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第二章函数参考答案或解答过程

第二章函数参考答案或解答过程

第二章函数参考答案或解答过程

第二章函数参考答案或解答过程

2.1 映射与函数、函数的解析式

1．D （提示：作出各选择支中的函数图象）. 2．C （提示：由523121≤-≤-?≤≤-x x ）. 3．B （提示：由内到外求出）.4．D （提示：考察每组中两个函数的对应法则与定义域）.5.A 6．①、③、④；③.（提示：对照“映射”、“一一映射”的定义）.7．2

3

（提示：由外到里，逐步求得k ）.

8．设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，)()()]([222c bx ax b c bx ax a x f f +++++=∴+c

)()2()2(2222223243c bc ac x b abc x ab c a ab bx a x a +++++++++=

242x x -=，这是一个恒等式

1)(,1

01002220

21222222

3-=∴???

??-===???

??

?????=++=+-=++==∴x x f c b a c bc ac b abc ab c a ab b a a . 9．（1）k ax

x

b a x bx x f x f =++?++=

221)1

()( ，

0)2()41()2(222=-+--++-?ak b x k k a b x ak b

上式是关于x 的恒等式，04140

4122

222

2=--+????=--+=∴k k a k a k k a b ak b

4

110)1)(14(22=

=?=--?k k a k a k 或，

若41,,21212

2

=∴=??

==k ab a

a b k a 不合得，（2）8

1

2222))1((,)2()(2)()2())((2

222=++++++=∴++++++=a b a b a b f f a x b a b a x b x f f 而b a a b 24

1

2=??

=，代入上式得07922=++b b ，解得2,21;271=-=-=-=-=ab a b b b 此时时当或，不合，7,2

7

-=-=∴a b .

10．设另一个圆的半径为y ，则222=

+++y y x x 2))(12(=++?y x

221

22-=+=

+?y x ，])22([)()(2222x x y x x f S --+=+==∴ππ

)]223()2

22(2[)]246()22(22[2

2-+--

=-+--=x x x ππ， ∵当一个圆为正方形内切圆时半径最大，而另一圆半径最小，∴函数的定义域为

2

1

223≤≤-x （注意定义域为闭区间）),223(2

3

)21()223();223(],21,223[222min -==--=∴-∈-f f S

π )223(23max -=

∴πS ，∴函数)(x f S =的值域为)]223(2

3),223([--π

π. 2.2函数的定义域和值域

1．}1,0|{≠≠x x x 且2．)1,(a a +- 3．5；14．C 5.C 6. D

7．A （提示：40,4)2(422≤≤∴+--=+-=u x x x u ，然后推得）. 8. B

9

．

①

)1,2

1

(]21,1[-?--∈x ②）5,4[]3,2[]1,(??-∞ ③

}2

3

21|{-≠-≠-≠∈x x x x x 且且

10．①)4,53(∈y ②),11

[+∞∈y ③]4,25[∈y ④]1,(-∞∈y ⑤]2

1

,61[-∈y 11．21)21()(2-+=x x f ，∴对称轴为2

1

-=x ，

（Ⅰ）2103->≥≥x ，∴)(x f 的值域为)]3(),0([f f ，即]447

,41[-；

（Ⅱ）∴-=,21)]([min x f 对称轴]1,[2

1

+∈-=a a x ，

212321

121-≤≤-????

????

-≥+-≤∴a a a ， ∵区间]1,[+a a 的中点为210+=a x ，

（1）当2

1

1,2121-≤≤--≥+

a a 即时，16

1

41)1()1(,161)1()]([2max =-+++∴=+=a a a f x f ，

4

9

(4302748162-=-=?=++∴a a a a 不合）；

（2）当123,2121-<≤--<+a a 即时，161

)()]([max ==a f x f ，

4

1

(45051616,1614122=-=?=-+∴=-+∴a a a a a a 不合）；

综上，4

543-=-

=a a 或. 12．12

+-x x 的判别式恒小于零，∴函数的定义域为R ，∴原函数等价于

0)2)(1(4)(,0)2()()1(22≥+--+=?=+++--y y a y y x a y x y ，

即0)8()42(322≤++--a y a y 的解集为[－2，2]（其中包含y =1），

2,221=-=∴y y 是方程0)8()42(32

2=++--a y a y 的根，

24207400

222121=???

???==>+-????

??-=?=+>?∴a a a a a y y y y . 2.3函数的单调性

1．C 2．D 3.B 4.A 5.A 6.B 7.C 8.A9．3 10．

,1

21)(a

x x

x f +-

=

' ,

0)42(0)(,)(421

21,0)(222>+-+?>'∴+

>'a x a x x f a x x a x x a x x

x f 得

令

),

1(164)42(,0)42(0)(,2

2

22a a a a x a x x f -=--=?<+-+?<' 同样

（1）当a .>1时，对x ∈（0，+∞）恒有)(x f '>0， ∴当a .>1时，f (x )在（0，+∞）上为增函数；

（2）当a =1时，f (x )在（0，1）及（1，+∞）都是增函数，且f (x )在x=1处连续，∴f (x )在（0，+∞）内为增函数；

（3）当00，解方程x 2+(2a －4)x +a 2

)122,122(,),122()122,0()(,

0122,0,122,1222

1221内为减函数而在内都是增函数与在而显然有得a a a a a a a a x f a

a a x x a a x a a x -+----+∞-+----∴>-+-=

11．（I ）a x x x f -+=

①当上单调递减在时),0[)(,11

+∞∴≤<+≤

+≥x f a x x x x a

由f ′(x )>0得;112

a 而在为减函数，为增函数，

（另证）令f (x ) =12

212212,00]2)1[(11a

a x x a x a x ax x -==?=--?+=+?

x -=，使f (x 1)= f (x 2)=1，故f (x )不是单调函数.

综上，当且反当a ≥1时，f (x )在),0[+∞上为单调函数.

（II ）由（I ）①知当a ≥1时f (x )单调递减，不合；由②知当f (x )在),1[+∞上单调递增

<∴a ，即a 的取值范围是].2

2,0( 2.4 函数的奇偶性

2.A 3．A 4．A 5．C 6．D 7．x<－1或x>－

3,0)∪（3，+∞）

10．[证明] 这是“抽象”函数问题，应熟练运用奇偶性、周期性、单调性的定义证明. 在[4，6]内任取x 1、x 2，设4≤x 1

|)(|,]6,4[|,)(||)(|,0)()(|)(||)(|,64,

()(,0)()(),()4(,0)2()4()4(,]0,2[)(,

04422121212121212112为减函数时故当即有时当内为增函数在x f x x f x f x f x f x f x f x x x f x f x f x f x f x f x f x f f x f x f x f x x ∈>>-=-≤<≤∴≥>∴=-≥->-∴=+≥-≥+->+-∴-≤+-<+-≤-∴

12．∵)(x f 为R 上的偶函数，

)41(212 ,04)1(52),

12()52(),52()]52([)52(222222222>++=++>+-=+-++<+-∴+-=-+--=-+-∴a a a a a a a a f a a f a a f a a f a a f 而不等式等价于

∵)(x f 在区间)0,(-∞上单调递增，而偶函数图象关于y 轴对称， ∴)(x f 在区间（0，+∞）上单调递减，

2222<<-?<-+?++>+-++<+-∴a a a a a a a a a f a a f 得由

∴实数a 的取值范围是（－4，1）.

5.C 6．B （提示：作一个示意图，如令

x x f 2)(=）.7．2451+-+=x y （提示：将（4，3）与（3，4）分别代入原函数解

析式，不必求出反函数）. 8.x ，x 9．①、②（提示：奇函数不一定是单调函数；例如x

y 1=它不是单调函数（∵它有两个单调区间），但它是一一对应的，有反函数，∴②错）. 10①.10111,1,11)11(

<≤?≥-+∴≥-+=?+-=y y

y x y y x x x y 设即

（x ）的定义域为[).1,0

1)(1()(2)()(,10,10212121112121<---=

-∴<<≤∴<<≤--x x x x x f x f x x x x

(x)在[)1,0上单调递增.

11．证明：（1） ()y f x =是奇函数，定义域关于原点对称，()y f x =的值域也关于原点对称。1

x -=的定义域关于原点对称，

设x C ∈，存在t A ∈使()f t x =，则1

()f x t -=， ()y f x =是奇函数，()f t x -=-，1()f x t --=-，11()()f x t f x ---=-=-，

x -=也是奇函数．

（2）设12,x x C ∈，且12x x <，存在12,t t A ∈，使11()f t x =，22()f t x =，由于()y f x =在定义域上是增函数，所以12t t <，即1

112()()f x f x --<，1()y f x -=在定义域上也是单

调增函数．

2.6 .幂、指数式与对数式

7．解：原式23254

223(log 3log 3)(log 2log 2)log 2=++-

45)2log 212)(log 3log 313log 21(3322+++= 2

54545452log 233log 6532=+=+?= 8．解：∵18log 9a =，∴a =-=2log 12

log 1818，∴18log 21a =-，又∵185b

=，∴18log 5b =，∴a

22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836 9．1010．71

49)1(222=+?=+∴a

2.7 .指数函数与对数函数

0( 7．），（10)0,1(

- 8．]4110，（），（ 9．（1）1)()0(0>?>>?>-x

又0,1101>∴>???

b a ，故函数的定义域是),0(+∞.

（2）问题的结论取决于)(x f 的单调性，考察这个函数的单调性有三种方法： ①求导，②运用单调性定义，③复合分析，但以方法①最好. （解一）求导得：),ln ln (lg )(b b a a b a e x f x

ln b a ，0,0lg ,0ln ln >->>-∴x x x x b a e b b a a 而， )(,0)(x f x f >'∴在定义域内单调递增，故不存在所述两点；

（解二）任取012>>x x ，则11

2lg )()(12x x x x b

a b a x f x f --=-， 1010111221

12>--?>->-??????<>????<<>∴x x x x x x x x x x x x b a b a b a b a b

b a a b a ， ),()(12x f x f >∴即)(x f 在定义域内单调递增，故不存在所述两点；

（3）)(x f 在），∞+1(单调递增，∴命题等价于：0)1(=f ，1=-∴b a

10．)])(1[(log )(),1(12x p x x f p p x -+=∴><<

)1()21([log ])1([log 2

2++---=+-+-=p p x p x p x ，

（1）当p p <-<

211，即3>p 时，]21

log 2,()(2+-∞p x f 值域为；（2）当12

≤-p ，即31≤

11．设A 、B 、C 在x 轴上的射影分别为A 1、B 1、C 1，

C C AA C C BB B B AA S S S m f S 111111)(梯形梯形梯形-+==∴

)]4(log )2([log )]2(log [log ++++++=m m m m a a a a

1[log )4()2(log )]4(log [log 22>++=++=++-m m m m m m m m a a a a ，

11,540,54)21(4)2(22<+<∴<<∴=-+>-+u u m ，

)(,1m f S a =∴> 的值域为).5

12．（1）)(,010

??>->+ 定义域为)();1,1(x f x -∈为奇函数；

x x x f -+=11log )(2

，求导得e x

x x e x x x f a a log 12

-='-+??+-='， ①当1>a 时，)(,0)(x f x f ∴>'在定义域内为增函数； ②当10<a 时，∵)(x f 在定义域内为增函数且为奇函数，

(=∴==?∴a f a 得命题；

②当)(,10x f a 时<<在定义域内为减函数且为奇函数，

,231log ,1)21(=

∴==-?∴a f a 得命题；（3）)1(11111log +=-?-+=?-+=y y y a

a x x y ∈+-=∴+-=?-x a a x f e e x x x y y (1

（4）m x f a a a f x x <+-=∴=?+-=

212)(,21131,31)1(1

， m m x +<-?1)1(2；①当1≥m 时，不等式解集为∈x R ；

②当11<<-m 时，得m m x

112，不等式的解集为}11log |{2

x x -+<； ③当1,m x ≤-∈?

2.8 .二次函数

++-x x ； 5．－3或

?=+-=-=++=c a b c b a f c b a f ∵对∈x R ，

>????≤?>?≥+-=-1610

ac c a a c x ax x x f

c a ac ac ac c a ==∴≤?≥+=且16

2+=++=x x x x f

8．∵a >0，∴f(x)对称轴;1)1()]([,02

m in b a f x f a

①当;,11)1()]([,212

max 不合时即=?=-=≥-≤-

()]([,20,021max +-=?=-=<<<-<-a a

f x f a a 时即 ∴

综上，当.1)]([,21;1)]([,1max min =-=-==x f x x f x 时当时 9．∵f(x)的对称轴为,20a

55)2()]([20,120max =?-==≤≤≤≤a a f x f a a 时即 ②当;5,54)0()]([02max -=?-=--==a a f x f a 时不合；综上，.54

a a 或 10．（Ⅰ）当;2)(,02

x x x f x +=<时（Ⅱ）∵当,11)1()(,02

≤+--=>x x f x 时若存在这样的正数a ，b ，则当,111

)]([,],[max ≥?≤=∈a a

x f b a x 时∴f(x)在[a ，b]内单调递减，

?+-==+-==a a a f a

b a ,?是方程01223=+-x x 的两正根， .2

1,1,251,1,0)1)(1(1221223+==∴+=

=∴=---=+-b a x x x x x x x 11．（Ⅰ）,100)150()(;300

?≤<-≤≤-=t a t g t t t t t f 设将（50，150）代入

a 所以;3000,100)150(200

t t t g （Ⅱ）设时刻t 的纯收益为),()()(t g t f t h -= ①当,100)50(200

2175212001)(,200022+--=++-=≤≤t t t t h t 时 ∴当t=50时;100)]([max =t h ②当200,100)350(200

21025272001)(,30022+--=-+-

2.9 .函数的图象

1．D.（提示：变换顺序是)]2

3(2[)2()]23(2[-??+x f x f x f .

2．A.（提示：)()(x g x f ? 为奇函数，且0=x 时无定义，故只有A ）.3．A.（提示：设

)11(111)1(,)11(1=?=+?=+∴=-a f a a f a g 4．A.（提示：分三段分析）.

5．①、②、④.（提示：,1

=x y 只有③错，∵它有两个单调区间）. 6．②、④. 7．（1）（2）（3）

8． ∴--=-)],([)(a x f x a f 它的图象是由)(x f 图象绕y 轴翻转，然后向右平移||a 个单位得到；而)(b x f +的图象是由)(x f 图象向左平移||b 个单位得到，可断定

)(b x f +的图象关于直线2

对称. 证明：设),(v u P 是)(x a f y -=图象任意一点，)(u a f v -=∴①，

设P 关于直线2b a x -=对称的点??

??=-=+∴y v x b a u v

a u x y x Q ,22),,(代入①得

)],([x b a a f y ---=即)(b x f y +=，)(x a f -∴与)(b x f +的图象关于直线2

对称. 9．（1）（2）

10．作出281x y -=

-的图象（如图半圆）与m x y +-=的图象

（如图平行的直线，将)1,22(-A 代入l 得221-=m ，将

)1,22(B 代入l 得221+=m ，当l 与半圆相切于P 时可求得

则①当5221≤≤+m 时，l 与曲线有两个公共点； ②当221221+<≤-m 或5=m 时，有一个公共点； ③当221-m 时，无公共点； 11．（Ⅰ）设),(v u p 是x x y 1+

=上任意一点，u

+=∴ ① 设P 关于A （2，1）对称的点为

?-=-=????=+=+∴y

u y v x u y x Q 2424),,(

-=-x x y x x y ));,4()4,((41

2)(+∞?-∞∈-+-=∴x x x x g

（Ⅱ）联立,094)6(4122

???-+-==b x b x x x y b y

004)94(4)6(22=?=-=+?-+=?∴b b b b b 或,4=b

（1）当0=b 时得交点（3，0）；（2）当4=b 时得交点（5，4）

2.10 函数的综合应用

1．B 2．C 3．B 4．)(15

203m x V -=5．2001年 6．,403050,

22=-==AD x CD 设400≤≤∴x ，则水管总费用

)(15720(1000,151440)]([),

221)(,900240)(,9001000)40(500min min 222元求导得记+=∴+===+?

+-='++-=+?+-?=y x f km x x x x f x x x f x x y

7．设第一个煤矿供应三个城镇的用煤量分别为x 、y 、z 万吨，∴第二个煤矿供应三个城镇的用煤量分别为z y x ---

80,150,90万吨，又设每万吨煤运输1公里的费用为1，

,80,0,800,900,12184800,

120,186125520)80(30)

150(16)90(8121020最小时当总费用W z x z x z x W z y x z y x z y x z y x W ==∴≤≤≤≤-+=∴=++∴--+=-?+-?+-+++=∴

故，第一个煤矿供应三个城镇的用煤量分别为0万吨、40万吨、80万吨，第二个煤矿供应三个镇的用煤量分别为90万吨、110万吨、0万吨时总运输费用最小.

8．（I ）时当500

0≤≤x ，产品全部售出；当500>x 时，产品只能售出500台，故;)

>+-≤≤+--=x x x x x x x f

（II ）当时500

.107812,475;1075001250012000025120000)(,500;5.107812)475(2

)(2最大利润为时最大故当年产量为时当=-<-=>+--=x

9．设每月水量为3

xm ，支付水费为y 元；

则???>+-+≤<+=)

( )(8)0(8a x c a x b a x c

y ，,138,50≤+∴≤

将x =15，x =22分别代入②得b=2， 2a =c +19③，假设一月份用水量超过最低限量，即

9,9=>∴x a 将代入②得172+=c a 与③矛盾，,1,98,9==+∴≤∴c c a 得

代入③得.1,2,10===c b a

10．（I ）∵船在全程行驶的时间),(,

（II ）;0,20,2,0)

2<'<<==--='y p v p v p v vp v ks y 时当得当,4,

02ksp y y p v =∴>'>极小时

①当q p ≤2时，函数唯一的极小点在定义域],(q p 内，y p v 时当2=∴取最小值，此时轮船的实际前进速度为);/(h km p

②当q p >2时，函数在定义域内单调递减，y q v 时当=∴取最小值，此时轮船的实际前进速度为)./(h km p q -

必修一数学第二章测试卷答案

必修一基本初等函数（I）测试题姓名：_______________班级：_______________考号：_______________ 1、已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围为（ ?） A．?????? B．?????? ?? ??? C．?????? ? D． 2、若函数在（，）上既是奇函数又是增函数，则函数的图象是??????????????????????????????????????? （? ???） 3、D已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2+x)=f(－x)，当0≤x≤1时，f(x)=x2，则f(2015)= （ ??） A.－1?? ??? ??? B.1 ??? ??? ??? ??? C.0 ??? ??? ??? ??? ??? D.20152 4、已知函数为自然对数的底数)与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ??） A．?????? B．??????? C．????? D． 5、下图可能是下列哪个函数的图象(???? ) . ?????????. . ?????????.

6、?已知，，，则的大小关系是（??） A ．?????? B ．?????? C ．?????? D ． 7、设，，，则的大小关系是 A.??????? B. ?????? C.??????? D. 8、?下列函数中值域为（0，）的是（??? ） A. ????? B. ????? C. ????? D. 9、已知函数为自然对数的底数) 与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ??） A ．?????? B ．??????? C ．????? D ． 10、? 已知函数，若，则的取值范围是（ ???） A ．??????? B ．?????? C ．???????? D ． 11 、已知函数的最小值为（??? ） ??? A．6????????? ? ??? B．8????????????? ? C．9???????????? ?? D．12

复变函数第二章标准答案

复变函数第二章答案

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第二章解析函数 1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因 0()()lim z f z z f z z ?→+?-?0()Re()Re lim z z z z z z z z ?→+?+?-=? 0Re Re Re lim z z z z z z z z ?→?+?+??=? 0Re lim(Re Re )z z z z z z ?→?=+?+? 0 00 Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x z z z z z x i y ?→?→?→??=+=+??+? 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0. 2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =? 解: 22222222()||()()()(), f z z z z z z z z x y x iy x x y iy x y =?=??=?=++=+++ 这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+ 2222222,2,2, 2. x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++== 要,x y y x u v u v ==-，当且当0,x y ==而,,,x y x y u u v v 均连续，故2().f z z z =?仅在0z =处可导，处处不解析. (2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+- 解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=- 226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==- 四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析. 3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数. (1) (,).az b c d cz d ++至少有一不为零

复变函数论第三版课后习题答案 2

第一章习题解答（一） 1 ．设z =z 及Arcz 。解：由于3i z e π -== 所以1z =，2,0,1, 3 Arcz k k ππ=-+=±。 2 ．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12 z z 。解：由于6412,2i i z e z i e ππ -==== 所以()6 46 4 12 12222i i i i z z e e e e π πππ π --=== 54()14612 26 11222i i i i z e e e z e πππππ +-===。 3．解二项方程440,(0)z a a +=>。解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+====。 4．证明2 2 21212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。证明：由于2 2 2 1212122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 12 12122Re()z z z z z z -=+- 所以2 2 21212 122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆 1 =z 的一个正三角形的顶点。证由于1 321 ===z z z ，知 321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。因为 3 33 31z z z == ()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 21212z z z z ++= 所以， 1212 1-=+z z z z ，又 ) ())((1221221121212 21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()322121=+-=z z z z

第二章函数单元检测题

第二章函数单元检测题说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题共50分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1.下列各式中,表示y 是x 的函数的有 ①y =x -(x -3);②y =2-x +x -1;③y =???≥+<-);0(1), 0(1x x x x ④y =???). (1),(0为实数为有理数x x A.4个 B.3个 C.2个 D.1个解析:①③表示y 是x 的函数;在②中由???≥-≥-0 1, 02x x 知x ∈?,因为函数定义域不能是空集，所以②不表示y 是x 的函数;在④中若x =0,则对应的y 的值不唯一，所以④不表示y 是x 的函数. 答案:C 2.函数f (x )=2x 2-mx +3,当x ∈［-2,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,-2］时是减函数，则f (1)等于 A.-3 B.13 C.7 D.由m 而定的常数解析:由题意可知，x =-2是f (x )=2x 2-mx +3的对称轴，即- 4 m -=-2, ∴m =-8.∴f (x )=2x 2+8x +3. ∴f (1)=13. 答案:B 3.已知f (x )=3x +1(x ∈R),若|f (x )-4|0),则a 、b 之间的关系为 A.a ≤3b B.b ≤3a C.b >3 a D.a >3b 解析:|f (x )-4|

高中数学必修1第二章基本初等函数测试题(含答案)人教版

《基本初等函数》检测题一．选择题．（每小题5分，共50分） 1．若0m >，0n >，0a >且1a ≠，则下列等式中正确的是 ( ) A ．()m n m n a a += B ．1 1m m a a = C ．log log log ()a a a m n m n ÷=- D 43 ()mn = 2．函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点 ( ) A ．(1,2) B ．(2,2) C ．(2,3) D ．2 (,2)3 3．已知幂函数()y f x =的图象过点，则(4)f 的值为（） A ．1 B ． 2 C ．12 D ．8 4．若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是（） A ．12 2lg x x x >> B ．12 2lg x x x >> C ．12 2lg x x x >> D ．12 lg 2x x x >> 5．函数(2)log (5)x y x -=-的定义域是（） A ． (3,4) B ．(2,5) C ．(2,3)(3,5) D ．(,2)(5,)-∞+∞ 6．某商品价格前两年每年提高10%，后两年每年降低10%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是（）

A ．减少1.99% B ．增加1.99% C ．减少4% D ．不增不减 7．若1005,102a b ==，则2a b += （） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8．函数()lg(101)2 x x f x =+-是（） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇且偶函数 D ．非奇非偶函数 9．函数2log (2)(01)a y x x a =-<<的单调递增区间是（） A ．(1,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,0)-∞ 10．若2log (2)y ax =- (0a >且1a ≠)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（） A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[2,)+∞ 二．填空题．(每小题5分，共25分) 11．计算：459log 27log 8log 625??= ． 12．已知函数3log (0)()2(0) x x x >f x x ?=?≤?，， ,则1[()]3 f f = ． 13．若 3())2 f x a x bx =++，且 (2) f =，则 (2f - = ． 14．若函数()log (01)f x ax a =<<在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3

最新复变函数第二章答案

第二章解析函数 1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因 0()()lim z f z z f z z ?→+?-?0()Re()Re lim z z z z z z z z ?→+?+?-=? 0Re Re Re lim z z z z z z z z ?→?+?+??=? 0Re lim(Re Re )z z z z z z ?→?=+?+? 0 00 Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x z z z z z x i y ?→?→?→??=+=+??+? 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0. 2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =? 解: 22222222()||()()()(), f z z z z z z z z x y x iy x x y iy x y =?=??=?=++=+++ 这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+ 2222222,2,2, 2. x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++== 要,x y y x u v u v ==-，当且当0,x y ==而,,,x y x y u u v v 均连续，故2().f z z z =?仅在0z =处可导，处处不解析. (2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+- 解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=- 226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==- 四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析. 3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数. (1) (,).az b c d cz d ++至少有一不为零

复变函数第二章学习方法导学

第二章解析函数解析函数是复变函数论研究的中心和主要对象，它是一类具有某种特性的可微（可导）函数，并在理论和实际问题中有着广泛的应用．本章，我们首先介绍复变函数的极限与连续，并从复变函数的导数概念出发，引入解析函数，导出复变函数可导和解析的主要条件——柯西—黎曼条件，并给出判断函数可导和解析的一类充分必要条件（它是用复变函数的实部和虚部两个二元实函数所具有的微分性质来表达的充要条件）；其次，介绍几类基本初等解析函数，这些函数实际上是数学分析中大家所熟知的初等函数在复数域上的推广，并研究它们的有关性质．一、基本要求 1．掌握复变函数的极限和连续的概念，能对照数学分析中极限和连续的性质，平行地写出复变函数的极限与连续的相应性质（比如极限和连续的四则运算性、极限和连续的局部不等性（由于复数没有大小的规定，因此，此性质是与局部保号性相对应的性质）、极限与连续的局部有界性、极限存在的柯西准则、极限的归结原则和复合函数的连续性等），并能熟练地运用四则运算性和复合函数的连续性求函数的极限或判断函数的连续性． 2．熟练掌握复变函数的极限和连续与其实部、虚部两个二元实函数的极限和连续的等价关系，能利用这种关系借助二元实函数的极限或连续简洁地求复变函数的极限或讨论复变函数的连续性；能利用这种关系借助有界闭集上二元连续函数的整体性质简洁地证明有界闭集上复变连续函数的整体性质（比如：有界性，最大模和最小模的存在性，一致连续性）．另外，关于对具体函数的一致连续性的讨论，大家还要掌握利用下面的结论来判断函数不一致连续的有效方法，结论如下：复变函数()f z 在点集E ?￡上一致连续?对任意两个点列n z ，n z 'E ∈，只要0()n n z z n '-→→∞，总有()()0()n n f z f z n '-→→∞．

高中数学必修一第二章测试题正式

秀全中学2012——2013学年第一学期高一数学第二章单元检测（满分120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题只有一项是符合要求的） 1．函数32+=-x a y （a >0且a ≠1）的图象必经过点（A ）（0,1）（B ） (1,1) （C ） (2,3) （D ）(2,4) 2．函数lg y x = A.是偶函数，在区间(,0)-∞ 上单调递增 B.是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减 C.是奇函数，在区间(0,)+∞ 上单调递增 D ．是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 3．三个数6 0.70.70.76log 6，，的大小关系为 A . 60.70.70.7log 66<< B . 60.7 0.7log 60.76<< C ．0.7 60.7log 660.7<< D . 60.70.70.76log 6<< 4．函数12 log (32)y x = - A ．[1,)+∞ B ．2(,)3+∞ C ．2(,1]3 D ．2[,1]3 5、已知镭经过100年，剩留原来质量的95．76%，设质量为1的镭经过x 年的剩留量为y ，则y 与x 的函数关系是（A ）y =(0．9576) 100 x （B ）y =(0．9576)100x （C ）y =( )x （D ）y =1－（0．0424） 100 x 6、函数y =x a log 在[1,3]上的最大值与最小值的和为1，则a = （A ）（B ） 2 （C ） 3 （D ） 7、下列函数中，在区间（0，2）上不是增函数的是（A ） 0.5log (3)y x =- （B ） 12+=x y （C ） 2x y -= （D ）x y 22= 8、函数与（）在同一坐标系中的图像只可能是 1009576.02131x a y =x y a log -=1,0≠>a a 且

复变函数论作业及答案

习题1 第一章复数与复变函数 1.12z = =求|z|，Argz 解：123212 2 =??? ? ??+??? ??=z Argz=arctan 212-+2k π=23k π π+-, ,2,1,0±±=k 2．已知2 11i z += ,=2z i -3,试用指数形式表示2 1 21z z z z 及解：2 11i z += i e 4 π = =2z i -3i e 6 2π -= 所以21z z =i e 6 2π -i e 4 πi e 12 2π - = 2 1z z i i i i e e e e 125)64(64 21212π π ππ π ===+- 3．解二项方程440z a += )0(>a 解由440z a +=得44z a =- 则二次方程的根为 k w a = （k=0,1,2,3） =24k i e a ππ+? （k=0,1,2,3） 0w =4 i e a π? =234 4 1(1)2 i i a w e a e a i ππ π+?===-+

54 2(1)2i a w e a i π==-- 74 3(1)2 i a w e a i π==- 4 .设1z 、2z 是两个复数，求证： ),Re(2||||||212221221z z z z z z -+=- 证明：()() 21212 21z z z z z z --=- () 2 12 22 121212 2211 2212 221Re 2z z z z z z z z z z z z z z z z -+=--+=---= 5．设123z ,z ,z 三点适合条件： 1230z z z ++=及1231z z z === 试证明123z ,z ,z 是一个内接于单位圆周1z =的正三角形的顶点。证明：设111z x iy =+，222z x iy =+，333z x iy =+ 因为1230z z z ++= ∴1230x x x ++=，1230y y y ++= ∴123x x x =--，123y y y =-- 又因为1231z z z === ∴三点123z ,z ,z 在单位圆周上，且有222222112233x y x y x y +=+=+ 而()()2 2 22112323x y x x y y +=+=+ ()()2 223231x x y y ∴+++= ()232321x x y y ∴+=- 同理=+)(22121y y x x ()()131********x x y y x x y y +=+=- 可知()()()()()()2 2 2 2 2 2 121223231313x x y y x x y y x x y y -+-=-+-=-+-

高等数学第二章练习及答案

x) 1 3. 函数f (x) lnx 在x 1处的切线方程是 _______________________ 1 4. 设 f(—) x ,则 f (x) ___ ________ x 3 5. 函数 f (x) sin(cosx )，贝y f (x) ___________________ 6.设函数f(x) ln cosx ，则二阶导数f (x) 、选择题. 1.函数y A 、无定义不连续第二章 C 、可导 D 、连续但不可导 2.设函数f (X ) 2x 2 x , 1,x 0 ，则 f (x)在点x 0处 A 、没有极限 B 、有极限但不连续 C 、连续但不可导 D 、可导 3?设函数y f (x)可微, 则当 y dy 与x 相比，是 x 的等价无穷小 x 的同阶无穷小 C . x 的高阶无穷小 x 的低阶无穷小 4.函数 x 3的单调增区间是中B 、(严,T 3 3 3 C 、(于 5?函数f (x) 1 (e x e x )的极小值点是 ) ) ) ) (0,+ ) ) 不存在、填空题. 1. 已知(sin x) cosx , 利用导数定义求极限 2、如果f (x °) 4，则 lim f(x 0 3x) x 0 f (X o )

7. d(arctan2x) ,d In (sin 2x) 四、计算题. 六、应用题. 产品的市场需求量为 q 1000 10 p ( q 为需求量，p 为价格)?试求：(1 )成本函数，收入函数；(2)产量为多少吨时利润最大? 8.函数f(x) x 3 ax 2 3x 9，已知f (x)在x 3时取得极值，则 a = p 9 ?设需求量q 对价格p 的函数为q(p) 100e ? ，则需求弹性E p 三、判断题. 1. 若f(x)在点X o 处可导，则f (x)在点X o 处连续. 2. dy 是曲线y f (x)在点(x 0, f (怡))处的切线纵坐标对应于 x 的改变量. 3. 函数y f (x)在x 0点处可微的充要条件是函数在 X 。点可导. 4. 极值点一定是驻点. 5. 函数y x 在点x 0处连续且可导. 1.求函数 y arctan-. 1 x 2的导数. 2.求由方程x y e 2x e y 0所确定的隐函数 y f(x)的导数y . e 3.设 y x ，求 y . 4.求由方程y cos(x y)所确定的隐函数 y f (x)的二阶导数y . 五、求下列极限. (1) lim x x sin x x sin x (2) 4 c 2 lim X x 0 3x 2x si nx 4 ， (3) 01 x x 1 ln x (4) 1 lim( a' X 1)x (a 0), (5) (6) lim (x x 1 X \ X e)x . 1.求函数f (x) x 3 3x 2 9x 1的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点. 2.某厂生产一批产品, 其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为 60元, 对这种

复变函数第二章习题答案精编版.doc

第二章解析函数 1-6 题中：（1）只要不满足 C-R 条件，肯定不可导、不可微、不解析（2）可导、可微的证明：求出一阶偏导u x, u y, v x, v y，只要一阶偏导存在且连续，同时满足C-R 条件。（3）解析两种情况：第一种函数在区域内解析，只要在区域内处处可导，就处处解析；第二种情况函数在某一点解析，只要函数在该点及其邻域内处处可导则在该点解析，如果只在该点可导，而在其邻域不可导则在该点不解析。（4）解析函数的虚部和实部是调和函数，而且实部和虚部守C-R 条件的制约，证明函数区域内解析的另一个方法为：其实部和虚部满足调和函数和C-R 条件，反过来，如果函数实部或者虚部不满足调和函数或者C-R 条件则肯定不是解析函数。解析函数求导： f ( z) u x iv x 4、若函数f ( z)在区域 D上解析，并满足下列的条件，证明 f ( z) 必为常数。（1）f z 0 z D 证明：因为 f ( z) 在区域上解析，所以。令 f (z) u( x, y) iv ( x, y) ，即 u v , u v f (z) u i v 0 。 x y y x x y 由复数相等的定义得：u v u v x y 0, 0 。 y x 所以， u( x, y) C1(常数)，v( x, y) C2(常数)，即 f (z) C1 iC2为常数。 5、证明函数在z 平面上解析，并求出其导数。（1） e x ( xcos y y sin y) ie x ( y cos y x sin y).

证明：设 f z u x, y iv x, y = e x ( x cos y y sin y) ie x ( y cos y xsin y). 则 u , y x ( x cos y y sin y ) ， v x, y x x e e ( y cos y x sin y) u e x ( x cos y ysin y) e x cos y v e x cos y y sin ye x x cos ye x x ； y u e x ( x sin y sin y y cos y) ； v e x ( y cos y x sin y sin y) y x 满足 u v , u v 。 x y y x 即函数在 z 平面上 ( x, y) 可微且满足 C-R 条件，故函数在 z 平面上解析。 f (z) u i v e x (x cos y y sin y cos y) ie x ( y cos y x sin y sin y) x x 8、（1）由已知条件求解析函数 f ( z) u iv u x 2 y 2 xy f (i ) 1 i 。，，解： u x 2x y, u y 2 y x 由于函数解析，根据 C-R 条件得 u x v y 2x y 于是 y 2 v 2xy (x) 2 其中 ( x) 是 x 的待定函数，再由 C —R 条件的另一个方程得 v x 2y ( x) u y 2y x ， x 2 所以 (x) x ，即 (x) c 。 2 于是 v y 2 x 2 c 2xy 2 2 又因为 f (i ) 1 i ，所以当 x 0, y 1 ，时 u 1 1 1 ， v c 1得 c 2 2

八年级上册数学第二章测试题及答案

八年级上册数学第二章测试一、填空 1、已知一个正比例函数的图象经过点（-2，4），则这个正比例函数的表达式是。 2、若函数y= -2x m+2是正比例函数，则m 的值是。 3、已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，2），则k= 。 4、已知y 与x 成正比例，且当x ＝1时，y ＝2，则当x=3时，y=____ 。 5、点P （a ，b ）在第二象限，则直线y=ax+b 不经过第象限。 6、已知一次函数y=kx-k+4的图象与y 轴的交点坐标是(0，-2)，那么这个一次函数的表达式是______________。 7、已知点A(-2 1，a), B(3，b)在函数y=-3x+4的象上,则a 与b 的大小关系是____ 。 8、地面气温是20℃,如果每升高100m,气温下降6℃,则气温t （℃）与高度h （m ）的函数关系式是__________。 9、一次函数y=kx+b 与y=2x+1平行,且经过点(-3,4),则表达式为：。 10、写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式（写出一个即可）。（1）y 随着x 的增大而减小，（2）图象经过点（1，-3）。二、选择题 11、下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-1-3x 中，是一次函数的有（）（A ）4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个 12、下面哪个点不在函数32+-=x y 的图像上（）（A ）（-5，13）（B ）（0.5，2）（C ）（3，0）（D ）（1，1） 13、直线y=kx+b 在坐标系中的位置如图，则（A ）1 ,12k b =-=- （B ）1,12k b =-= （C ）1,12k b ==- （D ）1,12 k b == 14、下列一次函数中，随着增大而减小而的是（）（A ）x y 3= （B ）23-=x y （C ）x y 23+= （D ）23--=x y 15、已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示，则k ，b 的符号是 ( ) (A) k>0，b>0 (B) k>0，b<0 (C) k<0，b>0 (D) k<0，b<0 （第15题图）

复变函数习题答案第2章习题详解

第二章习题详解 1．利用导数定义推出： 1) () 1 -=n n nz z ' （n 为正整数）解： ()()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n n n n n z n n z n ????????-?? ??? ?++-+ += -+= --→→ 2 2 1 12 1lim lim ' ()() 1 1 2 1 12 1----→=?? ? ?? ?++-+ = n n n n z nz z z z n n nz ??? lim 2) 211z z -=?? ? ??' 解： () ()2 11 111 1z z z z z z z z z z z z z z z z z - =+-= +-= - += ?? ? ??→→→?????????lim lim lim ' 2．下列函数何处可导？何处解析？ 1) ()iy x z f -=2 解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -= x x u 2=??， 0=??y u ， 0=??x v ，1-=??y v 都是连续函数。只有12-=x ，即2 1- =x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2 在直线2 1- =x 上可导，在复平面内处处不解析。 2) ()3 3 32y i x z f += 解：设()iv u z f +=，则3 2x u =，3 3y v = 2 6x x u =??， 0=??y u ， 0=??x v ， 2 9y y v =??都是连续函数。只有2 2 96y x =，即032=± y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()3 3 32y i x z f +=∴在直线 032=± y x 上可导，在复平面内处处不解析。 3) ()y ix xy z f 2 2 += 解：设()iv u z f +=，则2 xy u =，y x v 2 =

高中数学必修一第二章函数测试题及答案[1]

高中数学必修一第二章函数单元测试题一、选择题： 1 、若()f x =(3)f = （） A 、2 B 、4 C 、 D 、10 2、对于函数()y f x =，以下说法正确的有（） ①y 是x 的函数；②对于不同的,x y 的值也不同；③()f a 表示当x a =时函数()f x 的值，是一个常量；④()f x 一定可以用一个具体的式子表示出来。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、下列各组函数是同一函数的是（） ①()f x = ()g x =；②()f x x = 与2 ()g x =；③0()f x x =与0 1()g x x = ；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--。 A 、①② B 、①③ C 、③④ D 、①④ 4、二次函数245y x mx =-+的对称轴为2x =-，则当1x =时，y 的值为（） A 、7- B 、1 C 、17 D 、25 5 、函数y =的值域为（） A 、[]0,2 B 、[]0,4 C 、(],4-∞ D 、[)0,+∞ 6、下列四个图像中，是函数图像的是（） A 、（1） B 、（1）、（3）、（4） C 、（1）、（2）、（3） D 、（3）、（4） 7、若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有（）（1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一；（2）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像；（3）B 中的元素可以在A 中无原像；（4）像的集合就是集合B 。 A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 8、)(x f 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确．．．的是( ) A 、()()0f x f x -+= B 、()()2()f x f x f x --=- C 、()()0f x f x - ≤ D 、 () 1() f x f x =-- （1）（2）（3）（4）

高中数学必修一第二章基本初等函数练习题及答案

高中数学必修一第二章基本初等函数试题一、选择题： 1 、若()f x = (3)f = （） A 、2 B 、4 C 、 D 、10 2、对于函数()y f x =，以下说法正确的有（） ①y 是x 的函数；②对于不同的,x y 的值也不同；③()f a 表示当x a =时函数()f x 的值，是一个常量；④()f x 一定可以用一个具体的式子表示出来。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、下列各组函数是同一函数的是（） ①()f x = 与()g x =；②()f x x = 与2 ()g x = ；③0 ()f x x =与01()g x x = ；④2 ()21f x x x =--与2 ()21g t t t =--。 A 、①② B 、①③ C 、③④ D 、①④ 4、二次函数2 45y x mx =-+的对称轴为2x =-，则当1x =时，y 的值为（） A 、7- B 、1 C 、17 D 、25 5 、函数y = （） A 、[]0,2 B 、[]0,4 C 、(],4-∞ D 、[)0,+∞ 6、下列四个图像中，是函数图像的是（） A 、（1） B 、（1）、（3）、（4） C 、（1）、（2）、（3） D 、（3）、（4） 7、若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有（）（1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一；（2）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像；（3）B 中（1）（2）（3）（4）

的元素可以在A 中无原像；（4）像的集合就是集合B 。 A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 8、)(x f 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确．．．的是( ) A 、()()0f x f x -+= B 、()()2()f x f x f x --=- C 、()()0f x f x - ≤ D 、 () 1() f x f x =-- 9、如果函数2 ()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减少的，那么实数a 的取值范围是（） A 、3a -≤ B 、3a -≥ C 、a ≤5 D 、a ≥5 10、设函数()(21)f x a x b =-+是R 上的减函数，则有（） A 、12a > B 、12a < C 、12a ≥ D 、12 a ≤ 11、定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,a b ，总有()() 0f a f b a b ->-成立，则必有（） A 、函数()f x 是先增加后减少 B 、函数()f x 是先减少后增加 C 、()f x 在R 上是增函数 D 、()f x 在R 上是减函数 12、下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。 A 、（1）（2）（4） B 、（4）（2）（3） C 、（4）（1）（3） D 、（4）（1）（2）二、填空题： 13、已知(0)1,()(1)()f f n nf n n N +==-∈，则(4)f = 。 14、将二次函数2 2y x =-的顶点移到(3,2)-后，得到的函数的解析式为。（1）（2）（3）（4）

复变函数课后部分习题解答

（1）(3-i) 5 解：3-i=2[cos( -30°)+isin(-30°)] =2[cos30°- isin30°] (3-i)5 =25[cos(30°?5)-isin(30°?5)] =25(-3/2-i/2) =-163-16i

（2）（1+i ）6 解：令z=1+i 则x=Re （z ）=1，y=Im （z ）=1 r=z =22y x +=2 tan θ=x y =1 Θx>0,y>0 ∴θ属于第一象限角 ∴θ= 4 π ∴1+i=2（cos 4π+isin 4 π ） ∴（1+i ）6=（2）6（cos 46π+isin 4 6π ） =8（0-i ） =-8i 1.2求下式的值 (3)61-

因为 -1=（cos π+sin π）所以 6 1-=[cos(ππk 2+/6)+sin(ππk 2+/6)] (k=0,1,2,3,4,5,6). 习题一 1.2（4）求(1-i)3 1的值。

解：(1-i)3 1 =[2(cos-4∏+isin-4 ∏ )]31 =62[cos(12)18(-k ∏)+isin(12 ) 18(-k ∏)] (k=0,1,2) 1.3求方程3z +8=0的所有根。解：所求方程的根就是w=38- 因为-8=8（cos π+isin π）所以38-= ρ [cos(π+2k π)/3+isin(π+2k π)/3] k=0,1,2

其中ρ=3r=38=2 即 w=2[cosπ/3+isinπ/3]=1—3i 1 w=2[cos(π+2π)/3+isin(π+2π)/3]=-2 2 w=2[cos(π+4π)/3+isin(π+4π)/3]= 1—3i 3 习题二 1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域，并指明它是有界还是无界的，单连通还是多连通的。 (1) Im(z)>0 解：设z=x+iy 因为Im(z)>0，即，y>0

高中数学知识点总结第二章函数

高中数学第二章-函数考试内容：映射、函数、函数的单调性、奇偶性．反函数．互为反函数的函数图像间的关系．指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数．函数的应用．考试要求：（1）了解映射的概念，理解函数的概念．（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． §02. 函数知识要点一、本章知识网络结构： F:A →B 二次函数二、知识回顾：（一）映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 3.反函数反函数的定义设函数 ))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=?(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=?(y)，x 在A 中都有唯一

的值和它对应，那么，x=?(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=?(y) (y ∈C)叫做函数 ))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -=,习惯上改写成 )(1x f y -= （二）函数的性质 ⒈函数的单调性定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1f(x 2),则说f(x) 在这个区间上是减函数. 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性 ⑴偶函数：)()(x f x f =- 设（b a ,）为偶函数上一点，则（b a ,-）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于y 轴对称，例如：12+=x y 在)1,1[-上不是偶函数. ②满足)()(x f x f =-，或0)()(=--x f x f ，若0)(≠x f 时，1) () (=-x f x f . ⑵奇函数：)()(x f x f -=- 设（b a ,）为奇函数上一点，则（b a --,）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称，例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数. ②满足)()(x f x f -=-，或0)()(=+-x f x f ，若0)(≠x f 时， 1) () (-=-x f x f . 3. 对称变换：①y = f （x ））（轴对称 x f y y -=???→? ②y =f （x ））（轴对称 x f y x -=???→? ③y =f （x ））（原点对称x f y --=???→? 4. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：在进行讨论. 5. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数f （x ）= 1+ x x -1的定义域为A ，函数f [f （x ）]的定义域是B ，则集合A 与集合B 之间的关系是 . 2 21222121222 22121)()()(b x b x x x x x b x b x x f x f x ++++-=+-+=-）（

{高中试卷}第二章《函数》基础测试题[仅供参考]

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：

基础测试（一）选择题（每小题4分，共24分） 1．下列各函数中，图象完全相同的是（）．（A ）y ＝2 lg x 和y ＝lg x 2 （B ）y ＝x x 2 和 y ＝x （C ）y ＝1|1|--x x 和y ＝? ??∞+∈-∞∈-),1(1)1,(1x x 当当（D ）y ＝x －3和y ＝962+-x x 【答案】（C ）．【点评】应考察每组两个函数的定义域和对应法则是否相同． 2．设f （x ）＝3412++x x （x ∈R 且x ≠－43 ），则f －1（2）等于（）．（A ）－65 （B ）115 （C ）52 （D ）－52 【答案】（A ）．【点评】运用反函数的概念，只需在原函数中令2＝341 2++x x ，解出x ，即为所求． 3．设a ＝0.32，b ＝log 20.3，c ＝20. 3，这三个函数之间的大小关系是（）．（A ）a ＜c ＜b （B ）a ＜b ＜c （C ）b ＜a ＜c （D ）b ＜c ＜a 【答案】（C ）．【点评】三个数中a ＞0，c ＞0，b ＜0，否定（A ），（B ）．而a ＜1，c ＞1，故选（C ）． 4．若log a 2＜log b 2＜0，则（）．（A ）0＜a ＜b ＜1 （B ）0＜b ＜a ＜1 （C ）a ＞b ＞1 （D ）b ＞a ＞1 【答案】（B ）．【点评】利用对数函数的图象和性质以及换底公式可解．

【提示】log a 2＝a 2log 1，log b 2＝b 2log 1 ，由 a 2log 1＜ b 2log 1 ＜0，得 0＞log 2a ＞log 2b ， ∴ 1＞a ＞b ＞0． 5．将函数y ＝f （x －1）的图象作适当的平移，可得到函数y ＝f （x ＋2）的图象，这个平移是（）．（A ）向左平移3个单位（B ）向右平移3个单位（C ）向左平移2个单位（D ）向右平移2个单位【答案】（A ）．【点评】函数y ＝f （x ＋a ）（a ＞0）的图象是由y ＝f （x ）向左平移a 个单位得到的．将y ＝f （x －1）的图象向左平移3个单位，就得到y ＝f （x ＋3－1）＝f （x ＋2）的图象． 6．函数f （x ）＝21 ++x ax 在区间（－2，＋∞）上是增函数，那么a 的取值范围是（）．（A ）0＜a ＜21（B ）a ＞21 （C ）a ＜－1或a ＞1 （D ）a ＞－2 【答案】（B ）．【点评】利用反比例函数的单调性，函数y ＝a ＋221+-x a 即（x ＋2）（y －a ）＝1－2a ．若在（－2，＋∞）上是增函数，只需1－2a ＜0，故a ＞21 ．（二）填空题（每小题5分，共25分） 1．若（x ，y ）在一一映射下的象是（x ＋y ，x －y ），其中x ∈R ，y ∈R ，则（1，2）的象是_________；（1，－3）的原象是___________．【答案】（3，－1）；（－1，2）． 2．已知函数y ＝2 x 2＋4 （a －4）x ＋5，在（－∞，－3）上是减函数，则a 的取值范围是________．【答案】a ≤7．【点评】要切实掌握好二次函数的定义及有关的性质，本题中函数图象对称轴方程是x ＝4－a ，且开口向上，故只要4－a ≥－3即可． 3．函数f （x ）＝log 2（3－2 x －x 2）的值域是___________．【答案】（－∞，2]．【点评】复合函数的值域问题，要注意先求函数的定义域，从而求出u ＝3－2 x －x 2＞0的值域，再利用对数函数y ＝log 2u 性质求得答案．

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