第11章 新古典增长理论-索洛模型(课件版)

第十一章 新古典增长理论——索洛模型（3）

本次授课框架：

总结波动理论，引出增长理论。

增长方程推导及对增长因素的讨论（包括索洛剩余）

（1） 增长方程推导（总量形式），假设条件

（2） 人均形式生产函数

（3） 总量与人均量之间的关系

索洛稳态方程推导过程

（1） 索洛稳态定义

（2） 根据均衡条件的推导

（3） 稳态条件的存在性讨论（生产函数假设，INADA 条件）

（4） 储蓄线和投资持平线（补偿线）相互关系的讨论解释稳态调整路径 比较静态分析

（1） 储蓄率增加情况

（2） 人口增长率增加情况

总结“新古典增长理论”的关键结论（影响总量、人均增长率的因素（结合储蓄率）与各国收入趋同论）

新古典增长理论评价

一、增长方程推导

假设生产函数：

N N N K AF N N K AF N K K N K AF K N K AF K A A Y

Y N K AF Y ???*+???*+?=?=),(),(),(),()

,( 假设 产品市场、要素市场完全竞争，规模收益不变1。根据欧拉定理：

1 对规模收益不变（Constant Return of Scale ，简称CRS ）的理解。第一，经济规模足够大，以至于来自专业化分工的收益（gains from specialization ）已不存在。当资本和劳动增加一倍时，只能重复原有的工作效率和工作方式，使产出翻倍而不能带来更多；第二，强调资本和劳动对产出的重要性，其他因素如自然资源的相对次要地位。本章的一道作业题也表明这种假设的合理性，自然资源对经济增长的制约阻碍在一定程度上是可以被逾越的。

总量表达式2 N N K K A A

Y Y

N K AF N N K AF N N K AF K N K AF K ?-+?+?=?-=??*=??*

)1(1),(),()

,()

,(θθθθ 总量与人均量的关系

N N k k K K N N y y Y Y

?+?=??+?=?

人均量表达式 k

k A A y y ?+?=?θ

索洛发现：技术进步、劳动供给增加和资本积累按此顺序是GDP 增长的重要决定因素，而技术进步和资本积累是人均GDP 增长的重要因素。在大部分历史中，两个重要的要素，当推资本积累3（实物与人力）与技术进步。我们对增长理论的研究重点集中于这两个因素。

索洛剩余 产出增长中不能通过资本积累和劳动投入来解释的部分，可以理解为技术进步（A

A ?）带来的增长。A 4有时也被称作“全要素生产率”（TFP ），这是一个比“技术进步”更为中性的术语。实证研究表明：

技术进步在产出增长中的贡献大约为80%左右。由于产出和劳动、资

本投入可以直接观察到，而A 却不能，经济学家测量“索洛剩余” A 利用：])1[(K K N N Y Y A A

?+?--?=?θθ

二、稳态分析

2

在发达国家如美国，资本的收入份额θ是0.25，劳动的收入份额θ-1是0.75。这意味着，资本年增长率如果为3个百分点，导致产出增长率还不到1个百分点。 3 如果将资本进一步细化为实物资本和人力资本（H ），生产函数将转化为：),,(N H K AF Y =。曼昆、罗默等一篇颇有影响的文章指出，生产函数中实物资本K 、非熟练劳动力N 和人力资本H 的要素份额各占1/3。

4 A 被定义为“全要素生产率”的说法，只是针对),(N K AF Y =这种生产函数形式的，这种技术进步

类型在历史上也被称作“hicks-neutral ”（希克斯中性）；如果生产函数形式为),(AN K F Y =，这是的技术进步被称作劳动增广型（labor-augmenting ）技术进步或“harrod-neutral ”（哈罗德中性）。如果采用这种生产函数形式，也可以推导出类似的增长方程以及索洛稳态方程。

当n N

N A A =?=?,0时，按照前面推导出的增长方程（不停地迭代下去），产量增长率会怎样变化？例如，是否会有这样一个稳态点，在这一点上人均产量和人均资本都变得固定？如果有这样的稳态点，在这一点上，又具有什麽特征？（稳态特征）

现在考虑这个稳态点所具备的状态特性。已知人口以速度n 增长，为使人均资本保持不变，即经济达到上述定义的稳态，则资本必须和人口以相同速度增长。即：

0=?=?=?=?=?k

k y y n Y Y K K N N

关键的稳态特征是三个变量N 、K 、Y 以相同速度n 增长，人均资本水平k 固定。

下一个问题是：那个固定的人均资本水平k 为多少？利用波动理论中的供需平衡条件求出k 。

在一个没有政府的封闭经济体中，均衡条件：

S I =

稳态方程 )

()()(k sf k d n sY K d n sY

dK K =+=+=+?

问题：如何能保证该稳态方程有解存在（k 的存在性）？借助几何图形释义（解释初始条件）。

其中f(k)为人均产量表达式 )

1,()(),()

,(k F k f y N

N N K F N Y N K F Y ====

当f(k)存在边际报酬递减规律时，经济会进入索洛假定的长期稳态。（解释f(k)边际报酬递增时，k 不稳定的理由）

k 的稳定性问题：

稳态时，储蓄正好提供了充足的投资来抵消折旧和为新增的劳动力装备资本设备。如果储蓄sy 超过(n+d)k ，导致人均资本上升，人均收入上升；反之，如果sy 不足补充(n+d)k ，则人均资本下降，人均收入下降。(稳定点判定)

作图

三、几点讨论

（1） 储蓄率增加

提高了稳态人均收入水平和人均资本水平。

总产量增长率达到稳态时为n,只是在动态调整过程中上升。（长期增长率独立于储蓄率）

各种路径分析（k 、y 、K 、Y 的增长率路径以及k 、y 的水平路径）。

（作图）

附：

收敛速度的讨论及储蓄率上升导致稳态人均资本量、人均产出量的变化度和变化方向判断。至于储蓄率变化对稳态人均消费的影响讨论将在下一章提及。

——储蓄率上升导致稳态人均资本量、产出量的变化度和变化方向判断： 0)

()()()()()),,(()

,,()()).,((φk k k k k k

k k k f s d n f s s d n s f s d n s f d n s d n d n s sf *********'-+=????+≡??'++≡ （n+d 为投资持平线斜率，sf ′(k)为稳态点的储蓄线斜率，前者一定大于后者，所以，dk*/ds>0）

[]

[])(1)()(/)(1)

(/)()(/)()()()()()()()()()()(0)()()()(),,()(k k k k k k k k

k k k k k k k k k y y k k k k k y

k k f f f f f f d n d n k f f d n f s d n f f f s s s f s d n f f s d n s f s *

********************

****-='-'='+-+'+='-+'=??'-+'=??'=??ααφ

这说明：稳态人均产出对储蓄率变动的弹性与资本报酬占收入的份额有很大关系。在多数国家，αk 大致为1/3，因此，可以粗略估计，在长期产

出对储蓄率的弹性约为1/2。如果储蓄率提升10%，则人均产出在长期将会提升约5%。我们发现储蓄率的大幅度变化将只会带来收入的相对微弱幅度的调整。

——k 趋进稳态资本存量的速度讨论：

0)1)()(()()()()()()()()()()()(π&&-+=+-'+=+-'==-=-+≈+-==?*****=**=*??????*

*k k k k k k k k k k k k k k k

k k d n d n f f d n d n f s k k k k k

d n k sf k αλλ其中，)(k k *

α为资本收入份额，小于1。该式表示k 趋近稳态的收敛速

度存在规律：离稳态点k*距离越远，收敛速度越快。

（2）人口增长率增加

导致(n+d)k 曲线向左上方旋转。

人口增长率的增加降低人均资本稳态水平和人均产量。

人口增长率上升增加稳态时总产量增长率。

各种路径分析（k 、y 、K 、Y 的增长率路径以及k 、y 的水平路径）

（作图）

四、总结新古典增长理论的四个关键结论

（1） 稳态增长率是外生的，独立于储蓄率。

（2） 尽管储蓄率的增加没有影响到稳态增长率，但它提高了稳态人均收

入水平。

（3） 当允许生产率增加（即存在技术进步）时，且g A

A =?，在稳态条件下，总产量增长率等于n+g ；人均收入增长率等于g 。

（4） （趋同论）如果两个国家有相同人口增长率，相同储蓄率，相同生

产函数，那麽他们最终会达到相同的人均收入水平5。（引申：如果

国与国之间有不同储蓄率，它们会在稳态中达到不同收入水平；但

如果它们的技术进步率和人口增长率都相同，那麽它们的稳态增长

率也将相同。）

五、新古典增长理论评价

（1） 技术进步率外生假定。

（2） 储蓄率外生化且与稳态增长率无关结论受到质疑。

（3） 趋同与实际各国人均收入差距不符6。

这三点与人们对经济增长问题的实证研究经验存在很大差距，因此，在新古典增长理论的基础上，产生内生增长理论，弥补上述的三个缺陷。

关键术语:

新古典增长模型 neoclassical growth model

边际报酬递减 decreasing marginal return

边际报酬不变 constant marginal return

索洛剩余 Solow residual

作业： 商学院——P55技术题 （4）（6）（8）

双学位——P55 技术题（6）（8）

5 索洛模型的趋同论观点得到来自Baumol (1986)的实证支持。参见Baumol 1986，“productivity growth, convergence, and welfare ”， American Economic Review 7

6 (December),1072-1085;

6 De Long 对Baumol 的实证研究进行一番评论，指出其在实证处理过程中的几处疑点。参见De Long 1988,“productivity growth, convergence, and welfare: comment ”， American Economic Review 78

(December),1138-1154;

索洛经济增长模型

索洛经济增长模型（Solow Growth Model） 索洛经济增长模型概述 索洛经济增长模型（Solow Growth Model）是罗伯特·索洛所提出的发展经济学中著名的模型，又称作新古典经济增长模型、外生经济增长模型，是在新古典经济学框架内的经济增长模型。 正当1987年世界股票市场暴跌之时，瑞典皇家科学院宣布该年度诺贝尔经济学奖授于一直与里根政府的经济政策唱反调，主张政府必须有效地干预市场经济的美国麻省理工学院教授罗伯特·索洛（Robert M·Solow）许多经济学界人士认为，纽约股票市场的这场大动荡，恰恰证实了索洛坚持的理论，使他的经济增长理论成为当今世界热门研究课题之一。可是，他的这一理论———表明各种不同因素是如何对经济增长和发展产生影响的长期经济增长模型，早在30年前他在一篇题为《对经济增长理论的贡献》的论文中就提出来了。[1] 索洛模型变量外生变量：储蓄率、人口增长率、技术进步率内生变量：投资

索洛模型的数学公式 模型的基本假定[1] 索洛在构建他的经济增长模型时，既汲取了哈罗德—多马经济增长模型的优点，又屏弃了后者的那些令人疑惑的假设条件。 索洛认为，哈罗德—多马模型只不过是一种长期经济体系中的“刀刃平衡”，其中，储蓄率、资本—产出比率和劳动力增长率是主要参数。这些参数值若稍有偏离，其结果不是增加失业，就是导致长期通货彭胀。用哈罗德的话来说，这种“刀刃平衡”是以保证增长率（用Gw表示，它取决于家庭和企业的储蓄与投资的习惯）和自然增长率（用Gn表示，在技术不变的情况下，它取决于劳动力的增加）的相等来支撑的。 索洛指出，Gw和Gn之间的这种脆弱的平衡，关健在于哈罗德—多马模型的劳动力不能取代资本，生产中的劳动力与资本比例是固定的假设。倘若放弃这种假设，Gw和Gn之间的“刀刃平衡”也就随之消失。基于这一思路，索洛建立了一种没有固定生产比例假设的长期增长模型。 该模型的假设条件包括：

新古典经济增长理论

新古典经济增长理论 新古典经济增长模型对我国经济发展的启示 王峰杰 【摘要】新古典经济增长模型使用可变技术系数的生产函数，认为在市场机制的作用下，宏观经济能够自动沿着充分就业轨迹增长。由于均衡增长率正好等于劳动增长率，在经济均衡增长时，人均产量将保持不变。可以通过提高生产技术水平、提高储蓄率与降低人口增长率等，增加人均产量。 【关键词】新古典经济增长模型资本广化资本深化人均产量 一、新古典经济增长模型 新古典经济增长模型假设: 第一，撇开政府与国际部门，为两部门经济。 第二，仅仅使用劳动与投入两种要素生产产品，且不存在技术进步，则总量生产函数为:Q=F(L,K)(1) 其中，Q表示总产量，L表示劳动，K表示资本。 第三，各种要素的边际报酬递减，即随着劳动与资本投入的增加，它们的边际产量(、)递减。 第四，规模报酬不变，即: (2) 令k表示资本—劳动比率，即k=KL，可得: Q=L?f(k),或QL=f(k)(3)

这就是新古典经济增长模型中的生产函数。与哈罗德经济增长模型中的生产函数不同，该生产函数中的资本—劳动比率(k)可以变动，因为人均产量(QL)就是人均资本量(k)的函数。 第五，每一时期的劳动(用L表示)按固定比率n增长，即: (4) 第六，不存在资本折旧，则投资(用I表示)会增加资本存量，即: (5) 第七，储蓄函数采取长期的形式，即S=s(Y)。其中，S表示储蓄，s表示储蓄率，即s=SY，Y表示实际产量或实际收入，等同于Q。 第八，经济均衡增长的条件为总需求等于总供给。在两部门经济中，经济均衡增长的条件就是投资等于储蓄，即: I=S(6) 从上述假定条件，可以推导出新古典经济增长模型的基本方程: (9)式就是新古典经济增长模型中的基本方程。该方程表示，从长期来看，储 蓄必然等于投资。一个社会由人均储蓄sf(k)转化而来的新资本分为两个部分:一 部分(nk)是为新增加的每个劳动力提供社会平均水平的资本量，称为“资本广化”;另一部分(dkdt)则用来增加人均资本拥有量，即为每个人配备更多的资本品，称为“资本深化”。也可以这样来理解:在两部门经济中，社会总产品扣除消费(C)以后，剩下的便是储蓄，储蓄转化为投资，投资所增加的资本存量，分成两部分，用于两种用途:一部分为新增加的劳动力提供社会平均水平的资本，另一部分用于增加人均资本拥有量。 经济均衡增长的条件是人均储蓄量等于“资本广化量”，“资本深化量”等于零，即: sf(k)=nk(10)

第11章 新古典增长理论-索洛模型(讲义版)

第十一章 新古典增长理论——索洛模型（3） 本次授课框架： 总结波动理论，引出增长理论。 增长方程推导及对增长因素的讨论（包括索洛剩余） （1） 增长方程推导（总量形式），假设条件 （2） 人均形式生产函数 （3） 总量与人均量之间的关系 索洛稳态方程推导过程 （1） 索洛稳态定义 （2） 根据均衡条件的推导 （3） 稳态条件的存在性讨论（生产函数假设，INADA 条件） （4） 储蓄线和投资持平线（补偿线）相互关系的讨论解释稳态调整路径 比较静态分析 （1） 储蓄率增加情况 （2） 人口增长率增加情况 总结“新古典增长理论”的关键结论（影响总量、人均增长率的因素（结合储蓄率）与各国收入趋同论） 新古典增长理论评价 一、增长方程推导 假设生产函数： N N N K AF N N K AF N K K N K AF K N K AF K A A Y Y N K AF Y ???*+???* +?=?=),(),(),(),() ,( 假设 产品市场、要素市场完全竞争，规模收益不变1。根据欧拉定理： 1 对规模收益不变（Constant Return of Scale ，简称CRS ）的理解。第一，经济规模足够大，以至于来自专业化分工的收益（gains from specialization ）已不存在。当资本和劳动增加一倍时，只能重复原有的工作效率和工作方式，使产出翻倍而不能带来更多；第二，强调资本和劳动对产出的重要性，其他因素如自然资源的相对次要地位。本章的一道作业题也表明这种假设的合理性，自然资源对经济增长的制约阻碍在一定程度上是可以被逾越的。

总量表达式2 N N K K A A Y Y N K AF N N K AF N N K AF K N K AF K ?-+?+?=?-=??*=??* )1(1),(),() ,() ,(θθθθ 总量与人均量的关系 N N k k K K N N y y Y Y ?+?=??+?=? 人均量表达式 k k A A y y ?+?=?θ 索洛发现：技术进步、劳动供给增加和资本积累按此顺序是GDP 增长的重要决定因素，而技术进步和资本积累是人均GDP 增长的重要因素。在大部分历史中，两个重要的要素，当推资本积累3（实物与人力）与技术进步。我们对增长理论的研究重点集中于这两个因素。 索洛剩余 产出增长中不能通过资本积累和劳动投入来解释的部分，可以理解为技术进步（A A ?）带来的增长。A 4有时也被称作“全要素生产率”（TFP ），这是一个比“技术进步”更为中性的术语。实证研究表明： 技术进步在产出增长中的贡献大约为80%左右。由于产出和劳动、资 本投入可以直接观察到，而A 却不能，经济学家测量“索洛剩余” A 利用：])1[(K K N N Y Y A A ?+?--?=?θθ 二、稳态分析 2 在发达国家如美国，资本的收入份额θ是0.25，劳动的收入份额θ-1是0.75。这意味着，资本年增长率如果为3个百分点，导致产出增长率还不到1个百分点。 3 如果将资本进一步细化为实物资本和人力资本（H ），生产函数将转化为：),,(N H K AF Y =。曼昆、罗默等一篇颇有影响的文章指出，生产函数中实物资本K 、非熟练劳动力N 和人力资本H 的要素份额各占1/3。 4 A 被定义为“全要素生产率”的说法，只是针对),(N K AF Y =这种生产函数形式的，这种技术进步 类型在历史上也被称作“hicks-neutral ”（希克斯中性）；如果生产函数形式为),(AN K F Y =，这是的技术进步被称作劳动增广型（labor-augmenting ）技术进步或“harrod-neutral ”（哈罗德中性）。如果采用这种生产函数形式，也可以推导出类似的增长方程以及索洛稳态方程。

索洛模型应用

网游中的索洛增长模型 摘要 网游是游戏的一种，但其仍有极其符合科学的经济学系统，或者说正是由于网游有着科学的经济体系，游戏才能毫无差错的运营下去，虽然其中参杂了运营商盈利的目的。有人说：生活是一面镜子。有了现实中的经济学这门镜子，我们才能认清网游中打怪升级的本质，才能不一昧沉迷于它。理性的看待任何问题，我想这是经济学给我们带来的启示。 关键词：网游，索洛增长模型 引言 自从2001年的“传奇”以来，网游行业迅速发展。直至如今，已经形成了可谓之百花齐放的盛况。而网游的本质，是玩家与玩家之间的互动。常言道：有人的地方就有经济学。网游作为一个人与人之间的社交平台，必定也存在着各类的经济学现象。现象虽然各不相同，但究其本质，却毫无例外。现在，我将来探讨一下网络游戏中的索洛增长模型。 网游中的索洛增长模型 首先来讨论一个较为简单的情况，假设有一个网游，名字为A。在我们的假设中，我们先将其设定为一个封闭且固定的游戏，即玩家或其他外部力量不能对其进行经济上干预（如点卡充值等）且玩家不会升级且没有新玩家加入的游戏（类似于课本中的封闭模型）。 其次，定义网络游戏中的几个行为。众所周知，网游中没有类似于工作的行为，玩家获得金币（即货币）的手段暂定为刷怪，即收入源自于刷怪。而刷怪中所获得的收益又可以分为两部分，其一，玩家刷怪时付出的肉体和精神上的劳动，与我们所学公式中的L相对应；其二，玩家刷怪所持装备和自身技能对于刷怪所付出的劳动，对应我们所学公式中的K。 当玩家刷怪完后，玩家会获得自己金币上的收入，对应我们所学公式中的Y。对于这部分收入，玩家将有两个选择，储蓄与消费，分别对应我们所学公式中的S与C。储蓄即为将所得金币购买装备或暂时不用，消费即为将金币用于购买消耗性物品或者用于其他娱乐项目，这其中，用于购买装备所花费的资金我们称之为投资，用于对应公式中的I。 在大部分网游中，对于装备都有一个耐久度的设定，即装备在用到一定次数之后就会损毁，此时只能对其进行维修或者购置新的装备，总之得花钱。而耐久度这一参数衍生出来的折损率我们对应公式中的&。 在介绍完了各个参数之后，对他们进行分析。由于我们分析的是该网游总体的经济状况，因此我们将以上参数全部转化为人均值，即y,k,s,c,i.于是依照书上的公式，我们最后可以得出结论，在 sf(k)=&k 时，玩家的k达到最大。 上面的公式得出的结论：当玩家刷怪刷到一定程度，装备发展到一个适当的阶段时，玩家将不再能进行装备更新。因为根据公式，在L不变时，这个阶段的I与&k是相等的。

《索洛增长模型》

第一章 索洛增长模型 一、索洛模型的介绍与一些前提假设条件 该模型是经济学家传统上用于分析经济增长的主要模型。几乎对于所有有关增长的分析而言，索洛模型是其起点。理解该模型实质上便是理解增长理论。但该模型也存在缺陷：它不能解释不同时间上人均产出的巨大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。（按边际产品取得收益的传统途径）。 ()((),()())Y t F K t A t L t = 假设：（1）生产函数关于两个自变量是规模报酬不变的，即资本与有效劳动是规模报酬不变的((,)(,),0)F cK cAL cF K AL c =?≥；（2）除资本、劳动与知识以外的其他投入是相对不重要的，特别地，模型忽略了土地与其他自然资源。 规模报酬不变的假设可以让我们利用紧凑形式的生产函数进行分析： 当11/,(,)(,)( ,1)(,)K c AL F cK cAL cF K AL F F K AL AL AL ==?=，其中， K AL 是单位有效劳动的资本量，1(,)F K AL AL 是单位有效劳动的产出。 定义K k AL =，/y Y AL =，及(,1)y F k =()y f k ?=，即把单位有效劳动的产出写成单位有效劳动的资本量的函数。 [人均收入：/(/)()Y L A Y AL Af k ==] 紧凑型生产函数()f k 假定满足(0)0f =，' ()0f k >，'' ()0f k <。因为： '(,)(/)(,)/(/)(1/)F K AL ALf K AL F K AL K ALf K AL AL =???='()f k = '()0f k >，''()0f k <的假设意味着资本的边际产品为正，但它随每单位有效劳动的资 本量的增加而下降。另()f ?被假设满足稻田条件：'' 0lim (),lim ()0k k f k f k →→∞=∞=， 其意思是在资本存量充分小量资本的边际产品是十分大的，而当资本存量变大时，资本的边际产品变得十分小。，它是确保经济的路径并不发散。 （举例柯布－道格拉斯生产函数，说明满足稻田条件的意义） 二、生产投入的时间变化描述 资本、劳动与知识的初始水平给定的，劳动与知识以不变的增长率增长： ()()L t nL t ?=，()()A t gA t ? =（n 与g 是外生参数，而变量上的一点表示关于时间的一 个导数，()()/L t dL t dt ? =，为变量的变化率。而变量的增长率指其变化的速率，它等于其 自然对数的变化率，如，ln ()()1ln ()/()()() d L t dL t n d L t dt L t dL t dt L t ? == =。ln ()ln (0)L t L nt ?=+

(完整版)新古典经济增长模型对我国经济发展的启示

新古典经济增长模型对我国经济发展的启示 【摘要】新古典经济增长模型使用可变技术系数的生产函数，认为在市场机制的作用下，宏观经济能够自动沿着充分就业轨迹增长。由于均衡增长率正好等于劳动增长率，在经济均衡增长时，人均产量将保持不变。可以通过提高生产技术水平、提高储蓄率与降低人口增长率等，增加人均产量。 【关键词】新古典经济增长模型资本广化资本深化人均产量 一、新古典经济增长模型 新古典经济增长模型假设： 第一，撇开政府与国际部门，为两部门经济。 第二，仅仅使用劳动与投入两种要素生产产品，且不存在技术进步，则总量生产函数为：Q=F(L,K)（1） 其中，Q表示总产量，L表示劳动，K表示资本。 第三，各种要素的边际报酬递减，即随着劳动与资本投入的增加，它们的边际产量（MP L、MP K）递减。 第四，规模报酬不变，即： 令k表示资本—劳动比率，即k=KL，可得： Q=L?f(k),或QL=f(k)（3） 这就是新古典经济增长模型中的生产函数。与哈罗德经济增长模型中的生产函数不同，该生产函数中的资本—劳动比率（k）可以变动，因为人均产量（QL）就是人均资本量（k）的函数。 第五，每一时期的劳动（用L表示）按固定比率n增长，即： L t=L0e nt（4） 第六，不存在资本折旧，则投资（用I表示）会增加资本存量，即： 第七，储蓄函数采取长期的形式，即S=s(Y)。其中，S表示储蓄，s表示储蓄率，即s=SY，Y表示实际产量或实际收入，等同于Q。 第八，经济均衡增长的条件为总需求等于总供给。在两部门经济中，经济均衡增长的条件就是投资等于储蓄，即： I=S（6） 从上述假定条件，可以推导出新古典经济增长模型的基本方程： （9）式就是新古典经济增长模型中的基本方程。该方程表示，从长期来看，储蓄必然等于投资。一个社会由人均储蓄sf(k)转化而来的新资本分为两个部分：一部分（nk）是为新增加的每个劳动力提供社会平均水平的资本量，称为“资本广化”；另一部分（dkdt）则用来增加人均资本拥有量，即为每个人配备更多的资本品，称为“资本深化”。也可以这样来理解：在两部门经济中，社会总产品扣除消费（C）以后，剩下的便是储蓄，储蓄转化为投资，投资所增加的资本存量，分成两部分，用于两种用途：一部分为新增加的劳动力提供社会平均水平的资本，另一部分用于增加人均资本拥有量。 经济均衡增长的条件是人均储蓄量等于“资本广化量”，“资本深化量”等于零，即：sf(k)=nk（10） 在经济均衡增长时，收入、投资与资本均按劳动增长率或自然增长率n增长： （1）收入按n增长 当经济均衡增长时，由于QL=f(k)，故人均资本量（k）不变，人均产量（f(k)）也不变。但劳动力始终按固定比率n增长，为了保证人均产量不变，产量也必须按n增长。

新古典经济增长理论

新古典经济增长模型对我国经济发展的启示 王峰杰 【摘要】新古典经济增长模型使用可变技术系数的生产函数，认为在市场机制的作用下，宏观经济能够自动沿着充分就业轨迹增长。由于均衡增长率正好等于劳动增长率，在经济均衡增长时，人均产量将保持不变。可以通过提高生产技术水平、提高储蓄率与降低人口增长率等，增加人均产量。 【关键词】新古典经济增长模型资本广化资本深化人均产量 一、新古典经济增长模型 新古典经济增长模型假设： 第一，撇开政府与国际部门，为两部门经济。 第二，仅仅使用劳动与投入两种要素生产产品，且不存在技术进步，则总量生产函数为：Q=F(L,K)（1） 其中，Q表示总产量，L表示劳动，K表示资本。 第三，各种要素的边际报酬递减，即随着劳动与资本投入的增加，它们的边际产量（MP L、MP K）递减。 第四，规模报酬不变，即： （2） 令k表示资本—劳动比率，即k=KL，可得： Q=L?f(k),或QL=f(k)（3）

这就是新古典经济增长模型中的生产函数。与哈罗德经济增长模型中的生产函数不同，该生产函数中的资本—劳动比率（k）可以变动，因为人均产量（QL）就是人均资本量（k）的函数。 第五，每一时期的劳动（用L表示）按固定比率n增长，即： （4） L t=L 0e nt 第六，不存在资本折旧，则投资（用I表示）会增加资本存量，即： (5) 第七，储蓄函数采取长期的形式，即S=s(Y)。其中，S表示储蓄，s表示储蓄率，即s=SY，Y表示实际产量或实际收入，等同于Q。 第八，经济均衡增长的条件为总需求等于总供给。在两部门经济中，经济均衡增长的条件就是投资等于储蓄，即： I=S（6） 从上述假定条件，可以推导出新古典经济增长模型的基本方程： （9）式就是新古典经济增长模型中的基本方程。该方程表示，从长期来看，储蓄必然等于投资。一个社会由人均储蓄sf(k)转化而来的新资本分为两个部分：一部分（nk）是为新增加的每个劳动力提供社会平均水平的资本量，称为“资本广化”；另一部分（dkdt）则用来增加人均资本拥有量，即为每个人配备更多的资本品，称为“资本深化”。也可以这样来理解：在两部门经济中，社会总产品扣除消费（C）以后，剩下的便是储蓄，储蓄转化为投资，投资所增加的资本存量，分成两部分，用于两种用途：一部分为新增加的劳动力提供社会平均水平的资本，另一部分用于增加人均资本拥有量。 经济均衡增长的条件是人均储蓄量等于“资本广化量”，“资本深化量”等于零，即： sf(k)=nk（10）

索罗增长模型

第一章索洛经济增长模型 The Solow Growth Model

基本内容 1 索洛模型的基本假定 2 离散时间的索洛模型 3离散时间索洛模型的过渡过程4连续时间的索洛模型 5连续时间索洛模型的过渡过程6持久增长 7带技术进步的索洛模型 8比较动态分析

1 索洛模型的基本假定 ● 一个分析经济增长和各国收入差异的基本框架. ● 其核心假定是新古典总的生产函数. 家庭与生产 I ● 封闭经济,唯一的最终产品. ● 离散时间，t = 0, 1, 2, .... ● 该经济里有众多的家庭，暂时假定家庭没有优化行为. ● 这也是索罗模型与新古典增长模型的主要区别. ● 为了简化，假定各个家庭相同，可以用代表性家庭来表示. 家庭与生产II

● 假定家庭的储蓄率外生 ● 所有厂商具有相同的生产函数，可以用代表性厂商表 示. ● 对该经济中的唯一最终产品，生产函数为 (1) Y T F K t L t A t ()[(),(),()] ●假定资本与最终产品相同（比如玉米）,用于生产更多 的产品. ●() A t可以理解为技术. ●主要假定: 技术是免费的; 具有非竞争性与非排他性.

关键假设1 Assumption 1 (连续性, 可微性, 边际产出为正且递减, 规 模报酬不变) 生产函数3 :F R R + +→ 关于 K 与 L 二阶连续可微, 且满足 22 22()()(,,)0 (,,)0()() (,,)0 (,,)0K L KK LL F F F K L A F K L A K L F F F K L A F K L A K L ????≡ >≡>??????≡<≡

新古典增长理论与新增长理论之间的区别和联系

新古典增长理论与新增长理论之间的区别和联系 经济增长（economic growth）就是社会物质财富不断增加的过程，是一般社会再生产动态过程的共性实质。它代表的是一国潜在的GDP或国民产出的增加。对于一个国家而言，经济增长是宏观经济中衡量一个国家经济状况的重要指标。无庸置疑，没有谁不希望经济增长，但是，用什么方法实现经济增长，人们却有不同的看法。一些经济学家强调投资的重要性，还有一些人则提倡提高劳工素质。 长期以来，经济学家们一直致力于研究经济增长中各种决定因素的相对重要性，从而提出了种种经济增长理论。诞生于20世纪早期的新古典增长理论对世界经济产生了重大影响，随着近年来新的经济现象的不断出现，新古典增长理论在某些方面的局限性日益明显，于是，新经济增长理论产生了。 在接下来的讨论中，我们将对这两种经济增长理论进行简要的比较。 ◎新古典主义增长理论 新古典增长理论（neoclassical growth theory）是人均实际GDP的增长是由于技术变革引起人均资本增加的储蓄和投资水平的观点。如果技术进步停止，增长就结束。 一、代表人物 新古典经济增长理论的创立者是美国的经济学家、MIT的罗伯特·索洛（Robert M. Solow）以及英国的经济学家斯旺（Swan）。早在1956年，他们就分别提出了他们的经济增长模型。但是剑桥大学的弗兰克·拉姆（Frank Ramsey）在上世纪20年代就第一次提出了这种理论后来，英国经济学家米德又进一步发展了新古典经济增长理论，并对其作了系统的研究。美国的经济学家萨缪尔森（Paul A. Samuelson）等在他们的经济增长理论中也提出了与索洛基本相同的观点。 二、假定条件 索落在其著作中提出了以下假设： （1）萨伊定理：供给可以创造自身的需求。 （2）I=S，即储蓄永远等于投资。 （3）工资取决于劳动的边际生产力，利息取决于资本的边际生产力。 由以上假定条件，可以得出一个结论：社会上不会出现失业和通货膨胀。

1.评述新古典增长理论。

1．评述新古典增长理论 答：(1)新古典增长理论放弃了哈罗德-多马模型中关于资本和劳动不可替代的假设。模型的假设前提大致是：①全社会只生产一种产品；②储蓄函数为S =sY ，s 是作为参数的储蓄，且0社会的人均储蓄量在用于为新增人口n 配备人均资本所需要的资本量nk 后仍有余额，则意 味着每个人都可以继续增加人均资本量，即K >0。 这表明，人均资本量将会进一步增加，从而缩小储 蓄与新增人口配备资本的需要量之间的差距。相反， 如果()sf K nK <，意味着现在的储蓄不够为新增人 口配备资本，从而人均资本倾向于下降。因此，当K =0时，经济实现稳定增长。在稳定增长状态下，人均产量保持不变，因而经济将会以人口增长率增长。新古典增长模型图形如图8—l 。 从新古典增长模型中可以得出结论，经济可以以人口增长率实现稳定增长。 此外，模型也包含着促进人均收入增加的政策含义。事实上，实现人均产出量增加有三 种途径：一是提高总产量，即提高技术水平；二是提高储蓄率；三是降低人口出生率。这对图8—1 新古典增长模型

索洛经济增长模型概述

索洛经济增长模型概述 索洛经济增长模型（Solow Growth Model）是罗伯特·索洛所提出的发展经济学中著名的模型，又称作新古典经济增长模型、外生经济增长模型，是在新古典经济学框架内的经济增长模型。 正当1987年世界股票市场暴跌之时，瑞典皇家科学院宣布该年度诺贝尔经济学奖授于一直与里根政府的经济政策唱反调，主张政府必须有效地干预市场经济的美国麻省理工学院教授罗伯特·索洛（Robert M·Solow）许多经济学界人士认为，纽约股票市场的这场大动荡，恰恰证实了索洛坚持的理论，使他的经济增长理论成为当今世界热门研究课题之一。可是，他的这一理论———表明各种不同因素是如何对经济增长和发展产生影响的长期经济增长模型，早在30年前他在一篇题为《对经济增长理论的贡献》的论文中就提出来了。[1] [编辑] 索洛模型变量 ?外生变量：储蓄率、人口增长率、技术进步率 ?内生变量：投资

[编辑] 索洛模型的数学公式 [编辑] 模型的基本假定[1]

索洛在构建他的经济增长模型时，既汲取了哈罗德—多马经济增长模型的优点，又屏弃了后者的那些令人疑惑的假设条件。 索洛认为，哈罗德—多马模型只不过是一种长期经济体系中的“刀刃平衡”，其中，储蓄率、资本—产出比率和劳动力增长率是主要参数。这些参数值若稍有偏离，其结果不是增加失业，就是导致长期通货彭胀。用哈罗德的话来说，这种“刀刃平衡”是以保证增长率（用Gw表示，它取决于家庭和企业的储蓄与投资的习惯）和自然增长率（用Gn表示，在技术不变的情况下，它取决于劳动力的增加）的相等来支撑的。 索洛指出，Gw和Gn之间的这种脆弱的平衡，关健在于哈罗德—多马模型的劳动力不能取代资本，生产中的劳动力与资本比例是固定的假设。倘若放弃这种假设，Gw和Gn之间的“刀刃平衡”也就随之消失。基于这一思路，索洛建立了一种没有固定生产比例假设的长期增长模型。 该模型的假设条件包括： 1.只生产一种产品，此产品既可用于消费也可用于投资。 2.产出是一种资本折旧后的净产出，即该模型考虑资本折旧。 3.规模报酬不变，即生产函数是一阶齐次关系式。 4.两种生产要素（劳动力和资本）按其边际实物生产力付酬。 5.价格和工资是可变的。 6.劳动力永远是充分就业的。 7.劳动力与资本可相互替代。 8.存在技术进步。 在这些条件下，索洛建立的模型向人们显示出：在技术系数可变的情况下，人均资本量具有随时间推移而向均衡状态的人均资本量自行调整的倾向（图一，k1与k2逐渐趋向ko），即，当人均资本量大于其均衡状态时（k2），人均资本量会有逐渐减小的趋势，即资本的增加就会比劳动力的增加慢得多；反之，亦然。索洛是人均资本量入手集中分析均衡（即稳定状态）增长路径的。 [编辑] 模型的基本框架[1] 索洛把经济中的全部产出看成仅仅是一种产品的产出。其每年生产量用Y(t)表示，代表社会的实际收入，其中一部分被消费掉，其余部分用于储蓄和投资。用于储蓄的占总产品比例s固定

第11章 新古典增长理论

第十一章新古典增长理论——索洛模型1（3） 本次授课框架： 总结波动理论，引出增长理论。 增长方程推导及对增长因素的讨论（包括索洛剩余） （1）增长方程推导（总量形式），假设条件 （2）人均形式生产函数 （3）总量与人均量之间的关系 索洛稳态方程推导过程 （1）索洛稳态定义 （2）根据均衡条件的推导 （3）稳态条件的存在性讨论（生产函数假设，INADA条件） （4）储蓄线和投资持平线（补偿线）相互关系的讨论解释稳态调整路径 比较静态分析 （1）储蓄率增加情况 （2）人口增长率增加情况 总结“新古典增长理论”的关键结论（影响总量、人均增长率的因素（结合储蓄率）与各国收入趋同论） 新古典增长理论评价 1参见《宏观经济学》中文七版43页。

增长理论解决的两个核心问题：1、增长率的决定因素；2、各国收入差异的解释。 一、增长方程推导 假设生产函数： 两边求全微分： N N N K AF N N K AF N K K N K AF K N K AF K A A Y Y N N N K AF K K N K AF A A N K AF Y N K AF Y ???* + ???* +?=????+???+???= ?=) ,() ,(),(),() ,(),(),() ,( 假设 产品市场、要素市场完全竞争，规模收益不变2。根据欧拉定理： 2 对规模收益不变（Constant Return of Scale ，简称CRS ）的理解。第一，经济规模足够大，以至于来自专

有3 θθ-=??* =??* 1) ,() ,() ,() ,(N K AF N N K AF N N K AF K N K AF K 所以，增长方程的总量表达式： N N K K A A Y Y ?-+?+?=?)1(θθ 总量与人均量的关系 N N k k K K N N y y Y Y ?+?=??+?=? 人均量表达式4 k k A A y y ?+?=?θ 例子：美日经济在战后的趋同 业化分工的收益（gains from specialization ）已不存在。当资本和劳动增加一倍时，只能重复原有的工作效率和工作方式，使产出翻倍而不能带来更多；第二，强调资本和劳动对产出的重要性，其他因素如自然资源的相对次要地位。本章的一道作业题也表明这种假设的合理性，自然资源对经济增长的制约阻碍在一定程度上是可以被逾越的。 3 在发达国家如美国，资本的收入份额θ是0.25，劳动的收入份额θ-1是0.75。这意味着，资本年增长率如果为3个百分点，导致产出增长率还不到1个百分点。 4 总量和人均量的变换中，忽略了劳动人口和非劳动人口的区别。

新古典经济增长模型

新古典经济增长模型

索洛经济增长模型概述 索洛经济增长模型（Solow Growth Model）是罗伯特·索洛所提出的发展经济学中著名的模型，又称作新古典经济增长模型、外生经济增长模型，是在新古典经济学框架内的经济增长模型。 正当1987年世界股票市场暴跌之时，瑞典皇家科学院宣布该年度诺贝尔经济学奖授于一直与里根政府的经济政策唱反调，主张政府必须有效地干预市场经济的美国麻省理工学院教授罗伯特·索洛（Robert M·Solow）许多经济学界人士认为，纽约股票市场的这场大动荡，恰恰证实了索洛坚持的理论，使他的经济增长理论成为当今世界热门研究课题之一。可是，他的这一理论———表明各种不同因素是如何对经济增长和发展产生影响的长期经济增长模型，早在30年前他在一篇题为《对经济增长理论的贡献》的论文中就提出来了。 索洛模型变量 外生变量：储蓄率、人口增长率、技术进步率 内生变量：投资 索洛模型的数学公式

模型的基本假定 索洛在构建他的经济增长模型时，既汲取了哈罗德—多马经济增长模型的优点，又屏弃了后者的那些令人疑惑的假设条件。 索洛认为，哈罗德—多马模型只不过是一种长期经济体系中的“刀刃平衡”，其中，储蓄率、资本—产出比率和劳动力增长率是主要参数。这些参数值若稍有偏离，其结果不是增加失业，就是导致长期通货彭胀。用哈罗德的话来说，这种“刀刃平衡”是以保证增长率（用Gw表示，它取决于家庭和企业的储蓄与投资的习惯）和自然增长率（用Gn表示，在技术不变的情况下，它取决于劳动力的增加）的相等来支撑的。

索洛指出，Gw和Gn之间的这种脆弱的平衡，关健在于哈罗德—多马模型的劳动力不能取代资本，生产中的劳动力与资本比例是固定的假设。倘若放弃这种假设，Gw和Gn之间的“刀刃平衡”也就随之消失。基于这一思路，索洛建立了一种没有固定生产比例假设的长期增长模型。 该模型的假设条件包括： 1.只生产一种复合产品。 2.产出是一种资本折旧后的净产出。 3.规模报酬不变，即生产函数是一阶齐次关系式。 4.两种生产要素（劳动力和资本）按其边际实物生产力付酬。 5.价格和工资是可变的。 6.劳动力永远是充分就业的。 7.能利用的资本存货都得到充分利用。 8.劳动力与资本可相互替代。 9.存在中性技术进步。 在这些条件下，索洛建立的模型向人们显示出：在技术系数可变的情况下，资本与劳动力比率具有随时间推移而向均衡比率自行调整的倾向。如若最初的资本与劳动力比率大，资本和产出的增加就会比劳动力的增加慢得多；反之，亦然。索洛是从资本与劳动力比率入手集中分析均衡（即稳定状态）增长路径的。

索洛经济增长模型的进展及应用

索洛经济增长模型的进展及应用 自1956年罗伯特.索洛在其里程碑式的论文《关于经济增长理论的一篇论文》当中创建了新古典经济增长理论模型,索洛经济增长模型在以后的半个世纪当中都扮演着现代经济增长理论基石的角色。自90年代末以来,中国宏观经济学领域的研究逐步从以逻辑推理演绎为主转向更重视数理分析和模型建设,其中很大一部分理论及实证研究都是以索洛模型为主要出发点和推理根据。经过十余年的研究发展,索洛增长模型亦在诸多的实证检验和理论应用当中得到进一步修正完善和多层次多方向延伸。 一、理论基础与发展 索洛增长模型(Solow,1956)通过放弃劳动力与资本固定比例,修正了哈罗德-多马模型中的“刀刃平衡”,通过将资本、劳动和总产出之间的比例关系内生化。索洛将一般的生产函数表述为:Y=F(K,L),并在考虑技术水平变化时使用可具有希克斯中性技术进步的生产函数:Y=A(t)F(K,L)。给定储蓄率不变,最终产品与资本存量的稳态增长率都为,其中n为劳动力(人口)的增长率。索洛模型假定总储蓄率为s,资本折旧率为δ,得出资本积累方程k=sf(k)-(n+g+δ)k。在以后的经济学教科书中,以具有哈罗德中性技术进步的生产函数代替了具有希克斯中性技术进步的生产函数,修正这个模型为Y=F(K,AL)。为解释不同的经

济现象,之后的研究引入了多种索洛模型的变形。如卡斯等人建立了无限期界模型并提出使社会福利最大化的资本存量条件,索洛模型最初推导出的黄金律资本存量被修正为修正黄金律资本存量(Cass,1965),以将储蓄率内生化;引入已有资本的废弃率来考量新通用技术的出现引起的产出下降(Aghion,Howitt,2011,第九章);在索洛模型中引入人力资本因素H(t)(Mankiw,RomerandWeil,1992)等。我国亦有不少研究对索洛模型进行了理论拓展和延伸。李军(2003)、周晨和熊和平(2007)引入老龄化因素以测定老龄化程度对经济的影响;熊俊(2005)通过“希克斯中性的技术进步”、“规模报酬不变”和“完全竞争的市场结构”假设条件的放松和自变量的调整,扩展了索洛增长模型;刘海生和解江树(2005)在索洛模型中引入按技术分配,分析了非体现技术进步和体现技术进步对经济总产出的影响;李国柱(2006)引入环境约束以考察经济增长和环境污染之间的关系;何莉(2007)引入人力资本和出口依存度,以测量各省经济受对外贸易的影响;傅为忠和刘!楠(2008)通过引入随机干扰项对模型进行了改进;张谊浩和周庭佐(2011)引入相对货币供应量因素,得出新的人均产出。 二、实证研究与应用 由于索洛模型的基础作用和解释能力,经济学领域很多研究都运用该模型作为工具来解释和分析经济现象、提出经济策略。下面以基于中国经济的实证应用为例,综合评述索洛模型在不同经济问题中的

新古典主义理论

新古典主义理论 现代的新古典主义经济理论强调作为经济增长解释变量的开放性的重要性。开放性增加了对外直接投资以及提升了人力资本的生产率。新古典经济学建立在理性人效用最大化和市场决定供求的假设之上。因而，在自由贸易中，理性人将利用其最优生产要素优化其商品生产以供应国际市场，从长远看这将刺激经济增长。此外，根据经济增长理论，通过商品和服务的自由流动会促进知识积累，而其对经济增长有重要作用。最重要的新古典经济增长模型（Solow）同样假设经济发展是因高投资和储蓄所导致的资本积累的结果。因而，对外直接投资也许会通过提供外国的储蓄和知识促进该国的增长。然而，虽然新古典增长模型将生产技术视为外生性的，但新经济增长理论认为知识积累可以通过促进R&D和教育的合理政策得到提升。正如余下部分所要讨论的，这点是新古典主义和新增长理论最主要区别之一。该理论争论已经成为当下关于全球化和国际贸易协定中政策干预角色讨论中的焦点。 在政治经济学中(Buchanan and Yoon 1999, 2000)对全球化和贸易对本国经济影响的大部分争论都是从2个最主要的原则出发。 来源于李嘉图思想的新古典模型基于规模报酬不变以及静态考虑要素禀赋，并持有生产要素所有权的分配决定自由贸易得失的观点。在贸易开放后市场均衡由完全竞争市场条件下的供求决定。因而，一国融入世界经济中存在利益损害者和受益者。作为要素累积（比如知识资本）和生产资料进口的结果，技术进步发生了，不过它有可能是由于技术外溢效应。 Smithean的观点是基于不完全市场竞争和规模报酬递增1。贸易自由化后市 1 Smithean观点的公式化和报酬递增可以由欧拉定理表示。定理表示为方程Y=F (K , L)，因变量产出（Y）与两个独立的变量（生产资本K和劳动力L）有关，其在一定程度上是同质的。单独偏导再乘以相应独立变量后之和等于函数或独立变量的总值：例如Y = FKK + FLL。在规模报酬不变的情况下，生产要素发挥其作用形成了产品的总价值。根据Smithean观点，追求利润的企业为了获取规模优势将会扩大其经营规模。在向国外市场扩张时，有超额需求，但其余企业市场占有率较低时，该企业可能达到规模优势。在这种竞争格局中，随着效益低下的企业逐出市场，高效率经营企业增多，这将整体提高经济生产率并且会刺激新技术的应用。数学化表达，函数中X1，···，Xn为生产要素，t是其份额，K为其边际价格：f(tx1,···，txn)=tk f(x1,···,xn),对于所有的x1,···,xn和所有的t都大于0，并且都是同质的。K大于1，意味着当生产要素增加一倍时，产出的增加会超过一倍(Buchanan 和Yoon 1999; 2000)。

索洛经济增长模型

索洛经济增长模型 索洛经济增长模型（Solow Growth Model）是罗伯特·索洛所提出的发展经济学中著名的模型，又称作新古典经济增长模型、外生经济增长模型，是在新古典经济学框架内的经济增长模型。 正当1987年世界股票市场暴跌之时，瑞典皇家科学院宣布该年度诺贝尔经济学奖授于一直与里根政府的经济政策唱反调，主张政府必须有效地干预市场经济的美国麻省理工学院教授罗伯特·索洛（Robert M·Solow）许多经济学界人士认为，纽约股票市场的这场大动荡，恰恰证实了索洛坚持的理论，使他的经济增长理论成为当今世界热门研究课题之一。可是，他的这一理论———表明各种不同因素是如何对经济增长和发展产生影响的长期经济增长模型，早在30年前他在一篇题为《对经济增长理论的贡献》的论文中就提出来了。 模型的基本假定 索洛在构建他的经济增长模型时，既汲取了哈罗德—多马经济增长模型的优点，又屏弃了后者的那些令人疑惑的假设条件。 索洛认为，哈罗德—多马模型只不过是一种长期经济体系中的“刀刃平衡”，其中，储蓄率、资本—产出比率和劳动力增长率是主要参数。这些参数值若稍有偏离，其结果不是增加失业，就是导致长期通货彭胀。用哈罗德的话来说，这种“刀刃平衡”是以保证增长率（用Gw表示，它取决于家庭和企业的储蓄与投资的习惯）和自然增长率（用Gn表示，在技术不变的情况下，它取决于劳动力的增加）的相等来支撑的。 索洛指出，Gw和Gn之间的这种脆弱的平衡，关健在于哈罗德—多马模型的劳动力不能取代资本，生产中的劳动力与资本比例是固定的假设。倘若放弃这种假设，Gw和Gn之间的“刀刃平衡”也就随之消失。基于这一思路，索洛建立了一种没有固定生产比例假设的长期增长模型。 该模型的假设条件包括： 1.只生产一种复合产品。 2.产出是一种资本折旧后的净产出。 3.规模报酬不变，即生产函数是一阶齐次关系式。 4.两种生产要素（劳动力和资本）按其边际实物生产力付酬。 5.价格和工资是可变的。 6.劳动力永远是充分就业的。 7.能利用的资本存货都得到充分利用。 8.劳动力与资本可相互替代。 9.存在中性技术进步。 在这些条件下，索洛建立的模型向人们显示出：在技术系数可变的情况下，资本与劳动力比率具有随时间推移而向均衡比率自行调整的倾向。如若最初的资本与劳动力比率大，资本和产出的增加就会比劳动力的增加慢得多；反之，亦然。索洛是从资本与劳动力比率入手集中分析均衡（即稳定状态）增长路径的。 索洛模型的数学公式

罗默《高级宏观经济学》第版课后习题详解第章索洛增长模型

罗默《高级宏观经济学》（第3版）第1章 索洛增长模型 跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。 以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。 增长率的基本性质。利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明： （a ）两个变量乘积的增长率等于其增长率的和，即若()()()Z t X t Y t =，则 （b ）两变量的比率的增长率等于其增长率的差，即若()()()Z t X t t =，则 （c ）如果()()Z t X t α=，则()()()()//Z t Z t X t X t α= 证明：（a ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式： 因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式： 再简化为下面的结果： 则得到（a ）的结果。 （b ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，

那么可得下式： 因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式： 再简化为下面的结果: 则得到（b ）的结果。 （c ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式： 又由于()()ln ln X t X t αα??=?? ，其中α是常数，有下面的结果： 则得到（c ）的结果。 假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >，在1t 时刻下降 为0，在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ，在2t 时刻之后不变且等于a 。 （a ）画出作为时间函数的X 的增长率的图形。 （b ）画出作为时间函数的ln X 的图形。 答：（a ）根据题目的规定，X 的增长率的图形如图1-1所示。 从0时刻到1t 时刻X 的增长率为常数且等于a （0a >），为图形中的第一段。X 的增长率从0上升到a ，对应于图中的第二段。从2t 时刻之后，X 的增长率再次变为a 。 图1-1 时间函数X 的增长率 （b ）注意到ln X 关于时间t 的导数（即ln X 的斜率）等于X 的增长率，即： 因此，ln X 关于时间的图形如图1-2所示：从0时刻到1t 时刻，ln X 的斜率为a （0a >），在1t 时刻，()X t 的增长率出现不连续的变化，因此ln X 的