初等数论讲义修改版

初等数论作业(3)答案

第三次作业答案： 一、选择题 1、整数5874192能被( B )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 2、整数637693能被(C )整除. A 3 B 5 C 7 D 9 3、模5的最小非负完全剩余系是( D ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则（A ） A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠ 二、解同余式（组） （1）)132(mod 2145≡x . 解 因为(45,132)=3|21,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )44(mod 715≡x . 我们再解不定方程 74415=-y x , 得到一解(21,7). 于是定理4.1中的210=x . 因此同余式的3个解为 )132(mod 21≡x , )132(mod 65)132(mod 3 13221≡+ ≡x , )132(mod 109)132(mod 3132221≡?+≡x . （2）)45(mod 01512≡+x 解 因为(12,45)=3|15,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的100=x . 因此同余式的3个解为 )45(mod 10≡x ,

)45(mod 25)45(mod 3 4510≡+≡x , )45(mod 40)45(mod 3 45210≡?+≡x . （3）)321 (m od 75111≡x . 解 因为(111,321)=3|75,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )107(mod 2537≡x . 我们再解不定方程 2510737=+y x , 得到一解(-8,3). 于是定理4.1中的80-=x . 因此同余式的3个解为 )321(mod 8-≡x , )321(mod 99)321(mod 3 3218≡+-≡x , )321(mod 206)321(mod 3 32128≡?+-≡x . （4）?? ???≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x . 解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式 )7(mod 172≡x ,)8(mod 163≡x ,)9(mod 156≡x , 得到)9(mod 4),8(mod 1),7(mod 4321-=-==x x x .于是所求的解为 ). 494(mod 478)494(mod 510 )494(mod 3)4(562)1(631472=-=?-?+?-?+??≡x （5）???????≡≡≡≡) 9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x . (参考上题)

初等数论c++

备注：纯手写代码，注释。 数论 1、素数 （1）暴力求解法 根据素数的概念，没有1和其本身没有其他正因数的数。所以只需枚举比这个数小的数，看能整除即可； C++代码： #include #include #include using namespace std; bool determine(int number) { if(n<=2)return false; if(!n%2)return false; for(int i=3;i<=ceil(sqrt(number));i+=2)

//去掉了偶数的判断，效率提高一倍 /*如果number整除以i，那么会得到两个的因数， 而较小的那个因数不会超过number的二分之一次方； 所以只需判断到number的平方根向上取整即可；*/ if(number%i); else return false; return true; } int main() { int sum; cin>>sum; if(determine(sum)) cout<<"YES!"; else cout<<"NO!"; return 0; } 时间复杂度：o(sqrt(n)/2); 空间复杂度：几乎没有； （2）一般线性筛法： 因为任何一个合数都能分解成几个素数相乘的形式； 所以可以做一个表，首先把2设为质数，然后将2的倍数设为合数，剩下的数就是新得到的质数，然后重复这个过程，直到筛到合

适的范围即可； 但是这个算法有缺陷： 1、同一个数可能被筛多次，这就产生了多余的步骤。 2、占用空间很大，如果使用bool数组的话，只能筛到1e9； 3、从1-n筛，不能从m-n开始筛； C++代码： #include #include #include using namespace std; bool s[1000000000]; int m,n; int main() { cin>>m>>n; memset(s,true,n); s[0]=s[1]=0; //输出M—N之间所有素数； for(int i=2;i<=ceil(sqrt(n));++i) if(s[i]) {

初等数论试卷和答案

初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).

6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求 ??? ??563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32 分) 1、证明对于任意整数n ,数6233 2n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.

初等数论练习题集与答案解析

初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27；?(2420)=_880_ 2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p - 1≡1(mod p )的解数为二、计算题 1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 解：因105 = 3?5?7， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3)， 同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x ≡b 1 (mod 3)，x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， 由子定理得原同余方程的解为x ≡13，55，58，100 (mod 105)。

2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？ 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（ ）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。 解：易知1271≡50（mod 111）。 由502≡58（mod 111），503≡58×50≡14（mod 111），509≡143≡80（mod 111）知5028≡（509）3×50≡803×50≡803×50≡68×50≡70（mod 111） 从而5056≡16（mod 111）。 故（127156+34）28≡（16+34）28≡5028≡70（mod 111） 三、证明题 1、已知p 是质数，（a ，p ）=1，证明： （1）当a 为奇数时，a p-1+(p-1)a ≡0 (mod p)； （2）当a 为偶数时，a p-1-(p-1)a ≡0 (mod p)。 证明：由欧拉定理知a p-1≡1 (mod p)及(p-1)a ≡-1 (mod p)立得（1）和（2）成立。 2、设a 为正奇数，n 为正整数，试证n 2a ≡1(mod 2n+2)。 (1) 证明 设a = 2m +1，当n = 1时，有 a 2 = (2m +1)2 = 4m (m +1)+1≡1 (mod 23)，即原式成立。 设原式对于n = k 成立，则有k a 2≡1 (mod 2k +2) ?k a 2= 1+q 2k +2， 其中q ∈Z ，所以12+k a = (1+q 2k +2)2 = 1+q '2k +3≡1 (mod 2k +3)， 其中q '是某个整数。这说明式(1)当n = k +1也成立。

初等数论 论文

突出师范特色改革初等数论教学 [摘要]本文介绍了初等数论课程教学中，不断进行教学内容和教学方法的改革，加强对高师生师德、授课能力、创新精神和实践能力培养的一些做法和体会。 [关键词]初等数论教学创新精神和实践能力高师生授课能力作为培养未来中小学教师的高等师范院校，在课堂教学中突出师范特色，加强对高师生进行师德教育，培养学生的授课能力，加强学生创新精神和实践能力的培养显得尤为重要。 一、改革初等数论教学内容，加强高师生的教师素养培养 1．结合初等数论教学，对高师生进行师德教育我国数学家对数论这门学科的发展有过重大的贡献，结合初等数论课程的有关内容，介绍我国数学家在数论领域的伟大成就，能增强民族自豪感，激发学生的爱国主义思想感情。同时，结合初等数论的教学对学生进行辩证唯物主义教育、科学求实精神的教育。如在讲不定方程这一节时，介绍世界上最早提出不定方程的是我国的《九章算术》，比欧洲早200多年。在讲同余方程这一节时，介绍世界上最早提出同余方程组的是我国的《孙子算经》中的孙子定理(即中国剩余定理)。在讲数论与中学教学的联系时，介绍我国中学生在国际数学奥林匹克竞赛(IMO)上屡获佳绩，多次获得团体总分第一名的优异成绩。还介绍华罗庚在数论中的伟大成就，如“华氏定理”、“华氏不等式”。在介绍华罗庚、闵嗣鹤等数论学者甘为人梯，举办数论讨论班，指导年轻数学家(如王元、陈景润、潘承洞等)摘取“数学王冠上的宝石”的高贵品质，对学生进行师德教育。在讲到高次不定方程时，介绍费马大定理，1637年前后由法国数学家费马提出，一代又一代数学家历经350多年的不懈努力，到1993年由英国数学家怀尔斯最后证明，来激发学生勇于探索，科学求实的学习风气。 2．结合中学数学教学，改革初等数论的教学内客。作为一个高等师范院校，数学与应用数学专业的培养目标是德、智、体、美等全面发展的合格中学数学师资及其他数学专门人才，我们数学系的大多数毕业生要从事中学数学教学，因此，我们的教学要注重与中学数学教学结合起来。如整除、素数和合数、约数和倍数、奇数和偶数、平方数、同余、不定方程、[x]、数的非十进制、欧拉函数等内容与中学联系比较紧密，而且是中学数学奥林匹克竞赛的常客。据统计，被誉为“世界青年智能大赛”的国际数学奥林匹克竞赛(IMO)的试题中主要用于数论知识来解的约占30％，因此也有人把数论称为是锻炼人思维的体操。对这些知识我们要重点进行讲解，并补充一些中学数学竞赛的题目给他们分析讲解，提高学生的解题能力。同时我们开设了选修课《竞赛数学》，为提高学生以后从事辅导中学生数学奥林匹克创造了一定条件。原根与指标也是初等数论中的重要内容，但与中学内容联系比较少，我们采取简单介绍的方法进行讲解。 二、改革初等数论教学方法，加强学生创新精神和实践能力培养 1．加强实践环节，提高数学系高师生的授课能力。初等数论课中的部分内容，如整除、素数与合数、奇数与偶数、同余等概念，在其他课程中已有涉及，只是没有初等数论中讲得详细、系统，因而学生已有了一定的了解。对于这部分内容我们采取让学生讲、分组讨论，由学生对这节课教学内容、教学方法进行评论，提出自己的建议，并对如何上这节课进行阐述，最后由老师进行总结、点

初等数论练习题答案

初等数论练习题答案 信阳职业技术学院 2010年12月

初等数论练习题一 一、填空题 1、d(2420)=12; ?(2420)=_880_ 2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7、18100被172除的余数是_256。 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为 p-1 。 二、计算题 1、解同余方程：3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 105)。 解：因105 = 3?5?7， 同余方程3x 2 +11x -20 ≡ 0 (mod 3)的解为x ≡ 1 (mod 3)， 同余方程3x 2+11x -38 ≡ 0 (mod 5)的解为x ≡ 0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 7)的解为x ≡ 2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x ≡ b 1 (mod 3)，x ≡ b 2 (mod 5)，x ≡ b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为x ≡ 13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？ 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（）（解：Θ 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。

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突出师范特色改革初等数论 [摘要]本文介绍了初等数论课程教学中，不断进行教学内容和教学方法的改革，加强对高师生师德、授课能力、创新精神和实践能力培养的一些做法和体会。 [关键词]初等数论教学创新精神和实践能力高师生授课能力作为培养未来中小学教师的高等师范院校，在课堂教学中突出师范特色，加强对高师生进行师德教育，培养学生的授课能力，加强学生创新精神和实践能力的培养显得尤为重要。 一、改革初等数论教学内容，加强高师生的教师素养培养 1．结合初等数论教学，对高师生进行师德教育我国数学家对数论这门学科的发展有过重大的贡献，结合初等数论课程的有关内容，介绍我国数学家在数论领域的伟大成就，能增强民族自豪感，激发学生的爱国主义思想感情。同时，结合初等数论的教学对学生进行辩证唯物主义教育、科学求实精神的教育。如在讲不定方程这一节时，介绍世界上最早提出不定方程的是我国的《九章算术》，比欧洲早200多年。在讲同余方程这一节时，介绍世界上最早提出同余方程组的是我国的《孙子算经》中的孙子定理(即中国剩余定理)。在讲数论与中学教学的联系时，介绍我国中学生在国际数学奥林匹克竞赛(IMO)上屡获佳绩，多次获得团体总分第一名的优异成绩。还介绍华罗庚在数论中的伟大成就，如“华氏定理”、“华氏不等式”。在介绍华罗庚、闵嗣鹤等数论学者甘为人梯，举办数论讨论班，指导年轻数学家(如王元、陈景润、潘承洞等)摘取“数学王冠上的宝石”的高贵品质，对学生进行师德教育。在讲到高次不定方程时，介绍费马大定理，1637 年前后由法国数学家费马提出，一代又一代数学家历经350多年的不懈努力，到1993年由英国数学家怀尔斯最后证明，来激发学生勇于探索，科学求实的学习风气。 2．结合中学数学教学，改革初等数论的教学内客。作为一个高等师范院校，数学与应用数学专业的培养目标是德、智、体、美等全面发展的合格中学数学师资及其他数学专门人才，我们数学系的大多数毕业生要从事中学数学教学，因此，我们的教学要注重与中学数学教学结合起来。如整除、素数和合数、约数和倍数、奇数和偶数、平方数、同余、不定方程、[x]、数的非十进制、欧拉函数等内容与中学联系比较紧密，而且是中学数学奥林匹克竞赛的常客。据统计，被誉为“世界青年智能大赛”的国际数学奥林匹克竞赛(IMO)的试题中主要用于数论知识来解的约占30％，因此也有人把数论称为是锻炼人思维的体操。对这些知识我们要重点进行讲解，并补充一些中学数学竞赛的题目给他们分析讲解，提高学生的解题能力。同时我们开设了选修课《竞赛数学》，为提高学生以后从事辅导中学生数学奥林匹克创造了一定条件。原根与指标也是初等数论中的重要内容，但与中学内容联系比较少，我们采取简单介绍的方法进行讲解。 二、改革初等数论教学方法，加强学生创新精神和实践能力培养 1．加强实践环节，提高数学系高师生的授课能力。初等数论课中的部分内容，如整除、素数与合数、奇数与偶数、同余等概念，在其他课程中已有涉及，只是没有初等数论中讲得详细、系统，因而学生已有了一定的了解。对于这部分内容我们采取让学生讲、分组讨论，由学生对这节课教学内容、教学方法进行 评论，提出自己的建议，并对如何上这节课进行阐述，最后由老师进行总结、点拨。这样突出了学生的主导性，提高了学生学习的积极性，加强了学生实践能力

初等数论第三版习题解答

第一章 整数的可除性 §1 整除的概念·带余除法 1．证明定理3 定理3 若12n a a a L ，， ，都是m 得倍数，12n q q q L ，，，是任意n 个整数，则1122n n q a q a q a +++L 是m 得倍数． 证明：Q 12,,n a a a L 都是m 的倍数。 ∴ 存在n 个整数12,,n p p p L 使 1122,,,n n a p m a p m a p m ===L 又12,,,n q q q L 是任意n 个整数 即1122n n q a q a q a +++L 是m 的整数 2．证明 3|(1)(21)n n n ++ 证明 (1)(21)(1)(21)n n n n n n n ++=+++-Q 又(1)(2)n n n ++Q ，(1)(2)n n n -+是连续的三个整数 故3|(1)(2),3|(1)(1)n n n n n n ++-+ 从而可知 3|(1)(21)n n n ++ 3．若00ax by +是形如ax by +（x ，y 是任意整数，a ，b 是两不全为零的整数）的数中最小整数，则00()|()ax by ax by ++． 证： ,a b Q 不全为0 ∴在整数集合{}|,S ax by x y Z =+∈中存在正整数，因而有形如ax by +的最小整数00ax by + ,x y Z ?∈，由带余除法有0000(),0ax by ax by q r r ax by +=++≤<+ 则00()()r x x q a y y q b S =-+-∈，由00ax by +是S 中的最小整数知0r =

初等数论练习题答案

初等数论练习题答案 信阳职业技术学院2010年12月 初等数论练习题一

一、填空题 1、d(2420)=12; ?(2420)880_ 2、设是大于1的整数，若1是质数，则2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}. 4、同余方程912≡0( 37)的解是x ≡11( 37)。 5、不定方程的通解是900+23t ，700+18t t Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_(m )_。 7、18100 被172 除的余数是_256。 8、?? ? ??10365 1。 9、若p 是素数，则同余方程x p 1 1( p )的解数为 1 。 二、计算题 1、解同余方程：3x 2 11x 20 0 ( 105)。 解：因105 = 35 7， 同余方程3x 2 11x 20 0 ( 3)的解为x 1 ( 3)， 同余方程3x 2 11x 38 0 ( 5)的解为x 0，3 ( 5)， 同余方程3x 2 11x 20 0 ( 7)的解为x 2，6 ( 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x b 1 ( 3)，x b 2 ( 5)，x b 3 ( 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为x 13，55，58，100 ( 105)。 2、判断同余方程x 2 ≡42( 107)是否有解？

1 107 421 7271071107713231071107311072107 7107310721077 32107422 1 10721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（） ）（）（（ ）（解：Θ 故同余方程x 2 ≡42( 107)有解。 3、求（127156 +34）28 除以111的最小非负余数。 解：易知1271≡50（ 111）。 由502 ≡58（ 111）, 503 ≡58×50≡14（ 111），509 ≡143 ≡80（ 111）知5028 ≡（509 ）3 ×50≡803 ×50≡803 ×50≡68×50≡70（ 111） 从而5056 ≡16（ 111）。 故（127156 +34）28 ≡（16+34）28 ≡5028 ≡70（ 111） 三、证明题 1、已知p 是质数，（）=1，证明： （1）当a 为奇数时，1 +(1)a ≡0 ( p)； （2）当a 为偶数时，1 -(1)a ≡0 ( p)。 证明：由欧拉定理知1 ≡1 ( p)及(1)a ≡-1 ( p)立得（1）和（2）成立。 2、设a 为正奇数，n 为正整数，试证n 2a ≡1( 22 )。 (1) 证明 设a = 2m 1，当n = 1时，有 a 2 = (2m 1)2 = 4m (m 1) 1 1 ( 23)，即原式成立。 设原式对于n = k 成立，则有 k a 2 1 ( 2 k + 2 ) k a 2 = 1 q 2 k

福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案

福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案 本复习题页码标注所用教材为： 教材名称 单价 作者 版本 出版社 初等数论 14.20 闵嗣鹤，严士健 第三版 高等教育出版社 复习题及参考答案一 一、填空(40%) 1 、求所有正约数的和等于15的最小正数为 考核知识点：约数，参见P14-19 2、若1211,, ,b b b 是模11的一个完全剩余系，则 121181,81, ,81b b b +++也是模11的 剩余系. 考核知识点：完全剩余系，参见P54-57 3．模13的互素剩余系为 考核知识点：互素剩余系，参见P58 4.自176到545的整数中是13倍数的整数个数为 考核知识点：倍数，参见P11-13 5、如果 p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者 考核知识点：整除，参见P1-4 6、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的 .

考核知识点：最小公倍数，参见P11-13 7、如果b a ,是两个正整数,则存在 整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 考核知识点：整除，参见P1-4 8、如果n 3，n 5，则15（ ）n . 考核知识点：整除，参见P1-4 二、(10%)试证：6|n(n+1)(2n+1)，这里n 是任意整数。 考核知识点：整除的性质，参见P9-12 提示： i)若 则 ii)若 则 iii)若 则 又 三、(10%)假定a 是任意整数，求证a a (mod )++≡2 103或 a a (mod )+≡203 考核知识点：二次同余式，参见P88 提示:要证明原式成立，只须证明231a a ++，或者23a a +成立即可。 四、（10％）设p 是不小于5的素数，试证明2 1(mod 24)p ≡ 考核知识点：同余的性质，参见P48-52 提示： 且是不小于5的素数． 又 且 是不小于5的素数．

初等数论练习题答案

初等数论练习题答案 Written by Peter at 2021 in January

初等数论练习题一 一、填空题 1、d(2420)=12; ?(2420)=_880_ 2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_(m )_。 7、18100被172除的余数是_256。 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p 1 1(mod p )的解数为 p-1 。 二、计算题 1、解同余方程：3x 211x20 0 (mod 105)。 解：因105 = 357， 同余方程3x 211x20 0 (mod 3)的解为x 1 (mod 3)， 同余方程3x 211x38 0 (mod 5)的解为x 0，3 (mod 5)， 同余方程3x 211x20 0 (mod 7)的解为x 2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x b 1 (mod 3)，x b 2 (mod 5)，x b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为x 13，55，58，100 (mod 105)。

2、判断同余方程x2≡42(mod 107)是否有解？ 故同余方程x2≡42(mod 107)有解。 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。 解：易知1271≡50（mod 111）。 由502 ≡58（mod 111）, 503 ≡58×50≡14（mod 111），509≡143≡80（mod 111）知5028 ≡（509）3×50≡803×50≡803×50≡68×50≡70（mod 111） 从而5056 ≡16（mod 111）。 故（127156+34）28≡（16+34）28 ≡5028≡70（mod 111） 三、证明题 1、已知p是质数，（a,p）=1，证明： （1）当a为奇数时，a p-1+(p-1)a≡0 (mod p)； （2）当a为偶数时，a p-1-(p-1)a≡0 (mod p)。 证明：由欧拉定理知a p-1≡1 (mod p)及(p-1)a≡-1 (mod p)立得（1）和（2）成立。 2、设a为正奇数，n为正整数，试证 n 2 a≡1(mod 2n+2)。 (1) 证明设a = 2m 1，当n = 1时，有 a2 = (2m 1)2 = 4m(m 1) 1 1 (mod 23)，即原式成立。 设原式对于n = k成立，则有 k a2 1 (mod 2k + 2) k a2= 1 q2k + 2， 其中q Z，所以12 k a= (1 q2k + 2)2 = 1 q2k + 3 1 (mod 2k + 3)，其中q是某个整数。这说明式(1)当n = k 1也成立。 由归纳法知原式对所有正整数n成立。

《初等数论》习题解答

《初等数论》习题集 第1章 第1节 1. 证明定理1。 2. 证明：若m —p mn 十pq，贝U m —p mq +np。 3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数， 使得这个自然数的数字和能被11整除。 4. 设p是n的最小素约数，n = pni, n〔> 1,证明：若p >3n，贝U n i 是素数。 5. 证明：存在无穷多个自然数n,使得n不能表示为 a?+p (a > 0是整数，p为素数) 的形式。 第2节 1. 证明：12 n4 + 2n3 + 11n2+ 10n, n§Z。 2. 设3 a2+b2,证明：3 a且3 b。 3. 设n, k是正整数，证明：n k与n k+ 4的个位数字相同。 4. 证明：对于任何整数n, m,等式n2+ (n + 1)2 = m2+ 2不可能成立。 5. 设a是自然数，问a4-3a2+ 9是素数还是合数？ 6. 证明：对于任意给定的n个整数，必可以从中找出若干个作和，使得 这个和能被n整除。 第3节 1. 证明定理1中的结论(i ) —(iv )。 2. 证明定理2的推论1,推论2和推论3。 3. 证明定理4的推论1和推论3。 4. 设x, y W Z , 17|2x +3y,证明：17 9x 十5y。 5. 设a, b, c在N, c无平方因子，a2 b2c，证明：a b。 6. 设n是正整数，求ckC …，C M；"1的最大公约数。 第4节 1. 证明定理1。 2. 证明定理3的推论。 3. 设a, b 是正整数，证明：(a+b)[a, b] = a[b, a+b]。 4. 求正整数a, b,使得a+b = 120, (a, b) = 24 , [a, b] = 144。 5. 设a, b, c是正整数，证明：

《初等数论》课程教学标准

《初等数论》课程教学标准 第一部分：课程性质、课程目标与教学要求 《初等数论》是数学与应用数学本科专业的一门专业选修课，该课程是综合应用近现代数学的工具，来处理与整数相关的问题。在计算方法、代数编码、组合论、信息安全与密码学等方面有着广泛的应用。同时由于数论问题的丰富性、多样性及解题所具有的高度技巧，对培养灵活创新的思维品质，逻辑思维、发散思维能力，系统地掌握各种数学思维方法都是不可缺少的。本课程对培养中学数学教师和从事数学研究都具有特殊重要的作用。 通过对《初等数论》的学习，使学生了解数论中的一些著名问题，比如哥德巴赫猜想、费尔马大定理等；了解数论在计算方法、代数编码、组合论、信息安全与密码学等方面的广泛应用；熟练掌握初等数论的基本内容、基本思想与基本方法；加深对整数的理解，更深入地理解某些相邻学科；培养学生的数学思维，从而提高分析问题解、决问题的能力。 第二部分：关于教材与学习参考书的建议 本课程拟采用高等教育出版社2003年7月第三版、由闵嗣鹤,严士健主编的《初等数论》一书，作为本课程的主教材。 为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书： 1、《初等数论》潘承洞，潘承彪，北京大学出版社1992。 2、《初等数论》周显，华东师大出版社1984。 3、《初等数论》冯克勤，余红兵，合肥、中国科学技术出版社 4、《数论基础》王杰官，福建科学技术出版社。 第三部分：课程教学内容纲要 《初等数论》主要内容有：整数整除性理论、不定方程、同余、同余式、平方剩余与二次同余式等内容。其中整除性理论、同余式理论是初等数论课程的基本内容，解不定方程、解同余式是这些理论的最基本的应用。其各章

2016初等数论教学大纲

黔南民族幼儿师范高等专科学校数学教育专业 《初等数论》课程 教 学 大 纲 执笔人： 审定人： 批准人： 基教系 2016年7月

《初等数论》课程教学大纲 一、课程简介 课程定位与目标：初等数论是研究整数最基本性质的课程，数学教育专业一门十分重要的专业课，它与小学数学有着十分紧密的联系，通过本门课程的学习，使学生系统掌握整数的基本性质，掌握研究整数的一些初等方法，并将这些知识应用到小学数学中去。 先修课程：高等代数 选用的教材版本：闵嗣鹤，严士健主编，初等数论第三版，高等教育出版社，2003，7. 课程主要内容：整数的可除性、不定方程、同余、同余式、二次同余式与平方剩余 课程教学方法：讲授法为主，注意联系初等数学中数论部分竞赛知识。 考核方案：闭卷:采用百分制,33分及以上为合格。采用平时考查与期末闭卷书面考核相结合的方式进行，平时成绩占40分，期末闭卷书面考试占60分。 二、理论课程教学大纲 （一）课程的性质、目的和任务 1．课程的性质：专业课。 2．课程的目的和任务 目的：通过本门课程的学习，使学生系统掌握整数的基本性质，掌握研究整数的一些初等方法，并将这些知识应用到小学数学中去。 任务：使学生掌握整数最基本的性质、算数基本定理、同余的概念与性质；掌握n元一次不定方程与商高不定方程的求解方法与公式；掌握欧氏定理与费马小定理的应用及欧拉函数的计算、掌握一次同余方程组的求法及孙子定理，（二）总学时与学分数 总学时数：54 学分数：3 （三）课程基本内容、要求、重难点、建议 第一章：整数的可除性 1.1 整除的概念、整除的性质、带余数除法；

1.2 最大公因数、辗转相除法； 1．3整数的进一步性质及最小公倍数； 1. 4 质数、算数基本定理及其应用； 1. 5 函数[X]、{X}}及其在数论中中的应用 教学要求：通过本章的学习，使学生掌握带余除法，最小公因数与最大公倍数的概念及其求法；掌握质数的概念及其性质；能熟练应用算数基本定理解决整数中的有关问题；理解函数[X]、{X}的概念 本章重点：整除的基本性质、最大公因数与最小公倍数的性质及其应用、质数的性质及算数基本定理的应用； 本章难点：质数的性质及算数基本定理的应用 教学建议：联系高等代数多项式理论中的一些理论进行讲授 第二章不定方程 2.1 二元一次不定方程 二元一次不定方程的判定条件及其求解公式 2.2 多元一次不定方程 多元一次不定方程判定条件及其求解公式 2.3 勾股数 商高不定方程及其求解公式、性质 2.4 费马大定理的介绍 教学要求：要求学生掌握求解n元一次不定方程及n元一次不定方程组；掌握商高不定方程的求解公式；理解商高不定方程求解公式的指导思想教学重点：求解n元一次不定方程及n元一次不定方程组、商高不定方程的求解方法 教学难点：商高不定方程的求解公式的指导思想 教学建议：联系中小学数学中不定方程的问题进行教学 第三章同余 3.1 同余的概念及性质 同余的概念、性质、简单应用 3.2 剩余类与完全剩余系 剩余类与完全剩余系的概念及其性质

《初等数论》试卷及参考答案(与闵嗣鹤第三版配套)

《初等数论》试卷 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+=±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-=-=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2, ,9; Ｂ．1,2,3,,10;

初等数论习题(第三章)

初等数论作业(第三章) 1. 证明: 若n 为正整数, α为实数, 则 (1) ] [][αα=?? ????n n , (2) [][]ααααn n n n =?? ???? -+++?? ? ?? ? + +1...1. 证明: (1) 设n α = nq + r + {n α}, 0 ≤ r < n , 则[n α] = nq + r , 左边 = q n r q n r nq n n =?? ???? +=??????+=???? ??][α, 右边 = []q n n r q n n r nq n n =?? ???? ++=??????++=??? ???=}{}{αααα 所以[]αα=?? ? ? ??n n ][. (2) 设n α = nq + r + {n α}, 0 ≤ r < n , 则[n α] = nq + r , α = q +( r + {n α})/n . r = 0时, α = q +{n α}/n , 左边 = q + q + … + q = nq . 右边 = nq . r ≥ 1时, 左边 = ?? ???? -+++++?? ????++++?????? ++ n n n r q n n r q n n r q 1}{...1}{}{ααα = nq + ∑ ∑ --=--=?? ? ???+++?? ? ???++1 1 }{}{r n k n r n k n k n r n k n r αα = nq + 0 + n - 1 - (n - r ) + 1 = nq + r =[n α] = 右边. # 2. 证明不等式 [2α] + [2β] ≥ [α] + [α + β] + [β] 证明: 设α = m + a , β = n + b , m , n ∈Z , 0 ≤ a , b < 1. 不妨设a ≥ b , 则 [2α] + [2β] = [2m +2a ] + [2n + 2b ] = 2m + 2n + [2a ] + [2b ]