动消息后，这对电荷会以垂直与电场并通过l 的中心点o 的直线为轴来回摆动。试证明这种摆动是近似的简谐振动，并求其振动周期。设电荷的质量皆为m ，重力忽略不计。
解 取逆时针的力矩方向为正方向，当电偶极子在如图所示位置时，电偶极子所受力矩为 sin sin sin 22
l l
M qE qE qEl θθθ=--=- 电偶极子对中心O 点的转动惯量为
2
2
21
222
l l J m m ml ????=+= ? ?????
由转动定律知
2221sin 2d M qEl J ml dt
θθβ=-==?
化简得
222sin 0d qE
dt ml
θθ+= 当角度很小时有sin 0θ≈，若令2
2qE
ml
ω=
，则上式变为 ~
222sin 0d dt
θ
ωθ+= 所以电偶极子的微小摆动是简谐振动。而且其周期为
22T π
ω
=
= 9-3 汽车的质量一般支承在固定与轴承的若干根弹簧上，成为一倒置的弹簧振子。汽车为开动时，上下为自由振动的频率应保持在 1.3v Hz = 附近，与人的步行频率接近，才能使乘客没有不适之感。问汽车正常载重时，每根弹簧松弛状态下压缩了多少长度
解 汽车正常载重时的质量为m ，振子总劲度系数为k ，则振动的周期为2T π
=
率为1v T =
= 正常载重时弹簧的压缩量为
22220.15()44mg T g x g m k v
ππ====
9-4 一根质量为m ，长为l 的均匀细棒，一端悬挂在水平轴O 点，如图所示。开始棒在平衡
位置OO ，
处于平衡状态。将棒拉开微小角度后放手，棒将在重力矩作用下，绕O 点在竖直平面内来回摆动。此装置时最简单的物理摆。
若不计棒与轴的摩擦力和空气的阻力，棒将摆动不止。试证明摆角很小的情况下，细棒的摆动为简谐振动，并求其振动周期。
解 设在某一时刻，细棒偏离铅直线的角位移为θ，并规定细棒在平衡位置向右时θ为正，在向左时为负，则力矩为 .
1
sin 2
M mg l θ
=-
负号表示力矩方向与角位移方向相反，细棒对O 点转动惯量为2
13
J ml =
,根据转动定律有
222
11sin 23d M mgl J ml dt
θθβ=-== 化简得
223sin 02d g
dt l
θθ+= 当θ很小时有sin θθ≈，若令2
32g
l
ω=
则上式变为
222sin 0d dt
θ
ωθ+=
所以细棒的摆动为简谐振动，其周期为
22T π
ω
=
= >
9-5 一放置在水平光滑桌面上的弹簧振子，振幅2
210A m -=?，周期0.50T s =，当t=0时， （1）物体在正方向的端点； （2）物体在负方向的端点；
(3) 物体在平衡位置，向负方向运动; (4）物体在平衡位置，向负方向运动; (5)物体在2
1.010x m -=?处向负方向运动
(6)物体在21.010x m -=-?处向正方向运动。求以上各种情况的振动方程。 解 由题意知2122.010,0.5,4A m T s s T
π
ωπ--=?==
= （1）由初始条件得初想为是10?=,所以振动方程为
2210cos 4()x m π-=?
"
（2）由初始条件得初想为是2?π=，所以振动方程为
2210cos(4)()x t m ππ-=?+
（3）由初始条件得初想为是32
π?=，所以振动方程为
2210cos(4)()2
x t m π
π-=?+
（4）由初始条件得初想为是432
π
?=，所以振动方程为
23210cos(4)()2
x t m π
π-=?+
（5）因为2052110cos 0.5210x A ?--?===?，所以55,33ππ?=，取53
π?=（因为速度小于零），所以振动方程为
2210cos(4)()3
x t m π
π-=?+
（6）2062110cos 0.5210x A ?---?===-?，所以624,33ππ?=，取643
π?=（因为速度大于零），
所以振动方程为
24210cos(4)()3
x t m π
π-=?+
\
9-6一质点沿x 轴做简谐振动，振幅为0.12m ，周期为2s ，当t=0时，质点的位置在0.06m 处，且向x 轴正方向运动，求； （1）质点振动的运动方程；
（2）t=时，质点的位置、速度、加速度；
（3）质点x=-0.06m 处，且向x 轴负方向运动，在回到平衡位置所需最短的时间。 解 （1）由题意可知：0020.12,,cos A m x A T πωπ?====可求得03
π
?=-（初速度为零），所以质点的运动方程为
0.12cos 3x t ππ?
?=- ??
?
（2）
0.50.12cos 0.50.1()3t x m ππ=?
?=-= ??
?
任意时刻的速度为
0.12cos 3v t ππ?
?=-- ??
?
所以
*
10.50.12cos 0.50.19()3t v m s ππ-=?
?=--=-? ???
任意时刻的加速度为
20.12cos 3a t πππ?
?=-- ??
?
所以
()220.50.12cos 0.5 1.03t a m s πππ-=?
?=--=-? ??
?
（3）根据题意画旋转矢量图如图所示。
由图可知，质点在x=-0.06m 处，且向x 轴负方向运动，再回到平衡位置相位的变化为
325236?πππ?=-=
所以
()5
0.8336
t s ?
ω
??=
=
≈
9-7 一弹簧悬挂0.01kg 砝码时伸长8cm ，现在这根弹簧下悬挂0.025kg 的物体，使它作自由
振动。请建立坐标系，分析对下述3种情况列出初始条件，求出振幅和初相位，最后建立振动方程。
（1）开始时，使物体从平衡位置向下移动4cm 后松手；
（2）开始时，物体在平衡位置，给以向上的初速度，使其振动；
（3）把物体从平衡位置向下拉动4cm 后，又给以向上1
21cm s -?的初速度，同时开始计时。 解 （1）取物体处在平衡位置为坐标原点，向下为x 轴正方向，建立如图所示坐标系。 系统振动的圆频率为
()17s ω-=
=== 根据题意，初始条件为
01
40x cm v cm s -=??=??
振幅4A cm =
=，初相位10?=
;
振动方程为
4cos7()x t m =
（2）根据题意，初始条件为
01
021x cm
v cm s -=??=-??
振幅3A cm ==，初相位22
π
?=
振动方程为
3cos(7)()2
x t m π
=+
（3）根据题意，初始条件为
01
0421x cm
v cm s
-=??=-??
振幅5A cm =
=，0
30tan 0.75v x ?ω
=-
=，得30.64?= )
振动方程为
5cos(70.64)()x t m =+
9-8 质量为0.1kg 的物体，以振幅2
1.010A m -=?做简谐振动，其最大加速度为2
4.0m s
-?，
求：（1）振动周期；（2）通过平衡位置时的动能；（3）总能量。 解 （1）简谐振动的物体的最大加速度为
2max a A ω=
()1
20s ω-=
==，所以周期为()220.31420
T s ππω===。 （2）做简谐振动的物体通过平衡位置时具有最大速度
max v A ω=
所以动能为
()()222223max 1110.1 1.010********
k E mv mA J ω--===????=?
}
（3）总能量为
()3210k E E J -==?总
9-9 弹簧振子在光滑的水平上面上做振幅为0A 的简谐振动，如图所示，物体的质量为M ，弹簧的劲度系数为k ，当物体到达平衡位置且向负方向运动时，一质量为m 的小泥团以速度
v '从右打来，并粘附于物体之上，若以此时刻作为起始时刻，求： （1）系统振动的圆频率；
（2）按图示坐标列出初始条件； （3）写出振动方程；
解 （1）小泥团粘附于物体之后与物体一起做简谐振动，总质量为M+m ，弹簧的劲度系数为k ，所以系统振动的圆频率为
ω=
（2）小泥团粘附于物体之上后动量守恒，所以有
()0Mv mv M m v '--=+
<
0Mv mv v M m
'
+=-
+
按图所示坐标初始条件为000x Mv mv v M m =??
'+?=-?+?
（3）根据初始条件，系统振动的初相位为2
π
?=；假设，系统的振动振幅为A ，根据能量
守恒，有
()222
0111()222Mv mv kA M m v M m
'+=+=+