古典概型题型归纳

题型一 古典概型

1袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于

（A ）15 （B ）25 （C ）35 （D ）45

2从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 （A ）

110 （B ）310 （C ）35 （D ）910

3盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个.若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______.

4从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 5从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为

22的概率是___________。

6三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）

7现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3 为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．

题型二 几何概型

1如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一

个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于（ ）

（A ）．14 （B ）. 13 （C ）. 12 （D ）. 23

2如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆。在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是

A. B. . C. D.

3设不等式组??

?≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是

（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44

π- 4小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于

12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于

14

，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不．在家看书的概率为 .

5已知圆C ：，y x 1222=+直线l ：4x+3y=25.

（1）圆C 的圆心到直线l 的距离为_____；

（2）圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为____

题型三 大题题型

1某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下： X 1 2 3

4 5 f

a 0.2 0.45

b c

(I)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a,b,c 的值； (II)在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1,x 2,x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1,y 2，现从x 1,x 2,x 3,y 1,y 2,这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.

2袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.

(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；

(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.

3甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.

（I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；

（II）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.

4某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格.假设此人对A 和B两种饮料没有鉴别能力.

（1）求此人被评为优秀的概率；（2）求此人被评为良好及以上的概率.

5以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.

（Ⅰ）如果X =8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；

（Ⅱ）如果X =9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率. （注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n

=-+-++- ，其中x 为12,,,n x x x 的平均数）

6如图，从A 1（1,0,0），A 2（2,0,0），B 1（0,1,0,）B 2（0,2,0），C 1（0,0,1），C 2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点。

（1） 求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；

（2） 求这3点与原点O 共面的概率。

甲组 乙组

9 9 0 X 8 9

1 1 1 0

高二数学几何概型知识与常见题型梳理

几何概型知识与常见题型梳理 几何概型和古典概型是随机概率中两类主要模型，是概率考查中的重点，下面就几何概型的知识与常见题型做一梳理，以期能使读者对于这一知识点做到脉络清晰，条理分明。 一 基本知识剖析 1.几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。 2.几何概型的概率公式： P （A ）= 积） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积） 的区域长度（面积或体构成事件A ； 3.几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等． 4.几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度（或面积、体积等）有关，即试验结果具有无限性，是不可数的。这是二者的不同之处；另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。 通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要核是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提。因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形的长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积（体积）和角度等”之比来表示。下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。 二 常见题型梳理 1.长度之比类型 例1. 小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小赵等车时间不多于10分钟的概率． 例2 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，求这个正方形的面 积介于36cm 2 与81cm 2 之间的概率． 2.面积、体积之比类型 例3. （08江苏高考6）.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为 。

概率知识点总结

概率知识点总结 随机现象：在一定条件下可能发生也可能不发生的现象。 随机试验：对随机现象进行的观察或实验统称为随机试验。 样本点：随机试验的每个可能出现的实验结果称为这个试验的一个样本 样本空间：所有样本点组成的集合称为这个试验的样本空间。 随机事件：如果在每次试验的结果中，某事件可能发生，也可能不发生， 则这一事件称为随机事件。 &必然事件：某事件一定发生，则为必然事件。 9、不可能事件：某事件一定不发生，则为不可能事件。 10、基本事件：有单个样本点构成的集合称为基本事件。 11、任一随机事件都是样本空间的一个子集，该子集中任一样本点发生, 则该事件发生。利用集合论之间的关系和运算研究事件之间的关系和运算。 事件的包含A 互不相容事件（互斥事件） AI B 1、 确定性现象：在一定条件下必然出现的现象。 2、 3、 概率论：是研究随机现象统计规律的科学。 4、 5、 占 八 6、 7、 事件的并（和） AUB 事件的交（积） AI B 事件的差A B A A B A B

(7)完备事件组：事件A,A 2,L ,A n 两两互不相容，且AUAUL U A n (8)事件之间的运算规律：交换律、结合律、分配率、 De Morgan 定理 12、概率 P( ) 1 , P( ) 0 如果 A I ,A 2,L ,A n 两两互不相容，则 P (AUAUL U A n ) P (A i ) P(A 2)L P (AJ 如果A,B 是任意两个随机事件，则P(A B) P(A) P(AB) P (AUB) P(A) P (B) P (AB) n P(A)P(A j )P(A k ) L ( 1)n1 P(A ,A 2L A n ) 1 i j k n 12、古典概型 每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，即样本空间是有限集 每次试验中，每一个结果发生的可能性相同 P(A) A 包含的基本事件数 I 丿试验的基本事件总数 13、条件概率：P HB)篇为事件B 发生的条件下’事件A 发生的条件 概率 力口法公式：P (AUB) P (A) P (B) P (AB)，若 A, B 互斥，贝 Jp( AUB) P (A) P(B) (6)对立事件(互逆事件) AUB AI B ，记 B A 如果 B A ，贝J P(A B) P(A) P(B) P (AUBUC) P (A) P (B) P(C) P (AB) P (AC) P (BC) P (ABC) n P(A 1 UAUL U AJ P(A) i 1 1 i j P(A) P(A j )

几何概型的常见题型

几 何 概 型 的 常 见 题 型 李凌奇2017-06-26 1．与长度有关的几何概型 例1．在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2 cos x π的值介于0到 2 1 之间的概率为( ). A.31 B.π2 C.21 D.3 2 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件. 解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2 x π的值介于0到 2 1 之间, 需使2 23x π ππ - ≤ ≤- 或 322x π ππ ≤ ≤ ∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为3 2 ， 由几何概型知使cos 2x π的值介于0到2 1 之间的概率为 3 1232 ===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A. 2．与面积有关的几何概型 例2．ABCD 为长方形，1,2==BC AB ，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（ ） A ． 4 π B.14 π - C. 8 π D.18π - 分析：由于是随机的取点，点落在长方形内每一个点的机会是等可能的，基本事件是无限多个，所以符合几何概型. 解：长方形面积为2,以O 为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为 2 π 因此取到的点到O 的距离大于1的面积为2 2π -， 则取到的点到O 的距离大于1的概率为 A O D C B 1 图

高二数学古典概型知识点

2019学年高二数学古典概型知识点 古典概型是一种概率模型，是概率论中最直观和最简单的模型，小编准备了高二数学古典概型知识点，具体请看以下内容。 知识点总结 本节主要包括古典概型的特征、古典概型的概率计算公式等主要知识点。其中主要是理解和掌握古典概型的概率计算公式，这个并不难。 1、古典概型 (1)定义：如果试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，并且每个基本事件出现的可能性相等，则称此概率为古典概型。 (2)特点：①试验结果的有限性②所有结果的等可能性 (3)古典概型的解题步骤; ①求出试验的总的基本事件数 ; ②求出事件A所包含的基本事件数 ; 2、基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的;②任何事件都可以表示成基本事件的和(不可能 事件除外)。 常见考法 本节在段考中，一般以选择题、填空题和解答题的形式考查

古典概型的特征、古典概型的概率计算公式等知识点，属于中档题。在高考中多融合在离散型随机变量的分布列中考查古典概型的概率计算公式，属于中档题，先求出各个基本量再代入即可解答。 误区提醒 在求试验的基本事件时，有时容易计算出错。基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的;②任何事件都可以表示成基本事件的和(不可能事件除外)。 【典型例题】 例1 如图，四边形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，若每个小三角形用4种不同颜色中的任一种涂染，求出现相邻三角形均不同色的概率. 解：若不考虑相邻三角形不同色的要求，则有44=256(种)涂法，下面求相邻三角形不同色的涂法种数：①若△AOB与△COD同色，它们共有4种涂法，对每一种涂法，△BOC与△AOD各有3种涂法，所以此时共有433=36(种)涂法.②若△AOB与△COD不同色，它们共有43=12(种)涂法，对每一种涂法△BOC与△AOD各有2种涂法，所以此时有4322=48(种)涂法.故相邻三角形均不同色的概率 例2 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地

古典概型,几何概型深刻复习知识点和综合知识题

知识点一：变量间的相关系数 1.两变量之间的关系 (1)相关关系——非确定性关系 (2)函数关系——确定性关系 2.回归直线方程：∧ ∧ ∧ +=a x b y ?? ??????? -=--=---=∧∧====∧∑∑∑∑x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i ,)())((1 2 21 121 例题分析 例1：某种产品的广告费x （单位：百万元）与销售额y （单位：百万元）之间有一组对应数据如下表所示，变量y 和x 具有线性相关关系： x （百万元） 2 4 5 6 8 y （百万元） 30 40 6 50 70 （1）画出销售额与广告费之间的散点图；（2）求出回归直线方程。 针对练习 1、对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图左；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图右. 由这两个散点图可以判断（ ）

（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 2．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（ ） （1） （2） （3） （4） A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（4） D ．（2）（3） 3. 下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表： 气温/℃ 18 13 10 4 -1 杯数 24 34 39 51 63 若热茶杯数y 与气温x 近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（ ） A. 6y x =+ B. 42y x =+ C. 260y x =-+ D. 378y x =-+ 知识点二：概率 一、随机事件概率： 事件：随机事件：可能发生也可能不发生的事件。 确定性事件: 必然事件（概率为1）和不可能事件（概率为0） （1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件； （4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件； 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈

古典概型和几何概型专题训练[答案解析版]

古典概型与几何概型专题训练 1.在集合{} 04M x x =<≤中随机取一个元素，恰使函数2log y x =大于1的概率为( ) A ．1 B. 14 C. 12 D. 34 答案及解析：1.C 2.考虑一元二次方程2 0x mx n ++=，其中,m n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数,则方程有实根的概率为( ) A. 3619 B.187 C.94 D.36 17 答案及解析：2.A 3.如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形， 直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则 小花朵落在小正方形内的概率为 A . 117 B .217 C .317 D .4 17 答案及解析：3.B . 因为大正方形的面积是34，所以大正方形的边长是34，由直角三角形的较短边长为 3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4.所以 小花朵落在小正方形内的概率为42 3417 P = =.故选B . 【解题探究】本题考查几何概型的计算. 几何概型的解题关键是求出两个区间的长度（面积或体积），然后再利用几何概型的概率计算公式 ()= A P A 构成事件的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 求解．所以本题求小花朵落在小正 方形内的概率，关键是求出小正方形的面积和大正方形的面积. 4.如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格（若它在5处，跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可以等机会进入1，2，4，5处），则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是（ ）

最新统计概率知识点归纳总结大全

统计概率知识点归纳总结大全 1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义． 2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. 3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率． 4．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率． 5． 掌握离散型随机变量的分布列. 6．掌握离散型随机变量的期望与方差. 7．掌握抽样方法与总体分布的估计. 8．掌握正态分布与线性回归. 考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： （1） 计算一次试验的基本事件总数n ; （2） 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; （3） 依公式()m P A n =求值; （4） 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B ); 特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.

(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 考点2离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……，ξ取每一个值i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表.

几何概型的五类重要题型

剖析几何概型的五类重要题型 解决几何概型问题首先要明确几何概型的定义，掌握几何概型中事件A 的概率计算公 式:积等） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积等）的区域长度（面积或体构成事件）（A A P = .其次要学会构造随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率． 1.几何概型的两个特征： (1)试验结果有无限多； (2)每个结果的出现是等可能的． 事件A 可以理解为区域Ω的某一子区域，事件A 的概率只与区域A 的度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关． 2..解决几何概型的求概率问题 关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率． 3.用几何概型解简单试验问题的方法 (1)适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解． (2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D. (3)把随机事件A 转化为与之对应的子区域d. (4)利用几何概型概率公式计算． 4.均匀随机数 在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率．一般地．利用计算机或计算器的rand （）函数可以产生0～1之间的均匀随机数．a ～b 之间的均匀随机数的产生：利用计算机或计算器产生0～1之间的均匀随机数x= rand( )，然后利用伸缩和平移变换x= rand( )*(b-a)+a,就可以产生[a ，b]上的均匀随机数，试验的结果是产生a ～b 之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的． 5.均匀随机数的应用 (1)用随机模拟法估计几何概率； (2)用随机模拟法计算不规则图形的面积． 下面举几个常见的几何概型问题. 一.与长度有关的几何概型 例1 如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？ 思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型． 解 记 E ：“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30× 31=10米， ∴3 13010)(==E P . 方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解． 二.与面积有关的几何概型 例2 如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？ 思路点拨 此为几何概型，只与面积有关．

概率论和数理统计知识点总结[超详细版]

《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

几何概型的经典题型及标准答案

几何概型的经典题型及答案

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3 几何概型的常见题型及典例分析 一．几何概型的定义 1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 2．特点： （1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； （2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等. 3．计算公式：.)(积） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积） 的区域长度（面积或体构成事件A A P = 说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量. 4．古典概型和几何概型的区别和联系： （1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的. （2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的； ②两种概型的概率计算公式的含义不同. 二．常见题型 （一）、与长度有关的几何概型 例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2 cos x π的值介于0到 2 1 之间的概率为( ). A.31 B.π 2 C.21 D.32 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的

4 区间长度有关，符合几何概型的条件. 解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2 x π的值介于 0到21之间,需使 223x πππ-≤≤-或322 x πππ≤≤ ∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为3 2 ， 由几何概型知使cos 2x π的值介于0到2 1 之间的概率为 3 1232 ===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A. 例2、 如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间 再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？ 思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型． 解 记 E ：“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三 等分，由于中间长度为30×3 1 =10米， ∴3 1 3010)(==E P . 方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解． 例3、在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R 的概率。 思考方法：由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以，题中的等可能参数是平行弦的中点，它等可能地分布在于平行弦垂直的直径上（如图1-1）。也就是说，样本空间所对应的区域G 是一维空 间（即直线）上的线段MN ，而有利场合所对 应的区域G A 是长度不小于R 的平行弦的中点K 所在的区间。 [解法1].设EF 与E 1F 1是长度等于R 的两条弦， K K K1图1-2图1-1 O O M N E F M N E F E1F1

概率论知识点总结

概率论总结 目录 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结 果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E表示。 在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随 机事件，简称为事件。 不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体 样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示.

一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。 3、定义：事件的包含与相等 若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A 或A?B。 若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 定义：和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。 定义：积事件 称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。 定义：差事件 称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差 事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B} 。 定义：互不相容事件或互斥事件 如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件 B是互不相容事件或互斥事件。 定义6：逆事件/对立事件 称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为ā。A与ā满足：A ∪ā= S,且Aā=Φ。

几何概型的经典题型与答案

几何概型的常见题型及典例分析 一．几何概型的定义 1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或 体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 2．特点： （1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限 多个； （2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等. 3．计算公式：.)(积） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P = 说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应 的几何图形，并对几何图形进行度量. 4．古典概型和几何概型的区别和联系： （1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的. （2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无 限的； ②两种概型的概率计算公式的含义不同. 二．常见题型 （一）、与长度有关的几何概型 例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2cos x π的值介于0到2 1之间的概率为( ). A.31 B.π 2 C.21 D.32 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是 区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的 发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的

区间长度有关，符合几何概型的条件. 解：在区间]1,1 [-上随机取一个数x,即[1,1] x∈-时,要使cos 2 x π 的值介于 0到 2 1 之间,需使 223 x πππ -≤≤-或 322 x πππ ≤≤ ∴ 2 1 3 x -≤≤-或 2 1 3 x ≤≤，区间长度为 3 2 ， 由几何概型知使cos 2 x π 的值介于0到 2 1 之间的概率为 3 1 2 3 2 = = = 度 所有结果构成的区间长 符合条件的区间长度 P. 故选A. 例2、如图,A,B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间 再随意安装两盏路灯C,D,问A与C,B与D之间的距离都不小于10米的 概率是多少？ 思路点拨从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限 多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型． 解记 E：“A与C,B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三 等分，由于中间长度为30× 3 1 =10米， ∴ 3 1 30 10 ) (= = E P. 方法技巧我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地 取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生 则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型 就可以用几何概型来求解． 例3、在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交 点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R的概率。 思考方法：由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以， 题中的等可能参数是平行弦的中点，它等可能 地分布在于平行弦垂直的直径上（如图1-1）。 也就是说，样本空间所对应的区域G是一维空 间（即直线）上的线段MN，而有利场合所对 应的区域G A 是长度不小于R的平行弦的中点K 所在的区间。 [解法1].设EF与E 1 F 1 是长度等于R的两条弦， K K K1 图1-2 图1-1 O O E F E F E1F1

人教版高中数学必修三 第三章 概率几何概型知识与常见题型梳理

几何概型知识与常见题型梳理 基本知识 1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 2.几何概型的概率公式 P(A)=积） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A . 3.几何概型的特点 (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；(2)每个基本事件出现的可能性相等. 4.几何概型与古典概型的比较 一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度(或面积、体积等)有关，即试验结果具有无限性，是不可数的.这是两者的不同之处.另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是两者的共性. 通过以上对几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要点是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性这两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提.因此，用几何概型求解的概率问题跟古典概型的基本思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形的长度、面积(体积)和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积(体积)和角度等”之比来表示. 常见题型 1.长度之比类型 例1 小赵欲在国庆60周年之后从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小赵等车时间不多于10分钟的概率. 分析 因为客车每小时一班，而小赵在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的，所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件，且属于几何概型中的长度类型. 解 设A={等待的时间不多于10分钟}，我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于[50，60]这一时间段内，而事件的总体是整个一小时，即60分钟.因此，由几何概型的概率公式，得P(A)= 605060-=61，即小赵等车时间不多于10分钟的概率为6 1. 例2 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，求这个正方 形的面积介于36 cm 2 与81 cm 2之间的概率. 分析 正方形的面积只与边长有关，因此，此题可以转化为在12 cm 长的线段AB 上任取一点M ，求使得AM 的长度介于6 cm 与9 cm 之间的概率. 解 记“面积介于36 cm 2 与81 cm 2之间”为事件A ，事件A 的概率等价于“长度介于 6cm 与9 cm 之间”的概率，所以有P(A)= 9612-=14. 小结 本题的难点不在于几何概型与古典概型的区别，而是将正方形的面积关系转化为边长的关系，从而将问题归为几何概型中的长度类型，这是本题的关键所在.同时，本题也体现了数学上的化归思想的作用. 2.面积、体积之比类型 例3 在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成

古典概型的知识点

第五节古典概型 [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.理解古典概型及其概率计算公式． 2.会计算一些随机事件所含的基本事件及事 件发生的概率. 高考对本节内容的考查多为选择题或填空 题，难度中低档，如2012年广东T7，上海 T11等. [归纳·知识整合] 1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． [探究] 1.在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的吗？ 提示：不一定．如试验一粒种子是否发芽，其发芽和不发芽的可能性是不相等的．2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等． [探究] 2.如何判断一个试验是否为古典概型？ 提示：关键看这个实验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性． 3．古典概型的概率公式 P(A)＝ A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 [自测·牛刀小试] 1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为() A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3D．1

解析：选C 基本事件总数为(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3种．甲被选中共2种，所以甲被选中的概率为2 3 . 2．某国际科研合作项目由两个美国人，一个法国人和一个中国人共同开发完成，现从中随机选出两个人作为成果发布人，在选出的两人中有中国人的概率为( ) A.14 B.13 C.12 D ．1 解析：选C 用列举法可知，共6个基本事件，有中国人的基本事件有3个． 3．5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，则取出2张卡片上数字之和为奇数的概率为( ) A.35 B.25 C.34 D.23 解析：选A 由题意得基本事件共有10种，2张卡片之和为奇数须一奇一偶，共有6种，故所求概率为610＝3 5 . 4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y ＝5的下方的概率为________． 解析：点P 在直线x ＋y ＝5下方的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六种可能，故P ＝66×6＝1 6 . 答案：16 5．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________． 解析：点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6种情况，只有(2,1)，(2,2)，这两种情况满足在圆x 2＋y 2＝9内部，所以所求概率为26＝1 3 . 答案：13

高考知识点古典概型

第5节古典概型 最新考纲 1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率. 知识梳理 1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型 具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型. (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果. (2)每一个试验结果出现的可能性相同. 3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等， 那么每一个基本事件的概率都是1 n；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事 件A的概率P(A)＝m n. 4.古典概型的概率公式 P(A)事件A包含的可能结果数试验的所有可能结果数 . [常用结论与微点提醒] 1.古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法. 2.概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B ＝?，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.()

(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.( ) (3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.( ) (4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率.( ) 解析 对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，应利用几何概型求概率，所以(4)不正确. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2.(必修3P127例3改编)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( ) A.118 B.19 C.16 D.112 解析 所有基本事件的个数为6×6＝36，点数之和为5的基本事件有(1，4)，(2， 3)，(3，2)，(4，1)共4个. 故所求概率为P ＝436＝19. 答案 B 3.(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15 B.25 C.825 D.925 解析 甲被选中的概率为P ＝C 11C 14C 25 ＝410＝25. 答案 B 4.(2018·长沙模拟)在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由 这个口袋中取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大122，则 口袋中原有小球的个数为( ) A.5 B.6 C.10 D.11

经典高考概率分布类型题归纳

经典高考概率分布类型 题归纳 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

经典高考概率分布类型题归纳 高考真题 一、超几何分布类型 二、二项分布类型 三、超几何分布与二项分布的对比 四、古典概型算法 五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类） 六、综合算法 高考真题 2010年 22、（本小题满分10分）（相互独立事件） 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。 （1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布 列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。 【解析】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。 （1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且 P （X=10）=0.8×0.9=0.72， P （X=5）=0.2×0.9=0.18， P （X=2）=0.8×0.1=0.08， P （X=-3）=0.2×0.1=0.02。 由此得X 的分布列为： （2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件。 由题设知4(4)10n n --≥，解得14 5 n ≥， 又n N ∈，得3n =，或4n =。 所求概率为3 344 0.80.20.80.8192P C =??+= 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。

高二数学几何概型知识与常见题型梳理.doc

学习必备欢迎下载 几何概型知识与常见题型梳理 几何概型和古典概型是随机概率中两类主要模型，是概率考查中的重点，下面就几何概型的知识与常见题型做一梳理，以期能使读者对于这一知识点做到脉络清晰，条理分明。 一基本知识剖析 1. 几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。 2.几何概型的概率公式： 构成事件 A的区域长度（面积或体积）P（A）= 的区域长度（面积或体； 试验的全部结果所构成积） 3.几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； 2）每个基本事件出现的可能性相等． 4.几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几 何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度（或面积、体积等）有关， 即试验结果具有无限性，是不可数的。这是二者的不同之处；另一方面，古典概型与几何概 型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。 通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要核是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均 等的，这是解题的基本前提。因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相 同的，同属于“比例法”，即随机事件 A 的概率可以用“事件 A 包含的基本事件所占的图形 的长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积（体积）和角度等”之比来表示。下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。 二常见题型梳理 1. 长度之比类型 例 1.小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察， 时一班，求小赵等车时间不多于10 分钟的概率． 已知该站发往各站的客车均每小 例 2 在长为 12cm的线段 AB上任取一点 M，并以线段 AM为边作正方形，求这个正方形的面积 介于 36cm2与 81cm2之间的概率． 2.面积、体积之比类型 例 3.（08江苏高考6） . 在平面直角坐标系xoy 中，设D是横坐 标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域， E 是到原点的距 离不大于 1 的点构成的区域，向 D 中随意投一点，则落入 E 中的 概率为。

古典概型知识点总结

知识点：古典概型 目录知识点总结常见考法误区提醒 知识点难易度 (中) 知识点总结 本节主要包括古典概型的特征、古典概型的概率计算公式等主要知识点。其中主要是理解和掌握古典概型的概率计算公式，这个并不难。 1、古典概型 （1）定义：如果试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，并且每个基本事件出现的可能性相等，则称此概率为古典概型。 （2）特点：①试验结果的有限性②所有结果的等可能性 （3）古典概型的解题步骤； ①求出试验的总的基本事件数； ②求出事件A所包含的基本事件数； 2、基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的；②任何事件都可以表示成基本事件的和（不可能事件除外）。 常见考法 本节在段考中，一般以选择题、填空题和解答题的形式考查古典概型的特征、古典概型的概率计算公式等知识点，属于中档题。在高考中多融合在离散型随机变量的分布列中考查古典概型的概率计算公式，属于中档题，先求出各个基本量再代入即可解答。 误区提醒

在求试验的基本事件时，有时容易计算出错。基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的；②任何事件都可以表示成基本事件的和（不可能事件除外）。 【典型例题】 例1 如图，四边形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，若每个小三角形用4种不同颜色中的任一种涂染，求出现相邻三角形均不同色的概率． 解：若不考虑相邻三角形不同色的要求，则有44＝256(种)涂法，下面求相邻三角形不同色的涂法种数：①若△AOB与△COD同色，它们共有4种涂法，对每一种涂法，△BOC与△AOD各有3种涂法，所以此时共有4×3×3＝36(种)涂法．②若△AOB与△COD不同色，它们共有4×3＝12(种)涂法，对每一种涂法△BOC与△AOD各有2种涂法，所以此时有4×3×2×2＝48(种)涂法．故相邻三角形均不同色的概率 例2 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取2次，每次只取1只，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各1只；(3)取到的2只中至少有1只正品． 解：从6只灯泡中有放回地任取2次，每次只取1只，共有62＝36(种)不同取法．