灰色关联公理与灰色关联度
灰色关联公理与灰色关联度
定义4.3.1 设序列))(,),2(),1((n x x x X =，则
]}1,[;1,,2,1|))()1()(()({+∈-=-+-+=k k t n k k x k x k t k x X
称为序列X 所对应的折线。
这里，我们对序列和折线采用了相同的记号。为叙述简便起见，在讨论时，往往对序列和它所对应的折线不加区别。
命题4.3.1 设系统特征行为序列0X 为增长序列，i X 为相关因素行为序列，则有 1．
当i X 为增长序列时，i X 与0X 为正相关关系； 2．
当i X 为衰减序列时，i X 与0X 为负相关关系； 由于负相关序列可通过4.1节中定义的逆化算子或倒数化算子作用转化为正相关序列，故我们重点研究正相关关系。
定义4.3.2 设序列))(,),2(),1((n x x x X =，则称
1．
n k k x k x ,,3,2),1()(( =--=α，为X 在区间],1[k k -上的斜率； 2．
1,,2,1;,)()(-=>--=n k k s k
s k x s x α，为X 在区间],[s k 上的斜率； 3．))1()((11x n x n --=α为X 的平均斜率； 定理4.3.1 设i X ，j X 皆为非负增长序列，c X X i j +=，c 为非零常数，1D 为初值化算子，且 1D X Y i i =，1D X Y j j =
分别为i X ，j X 的初值像；i α，j α分别为i X ，j X 的平均斜率；i β，j β分别为i Y ，j Y 的平均斜率，则必有
1．j i αα=；
2． 当0
证明 1．
))(,),2(),1((n x x x X i i i i = ))(,),2(),1((n x x x X j j j j =))(,,)2(,)1((c n x c x c x i i i +++=
由定义4.3.2
))1()((1
1i i i x n x n --=α
))1()((11j j j x n x n --=α))1()((1
1c x c n x n i i --+-= i i i x n x n α=--=))1()((11 2． ))
1()(,,)1()2(,)1()1((1i i i i i i i i x n x x x x x D X Y == ))
1()(,,)1()2(,)1()1((1j j j j j j j j x n x x x x x D X Y ==))1()(,,)1()2(,)1()1((c x c n x c x c x c x c x i i i i i i
++++++= i i i i i i i i i i x x n x n x x x x n x n αβ)
1(1))1()(()1)(1(1))1()1()1()((11=--=--= i i i i i i i i i j c
x x n x n c x c x c x c x c n x n αβ+=--+=++-++-=)1(1))1()(()1)()1((1))1()1()1()((11 当0
x x i i +<)1(1)1(1，所以j i ββ<。 当0>c 时，c x x i i +<)1()1(，
c x x i i +>)1(1)1(1，所以j i ββ>。 上述定理反映出序列的增值特性，当两个增长序列的绝对增值量相同时，初值小的序列的相对增长速度要高于初值大的序列，要保持相同的相对增长速度，初值大的序列的绝对增量必须大于初值小的序列。
定义4.3.3 设))(,),2(),1((0000n x x x X =
))(,),2(),1((1111n x x x X =
..............................................
))(,),2(),1((n x x x X i i i i =
..............................................
))(,),2(),1((n x x x X m m m m =
为相关因素序列。给定实数))(),((0k x k x i γ，若实数
∑==n k i i k x k x n X X 1
00))(),((1),(γγ 满足
1．
规范性 1),(00≤
整体性
对于}2;,,2,1,0|{,≥==∈m m s X X X X s j i ，有
),(),(i j j i X X X X γγ≠ )(j i ≠
3．
偶对对称性
对于X X X j i ∈,，有 },{),(),(j i i j j i X X X X X X X =?=γγ
4．
接近性 |)()(|0k x k x i -越小，))(),((0k x k x i γ越大
则称),(0i X X γ为i X 与0X 的灰色关联度，))(),((0k x k x i γ为i X 与0X 在k 点的关联系数，并称条件1．，2．，3．，4．
为灰色关联四公理。
在灰色关联公理中，]1,0(),(0∈i X X γ表明系统中任何两个行为序列都不可能是严格无关联的。
整体性则体现了环境对灰色关联比较的影响，环境不同，灰色关联度亦随之变化，因此对称原理不一定满足。
偶对对称性表明，当灰色关联因子集中只有两个序列时，两两比较满足对称性。 接近性是对关联度量化的约束。
定理4.3.2 设系统行为序列
))(,),2(),1((0000n x x x X = ))(,),2(),1((1111n x x x X =
))(,),2(),1((n x x x X i i i i =
))(,),2(),1((n x x x X m m m m =
对于)1,0(∈ξ，令
|)()(|max max |)()(||)()(|max max |)()(|min min ))(),((00000k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x i k i i i k
i i k i i -+--+-=ξξγ （4.3.1）
∑==n k i i k x k x n X X 1
00))(),((1),(γγ （4.3.2） 则),(0i X X γ满足灰色关联四公理，其中ξ称为分辨系数。),(0i X X γ称为0X 与i X 的灰色
关联度。
证明 1．规范性
若|)()(|min min |)()(|00k x k x k x k x i k
i i -=-，则 1))(),((0=k x k x i γ
若|)()(|min min |)()(|00k x k x k x k x i k
i i -≠-，则 |)()(|min min |)()(|00k x k x k x k x i k
i i ->- 从而 |)()(|max max |)()(|min min 00k x k x k x k x i k
i i k i -+-ξ |)()(|max max |)()(|00k x k x k x k x i k
i i -+-<ξ 故1))(),((0
因此1))(),((00≤ 若}2;,,2,1,0|{≥==m m s X X s ，则对任意X X X s s ∈21,，一般地 |)()(|max max |)()(|max max 21k x k x k x k x i s k i i s k i -≠- 故整体性成立。 3．偶对对称性 若},{10X X X =，则 |)()(||)()(|0110k x k x k x k x -=- 01max max |()()|max max |()()|i i i k i k x k x k x k x k -=- 上式左端1=i ，右端0=i ，因此 ),(),(0110X X r X X r = 4． 接近性 显然成立。 灰色关联度),(0i X X γ常简记为i 0γ，k 点关联系数))(),((0k x k x i γ简记为)(0k i γ。 按照定理4.3.2中定义的算式可得灰色关联度的计算步骤如下： 第一步：求各序列的初值像（或均值像）。令 ))(,),2(),1(()1(/''''n x x x x X X i i i i i i == m i ,,2,1,0 = 第二步：求差序列。记 |)()(|)(''0k x k x k i i -=? , ))(,),2(),1((n i i i i ???=? m i ,,2,1 = 第三步：求两极最大差与最小差。记 )(max max k M i k i ?=,)(min min k m i k i ?= 第四步：求关联系数 M k M m k i i ξξγ+?+=)()(0，)1,0(∈ξ n k ,,2,1 =；m i ,,2,1 = 第五步：计算关联度 ∑==n k i i k n 1 00)(1γγ；m i ,,2,1 = 例4.3.1 某市工业、农业、运输业、商业各部门的行为数据如下： 工业： )9.41,3.42,4.43,8.45())4(),3(),2(),1((11111==x x x x X 农业： )9.44,9.43,6.41,1.39())4(),3(),2(),1((22222==x x x x X 运输业：)5.3,5.3,3.3,4.3())4(),3(),2(),1((33333==x x x x X 商业： )7.4,4.5,8.6,7.6())4(),3(),2(),1((44444==x x x x X 分别以21,X X 为系统特征序列，计算灰色关联度。 1． 先以1X 为系统特征序列求关联度 第一步：求初值像 由)),4(),3(),2(),1(()1(/'''''i i i i i i i x x x x x X X ==;4,3,2,1=i ,得 )9138.0,9235.0,9475.0,1(' 1=X )1483.1,1227.1,063.1,1('2=X )0294.1,0294.1,97.0,1('3=X )7015.0,805.0,0149.1,1('4=X 第二步：求差序列 由|)()(|)(''1k x k x k i i -=?；4,3,2,1=i ，得 )2335.0,1992.0,1155.0,0(2=? )1146.0,1059.0,0225.0,0(3=? )2123.0,1185.0,0674.0,0(4=? 第三步：求两极差 2335.0)(max max =?=k M i k i 0)(min min =?=k m i k i 第四步：求关联系数 取5.0=ξ，有 11675 .0)(11675.0)(1+?= k k i i γ；4,3,2=ξ 从而 3333.0)4(,3695.0)3(,503.0)2(,1)1(12121212====r r r r 504.0)4(,5244.0)3(,8384.0)2(,1)1(13131313====r r r r 352.0)4(,4963.0)3(,634.0)2(,1)1(14141414====r r r r 第五步：求灰色关联度 551.0)(4141 1212==∑=k k γγ 717.0)(414 1 1313==∑=k k γγ 621.0)(414 11414 ==∑=k k γγ 2．对于以2X 为系统特征的情况，由 |)()(|)(' '2k x k x k i i -=?； 4,3,1=i )2335.0,1992.0,1155.0,0(1=? )1189.0,0933.0,093.0,0(3=? )4483.0,3177.0,0481.0,0(4=? 于是 4483.0)(max max =?=k M i k i 0)(min min =?=k m i k i 取5.0=ξ，得 22415 .0)(22415.0)(2+?= k k i i γ 从而 489.0)4(,53.0)3(,66.0)2(,1)1(21212121====r r r r 653.0)4(,706.0)3(,706.0)2(,1)1(23232323====r r r r 333.0)4(,415.0)3(,823.0)2(,1)1(24242424====r r r r 于是 670.0)(4141 2121==∑=k k γγ 766.0)(414 12323 ==∑=k k γγ 643.0)(41412424 ==∑=k k γγ 联系2．中结果551.012=γ，显然2112γγ≠这正是灰色关联公理中的整体性。 灰色关联有什么用 灰色关联度，指的是两个系统或两个因素之间关联性大小的量度。目的，是在于寻求系统中各因素之间的主要关系，找出影响目标值的重要因素，从而掌握事物的主要特征，促进和引导系统迅速有效地发展。——这是比较“官方”的解释。我再来一个“野路子”的解释：用两种试验方法，得出两组数据A和B；用理论方法，得到理论解答C。那么，现在来比较试验方法A好还是B好？自然是看其结果，哪一个与C最吻合，哪个就最好呗，灰关联就是用来解决“谁和谁的关联程度更高”这样的问题的。 灰色关联的重要步骤 步骤不多，核心的，首先是数据的归一化处理，这是因为有时一个试验结果矩阵中的每个元素会有不同的量纲；接下来是计算灰色关联矩阵，这个过程涉及到的公式很吓人，我第一眼看的时候竟然没搞明白是什么意思，囧；最后是计算关联度，这也就是得到了最终结果。 下面来看看那个复杂的公式：(Pi为关联度矩阵中的元素) 计算方法 关于关联矩阵中各个元素的计算，我起初被严重误导，认为用Excel是无法完成的，结果还绕了一段弯路，很是丢人~当然，有高手通过Matlab计算的经验，而且还给出了实例，有兴趣的可以参考“仿真百科”里的内容。但我最终还是根据1992年出版的一本老书《灰色理论与方法——提要·题解·程序·应用》中的一个简单实例，用最简单的方法搞定了计算问题。鉴于我不知道如何把Excel 公式按照步骤，类似APDL那样摆出来，那就把那个例子与大家分享，说说计算原理步骤吧。 首先看下面四数列 A=[2,3,4,3.7] B=[60,73,84,58] C=[1204,801,1228,1270] D=[303,298,247,251] 以A为目标，检验B、C、D与A的关联度。 步骤1.归一化，将数列中的每个元素，除以相同的一个数值，比如A的归一化过程为[2/2, 3/2 ,4/2, 3.7/2]或者更常用的均值化处理，都可以搞定。只需要这几个数列用同一种方法归一即可了。 步骤2.求差序列.经过归一化的A、B、C、D，用A分别减去B/C/D；即 E=A-B; F=A-C; G=A-D 步骤3.求两级最大和最小差值。这是一个容易让人糊涂的地方，但实际操作很简单： 设E中最大值为Emax，最小值为Emin，其余类推；这样一共就有六个数，分别是Emax；Emin；Fmax；Fmin；Gmax和Gmin。从这六个数中，再选出一个最大值和一个最小值，假设为M和N——而这就是上述公式当中双重最值的部分啦。 步骤4.带入公式，得到三组关联系数(单行)矩阵。 步骤5.计算关联度，实际上就是步骤4中，每组矩阵各个元素求和除以元素个数(求均值)。 步骤6.通过比较关联度数值，最大的那个，其对应的数列与目标数列的关联度最高。 Over. 科技信息 SCIENCE&TECHNOLOGY INFORMATION 2010年第17期 1关联度的概念 关联度是事物之间、因素之间关联性大小的量度。它定量地描述 了事物或因素之间相互变化的情况，即变化的大小、方向与速度等的 相对性。如果事物或因素变化的态势基本一致，则可以认为它们之间 的关联度较大，反之，关联度较小。对事物或因素之间的这种关联关 系，虽然用回归、相关等统计分析方法也可以做出一定程度的回答，但 往往要求数据量较大、数据的分布特征也要求比较明显。而且对于多 因素非典型分布特征的现象，回归相关分析的难度常常很大。相对来 说，灰色关联度分析所需数据较少，对数据的要求较低，原理简单，易 于理解和掌握，对上述不足有所克服和弥补。 2关联度的计算 灰色关联度分析的核心是计算关联度。一般说来，关联度的计算 首先要对原始数据进行处理，然后计算关联系数，由此就可计算出关 联度。 2.1原始数据的处理 由于各因素各有不同的计量单位，因而原始数据存在量纲和数量 级上的差异，不同的量纲和数量级不便于比较，或者比较时难以得出 正确结论。因此，在计算关联度之前，通常要对原始数据进行无量纲化 处理。其方法包括初值化、均值化等。 2.1.1初值化。即用同一数列的第一个数据去除后面的所有数据，得 到一个各个数据相对于第一个数据的倍数数列，即初值化数列。一般 地，初值化方法适用于较稳定的社会经济现象的无量纲化，因为这样 的数列多数呈稳定增长趋势，通过初值化处理，可使增长趋势更加明 显。比如，社会经济统计中常见的定基发展指数就属于初值化数列。 2.1.2均值化。先分别求出各个原始数列的平均数，再用数列的所有 数据除以该数列的平均数，就得到一个各个数据相对于其平均数的倍 数数列，即均值化数列。一般说来，均值化方法比较适合于没有明显升 降趋势现象的数据处理。 2.2计算关联系数 设经过数据处理后的参考数列为： {x0(t)}＝{x01，x02，…，x0n} 与参考数列作关联程度比较的p个数列(常称为比较数列)为： {x1(t)，x2(t)，…，x p(t)}＝ x11x12…x1n x21x22…x2n ………… x p1x p2…x pn 上式中，n为数列的数据长度，即数据的个数。 从几何角度看，关联程度实质上是参考数列与比较数列曲线形状的相似程度。凡比较数列与参考数列的曲线形状接近，则两者间的关联度较大；反之，如果曲线形状相差较大，则两者间的关联度较小。因此，可用曲线间的差值大小作为关联度的衡量标准。 将第k个比较数列(k＝1，2，…，p)各期的数值与参考数列对应期的差值的绝对值记为： Δok(t)=x0(t)-x k(t)t＝1，2，…，n 对于第k个比较数列，分别记n个Δok(t)中的最小数和最大数为Δok(min)和Δok(max)。对p个比较数列，又记p个Δok(min)中的最小者为Δ(min)，p个Δok(max)中的最大者为Δ(max)。这样Δ(min)和Δ(max)分别是所有p个比较数列在各期的绝对差值中的最小者和最大者。于是，第k个比较数列与参考数列在t时期的关联程度(常称为关联系数)可通过下式计算： ζok(t)=Δ(min)+ρΔ(max) ok 式中ρ为分辩系数，用来削弱Δ(max)过大而使关联系数失真的影响。人为引入这个系数是为了提高关联系数之间的差异显著性。0＜ρ＜1。 可见，关联系数反映了两个数列在某一时期的紧密程度。例如，在使Δok(t)＝Δ(min)的时期，ζok(t)＝1，关联系数最大；而在使Δok(t)＝Δ(max)的时期，关联系数最小。由此可知，关联系数变化范围为0＜ζok(t)≤1。 显然，当参考数列的长度为n时，由p个比较数列共可计算出n×p个关联系数。 2.3求关联度 由于每个比较数列与参考数列的关联程度是通过n个关联系数来反映的，关联信息分散，不便于从整体上进行比较。因此，有必要对关联信息作集中处理。而求平均值便是一种信息集中的方式。即用比较数列与参考数列各个时期的关联系数之平均值来定量反映这两个数列的关联程度，其计算公式为： r ok=1 n n i=1 Σζok(t) 式中，r ok为第k个比较数列与参考数列的关联度。 不难看出，关联度与比较数列、参考数列及其长度有关。而且，原始数据的无量纲化方法和分辩系数的选取不同，关联度也会有变化。 2.4排关联度 由上述分析可见，关联度只是因素间关联性比较的量度，只能衡量因素间密切程度的相对大小，其数值的绝对大小常常意义不大，关键是反映各个比较数列与同一参考数列的关联度哪个大哪个小。 当比较数列有p个时，相应的关联度就有p个。按其数值的大小顺序排列，便组成关联序。它反映了各比较数列对于同一参考数列的“主次”、“优劣”关系。 灰色关联度分析方法的运用之一，就是因素分析。在实际工作中，影响一个经济变量的因素很多。但由于客观事物很复杂，人们对事物的认识有信息不完全性和不确定性，各个因素对经济总量的影响作用不是一下子就能够看清楚的，需要进行深入的研究，这就是经济变量的因素分析。运用灰色关联度进行因素分析是非常有效的，而且特别适用于各个影响因素和总量之间不存在严格数学关系的情况。 例1：利用关联度分析方法研究某公路施工企业工资序列（表1）。 表1某公路施工企业工资序列表单位：千元 根据表1中数据，以工资总额为参考数列x0(t)，以计时工资x1(t)、档案工资x2(t)和承包工资x3(t)为比较数列，计算三种工资对于工资总额的关联度。 第一步，对各数列作均值化处理。 工资总额和三种工资的均值分别为： 浅议灰色关联度分析方法及其应用 孙芳芳 (濮阳市公路管理局河南濮阳457000) 【摘要】灰色关联度是灰色数学中的一种方法，用来研究事物相互关联、相互作用的复杂因素的影响作用，确定影响事物的本质因素，使各种影响因素之间的“灰色”关系清晰化。本文介绍了灰色关联度在实际工作中的分析方法和步骤，为定量描述事物或因素之间相互变化的情况提供了理论依据。 【关键词】灰色关联度；分析方法；综合评价；应用 年份工资总额计时工资档案工资承包工资 200313974.23831.06587.23556.0 200415997.64228.07278.04491.6 200517681.35017.07717.44946.9 200620188.35288.69102.25797.5 200724020.35744.011575.26701.0 x i軃18372.34821.78450.05098.6○公路与管理○ 880 重庆三峡学院 大学生创新性实验计划项目申报表 项目名称灰色关联模型及其应用研究 项目负责人 所在院系、专业 指导教师 联系电话 电子邮件 填表日期 教务处制 项目名称灰色关联模型及其应用研究 申请经费0.3万元计划起止时间2014年5月至2015年6月 申报团队学号姓名年级所在院系、专业联系电话E-mail 2012 导师 姓名院系职称/学历E-mail 电话 申请理由（包括项目背景及自身具备的知识条件） 一、项目背景： 灰色系统理论是中国学者邓聚龙教授于1982年提出来的一门新兴理论，该理论是一种运用特定的方法描述信息不完全的系统并进行预测、决策、控制的崭新的系统理论。灰色系统理论认为任何随机过程都是在一定的幅值和一定时区变化的灰色量，并把随机过程看成灰色过程，其是控制论观点和方法的延伸，它从系统的角度出发来研究信息间的关系，即研究如何利用已知信息去揭示未知信息，也即系统的“白化”问题。灰色系统的实质为：部分信息已知部分信息未知的一类系统。灰色关联分析是灰色系统理论的主要内容之一，它是对运行机制与物理原型不清楚或者根本缺乏物理原型的灰关系序列化、模式化，进而建立灰关联分析模型，使灰关系量化、序化、显化，能为复杂系统的建模提供重要的技术分析手段。 灰色关联分析方法是一种多因素分析方法，其基本原理是通过对统计序列几何关系的比较，若序列几何形状越接近，则它们的灰关联度就越大。灰色关联分析的基本任务是基于行为因子序列的微观或宏观几何接近，以分析和确定因子之间的影响程度或对因子对主行为的贡献测度。关联分析的实质是整体比较，是有参考系的、有测度的比较。 目前，常见的灰色关联计算模型主要有以下几种：邓聚龙提出的邓氏关联度；王清印的灰色B型关联度和C型关联度；唐五湘的T型关联度；刘思峰的广义关联度；赵艳林的灰色欧几里德关联度等。 灰色关联分析 灰色关联分析是指对一个系统发展变化态势的定量描述和比较的方法，其基本思想是通过确定参考数据列和若干个比较数据列的几何形状相似程度来判断其联系是否紧密，它反映了曲线间的关联程度[1]。 灰色系统理论是由著名学者邓聚龙教授首创的一种系统科学理论(Grey Theory)，其中的灰色关联分析是根据各因素变化曲线几何形状的相似程度，来判断因素之间关联程度的方法。此方法通过对动态过程发展态势的量化分析，完成对系统内时间序列有关统计数据几何关系的比较，求出参考数列与各比较数列之间的灰色关联度。与参考数列关联度越大的比较数列，其发展方向和速率与参考数列越接近，与参考数列的关系越紧密。灰色关联分析方法要求样本容量可以少到4个，对数据无规律同样适用，不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。其基本思想是将评价指标原始观测数进行无量纲化处理，计算关联系数、关联度以及根据关联度的大小对待评指标进行排序。灰色关联度的应用涉及社会科学和自然科学的各个领域，尤其在社会经济领域，如国民经济各部门投资收益、区域经济优势分析、产业结构调整等方面，都取得较好的应用效果。 [2] 关联度有绝对关联度和相对关联度之分，绝对关联度采用初始点零化法进行初值化处理，当分析的因素差异较大时，由于变量间的量纲不一致，往往影响分析，难以得出合理的结果。而相对关联度用相对量进行分析，计算结果仅与序列相对于初始点的变化速率有关，与各观测数据大小无关，这在一定程度上弥补了绝对关联度的缺陷。[2] 灰色关联分析的步骤[2] 灰色关联分析的具体计算步骤如下： 第一步：确定分析数列。 确定反映系统行为特征的参考数列和影响系统行为的比较数列。反映系统行为特征的数据序列，称为参考数列。影响系统行为的因素组成的数据序列，称比较数列。 设参考数列（又称母序列）为Y={Y(k) | k= 1,2,Λ,n}；比较数列（又称子序列）X i={X i(k) | k = 1,2,Λ,n},i= 1,2,Λ,m。 第二步，变量的无量纲化 由于系统中各因素列中的数据可能因量纲不同，不便于比较或在比较时难以得到正确的结论。因此在进行灰色关联度分析时，一般都要进行数据的无量纲化处理。 第五章灰色关联度分析 目录 壹、何谓灰色关联度分析----------------------------------------- 5-2 贰、灰色联度分析实例详说与练习 ---------------------------- 5-8 负责组员 工教行政硕士班二年级 周世杰591701017 陶虹沅591701020 林炎莹591701025 第五章灰色关联度分析 壹、何谓灰色关联度分析 一.关联度分析 灰色系统分析方法针对不同问题性质有几种不同做法，灰色关联度分析(Grey Relational Analysis)是其中的一种。基本上灰 色关联度分析是依据各因素数列曲线形状的接近程度做发展 态势的分析。 灰色系统理论提出了对各子系统进行灰色关联度分析的概念，意图透过一定的方法，去寻求系统中各子系统(或因素) 之间的数值关系。简言之，灰色关联度分析的意义是指在系统 发展过程中，如果两个因素变化的态势是一致的，即同步变化 程度较高，则可以认为两者关联较大；反之，则两者关联度较 小。因此，灰色关联度分析对于一个系统发展变化态势提供了 量化的度量，非常适合动态(Dynamic)的历程分析。 灰色关联度可分成「局部性灰色关联度」与「整体性灰色关联度」两类。主要的差别在于「局部性灰色关联度」有一参 考序列，而「整体性灰色关联度」是任一序列均可为参考序列。 二.直观分析 依据因素数列绘制曲线图，由曲线图直接观察因素列间 的接近程度及数值关系，表一某老师给学生的评分表数据数据为例，绘制曲线图如图一所示，由曲线图大约可直接观察出该老师给分总成绩主要与考试成绩关联度较高。 表一某一老师给学生的评分表单位：分/ % 由曲线图直观分析，是可大略分析因素数列关联度，可看出考试成绩与总成绩曲线形状较接近，故较具关联度，但若能以量化分析予以左证，将使分析结果更具有说服力。 灰色邓氏关联度分析 % P12 -- The Study on the Grey Relational Degree and Its Application function r1 = gld_deng(x) s = size(x); len = s(2); num = s(1); ro = 0.5; for i = 1: num x(i,:) = x(i,:)./x(i,1); end dx(num,len) = 0; for i = 2 : num for k = 1 : len dx(i,k) = abs(x(1,k) - x(i,k)); end end max_dx = max(max(dx)); min_dx = min(min(dx)); r(1,1:len-1) = 1; for i = 2 : num for k = 1 : len r(i,k) = (min_dx + ro*max_dx)/(dx(i,k) + ro*max_dx); end end r1 = sum(r(2:num,:),2)/(len); 改进灰色绝对关联度分析 % P11 -- The Study on the Grey Relational Degree and Its Application function r1 = gld_gjjd(x) s = size(x); len = s(2); num = s(1); for i = 1: num x(i,:) = x(i,:)./x(i,1); end dx(num,len-1) = 0; for i = 1 : num for j = 1 : len - 1 dx(i,j) = x(i,j+1) - x(i,j); end end c = 1; beta(1,1:len-1) = 0; w(1,1:len-1) = 0; for i = 2 : num temp = sum(abs(x(i,:) - x(1,:)),2); for k = 1 : len - 1 beta(i,k) = atan((dx(i,k) - dx(1,k))/(1 + dx(i,k)*dx(1,k))); if beta(i,k) < 0 beta(i,k) = pi + beta(i,k); 常见评价模型简介 评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如200５年全国赛A题长江水质的评价问题，20０8年B题高校学费标准评价体系问题等。主要介绍三种比较常用的评价模型:层次分析模型，模糊综合评价模型,灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。 层次分析模型 层次分析法(AＨP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去, 直到最后一层,给出所有因素相对于总目标而言,按重要性程度的一个排序。其主要特征是,它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。 运用层次分析法进行决策,可以分为以下四个步骤: 步骤1 建立层次分析结构模型 深入分析实际问题,将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响,而层内各因素基本上相对独立。 步骤2构造成对比较阵 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较,借助1～9尺度，构造比较矩阵； 步骤3计算权向量并作一致性检验 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过,则最大特征根对应的特征向量做为权向量。 步骤４计算组合权向量（作组合一致性检验) 组合权向量可作为决策的定量依据 通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。 例（选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。 步骤1 建立系统的递阶层次结构 将决策问题分为3个层次:目标层O,准则层Ｃ，方案层P；每层有若干 对灰色关联度计算方法的改进 ■曹明霞 党耀国 张 蓉 陆建峰 计算方法 记折线 ０ ０ 一、引言 在系统分析中，为了研究系统的结构和功能，就要建立适当的数学模型去描述系统。而这样做时，首要的工作就是要分析各种因素间的关系，找出系统的主要特征及主要关系，为分析研究提供必要的基础。灰色系统理论提出了灰色关联分析方法，自提出以来，众多学者就自己对灰色关联度的实质的理解而提出了不同的量化模型。就目前的情况来看，主要有以下的几种计算模型：邓氏关联度、Ｔ型关联度、斜率关联度、Ｂ型关联度、广义灰色关联度、灰色Ｃ型关联度、欧几里德关联度等。灰色关联分析方法是灰色系统理论中一个重要的组成部分，其基本思想是根据数据序列曲线的相似程度来判别因素间的关联程度，即曲线形状越相似，其关联度越大，否则越小。所以关联度的合理计算显得非常重要，然而目前有关关联度的各种计算方法中存在如下的欠缺。 （１）不具有规范性。这里的规范性是指：０＜γ≤１且γｉ＝１当且仅当Ｘｉ（ｋ）＝Ｘ０（ｋ） 轻的程度。 （６）当Ｘｉ围绕Ｘ０摆动时，且Ｘｉ位于 ０ ０ （ｘｉ（１）－ｘｉ（１），ｘｉ（２）－ｘｉ（１），…，ｘｉ（ｎ）－ｘｉ（１））为Ｘｉ。令 ｓｉ＝ Ｘ０之上部分的面积与位于之下的面积相 等时，ε０ｉ＝１。这样，就不能正确地反映曲线相似的实质。 二、改进的灰色绝对关联度的计算以及灰关联空间的定义 目前提出的几种主要的灰关联度计算模型中存在着某种欠缺，主要是因为灰色关联理论体系不是很完备，因此有必要重新定义曲线的相似性及灰色关联空间。既然灰关联度是通过数据序列的几何关系的相似程度来度量的，我们首先要准确地给出曲线相似的定义，并且要充分地利用曲线相似这一点来给定一个比较合理的灰色关联度的计算公式，计算灰色关联度的前提条件是我们定义的灰关联映射应满足对称性。 设系统行为数据序列为 ０ #Ｘｄｔ ｎ ０ｉｌ （ｉ＝０，１，２，…，ｍ），则 （１）当Ｘｉ为增长序列时，ｓｉ≥０；（２）当Ｘｉ为衰减序列时，ｓｉ≤０；（３）当Ｘｉ为振荡序列时，ｓｉ符号不定。命题２设系统行为数据序列 Ｘｉ＝（ｘｉ（１），ｘｉ（２），…，ｘｉ（ｎ））Ｘｊ＝（ｘｊ（１），ｘｊ（２），…，ｘｊ（ｎ）） 的始点零化像为： Ｘｉ＝（ｘｉ（１）－ｘｉ（１），ｘｉ（２）－ｘｉ（１），…，ｘｉ（ｎ）－ｘｉ（１）），记Ｘｊ＝（ｘｊ（１）－ｘｊ（１），ｘｊ（２）－ｘｊ（１），…，ｘｊ（ｎ）－ｘｊ（１））｜ｓｉ－ｓｊ｜＝｜ ０ ０ #（Ｘ（ｔ）－Ｘ（ｔ））ｄｔ｜ ０ｉ ０ｊ 设两个始点零化像曲线除了始点 ｔ０，终点ｔｎ以外还有ｌ个交点，交点记为ｔｋ （ｋ＝１，２，…，ｌ），其中ｌ为有限整数，则｜ｓｉ－ｓｊ｜＝＋…＋＝% ｋ＝０ｌ－１ Ｘｉ＝（ｘｉ（１），ｘｉ（２），…，ｘｉ（ｎ））（ｉ＝０，１，２，…，ｍ） 记折线 1.地梭梭生长量与气候因子的关联分析 下表为1995年3年梭梭逐月生长量（X0）、月平均气温（X1）、月降水量（X2）、月日照（X3）时数和月平均相对湿度（X4）的原始数据，试排出影响梭梭生长的关联序，并找出主要的影响因子。 灰色系统理论提出了灰色关联度的概念，它是提系统中两个因素关联性大小的量度，关联度的大小直接反映系统中的各因素对目标值的影响程度。运用灰色关联分析法进行因素分析的一般步骤为： 第一步：确定分析数列。 确定反映系统行为特征的参考数列和影响系统行为的比较数列。反映系统行为特征的数据序列，称为参考数列。（Y）设参考数列（又称母序列）为Y = {Y （k）| k = 1，2，Λ，n}；影响系统行为的因素组成的数据序列，称比较数列。（X）比较数列（又称子序列）Xi = {Xi（k）| k = 1,2,Λ,n}，i = 1，2，Λ，m。 第二步，变量的无量纲化 由于系统中各因素列中的数据可能因量纲不同，不便于比较或在比较时难以得到正确的结论。因此为了保证结果的可靠性，在进行灰色关联度分析时，一般都要进行数据的无量纲化处理。 第三步，计算关联系数。X 0（k）与x i （k）的关联系数 记，则 ，称为分辨系数。ρ越小，分辨力越大，一般ρ的取值区间为(0,1),具体 取值可视情况而定。当时，分辨力最好，通常取ρ = 。 ξi（k）继比较数列xi的第k个元素与参考数列xo的第k个元素之间的关联系数。 第四步，计算关联度 因为关联系数是比较数列与参考数列在各个时刻（即曲线中的各点）的关联程度值，所以它的数不止一个，而信息过于分散不便于进行整体性比较。因此有必要将各个时刻（即曲线中的各点）的关联系数集中为一个值，即求其平均值，作为比较数列与参考数列间关联程度的数量表示，关联度ri公式如下： 第五步，关联度排序 关联度按大小排序，如果r1 < r2，则参考数列y与比较数列x2更相似。 在算出Xi（k）序列与Y（k）序列的关联系数后，计算各类关联系数的平均值，平均值ri就称为Y（k）与Xi（k）的关联度。 本题解答过程： 第一步：数据处理 X 0（k）= {，，，，13，，18，，，，8，1 } X 1（k）= {，，10，，，，，，22，18，， } X 2（k）= {17，，，，，，，，，，， } X 3（k）= {，，，137，，，，，，84，， } X 4（k）= {81，79，75，75，77，79，83，86，83，82，81，82} 灰色关联度matlab源程序（完整版） 最 近几天一直在写算法，其实网上可以下到这些算法的源程序的，但是为了搞懂， 搞清楚，还是自己一个一个的看了，写了，作为自身的积累，而且自己的的矩 阵计算类库也迅速得到补充，以后关于算法方面，基本的矩阵运算不用再重复写了，挺好的，是种积累，下面把灰关联的matlab程序与大家分享。 灰色关联度分析法是将研究对象及影响因素的因子值视为一条线上的点,与待识别对象及影响因素的因子值所绘制的曲线进行比较,比较它们之间的贴近度,并分别量化,计算出研究对 象与待识别对象各影响因素之间的贴近程度的关联度,通过比较各关联度的大小来判断待识别对象对研究对象的影响程度。 简言之，灰色关联度分析的意义是指在系统发展过程中，如果两个因素变化的态势是一致的，即同步变化程度较高，则可以认为两者关联较大；反之，则两者关联度较小。因此，灰色关联度分析对于一个系统发展变化态势提供了量化的度量，非常适合动态(Dynamic)的历程分析。灰色关联度可分成“局部性灰色关联度”与“整体性灰色关联度”两类。主要的差别在于局部性灰色关联度有一参考序列，而整体性灰色关联度是任一序列均可为参考序列。关联度分析是基于灰色系统的灰色过程, 进行因素间时间序列的比较来确定哪些是影响大的主导因素, 是一种动态过程的研究。 关联度计算的预处理，一般初值化或者均值化，根据我的实际需要，本程序中使用的是比较序列与参考序列组成的矩阵除以参考序列的列均值等到的，当然也可以是其他方法。 %注意：由于需要，均值化方法采用各组值除以样本的各列平均值 clear;clc; yangben=[ 47.924375 25.168125 827.4105438 330.08875 1045.164375 261.374375 16.3372 6.62 940.2824 709.2752 962.1284 84.874 55.69666667 30.80333333 885.21 275.8066667 1052.42 435.81 ]; %样本数据 fangzhen=[ 36.27 14.59 836.15 420.41 1011.83 189.54 64.73 35.63 755.45 331.32 978.5 257.87 42.44 23.07 846 348.05 1025.4 296.69 59.34 39.7 794.31 334.63 1016.4 317.27 灰色关联度分析 一、关联度分析的意义 关联度是表征两个事物的关联程度 设有参考序列和比较序列 x x x 四个时间数据序列如图所示： 则关联度为r12＞r13＞r14 关联度分析是一种曲线间n何形状的分析比较，即n何形状越接近，则关联程度越大，反之则小。 二、面积关联度分析法 关联度应用关联系数来表示，我们用曲线间的差值大小作为一种衡量关联度的尺度。 设母因素时间数列和子因素时间数列分别是: x x 记f k时刻x j对x i的关联系数为§ij（f k），其绝对差值为： ︱x︱= k=1,2,……,n这是对两个方列 各时刻的最小绝对差为： =︳x︳ 各时刻的最大绝对差为： ︳x︳ 则母因素为子因素两曲线在各时刻的相对差值用下式表示： 式中称为x j对x i在K时刻的关联系数 关联系数的上界值=1 关联系数的下界值= K∈（0，1），称为分辨系数，减少极值对计算的影响，提高分辨率。 ⑵原始数据标准化处理方法 关联系数的值主要决定于x i和x j在各时刻的差值，由于x i和x j数据单位不同，会 影响的值，因此若是要对原始数据作无量纲处理，即标准化处理。数据标准化有两种方法：初值化处理和均值化处理。 初值化处理即把序列第一个数据除以该序列所有数据，得到一个新数列。 均值化处理即把序列平均值除以该序列所有数据，得到一个新数列。 ⑶面积关联度 关联系数只表示各时刻数据间的关联程度，我们用基本均值表示两条曲线间的关联程度 r=k=1,2,……,N 称r为子因素曲线x j对母因素曲线x i的关联度。 ⑷多个序列的最小绝对差和最大绝对差。 在灰色关联度分析中，无论序列有多少，和各只有一个。 和的求法，以为例解释，类似。 =︳x︳ 例母序列: 子序列: 第一步：固,，j变动时，得到： ︳︳,︳︳,……, ︳︳ 第二步：从中可以选出：︳︳ 第三步：当k变动时，可以得到: ︳︳, ︳︳,……, ︳︳第四步：从中又可以选出最小的= ⑸关联度比较及实际意义 当计算出子因素对母因素的关联度后，将排序 则子因素对母因素影响的重要程度依次是序列： 灰色系统优势分析 1、优势分析的意义 x(1,:)=[83 0.191 12.9 7.2 89.4 0.432 6.33]; x(2,:)=[75 0.189 11.6 9.1 82.3 0.453 5.87]; x(3,:)=[64 0.165 11.9 10.3 69.3 0.512 6.31]; %列出各数值，可修改 x(4,:)=[63 0.165 12.8 9.7 68.2 0.455 6.6]; x(5,:)=[56 0.211 13.2 12.6 77.5 0.317 7.12]; m=5;n=7; x0=[83 0.211 13.2 7.2 89.4 0.317 5.87]; %参考序列 for i=1:n avg(i)=0; %均值初始化 end for i=1:m for j=1:n avg(j)=avg(j)+x(i,j); end end %求均值序列 for i=1:n avg(i)=avg(i)/m; end for j=1:m for i=1:n x(j,i)=x(j,i)/avg(i); %均值化 end end for i=1:n x0(i)=x0(i)/avg(i); %参考序列均值化end for j=1:m for i=1:n delta(j,i)=abs(x(j,i)-x0(i)); %求序列差 end end max=delta(1,1); for j=1:m for i=1:n if delta(j,i)>max max=delta(j,i); end end end %求两极差 min=0; for j=1:m xgd(j)=0; for i=1:n glxs(j,i)=0.5*max/(0.5*max+delta(j,i)); %计算关联系数及相关度 xgd(j)=xgd(j)+glxs(j,i); end xgd(j)=xgd(j)/n; end xgd %因此，A—E区与参考序列（最佳指标）的相关度分别为0.8489 0.6983 0.5588 0.5858 0.7105 灰色关联分析应用实例 设序列 12(30.5,34.7,35.9,38.2,41)(22.1,25.4,27.1,28.3,31.5) ==X X 求其绝对关联度、相对关联度和综合关联度（0.5ρ=）（数据取自教材77页第二题） 由题目可知，原序列为等时距序列，且皆为1时等时距。 第一步：求始点零像化，得 000000000000000000111111((1),(2),(3),(4),(5)) (0,4.2,1.2,2.3,2.8) ((1),(2),(3),(4),(5))(0,3.3,1.7,1.2,3.2) ====X x x x x x X x x x x x 第二步：求0110,,-s s s s 4 00 00024 00 1112 4 0000 1010 102 1()(5)9.12 1()(5)7.82 1(()())((5)(5) 1.32====+ == + =-= -+-=∑∑∑k k k s x k x s x k x s s x k x k x x 计算灰色绝对关联度 01 010110 10.93231ε++= =+++-s s s s s s 因此可以看出两个序列是高度相关的 类似的再求相对关联度 第一步：将序列初值化 '0'0'0'0'0'00000000'0'0'0'0'01 1 1 1 1 1 ((1),(2),(3),(4),(5)) (1,1.138,1.035,1.064,1.073)((1),(2),(3),(4),(5))(1,1.149,1.067,1.044,1.113) ====X x x x x x X x x x x x 再将其始点零像化 灰色关联度分析解法及详细例题解 答 一、灰色关联模型 1. 求各序列的初值象。 令i X ' =( )1i i x X =))(,),2(),1((n x x x i i i ''' ，（m i ,,2,1,0 =）。 2.求差序列。记=?)(k i )()(0 k x k x i '-'， ())(,),2(),1(n i i i i ???=? ，（m i ,,2,1, =）。 3.求两极最大差和最小差。记 )(max max k M i k i ?=， ) (min min k m i k i ?= 4.求关联系数M k M m k i i ξξγ+?+= )()(0， ()1,0∈ξ，n k ,,2,1 =；m i ,,2,1, = 5.计算灰色关联度 ∑==n k i i k n 1 00) (1 γγ；m i ,,2,1, = 1. 求0X 与i X ，（m i ,,2,1 =）的始点零化 象0i X ，（m i ,,2,1,0 =）。具体公式为 0i X =（)1()(,),1()2(),1()1(i i i i i i x n x x x x x --- ） ≡))(,),2(),1((000n x x x i i i ， （m i ,,2,1,0 =）。 2.求 0s ， i s 和 0s s i -。具体公式为： ) (21)(001 2 00n x k x s n k +=∑-=， ) (21)(0 1 2 n x k x s i n k i i +=∑-=， )) ()((21))()((0 001 2 00 0n x n x k x k x s s i n k i i -+-=-∑-= 3.求各灰色绝对关联度i 0ε，（m i ,,2,1 =）。具体公式为： 00011s s s s s s i i i i -+++++= ε 灰色关联度分析法在系统 综合评价中的应用 李玉辉,张建 2 (1.长沙理工大学,湖南长沙410076;2.济南市公路管理局,山东济南250013) 摘要:基于灰色系统理论,研究了灰色关联度分析法在系统综合评价中的应用。并通过实例对该方法进行了实证研究,表明了该方法的有效性。关键词:灰色关联度;综合评价;指标体系中图分类号:U491 文献标识码:A 的标准数据列,记为X0,设第一个指标值记为X0(1),第二个指标值记为X0(2),第k 个指标值记为X0(k),因此参考数据列可以用如下公式表示 X0=X0(i) i=1,2,3,,n ……………(1)比较数据列是研究的对象数据列,记为 X1,X2,,,Xm,可以用如下公式表示 X1=X1(i) i=1,2,3,,nX2=X2(i) i=1,2,3,,n,, Xm=Xm(i) i=1,2,3,, (2) 引言 系统综合评价的方法很多,如层次分析法、模糊综合评判法、主成分分析法、因子分析法等。这些方法都有各自的优点,但是也存在着一定的不足。例如模糊综合评判法是对难以精确化的复杂系统进行分析的间接评判法,这种方法的重要步骤是确定评价指标的隶属度,如果隶属函数选择的不合适,则容易引起较大的误差;层次分析法是将人们的定性思维转化为定量分析的过程,很大程度上依赖于人的经验;主成分分析法则要求有多个非线性相关的指标,指标太少的话,会在很大程度上影响评价的客观性。笔者应用灰色系统的有关理论,研究了灰色关联度分析法在系统综合评价中的应用。 1.2 关联系数 在分析参考数据列和比较数据列的关联程度时,首先分析各个指标间的关联程度,用关联系数这个概念表示,计算公式如下 Gi(J)= vMin+K#vMax (3) i(J)+K#vMax 其中,vi(J)=&Xi(J)-X0(J)&;vMin=MiinMJin&Xi(J)-X0(J)&:vMax=MiaxMJax&Xi(J)-X0(J)& Gi(J)为Xi对X0的k指标关联系数;K为分辨系数,一般在0与1之间,通过计算验证,笔者取为0.5,结果较为合理。 灰色关联分析法原理及解题步骤 ---------------研究两个因素或两个系统的关联度（即两因素变化大小,方向与速度的相对性） 关联程度——曲线间几何形状的差别程度 灰色关联分析是通过灰色关联度来分析和确定系统因素间的影响程度或因素对系统主行为的贡献测度的一种方法。 灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密 1>曲线越接近,相应序列之间的关联度就越大,反之就越小 2>灰色关联度越大，两因素变化态势越一致 分析法优点 它对样本量的多少和样本有无规律都同样适用,而且计算量小,十分方便,更不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。 灰色系统关联分析的具体计算步骤如下 1》参考数列和比较数列的确定 参考数列——反映系统行为特征的数据序列 比较数列——影响系统行为的因素组成的数据序列 2》无量纲化处理参考数列和比较数列 （1）初值化——矩阵中的每个数均除以第一个数得到的新矩阵 （2）均值化——矩阵中的每个数均除以用矩阵所有元素的平均值得到的新矩阵 （3）区间相对值化 3》求参考数列与比较数列的灰色关联系数ξ（Xi） 参考数列X0 比较数列X1、X2、X3…………… 比较数列相对于参考数列在曲线各点的关联系数ξ（i） 称为关联系数，其中ρ称为分辨系数，ρ∈（0，1），常取0.5.实数第二级最小差，记为Δmin。两级最大差，记为Δmax。为各比较数列Xi曲线上的每一个点与参考数列X0曲线上的每一个点的绝对差值。记为Δoi(k)。所以关联系数ξ（Xi）也可简化如下列公式： 4》求关联度ri 关联系数——比较数列与参考数列在各个时刻（即曲线中的各点）的关联程度值，所以它的数不止一个，而信息过于分散不便于进行整体性比较。因此有必要将各个时刻（即曲线 灰色关联度分析方法模型 灰色综合评价主要是依据以下模型：R=Y×W 式中，R 为M 个被评价对象的综合评价结果向量；W 为N 个评价指标的权重向量；E 为各指标的评判矩阵，（矩阵略） )(k i ξ为第i 个被评价对象的第K 个指标与第K 个最优指标的关联系数。根据R 的数值，进行排序。 （1）确定最优指标集 设 ],,[**2*1n j j j F =,式中*k j 为第k 个指标的最优值。此最优序列的每个指标值可以是诸评价对象的最优值，也可以是评估者公认的最优值。选定最优指标集后，可构造矩阵D （矩阵略） 式中i k j 为第i 个期货公司第k 个指标的原始数值。 （2）指标的规范化处理 由于评判指标间通常是有不同的量纲和数量级，故不能直接进行比较，为了保证结果的可靠性，因此需要对原始指标进行规范处理。设第k 个指标的变化区间为],[21k k j j ,1k j 为第k 个指标在所有被评价对象中的最小值，2k j 为第k 个指标在所有被评价对象中的最大值，则可以用下式将上式中的原始数值变成无量纲值)1,0(∈i k C 。 i k k k i k i k j j j j C --=21，m i ,2,1=，n k ,,2,1 =（矩阵略） （3）计算综合评判结果 根据灰色系统理论，将],,,[}{**2*1*n C C C C =作为参考数列，将 ],,,[}{21i n i i C C C C =作为被比较数列，则用关联分析法分别求得第i 个被评价对 象的第k 个指标与第k 个指标最优指标的关联系数，即 i k k k i i k k i k k k i i k k k i C C C C C C C C k -+--+-=****i max max max max min min )ρρξ（ 式中)1,0(∈ρ，一般取5.0=ρ。 这样综合评价结果为：R=ExW 灰色关联度分析 第五章灰色关联度分析 目录 壹、何谓灰色关联度分析 --------------------------------------- 5-2 贰、灰色联度分析实例详说与练习 --------------------------- 5-8 负责组员 工教行政硕士班二年级 周世杰591701017 陶虹沅591701020 林炎莹591701025 第五章灰色关联度分析 壹、何谓灰色关联度分析 一.关联度分析 灰色系统分析方法针对不同问题性质有几种不同做法，灰 色关联度分析(Grey Relational Analysis)是其中的一种。基本 上灰色关联度分析是依据各因素数列曲线形状的接近程度做 发展态势的分析。 灰色系统理论提出了对各子系统进行灰色关联度分析的 概念，意图透过一定的方法，去寻求系统中各子系统(或因素) 之间的数值关系。简言之，灰色关联度分析的意义是指在系统 发展过程中，如果两个因素变化的态势是一致的，即同步变化 程度较高，则可以认为两者关联较大;反之，则两者关联度较 小。因此，灰色关联度分析对于一个系统发展变化态势提供了 量化的度量，非常适合动态(Dynamic)的历程分析。 灰色关联度可分成「局部性灰色关联度」与「整体性灰色 关联度」两类。主要的差别在于「局部性灰色关联度」有一参 考序列，而「整体性灰色关联度」是任一序列均可为参考序列。二.直观分析 2 依据因素数列绘制曲线图，由曲线图直接观察因素列间的接近程度及数值关系，表一某老师给学生的评分表数据数据为例，绘制曲线图如图一所示，由曲线图大约可直接观察出该老师给分总成绩主要与考试成绩关联度较高。 表一某一老师给学生的评分表单位:分/ % 姓名 周阿舍刘阿华萧阿蔷评分项目 总成绩(X) 100 95 60 0 考试成绩(X) 90 80 50 1 出席率(X) 100% 90% 80% 2 100 909090 85 總成績808080简单易懂的灰色关联度计算
浅议灰色关联度分析方法及其应用
灰色关联模型及其应用研究
灰色关联分析(算法步骤)
灰色关联度分析
五种灰色关联度分析matlab代码
数学建模常见评价模型简介
对灰色关联度计算方法的改进(精)
灰色关联度分析解法及详细例题解答
灰色关联度matlab源程序(完整版)
灰色关联度分析
灰色关联度分析MATLAB程序
灰色关联分析应用实例(求灰色关联度)
灰色关联度计算步骤
灰色关联度分析法在系统综合评价中的应用(精)
灰色关联分析法原理及解题步骤
灰色关联度分析方法模型
灰色关联度分析