北大经济学院高宏张延课件 (8)
?第三次作业：第117页：
?2.2、2.5、2.6、2.8 —2.11?11月12日交第3次作业
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?四、家庭的最大化问题
?1、家庭最大化问题的一阶条件
?家庭的问题是，在预算约束条件下选择c(t)的路径以最大化一生效用。尽管这涉及选择每一时点上的c(而非像标准的最大化问题那样，仅选择有限的一组变量)，传统的最大化方法仍可使用。
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?由于消费的边际效用总为正，所以家庭满足其预算约束的等号形式。因此，我们可用目标函数(2.14)和预算约束(2.7)来构造拉格朗日函数：
?目标函数：
∞[ e -βt c(t)1-θ／(1-θ) ] dt (2.14)
?U ≡ B∫
t=0
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?约束条件：
?∫
t=0
∞e -R(t) c(t) e(n+g)t dt
?≤ k(0) + ∫
t=0
∞e -R(t) w(t) e(n+g)t dt (2.7)?L= B∫t=0∞[e -βt c(t) 1-θ／(1-θ)]dt +λ[ k(0) +
?∫
t=0∞e -R(t) e(n+g)t w(t)dt -∫
t=0
∞e -R(t) e(n+g)t c(t)dt ]
?(2.15)
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?c(t)：选择变量，政策可控制。如何选择，以最大化一生的效用。
?k(t)：状态变量。
?t ：时间变量。
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?即以某一时期t为例，写出某一时期t的拉格朗日函数：
?L = B e -βt c(t)1-θ／(1-θ) +
?λ [ k(0) +e -R(t)e(n+g)t w(t) -e -R(t)e(n+g)t c(t) ]
?存在极值的一阶条件为：
??L ／?c=B e-βt c(t)-θ-λe -R(t)e(n + g)t= 0 2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。版权所有7
?传统的最大化问题是求一个确定的点值?现在的最大化问题是求一条道路，无数点的集合。家庭选择每一时点上的c ；也就是说，它选择无限多个c(t)。对单个c(t)的一阶条件是：
?B e -βt c(t)-θ= λe -R(t)e(n+g)t(2.16) 2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。版权所有8
?家庭的行为特征由(2.16)和预算约束(2.7)描述。?要考虑(2.16)在消费行为方面的含义，首先对两边取对数：
?ln B -βt –θln c(t) = lnλ -R(t) + (n + g)t ?(2.17) 2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。版权所有9
?现在注意，由于对于每一t(2.17)两
边都相等，因此两边对t的导数也应相等。
两边对t 求导后，有
?-β–θc˙(t)／c(t)
?=-dR(t)／dt+(n+g)
?=-r(t)+(n+g)(2.18)
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?其中我们用了R(t)的定义，以求得dR(t)／dt
t r(τ) dτ
?R(t) = ∫
τ=0
?定式：如果g(x) =∫f(x)dx ，
?则g′(x) = f(x)
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?从(2.18)中求c˙(t)／c(t)，得到：
?c˙(t)／c(t)
?=[r(t)–n–g–β]／θ(2.19)
?= { r(t) -n –g –[ρ-n -( 1 -θ)g ] }／θ?= [ r(t) -ρ–θg ] ／θ
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?其中第二行用到了β的定义：
?β≡ρ-n-(1-θ)g
?这一步不大正规；问题在于(2.16)中各项在(2.15)中的阶为dt ；也就是说，它们对该拉格朗日函数的影响为无穷小。除了简单地“去掉”dt 这种
方法(我们在(2.16)中用的就是这种方法)之外，比较
正规地探讨这一问题的方法有多种。
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?比如，我们可以认为家庭在[ 0，?t ]、[ ?t，2?t ]、[ 2?t，3?t ]……这一系列有限区间内选择消费，且要求在每一区间内消费不变，然后求?t趋于0时的极限，这也可得(2.16)。另一种方法是应用变分法(见70页注)。
?方程(2.19) c˙(t)／c(t) = [ r(t) -n –g –β]／θ称为该最大化问题的欧拉方程。
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?2、欧拉方程(2.19)的推导
?可在无需家庭一生预算约束的条件下，从家庭偏好中推导出来。
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?方程(2.19)称为该最大化问题的欧拉方程。推导(2.19)的一个较为直观的方法是，考虑家庭在连续两个时点的消费。具体而言，设想
家庭在某时点t 将C降低一小量?c ( 正规地应
为一无穷小量)，并将由此增加的储蓄投资
于一个短期?t (正规地应为无穷短期)，然后
在时点t +?t 消费掉投资所得收益；
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?───┴──────────────┴───→?t t+?t
?-?c(t) + ?c(t+?t)
?-?U (c(t)) + ?U( c(t+?t)) 2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。版权所有17
?假定在这样做时，家庭不改变t 和t+?t 以外所有时点上的消费和资本持有量。如果家庭是最优化的，则该变化对一生效用的边际影响必须为0。
?-?U( c(t) ) = ?U( c( t +?t) )
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?现在( t ) 未来( t +?t )
??U(c(t)) ?U( c( t +?t ) )
? e -βt e -β(t +?t)
?c(t)c( t +?t )
??c(t) ?c( t +?t )
? e -[r(t)-n-g]?t1
? 1 e [r(t)-n-g]?t
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?(1)?U (c(t))和?U( c(t +?t))的表达式：?由(2.14)可知c(t)的边际效用为：
? d U( c(t))／d c(t) = B e -βt c(t)-θ＞0
??U (c(t))／?c(t) = B e -βt c(t)-θ＞0 ?——→ U 与c 同向变动
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