概率论 综版

1.一批同一规格的产品由甲乙厂加工，甲和乙加工的产品分别占60％和40％，甲出现不合格品的概率为3%，乙出现不合格品的概率为5%。

（1）求任取一个产品是合格品的概率为多少？（2）如果取出的产品

是合格品，求它是乙厂加工的概率为多少？

解：设A ={合格品}，B ={产品由甲生产}，依题意有：6

.0)(=B P 4.0)(=B P ，03.0)|(=B A P ，05.0)|(=B A P

()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+=038.005.04.003.06.0=?+?

(1)6316.0038.04.006.0)()()|()|(≈?=?=A P B P B A P A B P

2.设随机变量X 的概率密度函数为??

?≤≤=其他

,

010,)(x Ax x f ， （1）求常数A ；（2）求概率??

????<<2131X P －；（3）求X 的分布

函数)(x F 。 解：（1）

?

∞

∞

-=1)(dx x f 即?=1

1Axdx 2=?A

（2）?

???

??<<213

1X P －?=

=

2

1

4

12x dx

（3）?

∞-=x

dt t f x F )()(??

?

??>≤≤<=1

,

110,

0,

02x x x x

3.设随机变量)1,0(~N X ，求随机变量23-=X Y 的概率密度函数。

解：随机变量X 的密度函数为：()∞<<-∞=

-

x e

x x ,212

2π

?

()()()?+∞

-=

??

? ??

+≤=≤-=≤=3

2

)(3223y Y dx x y X P y X P y Y P y F ?

由()()y F y f Y

Y '

=得：

()∞<<-∞=

+-

y e

y f y Y ,23118

)2(π

4、已知二维随机向量(X,Y)的分布律为 (1)求

X 、Y 的边缘分布律;

(2)求)2(23Y X E -； (3)判断随机变量X 与Y 是否相互独立。

;75.04.02.015.0)1(=++=-=X P ;25.003.017.005.0)1(=++==X P ;

2.005.015.0)1(=+=-=Y P ;37.017.02.0)2(=+==Y P 4

3.003.0

4.0)5(=+==Y P

（2）)()(2)2(2

3

23

Y E X E Y X

E -=-=

)43.0*2537.0*42.01()25.0175.01(2++?-?+?-

43.11)75.1048.12.0(1-=++-=

(3)因为)1()1(05.0)1,1(-==≠=-==Y P X P Y X P 所以X 与Y 不相互独立. 四、设

12,,,n X X X 是取自总体X

的一个样本，总体X

的概率密度函数为

?

??≤>=-0,00

,),(x x e x f x λλλ试求

未知参数λ的矩估计^

λ和极大似然估计*λ

.解：(1)?∞

∞

-=

=

λ

1

)()(dx x xf X E ，X X E =)(,得矩估计为X

1

=

λ （2）似然函数为

?

?>=∏=-其他

,00,

),,,(1

1i n

i x n

n x e x x L i λλλ 当

>i x 时，

∑=-=n

i x

x n L 1

ln ln λλ，

令

0ln 1

=-=∑=n

i i x n d L d λλ (2)解似然方程得

θ的极大似然估计为

X

x n

n

i i

1*1

=

=

∑

=θ.

1. （12分）一批同一规格的产品由甲厂和乙厂生产，

甲厂和乙厂生产的产品分别占70％和30％，甲乙两厂

的合格率分别为95％和90％，现从中任取一只，则（1）它是次品的概率

为多少？（2）若为次品，它是甲厂生产的概率为多少？ 解：设A =‘任取一产品是次品’，B =‘任取一产品是甲厂生产’依题意有：%70)(=B P ，%30)(=B P ，%5)|(=B A P ，

%10)|(=B A P ，则

()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+=70％*5%+30％*10%=0.065

2.设随机变量

X

的概率密度函数为

??

?≤≤=其他

,

010,

)(x Ax x f ，（1）求常数A ；（2）求概率?

?

??

??<<213

1X P －；（3）求X 的分布函数)(x F 。

解：（1）

?

∞

∞

-=1)(dx x f 即?=1

01Axdx 2=?A

（2）??

????<<213

1X P －?=

=

2

10

4

12x dx

（3）?

∞-=

x

dt t f x F )()(??

?

??>≤≤<=1

,

11

0,

0,

02x x x x

3.（10分）设随机变量)1,0(~N X ，求随机变量12-=X Y 的概率密度函数。解：随机变量

X

的密度函数为：

()2

2

21x X e

x f -=π

，

∞<<∞-x ，()()()??

? ?

?+≤

=≤-=≤=2112y X

P y X P y Y P y F Y

?

+∞

--

=

2

1

2

221y x dx e π

，由()()y F y f Y Y '

=

得：()8

)1(2

221+-

=y Y

e y

f π

，∞<<∞-y

4.（10分）盒子中有同型号小球5只，编号分别为1、2、3、4、5，今从盒子中任取小球3只，以X 表示取出的3只中的最小号码，求： (1)X 的分布律；（2）X 的期望与方差。

解：（1）X 的取值为1，2，3

分布律为5

3

)1(3

524===C C X P ，10

3)2(35

23===C C X P ，1011)3(35=

==C X P

（2）5.110

131032531)(=?+?+?=X E

7.210

1

31032531)(2222=?+?+?=X E

45.0))(()()(22=-=X E X E X D

5.（12分）已知二维随机向量)

的分布律为

（1）求常数;(2)求、的边缘分布律;(3)判断随机变量X

与

Y 是否相互独立。

解：(1)分布律的性质,118

59

26

118

19

1=+++++a ，可以求得6

1

=a

(2)X 和Y 的边缘分布为18

56191)1(=+==X P ，

18

5

92181)3(=+=

=X P ，

9

418561)5(=+=

=X P ，

316118191)2(=++=

=Y P ，321859261)3(=++==Y P ， (3)因为)2,1(==Y X P ≠P(X=1)P(Y=2) 所以X 与Y 不相互独立.

四、设总体

X

服从参数为θ的指数分布，其概率密度为

??

?≤>=-0,

00

,

)(x x e x f x

θθn

X X X ,,,2

1 是来自X 的

样本，求未知参数θ的矩估计∧

θ和极大似然估计*

θ。 解：

X

的概率密度函数为

??

?≤>=-0

,00,),(x x e x f x θθθ??∞

-∞∞-===0

1

)()(θθθdx e x dx x xf X E x

样本的一阶原点矩为X n

n X X X ＝+++ 21，替换，θ

1=X ，

得矩估计

∧

θ

＝

X

1

似然函数为：

?????≤>=-=∏000

,),,,(1

1i i x n i n x x e x x L i

，θθθ ∑=-=n

i i x n LnL 1

ln θθ，0ln 1=-=∑=n

i i x n d L d θθ

解似然方程得θ的极大似然估计X

X n i i

11*

==∑=θ 1.一批同一规格的零件由甲乙两台车床加工，甲和乙加工的零件分别占60％和40％，甲出现不合格品的概率为0.03，乙出现不合格品的概率为0.06，（1）求任取一个零件是合格品的概率为多少？（2）如果取出的零件是合格品，求它是乙车床加工的概率为多少？ 解：设A =‘任取一零件是合格品’，B =‘任取一零件是甲车床加工的’，有：%60)(=B P ，%40)(=B P ，

%97)|(=B A P ，%94)|(=B A P ，

（1）()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+

=?+?=94.04.097.06.00.958

3925.0958

.04.094.0)()()|()|(≈?=?=A P B P B A P A B P 2.设随机变量X 的分布函数

??

???>≤<≤=2,12

0,0,

0)(2

x x Ax x x F ，求（1）常数A ；（2）X 的概率密度函数)(x f ；（3）概率?

?????<<321X P 。

解：（1）由右连续性)2()(lim 2F x F x =+

→，即1＝22A ,得4

1=A

（2）由?????≤<='=其他

,

020,2

1

)()(x x x F x f ， （3）16

15)21(411)21()3(32

12=-=-=?

?

????<

3.设随机变量

)1,0(~N X ，

求随机变量X

e Y -=的概率密度函数。解：

随机变量

X

的密度函数为：()2

221

x X

e x

f -=π

，∞<<∞-x ，当

0≤y 时，()()()

()0==≤=≤=-φP y e P y Y P y F X Y ，

当0

>y 时，()()()

()?

∞

---=-≥=≤=≤=y

x X Y

dx e y X P y e P y Y P y F ln 22

21ln π

由()()y F y f Y Y '= 得：()?????≤>=-

0,00,212)(ln 2

y y e y y f y Y

π 4.一海运船的甲板上放着10桶装有化学原料的圆桶，现已知其中有3桶被海水污染了。若从中随机抽取4桶，记X 为4桶中被污染的桶数，求（1）

X 的分布律；（2）X 的期望和方差。解：（1）X 的取值为0，1，2，

3, X 的分布律为6

1)0(10

4

7===C C X P ,2

1)1(4

10

3

713===C C C X P ,

103)2(4102723===C C C X P ,30

1)3(4

101

733===C C C X P

（2）2.130

131032211610)(=?+?+?+?=X E

230

131032211610)(22222=?+?+?+?

=X E 56.0))(()()(22=-=X E X E X D

5.（12分）已知二维随机向量(X,Y)的分布律为：（1）求常数a ;(2)求X 、

Y 的边缘分布律;(3)判断随机变量X 与Y 是否相互独立。

解：(1)有0.1+0.15+0.05+a+0.25+0.2=1,可以求得a=0.25

(2)X 和Y 的边缘分布分

布为:P(X=0)= 0.1+0.15+0.05=0.3; P(X=1)=0.25+0.25+0.2=0.7;P(Y=-1)=0.1+0.25=0.35;

P(Y=2)=0.15+0.25=0.4; P(Y=5)=0.05+0.2=0.25;

(3)因P(X=0,Y=－1)=0.1≠P(X=0)P(Y=－1)所X 与Y 不相互独立. 四、设总体

X

的概率密度函数为??

?≤<+=其他,

01

0,)1()(x x x f θθ，

（1->θ）n X X X ,,,21 是抽自总体X 的样本，求未知参数θ

的矩估计

∧

θ

和极大似然估计

*

θ。解：10

1

2

|2

1)1()()(??+∞

∞

-++=

+==θθθθθx dx x x dx x xf X E ＝1+θ

样本的一阶原点矩为n

n

X X X ＝+++ 21，替换，1+=θX ，

得矩估计∧

θ＝

1-X

似然函数为?????≤<=∏=其他，）＋（010,1),,,(11i i n i n x x x x L θ

θθ 1

ln ln(1)ln n i i L n x θθ==++∑0ln 1ln 1=++=∑=n

i i x n

d L d θθ

解似然方程得θ的极大似然估计1ln 1

*

--

=∑=n

i i

X

n

θ

概率论与数理统计及其应用第二版课后答案浙江大学

第1章 随机变量及其概率 1，写出下列试验的样本空间： （1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录 投掷的次数。 （2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次， 记录投掷的次数。 （3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰 子，观察出现的各种结果。 解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =； （4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。 2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(___ ___AB B A P AB P B A P B A P ??。 解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ， 375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ， 875.0)(1)(___ --=AB P AB P ， 5.0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。

解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??，所以所求得概率为 72.0900 648= 4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。 解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。（1）该数是奇数的可能个数为48344=??个，所以出现奇数的概率为 48.0100 48= （2）该数大于330的可能个数为48454542=?+?+?，所以该数大于330的概率为 48.0100 48= 5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。 （1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。 （2）4只中至少有2只红球。 （3）4只中没有白球。 解: （1）所求概率为338412 131425=C C C C ；

《概率论与数理统计》教学大纲

《概率论与数理统计》教学大纲 Probability Theory and Mathematical Statistics 学分数4 周学时4 1.说明部分 概率论与数理统计是信息与计算科学专业一门重要的基础理论课程。它研究自然界、人类社会及技术过程中大量随机现象的规律性，广泛应用于自然科学、社会科学以及工农业生产中，并与其它学科相互结合、渗透。通过本门课程的教学，使学生掌握概率论与数理统计的基本概念和基本理论，从而使学生初步掌握处理随机现象和用数理统计分析数据的基本思想和方法，能够通过分析数据处理简单的实际问题，培养学生分析和解决实际问题的能力，并为后继课程打下基础。 1）授课对象 计算机科学与技术专业，信息管理与信息系统专业，信息与计算科学专业。 2）教学目的 通过本课程的学习，为计算机各专业理论的讲授做好必要的准备知识，要求学生具有初步的分析，计算能力。通过对本课程的教学和学习，学生基本掌握概率分布理论和求各种概率的方法，并在经济工作中解决一些实际问题。 3）教学方式： 本课程以课堂讲授为主，推荐采用多媒体教学方式，参考学时计68学时。 4）考核方式： 采取书面闭卷考试，并与作业情况相结合。 5）教材与参考书： 1．石永生刘晓真等编著，《概率论与数理统计》，电子科技大学出版社，2004年9月。 2．河南财经学院概率论与数理统计编写组编著，《经济数学基础》三《概率论与数理统计》分册，河南大学出版社，1991年1月。 3．龚德恩、范培华等编著，《经济数学基础(第三分册概率统计)》，四川人民出版社，

6）学时分配表 2.教学内容 第一部分概率论 教学安排： 本部分安排46学时，每章节的学时安排如上表。 第一章随机事件与概率 课程内容： 第一节随机事件 第二节事件的概率 第三节概率的基本性质与运算法则 第四节条件概率与独立性 第五节独立重复试验 第六节全概率公式与贝叶斯公式 内容提要： ①随机事件，样本空间，基本事件等概念。②事件的关系和运算。③概率的基本概念如古典定义。④概率的基本性质。⑤加法公式。⑥条件概率和乘法公式。⑦事件的独立性及性质。 ⑧伯努利（Bernoulli）概型。⑨全概率公式和贝叶斯（Bayes）公式。 教学目标： 通过本章的学习，使学生能够理解和掌握随机事件及其概率的概念，会分析事件的结构、运用概率的运算法则计算随机事件的概率。 教学要求：

华中师大《概率论基础》练习题库及答案

华中师范大学职业与继续教育学院 《概率论基础》练习题库及答案 填空题 1． 设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ≥0; ?∞ ∞ -dx x p )(= ； Eξ= 。 考查第三章 2． 设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 至少有一个发生可表示为： ；A,C 发生而B 不发生可表示 ；A,B,C 恰有一个发生可表示为： 。 考查第一章 3． 设随机变量)1,0(~N ξ，其概率密度函数为)(0x ?，分布函数为)(0x Φ，则 )0(0?等于 π 21，)0(0Φ等于 。 考查第三章 4． 设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=5 1 ，k=1,2,3,4,5，则Eξ= ，Dξ= 。 考查第五章 5． 已知随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U ，V 的相关系数等于 。 考查第五章 6． 设),(~2 σμN X ，用车贝晓夫不等式估计：≥<-)|(|σμk X P 考查第五章 7． 设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=i x }=i p ,...,2,1=i 则 i p ≥ ； ∑∞ =1 i i p = ； Eξ= 。 考查第一章 8． 设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 都发生可表示为： ；A 发生而B,C 不发生可表示为： ；A,B,C 恰有一个发生可表示为： 。

9． )4,5(~N X ，)()(c X P c X P <=>，则=c 。 考查第三章 10． 设随机变量ξ在[1，6]上服从均匀分布，则方程012 =++x x ξ有实根的概率为 。 考查第三章 较难 11． 若随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,U=2X+1,V=5Y+10 则U ，V 的相关系数= 。 考查第三章 12． 若 θ服从[,]22 ππ - 的均匀分布， 2?θ=，则 ?的密度函数 ()g y ＝ 。 考查第五章 13． 设4.0)(=A P ，7.0)(=+B A P ，若A 与B 互不相容，则=)(B P ；若A 与B 相互独立，则=)(B P 。 考查第一章 14． 将数字1，2，3，4，5写在5张卡片上，任意取出三张排列成三位数，这个数是奇数的概率P （A ）= 。 考查第一章 15． 若)8.0,10(~B ξ，=ξE ，=ξD ，最可能值=0k 。 考查第二、五章 16． 设随机变量X 的概率密度为0()0 x xe x f x x -?>=? ≤?，则(3)E X = , 3()X E e = 考查第四、五章 17． 任取三线段分别长为x,y,z 且均小于等于a ，则x,y,z 可构成一三角形的概率 考查第一章（较难） 18． 设随机变量X ，Y 的相关系数为1，若Z=X-0.4,则Y 与Z 的相关系数为

概率论与数理统计(简明版)教学大纲

《概率论与数理统计》课程教学大纲 第一部分：课程教育目标 一、教学对象 工程管理、电子信息工程2009级本科。 二、课程的性质与任务 1. 课程性质：必修 2. 课程类别：公共基础课 3. 考核方式：考查 4. 教学任务：通过概率论与数理统计的学习，要使学生掌握概率论与数理统计的基本知识，基本理论，会利用概率论与数理统计解决简单的实际问题。 三、学生能力培养要求 1. 基本要求 通过本课程的学习，要使学生获得随机事件及其概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、数理统计的基础知识、参数估计、假设检验、方差分析与回归分析等方面的基本概念、基本理论和基本运算能力。 2. 提高性要求 在课程的教学过程中，要通过各个教学环节逐步提高学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学建模与实践能力，注意培养学生的自学能力，注意理论联系实际，不断提高学生的综合素质以及运用所学知识解决实际问题的能力。 3. 技能性要求 本课程修完后，学生将获得后续课程及工作实践所必须的数学思想、计算方法、基础知识、基本技能。 四、与其他课程的关系

本课程是应用型本科院校理工类专业开设的一门基础课程，它在以加强学生的数学实践能力和创新能力为重点，努力构建特色鲜明的应用型、创新型的本科人才培养模式和培养目标，培养主动适应经济社会发展需要的高级专业技术和熟练操作技能的实用型、开拓型复合型人才的过程中起着奠基作用。 第二部分：教学内容基本要求 第一章随机事件及其概率 本章教学要求： 1、理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件之间 的关系与运算； 2、了解概率、条件概率的定义，掌握概率的基本性质，会计算 古典概型的概率； 3、掌握概率的加法公式，乘法公式，会应用全概率公式和贝叶 斯公式； 4、理解事件独立性的概念，掌握应用事件独立性进行概率计算 的方法； 5、理解独立重复试验的概率，掌握计算有关事件概率的方法。 本章重点：随机事件的概率、古典概型的计算 本章难点：全概率的计算、贝叶斯公式的应用 第一节随机事件 随机现象，随机事件，样本空间，事件的关系与运算 第二节随机事件的概率 随机事件的概率：频率及其性质、概率的定义与性质 第三节古典概型 古典概型，几何概型； 第四节条件概率 条件概率的概念，乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式 第五节事件的独立性

概率论与数理统计教学大纲

《概率论与数理统计》教学大纲 一、内容简介 《概率论与数理统计》是从数量侧面研究随机现象规律性的数学理论，其理论与方法已广泛应用于工业、农业、军事和科学技术中。主要包括：随机事件和概率，一维和多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律与中心极限定理，参数估计，假设检验等内容。 二、本课程的目的和任务 本课程是理工学科和社会学科部分专业的基础课程。课程内容侧重于讲解概率论与数理统计的基本理论与方法，同时在教学中结合各专业的特点介绍性地给出在科研、生产、社会等各领域中的具体应用。课程的任务在于使学生建立随机现象的基本概念和描述方法，掌握运用概率论和统计学原理对自然和人类社会的现象进行观察、描述和预言的方法和能力。为学生树立基本的概率论和统计思维素养，以及进一步在相关方向深造，打下基础。 三、本课程与其它课程的关系 学生在进入本课程学习之前，应学过：高等数学、线性代数。这些课程的学习，为本课程提供了必需的数学基础知识。本课程学习结束后，学生可具备进一步学习相关课程的理论基础，同时由于概率论与数理统计的理论与方法向各基础学科、工程学科的广泛渗透，与其他学科相结

合发展成不少边缘学科，所以它是许多新的重要学科的基础，学生应对本课程予以足够的重视。 四、本课程的基本要求 概率论与数理统计是一个有特色的数学分支，有自己独特的概念和方法，内容丰富，结果深刻。通过对本课程的学习，学生应该建立用概率和统计的语言对随机现象进行描述的基本概念，熟练掌握概率论与数理统计中的基本理论和分析方法，能熟练运用基本原理解决某些实际问题。具体要求如下： （一）随机事件和概率 1、理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系和 运算。 2、理解概率的定义，掌握概率的基本性质，并能应用这些性质进行概率 计算。 3、理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公 式、贝叶斯公式，并能应用这些公式进行概率计算。 4、理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 5、掌握伯努利概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 1、理解随机变量的概念 2、理解随机变量分布函数的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律 及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分

概率论基础-李贤平-试题+答案-期末复习

第一章 随机事件及其概率 一、选择题： 1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ） A ．A B A C + B ．()A B C + C ．ABC D ．A B C ++ 2．设B A ? 则 （ ） A ．()P A B I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=- C ． P(B|A) = P(B) D ．(|)()P A B P A = 3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一 定独立 A ．()()()P A B P A P B =I B ．P （A|B ）=0 C ．P （A|B ）= P （B ） D ．P （A|B ）= ()P A 4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ） A ．a-b B ．c-b C ．a(1-b) D ．b-a 5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ） A ．A 与 B 互不相容 B ．A 与B 相互独立 C ．A 与B 互不独立 D ．A 与B 互不相容 6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ?，则一定成立的关系式是（ ） A ．P （A| B ）=1 B ．P(B|A)=1 C ．(|A)1p B = D ．(A|)1p B = 7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ） A ．()A B B A -=U B ．()A B B A -?U C ．()A B B A -?U D ．()A B B A -=U 8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0 C ．A 与B 互不相容 D ．A+B 是必然事件

概率论浙大第四版答案

概率论浙大第四版答案 【篇一：概率论(浙大第四版)课后答案】 p> 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） o1n?100?s???,???，n表小班人数 n??nn （3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） s={10，11，12，???，n，???} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的 盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就 停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。（[一] (3)） s={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设a，b，c为三事件，用a，b，c的运算关系表示下列事件。（1）a发生，b与c不发生。 表示为： a或a－ (ab+ac)或a－ (b∪c) （2）a，b都发生，而c不发生。 表示为： ab或ab－abc或ab－c 表示为：a+b+c （3）a，b，c中至少有一个发生 （4）a，b，c都发生，表示为：abc （5）a，b，c都不发生，表示为：或s－ (a+b+c)或a?b?c （6）a，b，c中不多于一个发生，即a，b，c中至少有两个同时 不发生相当于,,中至少有一个发生。故表示为：??。 （7）a，b，c中不多于二个发生。相当于：,,中至少有一个发生。 故表示为：??abc （8）a，b，c中至少有二个发生。 相当于：ab，bc，ac中至少有一个发生。故表示为：ab+bc+ac

概率论基础复习题及答案

《概率论基础》本科 填空题（含答案） 1． 设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ≥0; ?∞ ∞ -dx x p )(= 1 ；Eξ=?∞ ∞ -dx x xp )(。 考查第三章 2． 设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 至少有一个发生可表示为：C B A ；A,C 发生而B 不发生可表示 C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。 考查第一章 3． 设随机变量)1,0(~N ξ，其概率密度函数为)(0x ?，分布函数为)(0x Φ，则)0(0?等于π 21，)0(0Φ等 于 0.5 。 考查第三章 4． 设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=5 1 ，k=1,2,3,4,5，则Eξ= 3 ，Dξ= 2 。 考查第五章 5． 已知随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U ，V 的相关系数等于 XY r 。 考查第五章 6． 设),(~2 σμN X ，用车贝晓夫不等式估计：≥<-)|(|σμk X P 211k - 考查第五章 7． 设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=i x }=i p ,...,2,1=i 则 i p ≥ 0 ；∑∞ =1 i i p = 1 ；Eξ= ∑∞ =1 i i i p x 。 考查第一章 8． 设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 都发生可表示为：ABC ；A 发生而B,C 不发生可表示为：C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。 考查第一章 9． )4,5(~N X ，)()(c X P c X P <=>，则=c 5 。 考查第三章

概率论与数理统计浙大四版习题答案第七章

第七章参数估计 1.［ 一］ 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以 求总体均值卩及方差b 2的矩估计，并求样本方差 S 2。 n 2 6 (X i x) 6 10 i 1 S 2 6.86 10 6。 ln L(e ) nln(e ) n e inc (1 e ) In d 寫⑹ (1) f (x) e c e x (e 1},x c 0,其它 其中c >0为已知， e >1, e 为未知参数。 (2) f(x) 、e x e 1,0 x 1 0,其它. 其中e >0, e 为未知参数。 (5) P(X x) m p x (1 p)m x ,x 0,1,2, ,m,0 p 1, p 为未知参数。 解： （ 1) E(X) xf(x)dx c e c e x e dx e c e c e 1 e 1 e c 令 e c X e 1, 令 e 1 X X c (2) E(X) xf (x)dx e x e dx - 丄匚,令- '-e X ,We ( X )2 2.［二］设X , X ,…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律 中的未知参数的矩估计量。 得e 1 e (5) -e 1 解：（1）似然函数 n L (e ) f (人)e n c n e (x 1 x 2 i 1 X n ) mm 计) 解：U,b 2的矩估计是 X 74.002 E （X ） = mp 令 mp = X ,解得?莖 m 3.［三］求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计 量。 ln x i 0

（解唯一故为极大似然估计 量） In X i nln c i 1 ⑵ L(B ) n n _ f (X i ) e 2(X 1X 2 X n ) 0 1 ,ln L(B ) n 2~ n ln( 0) (0 1) In X i i 1 dI nL(0) n d 0 2 1 0 1 n In X i 0, i 1 ? （n In x i ）2 0 （解唯一）故为极大似然 估 2.一 0 计量。 n m m n X i n mn 召 (5) L(p) P{X X i } p i1 (1 p) i1 , i - 1 X 1 X n n n n In L(p) In m X i x i In p (mn X i )l n(1 p), i 1 i 1 i 1 i 1 n mn x i i 1 0 1 p n X i d In L(p) i 1_ dp p n Xi - 解得 p q — —,（解唯一）故为极大似然估计量。 mn m 4.［四（2）］设X , X,…，X.是来自参数为入的泊松分布总体的一个样本，试求入 的极大似然估计量及矩估计量。 解：（1）矩估计 X ~ n 入）,E （ X ）=入，故*= X 为矩估计量。 （2）极大似然估计L （入） n P(X i ；入) 1 n X i *1 X 1 !X 2! X e n *, In L(入) i X i In In X i ! d In L(入) d 入 n X i i 1 入 0 ,解得* X 为极大似然估计 量。

浙大《概率论》习题

第一讲 1. 由盛有号码为N ,,2,1 的球的箱子中有放回的摸了n 次, 依次记其号码, 求这些号码按严格上升次序排列的概率. 2. 对任意凑在一起的40人, 求他们中没有两人生日相同的概率. 3. 从n 双不同的鞋子中任取)2(2n r r ≤只, 求下列事件的概率: (1) (1) 没有成双的鞋子; (2)只有一双鞋子; (3) 恰有二双鞋子; (4) 有r 双鞋子. 4. 从52张的一副扑克牌中, 任取5张, 求下列事件的概率: (1) (1) 取得以A 为打头的顺次同花色5张; (2) (2) 有4张同花色; (3) (3) 5张同花色; (4) (4) 3张同点数且另2张也同点数. 思考题: 1.（分房、占位问题）把n 个球随机地放入N 个不同的格子中，每个球落入各格子内的概率相同（设格子足够大，可以容纳任意多个球）。 I. I. 若这n 个球是可以区分的，求（1）指定的n 个格子各有 一球的概率；（2）有n 个格子各有一球的概率； 若这n 个球是不可以区分的，求（1）某一指定的盒子中恰有k 个球的概率；（2）恰好有m 个空盒的概率。 2.取数问题）从1-9这九个数中有放回地依次取出五个数，求下列各事件的概率： （1） （1） 五个数全不同；（2）1恰好出现二次；（3）总和为10. 第二讲 1. 在一张打方格的纸上投一枚直径为1的硬币, 问方格要多小时才能使硬币与线不相交的概率小于 2. 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报(记为A)的有45%，订乙报(记为B)的有35%，订丙报(记为C)的有30%，同时订甲、乙两报(记为D)的有10%，同时订甲、丙两报(记为E)的有8%，同时订乙、丙两报(记为F)的有5%，同时订三中报纸(记为G)的有3%. 试表示下列事件, 并求下述百分比：(1)只订甲报的；（2）只订甲、乙两报的；（3）只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；（5）至少订一种报纸的；（6）不订任何报纸的. 3. 在线段[0,1]上任意投三个点, 求0到这三点的三条线段能构成三角形的概率. 4. 设A, B, C, D 是四个事件, 似用它们表示下列事件: (1) (1) 四个事件至少发生一个; (2) (2) 四个事件恰好发生两个; (3) (3) A,B 都发生而C, D 不发生; (4) (4) 这四个事件都不发生; (5) (5) 这四个事件至多发生一个; (6) (6) 这四个事件至少发生两个; (7) (7) 这四个事件至多发生两个. 5. 考试时共有n 张考签, 有)(n m m ≥个同学参加考试. 若被抽过的考签立即放回, 求在考试结束后, 至少有一张考签没有被抽到的概率. 6. 在§3例5中, 求恰好有)(n k k ≤个人拿到自己的枪的概率. 7. 给定)(),(),(B A P r B P q A P p ?===, 求)(B A P 及)(B A P . 思考题 1.（蒲丰投针问题续）向画满间隔为a 的平行线的桌面上任投一直径)(a l l <为的半圆形纸片,求事件“纸片与某直线相交”的概率；

概率论与数理统计 教学大纲

“概率论与数理统计(B)”教学大纲 The Theory of Probability and Mathematical Statistics (B) 预修课程: 高等数学总学时: 60 学分: 3 一、教学目标及要求 本课程是高校理工类各专业的基础课，通过本课程的学习，使学生能系统正确地掌握概率论与数理统计学的基础知识和应用方法，为学习专业课打下基础。 二、教学重点和难点 教学重点：概率统计思想方法的培养。 教学难点：概率统计概念的直观理解。 三、教材及主要参考书 教材：《概率论与数理统计》陈希孺编，中国科学技术大学出版社，1992 主要参考书： (1).傅权、胡蓓华编, 基本统计方法教程，华东师范大学出版社，1986年 (2).Douglas C. Montgomery, George C. Runger, Applied Statistics and Probability for engineers, 3rd, John Wiley & Sons, 2003. (3).杨振明, 概率论, 南开大学数学教学丛书. 北京: 科学出版社, 2001. (4).苏淳, 概率论, 北京: 科学出版社, 2004. (5).T.T. Soong, Fundamentals Of Probability And Statistics For Engineers, New York: John Wile & Sons, 2004. 四、课程章节与课时分配 课程按照18周教学安排, 其中教学总课时56学时, 习题4学时. 第一章事件与概率（6学时） §1.1 概率论发展简史 §1.2概率论的基本概念 §1.3 条件概率

浙大版概率论与数理统计答案---第五章

第五章 大数定律及中心极限定理 注意： 这是第一稿（存在一些错误） 1、 解（1）由于{0}1P X ≥=，且()36E X =，利用马尔科夫不等式，得 () {50}0.7250 E X P X ≥≤ = （2）2 ()2D X =，()36E X =，利用切比雪夫不等式，所求的概率为： 223 {3240}1(364)10.75164 P X P X <<=--≥≥-== 2、解：()500,0.1i X B :， 500500121 1500111610%5%192.8%5000.05125i i i i D X P X ==?? ???? ?-<≥-==???? ∑∑ 3、 解 ξ服从参数为的几何分布，1 1(),(2,3,4)2n P n n ξ-?? === ? ?? L 可求出2 ()()3,()2n E nP n D ξξξ∞ == ===∑ 于是令 ()2 a b E ξ+=，2b a ε-=，利用切比雪夫不等式，得 有2 () ()1(())175%D P a b P E ξξξξεε <<=--≥≥-= 从而可以求出()3()3a E b E εξεξε==-=-=+=+4、解：()()()() ()() () 1,,n n n X n n n x F x P X x P X x X x F x a =≤=≤≤==L ，()0,x a ∈。 则() ()()() ()1 1 n n n X n nx p x n F x p x a --==，()0,x a ∈。 ()()10 1 n n a X n nx n E x x dx a a n -=?=+? ， ()()()() 2 12 22 121n n a X n nx n n D x x dx a a a n n n -??=?-= ?+??++? 。

概率论与数理统计教学及考试

概率论部分(70%) 第一章随机事件及其概率(15%) 基本题 乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式的应用 例1、设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%, 现从中任取一件, (1) 求取到的是次品的概率; (2) 经检验发现取到的产品为次品, 求该产品是甲厂生产的概率。 (6%) 第二章随机变量及其分布(20%) 第三章多维随机变量及其分布(17%) 第四章随机变量的数字特征(18%) 基本题 一、一维连续型随机变量 例2、已知连续型随机变量X的密度函数为f(x)= 0.5x10

李贤平 第2版《概率论基础》第五章答案

1 第5章 极限定理 1、ξ为非负随机变量，若(0)a Ee a ξ <∞>，则对任意x o >，{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。 2、若()0h x ≥，ξ为随机变量，且()Eh ξ<∞，则关于任何0c >， 1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。 4、{}k ξ各以 12 概率取值s k 和s k -，当s 为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξL L 的算术平均值？ 6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件： （1）1{2}2 k k P X =±= ； （2）(21) 2{2}2 ,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-； （3）1 1 2 21{2},{0}12 k k k P X k P X k --=±===-。 7、若k ξ具有有限方差，服从同一分布，但各k 间，k ξ和1k ξ+有相关，而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的， 证明这时对{}k ξ大数定律成立。 8、已知随机变量序列12,,ξξL 的方差有界，n D c ξ≤，并且当||i j -→∞时，相关系数0ij r →，证明 对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ，若记11()n n n ηξξ= ++L ，11 ()n n a E E n ξξ=++L ，则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞?? -=??+-?? 。 10、用斯特灵公式证明：当,,n m n m →∞→∞-→∞，而 0m n →时， 2 221~2n m n n n m -???? ???-?? ??。 12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试 求有10个或更多终端在使用的概率。

(浙大第四版)概率论与数理统计知识点总结

第1章
n Pm ?
随机事件及其概率
（1）排列 组合公式
n Cm ?
m! (m ? n)! m! n!(m ? n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数
从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数
（2）加法 和乘法原 理
（3）一些 常见排列 （4）随机 试验和随 机事件
（5）基本 事件、样 本空间和 事件
（6）事件 的关系与 运算
加法原理（两种方法均能完成此事） ：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种 方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个 步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果 不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则 称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事 件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 ? 来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 ? 表示。 一个事件就是由 ? 中的部分点（基本事件 ? ）组成的集合。通常用 大写字母 A，B，C，…表示事件，它们是 ? 的子集。 ? 为必然事件，? 为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事 件；同理，必然事件（Ω ）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定 是必然事件。 ①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， （A 发生必有事件 B 发生） ：A? B 如果同时有 A ? B ， B ? A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。
A、B 中至少有一个发生的事件：A ? B，或者 A+B。
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概率论与数理统计教学大纲

《概率论与数理统计》课程教学大纲 一、课程说明 课程编号：0602102 课程名称：概率论与数理统计/Probability and Mathematical Statistics 课程类别/课程性质：公共基础课/必修课 课程总学时/学分：40/2.5 开课学院：理学部 开课学期：第3学期 适用专业：电气工程及其自动化、电子信息科学与技术、服装设计与工程、电子信息工程、计算机科学与技术、网络工程 先修课程：高等数学、线性代数 后续课程：统计学 考试方式：笔试闭卷 推荐教材或参考书目： 推荐教材：盛骤、谢式千、潘承毅．概率论与数理统计．高等教育出版社，2008.6. 参考书目： 1. 盛骤、谢式千、潘承毅. 概率论与数理统计学习辅导与习题选解. 高等教育出版社，2008.6. 2．吴赣昌.概率论与数理统计（理工类）.中国人民大学出版社，2011.8. 二、课程简介 《概率论与数理统计》是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。它是一门必修的基础课，是学习专业课、基础专业课以及研究生课程等后续课程的必要基础，也是参加社会生产、日常生活和工作的必要基础。随着社会的发展，它在经济、管理、社会生活和科学研究等方面的应用越来越广泛。它在解决实际问题，培养和提高学生观察问题、分析问题、解决问题的能力方面发挥着特有的作用，对学生形成良好的辩证唯物主义世界观也有积极的作用。 三、教学的目的和任务 《概率论与数理统计》是一门重要的专业基础必修课，在教学培养计划中列为基础主干课程。通过本课程的学习，使学生不但比较系统的掌握概率论与数理统计学的基础知识，而且使学生学到随机数学的基础研究技能，另外训练学生严密的科学思维及运用概率统计方法分析问题、解决问题的能力、为学生学习后继课打下良好的基础。 1．学好基础知识。理解和掌握课程中的基本概念和基本理论，知道它的思想方法、意义和用途，以及它与其它概念、规律之间的联系。 2．掌握基本技能。能够根据法则、公式正确地进行运算。能够根据问题的情景，寻求和设计合理简捷的运算途径。能运用计算机按照一定的程序和步骤进行有关计算、查表或数据处理。

概率论与数理统计浙大第四版习题答案全

概率论与数理统计习题答案 完全版 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） ? ??????=n n n n o S 1001 , ，n 表小班人数 （3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，………，n ，………} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生。 表示为： C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生。 表示为： C AB 或AB －ABC 或AB －C （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C

（4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC （5）A ，B ，C 都不发生， 表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ?? （6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：C A C B B A ++。 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生。 相当于：C B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。故 表示为：AB +BC +AC 6.[三] 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0. 7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）. 从而由加法定理得 P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B ) (*) （1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6， （2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4 1 )()()(=== ==BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )+ P (ABC )= 8 508143=+- 8.[五] 在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26

浙大版概率论与数理统计答案---第六章

第六章 统计量与抽样分布 注意： 这是第一稿（存在一些错误） 1、解：易知的X 期望为μ，方差为2n σ ，则()0,1X N μσ-:近似地 ， 所以，( ) (0.10.10.909X P X P μσ μσσ σ? ? - ? -<=<≈Φ= ? ? ??? 。 2、解 （1）由题意得： 2 2 2 2211111 ()()()()n n i i i i E X D X E X D X E X n n n σμ==??=+=+=+ ???∑∑ ()2211111111 ()()n n i i i i E X X E X X E X X n n n σμ==?=?==+∑∑ （2）1X X -服从正态分布，其中： 1()0E X X -=，22 1122111()( )()()n n n D X X D X D X n n n σ----=+= 从而 2 11~(0,)n X X N n σ-- 由于 ~(0,1)i X N μ σ -，1,2,i n =L ，且相互独立，因此： () ()2 22 1 ~n i i X n μχσ =-∑ ~(0,1)X N μ-，所以()()2 22 ~1n X μχσ - 由于 ()2 22 (1)~1n S n χσ --，所以 () () ()2 2 2 2 22 (1)/~1,1(1)n X n X n S F n n S μ μσσ---=-- （3）由于 () 2 /2 2 1 ~(/2)n i i X n μχσ=-∑ ，以及 () 2 2 1/2 ~(/2)n i i n X n μχσ=+-∑ ，因此有：

概率论与数理统计简明教程

引言形形色色的概率统计问题 人们在日常生活和生产实践活动中，都会遇到这样或那样的随机现象；下面是其中一些有趣的问题。先从赌博说起。事实上，概率论正是起源于17世纪的赌博问题。由于赌博的趣味性和吸引力，使得概率论能够发展至今。请看概率论的第一个问题： 问题0.1：甲乙两人打赌，各押硬币的一面，先出现6次者赢100法郎。当赌博进行到5:3时因故终止，试问应如何分配赌金？ 有人说：甲应该得到全部的100法郎，因为这个赌博只有两种结果，而现在甲领先； 又有人说：既然比分是5：3，那么甲应该得到赌金的5/8，乙得另外的3/8。你以为呢？ 下面的三颗骰子赌博机问题盛行于狂欢节时的美国中西部和英格兰： 问题0.2：你从1到6之中选取一个数字（比如6），然后机器掷出三颗骰子。如果三颗骰子出现的三个数字都是你选取的数字6，机器会支付你3美元；如果三颗骰子的数字中有两个6，机器会支付你2美元；如果三颗骰子的数字中仅有一个6，机器会支付你1美元。只有当你选取的数字没有出现时，你才需要付给它钱——仅仅1美元。好象这个游戏看起来挺吸引人的，因为掷三颗骰子，你有三个机会能赢，并且有时你可赢取1美元以上，而1美元则是你的最大损失。请问你愿意赌吗？说说你的理由！ 在概率统计中，直觉是很重要的，我们常常凭直觉就能得到正确的结论。但是在好多情况下，直觉会让人误入歧途。我们给出的第3个问题大家也许曾经亲眼见到或有所耳闻：问题0.3：一个人有三张牌，一张两面都是黑色，一张两面都是红色，一张一面是黑色一面是红色。他将这三张牌放到帽子里，让你抽一张，但你只能看这张牌的一面。假定这面是红色，则这张牌肯定不是两面黑色，只能是两面红色或一面红一面黑。他提议和你来场赌博，他赌这张牌是两面红，赔率是1赔1。你认为公平吗？ 问题0.4：历史上有名的“生日问题”同样说明“直觉”有时真的不是很可靠！假定一年有365天，则由著名的抽屉原理可知，任意366人中至少有两人同一天生日。也就是说，需要366人，才能保证其中至少有两人同一天生日。但是现实生活中，大家可能留意到一个事实：一个47人的班级几乎就有两人同一天生日！这样的结果相信足以引起多数读者好奇的。这又是怎么回事呢？后面的古典概率模型将给出合理的解释。 问题0.5：“熊”了几年的中国股市近两年狂“牛”，许多对股票几乎一窍不通的老人家也前赴后继地投身到股市的洪流中。如果你是一个股民，也知道股市存在风险，自然希望能得到专家的帮助。但问题是，究竟谁可以算是股市行家呢？如果连续6个星期，你都收到某股市顾问对某种股票行情（上升或下降）正确预言的邮件，那么这名顾问要求你为第七个星期中这样的预言付费，你愿意吗？ 问题0.6：这是一个医学诊断问题，更应该是一个生活常识。有点医学知识的人也许知道，用甲胎蛋白法诊断肝癌，准确性是比较高的：由过去的资料估计灵敏度（即癌症患者检测结果呈阳性的概率）是95%、特异度（即正常人检测结果呈阴性的概率）是90%。如果在某次例行检查（譬如单位每年一度的体检）中，某人的检验结果是阳性，试问：他应该沮丧到什么程度？ 问题0.7：可预见的梦和巧合问题： 一个人做过一个梦，而梦中的事在现实中出现时，他很难不再相信有预感的存在。你以为呢？ 如果有两个人有难以置信的一系列相同的经历，而发生这种巧合的概率是一万亿分之一（1/1012），我们是否应该诧异呢？ 问题0.8：敏感性问题调查：为确定什么样的性行为最容易导致爱滋病，需要了解人群中进行过某种性行为的人所占的比例。试问：如何设计调查方案？ 解答这些形形色色的概率统计问题，需要有足够的概率统计知识。我们从基础开始。