第二章 土壤水分运动基本方程2汇总
第二章 土壤水分运动基本方程
如前所述，达西定律是由达西（Darcy ，Henry 1856）通过饱和砂柱渗透试验得出，后由Richards （1931）将其扩伸至非饱和水流中，并规定导水率为土壤负压h 的函数，即
()H h k q ?= （2-2-1）
式中：H ?——为水势梯度；
k （h ）——为导水率，是土壤负压h 的函数； q ——为水流通量或流速。 Richards 方程垂向一维方程为
)
1)(( )
(±??-=??-=z
h
k z
H k q z θθ
注意：H=h ±z ，垂直坐标向上为“+”；向下时为“–”。
由于k （h ）受滞后影响较大，上式仅适用于单纯的吸湿或脱湿过程。若将导水率作为容积含水率函数，即以k （θ）代替人k （h ），则可避免滞后作用的影响。
一般说来达西定律对饱和与非饱和水流均可适用，即水流通量与势能梯度成正比。但在饱和土壤中，压力为正值，其总水头包括了由该点在地下水面以下深度来确定的静水压力（正值）和相对于基准面高度来确定的位置水头，总水头为压力水头和位置水头之和，水由总水头高处向低处流动。在非饱和土壤中，基质势为负值，土水势在不考虑溶质势、温度势及气压势时，只包括重力势和基质势。因此，总水头常以负压水头和位置水头之和来表示。
一维Richards 方程的几种形式：
根据()
()θθ
θD h
k =??（K=C ×D ）得： x h k q x ??-=)(θ x
D q x ??-=θ
θ)(
y h k q y ??-=)
(θ y D q y ??-=θθ)( )1)(
(±??-=z h k q z θ )]()([θθθk z
D q z ±??-=
第一节 直角坐标系中土壤水分运动基本方程
一、基本方程的推导
土壤水分运动一般遵循达西定律，且符合质量守恒的连续性原理。土壤水分运动基本方程可通过达西定律和连续方程进行推导。
如图2-2-1所示，从土壤中取出微分单元体abcdefgh ，其体积为z y x ???，由于该立方体很小，在各个面上的每一点流速可以看成是相等的，设其流速为z y x v v v 、、，在t ～t+Δt 时段内，流入立方体的质量为（3个面流入）：
t y x v t z x v t z y v m z y x ???+???+???=ρρρ入 （2-2-2）
流出立方体的质量为（3个面流出）：
t z y x x v v m x x ?????
?
?????+=ρ出
t y x z z v v t z x y y v v z z y y ?????? ??
???++??????
? ?????++ρρ （2-2-3） 式中：ρ––––水的密度；
z y x ???,,––––分别表示微分体x 、y 、z 方向长度；
x x v x ???，y y
v y ???，z z v z ???––––分别表示水流经微分体后，其流速在x 、y 、z 方向的变化值。
由式(2一2－2）、式（2－2－3）之差可求得流入和流出立方体的质量差：
出入m m m -=? ????
????+??+??-=z v y v x
v z y x ρt z y x ????? （2—2—4） 设θ为立方体内土壤含水率，则在Δt 时间内立方体内质量变化又可写为
t z y x t
m ??????=?θ
ρ
（2—2—5） 根据质量平衡原理（流入量－流出量＝储存量变化量），式（3－2－4）、式（3—2—5
）
应相等，即
???? ????+??+??-=??z v y v x
v t z y x θ
（2-2-6） 根据达西定律得：
()
x H k v x ??-=θ，()y
H
k v y ??-=θ，()z H k v z ??-=θ （2-2-7） 式中k （θ）––––土壤水力传导度，为含水率的函数；
H ––––总土水势，为基质势与重力势之和（H ＝h ＋z ）。 因此，式（2－2—6）可以写作以下形式：
()()()z
z H k y y H k x x H k t ??????????+??????????+??????????=??θθθθ （2-2-8）
上式可以简写为
()[]H k t
??=??θθ
（2-2-9） 式（2－2－8）或式（2－2－9）为土壤水分运动基本方程。
在饱和土壤中，含水量和基质势均为常量。水力传导度也为常量，常称渗透系数，则方程（2－2－8）可写为
022222
2=??+??+??z
H
y H x H （2－2－10） 或写作
02=?H （2－2－10‘）
22
22222
z
y x ??+??+??=? （2－2－11）
式中：▽2––––
拉普拉斯算子。
式（2－2－10）或式（2－2－10‘
）为饱和土壤水流的拉普拉斯方程。
二、基本方程的不同形式
为运用基本方程分析各种实际问题的方便，可将基本方程改写为多种表达形式。 为简便起见，以下均以一维垂向土壤水分运动为例，给出基本方程的不同表达形式。 （一）以含水率θ为变量的基本方程
由式（2－2－8）可得一维垂向土壤水分运动的基本方程为
()
??
?
???????=??z H k z t θθ （2－2－12） 式中：H ––––总土水势；
z ––––为水流方向坐标，取z 向上为正。 因为H=h 十z ，所以上式可写作
()()z
k z h k z t ??+??????????=??θθθ （2－2－13） 式(2－2－13）为以θ为变量的基本方程，将
z
h z h ????=??θ
θ代入式（2－2－13）得： ()()z k z h k z t ??+??
??????????=??θθθθθ 令()
()θθ
θD h
k =??，则式（2—2—13）可以写成（一维垂向土壤水分运动方程）： ()()z
k z D z t ??+??????????=??θθθθ （2－2－14） 在水平运动的情况下，重力项等于0，所以()
x
D v x ??-=θ
θ，其形式与Fick 扩散定律相同。式（2－2－14）具有扩散方程的形式，故将D （θ）称为扩散度。
()??
?
???????=??x D x t θθθ （2－2－14‘） Fick 定律：
自由水中溶质的分子扩散通量符合Fick 定律：
x
c D
J ??-= 式中：J 为溶质的扩散通量； D 为溶质的扩散系数；
x
c
??为溶质的浓度梯度。 （二）以基质势h 为变量的基本方程 由于
()t
h h c t h h t ??=????=??θθ ，则式（2－2－14）可以写成： ()
()()z
h k z h h k z t h h c ??+
??????????=?? （2－2－15） 式中：c （h ）––––比水容量（也称容水度），c （h ）=h
??θ
，表示单位基质势变化时含水率变化。
（三）以参数v 为因变量的基本方程
采用Kirchhoff 变换，令()()()?
??
-∞
=
=
c
c
c
h h
h h
h d k V
d k d k v τττττ
τ1
则
()h k V
h v 1
=?? ()?∞
=
c
h d k V ττ
由式（2-2-15）得：()()z
h k z z h h k t h h ??+??
?????
???=????θ
()
()z
v v h h h k z z v v h h k t v v h h ??????+???????
?????=??????θ
()()()()()z
v h k V h h k z z v h k V h k t v h k V h ????-????
??
????=????θ
()
()z
v
v X z v t v v Y ??+??=??22 （2－2－16） 式中h c ––––土壤的进气值，即土壤含水率开始小于饱和含水率时的负压值。 另外，()()()()()h k h c h D h h k v Y ==??=
11θ；()()()h
h k h k v X ??=1
在非饱和区：
()01
<=
?h
h c
d k V
v ττ
在饱和区：
()01
>=?h
h c
d k V
v ττ
且因为 ()0=??=
h h c θ，()0=??h
h k 所以 ()0=v Y ；()0=v X
则方程式（2－2－16）为：022=??z
v
（四）以位置坐标z 为变量的土壤水运动方程
以z 为变量，则z 为θ、t 的函数，z （θ，t ）为未知函数。已知θ=θ（z ，t ），当0≠??z
θ
处，可以解出z= z （θ，t ），即[14]
()()0,,≡-t t z z z θ
对z ，t 分别求导数：
01=????-
z z θθ，0=??-????-t
z
t z θθ
于是 θθ??=??z z 1及θ
θ????-=??z t z
t 将以上式子代入方程（2－2－14）得：
()()z
k z D z t ??+??????????=??θθθθ ()z k z z D z t z
????+???
?? ??????=????-θ
θθθθθθ
()z
k z z D z t z ????+???
?? ??????=????-
θ
θθθθθθ ()θ
θθθθ??+???
?? ??????=??-
k
z z D t z （2－2－17）
（五）以参数u 为因变量的土壤水运动方程 定义()()()???=
=
θ
θθθ
θ
θθθθθθθi
s
i
i
d D U
d D d D u 1
式中：i θ––––初始含水率；
()?=θ
θθθi
d D U ；
s θ—饱和含水率。
由式（2-2-14）得：
()()z
k z k z t ??+??????????=??θθθθ
()t u
u k z u u D z t u u ??????+
??
??????????=????θθθθθ 将
()θθD U
u 1
=??代入上式得：
()()()()z u
D U k z u D U D z t u D U ????+
??
????????=??θθθθθ 所以 ()z u
k z
u D t u ????+??=??θθ22 （2-2-18） 以上各式中式（2－2－14）、式（2－2－15）是二种经常采用的形式，形式的选定取决
于要解决问题的边界条件和初始条件。以含水率θ为因变量的基本方程常用于求解均质土层或全剖面为非饱和流动问题，这种方程形式对于层状土壤或求解饱和—非饱和流问题不适用；以负压水头h 为因变量的基本方程是应用较多的一种形式，可适用于饱和—非饱和水流求解及层状土壤的水分运动分析计算，但由于非饱和土壤水的导水率k （h ）及容水度c(h)，受滞后影响较大，计算中参数选取不当会造成较大误差；以v ，u 为因变量基本方程实际上分别相当于以负压水头h 和含水率θ为因变量的基本方程，在某些情况下由于经代换后方程较为简单，易于求解；以坐标为因变量的基本方程根据定解条件需要求解较简单的土壤水分运动问题。
以上为直角坐标系中土壤水分运动的基本方程，求解某些土壤水分运动问题时，采用柱坐标系可能更方便。
第二节 柱坐标系中土壤水分运动基本方程
在推导柱坐标系中的基本方程时，方法同直角坐标系，同样可用达西定律与连续方程相结合的方法导出。
若以z 轴为轴的柱坐标系，根据达西定律，在此坐标系中可表示为：
()()???
?
?
?
?????-=??-=??-=z H k q H k r q r H k q z r
θ?θθ?1)( 式中：r 、φ、z ––––分别表示柱半径，角坐标和垂直坐标（图2—2—2）
q r 、q φ、q z ––––相应于r 、φ、z 三个方向的通量； H ——总水势。
下面利用质量守恒来推导连续方程。
Δt 时段内，在r 方向的流入量为r q r △φ△z △t ，流出量
为
??
?
?????+r r q q r r ()r r ?+t z ????，则流入与流出量之差（忽略高阶无穷小量）为
t z r r r q q r r ??????
?
?????+
-? （2-2-19） 同理，在φ方向流入流出量之差为 t z r q ??????-
??
? （2-2-20）
在z 方向土壤水分流入流出量之差为 t z r q z
??????-
??
（2-2-21） 上述三个方向流入和流出单元体的水量差总计为
t z r z q q r q
r q z
r r ????????
?
???+??+??+-??? （2-2-22） 单元体体积应为 z r r r ?????
?
??
?+?2，略去高阶无穷小量后为r △φ△z △t ，在△t 时间内单元体内水分增量为
t z r t
???????θ
（2-2-23） 根据质量守恒原理武（3－2－22）应与式（3－2－23）相等，即
???
? ????+??+??+-=??z q q r r q q r t z r r ?θ
?11 （2-2-24） 式（2－2－24）为柱坐标系中土壤水分运动的连续方程。将式（2－2－18）代入上式，
即得柱坐标系中土壤水分运动基本方程：
()()()()??
?
???????+??????????+??????????+??=??z H k z H k r r H k r r H r k t θ?θ?θθθ21 （2-2-25） 以总水势H=h+z ，水容度c=dh
d θ
，以及导水率k （θ），扩散度D （θ）等代入，基本方程可表示为
()()()()z
k z D z D r r rD r r t ??+??????????+??????????+??????????=??θθθ?θθ?θθθ211 （2-2-26） 对于平面轴时称问题，上式可改写为
()??
????????=??r rD r r t θθθ1 （2-2-26‘
） 同理可推得以x （或y ）轴为轴的柱坐标系的基本方程：
()()()()()???
???????+??-??+??
????????+??????????=??x D x k r r k D r r rD r r t θθ?θ?θ??θθ?θθθsin cos 112
（2-2-27） 关于球坐标系中的基本方程应用较少，推导方法同上，这里不再论述。
第三节 土壤水分运动基本方程的定解条件
土壤水运动基本方程的定解条件包括初始条件和边界条件，为了简单起见，将以直角坐标系中基本方程常用形式为例进行论述。
（一）初始条件
相应于前式（２—２—1４）、式（２—２—15）的初始条件分别以下式表达：
()()z z i θθ=0, （2-2-28）
()()z h z h i =0, （2-2-29）
脚标“i ”表示初始已知量。
初始条件：t=0时剖面上θ、h 的分布已知。 （二）边界条件
边界条件一般有一类边界、二类边界、三类边界三种。 1．一类边界条件（变量已知的边界Γ1）
对干式（2－2－14）、式（2－2－15）的一类边界的表达式为
()()t t z 00,θθ= （2-2-30）
()()t h t z h 00,= （2-2-31）
脚标“0”均表示一类边界上的值；z 0为一类边界的坐标。
在一维垂向土壤水分运动中，一类边界的情况发生在压力入渗（地表形成水层）时，地表含水率达到饱和含水率，或当强烈蒸发时，表土达到风干土含水率的情况。
2．二类边界条件（边界Γ2上水流通量已知的情况） 相应于式（2－2－14）、式（2－2－15）表达式为
()
()()t k z D εθθ
θ=+??-Γ2| （2-2-32） ()()()t z z h h k ε=?-?-Γ2| （2-2-33） 式（2－2—32）及式（2－2－33）中，均假设垂直坐标z 向下为正。 在一维垂向土壤水分运动中，这种情况常发生在降雨、灌水入渗或蒸发强度已知的边界。在降雨或灌水入渗时，ε（t ）为正值，在蒸发时ε（t ）为负值。
在不透水边界和无蒸发入渗的边界，ε（t ）=0，则式（2－2－32）、式（2－2－33）分别为
()
()θθ
θk z D =?? （2-2-32，） ()()h k z h
h k =?? （2-2-33，）
3．三类运界条件［相当于水流通量随边界Γ3上的变量（θ或h ）值而变化的情况］
三类边界的一般形式为 321
a f a z
f
a =+?? （2-2-34） 式中，f 为变量。
在土壤蒸发强度为表土含水率或表土负压的函数的情况下，式（2－2－14）、式（2－2－15）的三类边界条件表达式为
()
()b a k z D +=-??θθθ
θ （2-2-35） ()()()b h a h k z
h
h k +=-??? （2-2-36）
方程式（2－2－35）右端的a θ+b 表示三类边界上水流通量为表土含水率θ的线性函数。 方程式（2－2－36）右端的a φ(h)+b 表示三类边界上水流通量为表土负压的函数。例如、土壤的下部有弱透水层阻隔，边界受顶托补给，其补给强度决定于下部弱透水层的导水率k 2，弱透水层上、下的压力h 1、h 2，其厚度为δ，方程的三类边界条件可写成：
()
()()δ
δ--=-??122h h k h k z h h k （2-2-36，
） 上述的二种边界条件是经常遇到的情况。在野外实际情况下，有时还存在地下水位为已
知的运动边界，此时可将地下水面处h=0作为边界条件。如在任一时间，地下水埋深为d （t ），则
()()0, ,==t d h t d z （2-2-37）
d （t ）表示 t 时刻的地下水面所在位置，如地下水位是等速下降的，则
()0d vt t d += （2-2-38）
式中：v ––––地下水位下降的速度。
如地下水位是由于水井抽水引起下降的，则
()???
? ??+=at r W T Q
d t d 4420π （2-2-39） 式中：d 0––––下水初始埋深；
Q ––––井的抽水流量；
T ––––地下水含水层的导水系数； a ––––地下水含水层的导压系数；
???
? ??at r W 42––––井函数（见泰斯公式）；
r ––––计算点离抽水井
若地下水位变化规律未知，不能作动边界处理。
第四节土壤水分运动参数
土壤水分运动中的主要参数有土壤水力传导度k（又称导水率），比水容量c（也称容水度）及扩散度D（也称扩散率）等。这些参数的变化决定了土壤水分运动状态，所以了解和掌握这些参数的特性及其变化规律是十分重要的。
一、土壤水力传导度k
土壤水力传导度是反映土壤水分在压力水头差作用下流动的性能。一般在饱和土壤中导水率称为渗透系数。
土壤水力传导度为在单位水头差作用下，单位断面面积上流过的水流通量。它是土壤含水率或土壤负压的函数。
饱和土壤孔隙中都充满水，导水率达到最大值，且为常量。在非饱和土壤中，因土壤孔隙中部分充气，导水孔隙相应减少，导水率低于饱和土壤水情况，而且导水率是负压或含水率的函数，随着含水率降低而减小。由于在吸力作用下，土壤水首先从大孔隙中排除，随着吸力增加，水流仅能在小孔隙中流动。所以，土壤从饱和到非饱和将引起导水率的急剧降低。当吸力由零增至1×105 Pa时，导水率可能降低好几个数量级，有时降低到饱和导水率的1／100000。
对于不同结构土壤，饱和与非饱和土壤水导水性能的相对关系是不同的。饱和土壤导水性能最好的是粗粒砂性土壤，导水最差的土壤是细质粘土，但非饱和土壤在较大负压情况下则情况可能相反。具有大孔隙粗质土壤，在吸力作用下孔隙中水分很快排除，导水率迅速下降；而粘质细颗粒土壤，在较高吸力下，许多小孔隙仍充满水，仍具有一定的导水性能，因此，导水率下降较缓慢。所以，细颗粒粘质土壤在同一吸力条件下可能较大孔隙粗质土壤具有较高导水率[15]。
所以，导水率与含水率（或负压）关系是较复杂的，目前还不能用理论分析方法推导它们之间关系式，需通过试验测定。图2－2－3为非饱和土壤水在负压水头作用下流动的模型。在水平土柱两端有多孔板，分别由平水箱保持一定水位，使其负压为h1和h2，在负压梯度△h/△x的作用下，立柱中土壤水从1端向2端运移。土壤水通量q可由1端补给量或2端溢出量测得，两者相等时，水流处于稳定状态。非饱和土壤水力传导度可由达西定律求得。
由于水平土柱沿程负压（或含水率）是变化的，求得的导水率k 也应是变化的，若距离较小，可以平均负压（或含水率）确定平均土壤水力传导度。在不同的平均负压（吸力）值下，通量与负压梯度成正比，如图2－2－4所示[15]。两者呈直线关系，但其斜率（即水力传导度）随平均负压而变。
此外，土壤水力传导度还与土质有关，如图2－2－5所示，砂性土壤饱和导水率高于粘性土壤，随着土壤吸力增加，砂性土壤导水率降低速率较粘性土壤快，所以吸力增大时，粘质土壤导水率反大于砂质土壤。
非饱和土壤水力传导度k 与土壤负压h 或含水率θ的关系通常由试验资料拟合成经验公式，一般有以下几种形式。
（1）土壤水力传导度与负压（吸力）h 的关系式：
()||h c s e k h k -= （2-2-40） ()n h a h k -=|| (2-2-41)
()b
h a h k n
+=
|| (2-2-42)
式中：k s ––––饱和土壤水导水率，或称渗透系数；
a ，
b ––––经验常数；
c ，n ––––经验指数。
（2）土壤水力传导度与土壤含水率θ的关系式：
()()θθθ--=s c s e k k (2-2-43) ()m s k k θθ= (2-2-44)
()n
r s
r
s k k ???
? ??--=θ
θθθθ
(2-2-45)
()2
12
111??
?
?????
??????
?????
?
????
??----????
? ??--=m
m
r s r r s r
s k k θθθθθ
θθθθ (2-2-46) 式中：θ r ––––某一特征含水率，通常采用最大分子持水率；
θs ––––饱和含水率；
c ，m ，n ––––均为经验指数，在式（2－2－46）中，10,1
1<<-
=m n
m 其他符号意义同前。k 值的量纲单位为［LT -1］。
由于土壤负压与含水率的关系曲线––––土壤水分特征曲线有滞后现象，所以，土壤水力传导度随负压的变化同样也存在滞后现象，即在同一负压下，干燥过程中的土壤水力传导度高于湿润过程中的土壤水力传导度。但土壤水力传导度与含水率关系受滞后作用的影响较小。
二、土壤水分扩散度D
土壤水扩散度为单位含水率梯度下，通过单位面积的土壤水流量，其值为土壤含水率的函数，即()()
θ
θθ??=h
k D 。 扩散度与土壤含水率的关系如图2－2－6所示，这种关系有时可用以下经验公式表示：
()θθb ae D = (2-2-47)
式中：a ，b ––––经验常数，D 的量纲为［L 2T -1］。 以上公式仅能用于含水率较高的阶段。在土壤含水率很低时，由于土壤水汽扩散速度增大，使扩散度随土壤含水率降低而增大。在土壤含水率很高的情况下，土壤接近于饱和，扩散率趋向于无限大。
三、容水度c
容水度表示压力水头减小一个单位时，自单位体积土壤中所能释放出来的水体体积，
量
纲为［L
－１
］。容水度可以用下式表示：
()dh
d h c θ=
它是负压的函数，为水分特征曲线上任一特定含水率θ值时的斜率（导数），并随土壤水分特征曲线而变化，所以它取决于土壤含水率和土壤质地等。
第五节 考虑水汽热耦合关系的土壤水分运动基本方程
长期以来，人们都采用等温模型研究土壤水分运动。在自然条件下，日夜温差很大，地表以下不同深度处温度的差异和变化影响土壤水分的转化和运移，用等温模型来研究土壤水分运动常带来一定误差。一些学者根据能量平衡和热传导理论，提出了考虑水、汽、热耦合关系的土壤水运动基本方程。
根据Philip 、De Vries 和Milly 的理论［１６~１８］
，多孔介质中的水分质量通量可以表示为
V L m q q q
+= (2-2-48)
式中：m q
––––水分总质量通量（kg/s ）；
L q
––––水流质量通量（kg/s ）； V q
––––水汽质量通量(kg/s)。
在入渗速率不很大的情况下，土壤中水和汽之间存在局部热动力学平衡时，L q 及V q
可表示为
［１７］
()1+?-=h k R q L L ρ
(2-2-49)
h D T D q H V V TV V V ?+?-=ρρ
(2-2-50)
式中：ρＬ––––土壤水密度（kg ／cm 3）；
h ––––土壤水压力水头（cmH 2O ，1cmH 2O=9．8×103Pa ）； T ––––绝对温度（C ）； D TV ––––热蒸汽扩散系数； D HV ––––蒸汽传导率；
Ｒ––––水蒸汽气体常数，R ＝4．615×１０６erg ／（g ℃）（1erg=10－７
J ）。 在水汽和多孔介质中水体达到局部平衡时，两者之间的自由能相等，则
()()?
??
?
??
+=273exp 0T R hg
T V ρρ （2-2-51） 式中：ρv ––––绝对湿度（g ／cm 3）；
ρ0（T ）––––水汽饱和状态下的绝对湿度（g ／cm 3），根据Camilo 等[19]研究表明：
()()[]273exp 100+-=T R R T ρ (2-2-52)
Constantz 等对水力传导度与温度的关系进行了研究，提出了水力传导度可表示为
()()()T g h kk T h k L r μρ=, (2-2-53)
若忽略温度变化对流体密度影响，则k （h ，T ）可表示为
()()
()()
T T T h k T h k μμ00,,= (2-2-54) 以上各式中：k ––––多孔介质内渗透率（cm 2）；
k r (h ）––––相对非饱和渗透率； g ––––重力加速度（cm ／s 2）；
k(h, T 0）––––在参考温度T 。时的水力传导率（cm/d ） μ––––流体动力粘滞系数。
式（2－2－54）中μ（T 0）／μ（T ）可表示为
()()2
020000211.00384.01000211.00384.01T T T T T T ++++=
μμ (2-2-55)
根据Philip 和De Vries 等研究，热蒸汽扩散系数D TV 和蒸汽传导率D HV 分别可表示为
［１
６，１７］
()()
C s cm
T R h g T H fD D v a L TV ??
??
? ??+-??Ω=-/2732
001
ρρθρ (2-2-56)
()
()s cm T R g fD D v
a L HV /2731
+Ω=-θρ (2-2-57)
)
??
?>++<='k
L k V k
L V
f θθθθθθθθθ1 (2-2-58)
()
()s cm T D a /2731229.02
75
.1-= (2-2-59)
()3
2L θθ-=Ω (2-2-60)
式中：f ––––在Philip 和 De Vries 公式中对水汽扩散引入的修正因子，f=f ′ξ，经验系数ξ=1．3～3．2；
θk ––––液体水流流动盯以忽略时的含水率； Da ––––空气中分于扩散系数（cm 2/s ）； Ω––––由气体所充填孔隙的弯曲率；
θL ––––孔隙中蒸汽的体积与土壤体积比； H ––––为相对湿度，H=exp （hg ／RT ）。 根据质量守恒定律得；
()()V L V V L L q q t
+-?=?+?θρθρ (2-2-61)
将式（2－2－49）、式（2－2－50）、式（2－2－51）代人上式，得到水分运动方程：
()[][]z
k T D h D k t T S t h S TV HV T h
??+??+?+?=??+?? (2-2-62)
其中 T
V L V r L L
V
h h
h S ??+
?????
? ?
?-
=ρρθθρρ1
H
T
T S V
L V r L
L V T ??+
???
??? ?
?-=ρρθθρρ1
在单位体积多孔介质中的热量为
()?-+-=L
Wd L T T C Q L V L L θθρθρ0
00 (2-2-63)
式中：C Ｌ=
∑=5
1
i i
i C θ
为水汽介质的热容量（cal ／cm 3，lcal ＝4．1868J ）；
C i ，θi ––––土壤中水、汽、石英和其他矿物质及有机质的体积热容量及占土体百分数； L 0––––在参考温度T 下的蒸发潜热，cal ／g ，在T=20℃时，L0=585cal ／g 。 蒸发潜热L 可以下式表示：
()()00T T C C L L l v --+=
式中：C v ––––常压下水蒸汽比热；
C i ––––水的比热。
W 为微分吸湿热（cal ／g ），由热动力学原理，可表示为[17—１９]
：
()g cal T j T h g j W /1?
?? ?
?
??--=- (2-2-64)
式中：j ––––热功当量（erg ／cal ）。
多孔介质内任一点处的热通量为
()()m L V TV L h q T T C Lq T D L q 01-++?-=ρλ
(2-2-65)
∑∑===51
5
1
/i i i i i i i k k θλθλ (2-2-66)
式中：λ––––土壤的热传导系数[cal ／（cm ·s ·℃）］，它是通过土壤中各种组分的热传导系数加权平均而求得的。
k i ––––固体颗粒温度梯度与水体温度梯度之比。 Chung [20]提出了一个热传导系数的经验式
()[]C s cm cal b b b L L ?????
? ??
++=69
.488/21
321θθλ (2-2-66,)
将式（2－2－63）及式（2－2－65）代入热量连续方程得：
()()()[]m L h HV L h r
q T T C LD T t
T C t T C 0-?-??+??=??+??ρλ （2-2-67） 其中 h
L
h V
r T H T
H
C C ??+??+=θρ2
T
L
T V h h H h
H C ??+??=θρ2
1
()v v v L C T T H θθ001+-=
()()W L C C T T H L v v v L L ρρρρ----=02
C 为湿土壤的热容量［cal/（cm 3·℃）］。
式（2－2－62）和式（2－2－67）及其相应定解条件组成了水、汽、热耦合求解模型。
对一维问题，方程可简化为［２１］
：
()z
k
z T D z z h D k z t T S t h S TV HV T h
??+??????????+????????+??=??+?? （2-2-68） ()[]m L HV v h T
q T T C z
z h LD z z T z t h C t T C 0-??-??????????+??????????=??+??ρλ （2-2-69） 由于方程中系数也为待求函数的函数，这些非线性方程需通过迭代求解［７］
。在求解过
程中，常用的压力和热量（能量）单位有以下几种。
（1）压力单位常采用帕（Pa ）、巴（bar ）、标准大气压（atm ）、毫米汞柱（mmHg ）、毫个水柱（mmH 2O ）等。
（2）热量（能量）常用单位有焦尔（J ）、卡［路里］（cal ），尔格（erg ）。 以上单位的相互转换关系见下表所示。
第六节 土壤水分通量法
一、土壤水分通量法基本原理
土壤水分通量法是直接利用达西定律和质量守恒原理分析计算土壤水通量及潜水的入渗量或蒸发量的一种方法，这种方法在有定位点负压h （基膜势）和含水率观测资料地区应用简便。
根据质量守恒原理，一维垂向土壤水流连续方程（见2-2-6）可写作：
z
q
t ??-=??θ （2-2-70） 上式由z 1至z 2积分得：
dz t
z q z q z z ?
??=-2
1
)()(21θ
（2-2-71） 式中：q （z 1）、q （z 2）––––分别表示高度为z 1和z 2处土壤水运动通量。
在t 1至t 2时段内（Δt ），上式可写作：
()()??-=-2
1
21
1221,,)()(z z z z dz t z dz t z z Q z Q θθ （2-2-72）
式中：Q （z 1）、Q （z 2）––––分别表示高度为z 1和z 2处通过单位断面面积的水量（t 1至t 2时段内）。
式（2－2－72）表明，当已知时段前后两个瞬时土壤剖面上含水率分布时，仅需已知一断面上土壤水通量即可求得任一断面的通量或水量。因此，称该方法为土壤水通量法。由于这种方法是根据时段前后两个瞬时含水率剖面确定水流通量和水量的，在某些情况下，称之为瞬时剖面法。
通量法可分为零通量面法和已知通量法两种。
二、零通量面法
由前述可知，当不考虑溶质势、气压势和温度势时，土壤水的总水势为基膜势Ψm 及重力势Ψg 之和，常用负压水头h 和位置水头z 之和表示。在测定土壤剖面上基质势和重力势后，可计算出土壤剖面上总水势分布曲线，如图2－2－7所示。
由达西定律，土壤水通量为：q ＝()
z H h k ??-，当z
H
??＝0时，q ＝0，即为零通量面。图2－２—７中A 、B 两断面均为零通量面，但A 、B 两断面的水流状况是不同的。对A 断面而
言，水流向上、下断面运移，也可称为发散型零通量面。而B 断面的上、下断面水流分别向断面B 汇集，故称聚合型零通量面。图2－2－7中有两个零通量面，这表明降雨（或灌水）入渗与蒸发是交替发生的。一般土壤较长时间处于单一的蒸发或入渗状态，剖面上可能不存在零通量面。
当剖面上存在零通量面时，可根据式（2－2－72）求任一断面z 处土壤水通量，即：
()()??-=z
z z z dz t z dz t z z Q 0
21,,)(θθ （2-2-72’）
也可自d 至z 0间土壤贮水量的变化，如图2－2－8中面积1234求自地表蒸发的水量，
()()??-=d
z d z dz t z dz t z d Q 0
21,,)(θθ。
同样，也可根据面积154计算入渗补给地下水的水量。
三、已知通量法
如上所述，当长期处于蒸发或入渗状态时，土壤剖面上并不一定存在零通量面。在这种
情况下，若能已知某一断面上土壤水通量，则可利用已知通量断面，推求其他断面通量，这
种方法称为已知通量法。常用的已知通量法有表面通量法和定位通量法［８］
。
表面通量法是已知地表入渗量或蒸发量，以地表为已知通量面，推求任一断面通量的方法。
若土壤表面在t 1至t 2时段内入渗量（或蒸发量）为Q m ，则根据式（2－2－72），任一断面z 处单位面积上流过水量为
()()??-+=d
z
d z
m dz t z dz t z Q z Q 12,,)(θθ （2-2-73）
式中：d ––––地表距地下水面距离（以地下水面为基准面）。
地表的入渗量可以实际测定，蒸发量可近似地采用公式计算（如可用Penman 公式求蒸散发量）。
定位通量法是在作物根层以下某一特定位置（如地下水面以上一定位置处）上下z 1和z 2安装负压计，测定这两点负压。如土壤水力传导度k （h ）已预先测定，则可计算这两点间平均断面z 1—2的通量为
??
?
??+?--=-1)()(1221z h h k z q （2-2-74）
式中：h 1、h 2––––分别为断面z 1和z 2处负压值。
2
,2
112h h z z z +=
-=? 在已知断面z 1—2通量情况下，可求得t 1至t 2时段内流经断面z 1—2的单位面积土壤水量为Q （z 1—2）。同样可由Q （z 1—2）求得任一断面流量Q （z ）：
()()??
---+=-2
12
11221,,)()(z z
z z
dz t z dz t z z Q z Q θθ （2-2-75）
使用上述已知通量法需有定位点含水率和负压资料，且需要预先测定土壤水力传导度k(h)值。
土壤的水力传导度常采用表面通量法，根据时段前后两个瞬时的土壤剖面含水率的变化进行测定。在试验室条件下可用垂直土柱测定土壤水力传导度，在土柱的下边界利用供水装置瞬时供水，并保持一恒定水位。在野外条件下可在田面灌水后，用塑料薄膜或其他不透水材料覆盖，在地表形成零通量面，每隔一定时间测定土壤剖面上各点的含水率和土壤负压，即可采用位于地表的零通量面法根据时段前后剖面含水率计算各断面的通量q 。在已求得各断面通量q 后，即可根据任意两相邻断面z 1、z 2处的土壤负压值h 1、h 2自下式计算平均负压
2
2
1h h h +=
时的k(h)值： ()()
11
221±?-=
-z
h h z q h k （2-2-76）
式中：△z= z 2－z 1。当z 向下为正时，以上等式右端项分子中取＋1，在z 向上为正时取－1。
数学物理方程第二章 傅里叶级数
（20141008）第二章 傅里叶级数 1. n a 和n b 的推导 如果以2π为周期的函数()f x 可以展开成三角级数，即 01 ()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑ （1） 成立。在等式两边同时对x 积分有 0001()d d (cos sin )d 2022n n n a a f x x x a nx b nx x a ππππππππ∞-- -==++=+=∑???g 因此 01()d a f x x πππ- =? 将等式（1）左右两边同时乘以*cos ()kx k N ∈然后对x 积分有 01 ()cos d cos d (cos sin )cos d 2n n n a f x kx x kx x a nx b nx kx x ππππππ∞---==++∑??? 利用三角函数的正交性，等式右边的第二项积分而言，当n k ≠时，积分为0，而当n k =时，积分为k a π，所以 ()cos d 0k k f x kx x a a ππππ-=+=? 因此 *1()cos d , k a f x kx x k N πππ- =∈? 将等式（1）左右两边同时乘以*sin ()kx k N ∈然后对x 积分后同理可得 *1()sin d , k b f x kx x k N πππ-= ∈? 合并上述结果，可以得到
1 ()cos d , (=0,1,2,3,)n a f x nx x n πππ -=?L 1()sin d , (1,2,3,)n b f x nx x n π ππ-==?L n a 和n b 即为()f x 的傅里叶系数，等式（1）的右边即为()f x 的傅里叶级数。记为： 01 ()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑ 此处之所以没有使用“=”，是由于尚不清楚()f x 的傅里叶级数是否以()f x 为和函数，且其是否收敛也未可知。 对于()f x 的傅里叶级数而言，如果()f x 是奇函数，显然有 02 0, ()sin d n n a b f x nx x π π==? 由于此时()f x 的傅里叶级数仅剩下正弦项，因此也成为正弦级数； 如果()f x 是偶函数，同理有 02()cos d , 0n n a f x nx x b π π==? 且由于此时()f x 的傅里叶级数仅剩下余弦项，因此也成为余弦级数。 2. 关于傅里叶级数的一些重要结论 以2π为周期，定义于[,]ππ-上的函数()f x x =的傅里叶展开式为 2 141cos(21), (,)2(21)n n x x n π π∞ =--∈-∞+∞-∑ 证明（应该不会考）如下：
第二章 土壤水分运动基本方程2
第二章 土壤水分运动基本方程 如前所述，达西定律是由达西（Darcy ，Henry 1856）通过饱和砂柱渗透试验得出，后由Richards （1931）将其扩伸至非饱和水流中，并规定导水率为土壤负压h 的函数，即 ()H h k q ?= （2-2-1） 式中：H ?——为水势梯度； k （h ）——为导水率，是土壤负压h 的函数； q ——为水流通量或流速。 Richards 方程垂向一维方程为 ) 1)(( ) (±??-=??-=z h k z H k q z θθ 注意：H=h ±z ，垂直坐标向上为“+”；向下时为“–”。 由于k （h ）受滞后影响较大，上式仅适用于单纯的吸湿或脱湿过程。若将导水率作为容积含水率函数，即以k （θ）代替人k （h ），则可避免滞后作用的影响。 一般说来达西定律对饱和与非饱和水流均可适用，即水流通量与势能梯度成正比。但在饱和土壤中，压力为正值，其总水头包括了由该点在地下水面以下深度来确定的静水压力（正值）和相对于基准面高度来确定的位置水头，总水头为压力水头和位置水头之和，水由总水头高处向低处流动。在非饱和土壤中，基质势为负值，土水势在不考虑溶质势、温度势及气压势时，只包括重力势和基质势。因此，总水头常以负压水头和位置水头之和来表示。 一维Richards 方程的几种形式： 根据() ()θθ θD h k =??（K=C ×D ）得： x h k q x ??-=)(θ x D q x ??-=θ θ)( y h k q y ??-=) (θ y D q y ??-=θθ)( )1)( (±??-=z h k q z θ )]()([θθθk z D q z ±??-=
第2章 流体运动的基本方程
第2章 流体运动的基本方程 流体运动极其复杂，但也有其内在规律。这些规律就是自然科学中通过大量实践和实验归纳出来的质量守恒定律、动量定理、能量守恒定律、热力学定律以及物体的物性。它们在流体力学中有其独特的表达形式，组成了制约流体运动的基本方程。本章将根据上述基本定律及流体的性质推导流体运动的基本方程，并给出不同的表达形式。 2.1 连续方程 2.1.1 微分形式的连续方程 质量守恒定律表明，同一流体的质量在运动过程中保持不变。下面从质量守恒定律出发推导连续性方程。 在流体中任取由一定流体质点组成的物质体，其体积为V ，质量为M ，则 ? = V dV M ρ 根据质量守恒定律，下式在任一时刻都成立 0== ? V dV dt d dt dM ρ (2-1) 应用物质体积分的随体导数公式（1-15b ），则 0dV )]v (div t [dV )v div Dt D ( dV dt d V V V ?? ? =+??=+= ρρρρ ρ 因假定流体为连续介质，流体密度和速度均为空间和时间的连续函数，被积函数连续，且体积V 是任意选取的，故被积函数必须恒等于零，于是有 0v div Dt D =+ ρρ （2-2a ） 或 0)v (div t =+?? ρρ （2-3a ） 上式亦可以写成如下形式 0x u Dt D i i =??+ρ ρ （2-2b ） 或 0x )u (t i i =??+ ??ρρ （2-3b ）
式（2-2）和式（2-3）称为微分形式的连续性方程。 在直角坐标系中，微分形式的连续性方程为 0z )u (y )u (x )u (t z y x =??+ ??+ ??+ ??ρρρρ （2-4） 微分形式的连续性方程适用于可压缩流体非恒定流，它表达了任何可实现的流体运动所必须满足的连续性条件。其物理意义是，流体在单位时间流经单位体积空间时，流出与流入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。 由式（2-2）可对不可压缩流体给出确切定义。不可压缩流体的条件应为 0=Dt D ρ （2-5） 即密度应随质点运动保持不变。 0=??t ρ只是指密度是恒定不变的，但流体质点密度还可以 在流动中随位置发生变化。只有满足式（2-5），质点密度才能保持不变。但不能排除各个质点可以具有各自不同的密度。如海水在河口淡水下面的入侵（图2-1），含细颗粒泥沙的浑水在水库的清水下面沿库底的的运动（图2-2），都是具有不同密度的不可压缩流动。在这种流动中，因密度不同形成不同的流层，常称为分层流动。 图2-1 河口的海水入侵[1] 图2-2 水库中的浑水异重流[1] 对不可压缩均质流体，则不但0=Dt D ρ，而是在全流场和全部时间内ρ＝常数，因此， 连续性方程简化为
计算方法第二章方程求根上机报告
实验报告名称 班级：学号：姓名：成绩： 1实验目的 1）通过对二分法与牛顿迭代法作编程练习与上级运算，进一步体会二分法与牛顿迭代法的不同特点。 2）编写割线迭代法的程序，求非线性迭代法的解，并与牛顿迭代法。 2 实验内容 用牛顿法和割线法求下列方程的根 x^2-e^x=0; x*e^x-1=0; lgx+x-2=0; 3实验步骤 1)根据二分法和牛顿迭代法，割线法的算法编写相应的求根函数； 2)将题中所给参数带入二分法函数，确定大致区间； 3)用牛顿迭代法和割线法分别对方程进行求解； 3 程序设计 牛顿迭代法x0=1.0; N=100; k=0; eps=5e-6; delta=1e-6; while(1) x1=x0-fc1(x0)/fc2(x0); k=k+1; if k>N disp('Newmethod failed')
break end if(abs(x1-x0) 匀变速直线运动速度与时间关系练习题 1、物体做匀加速直线运动，已知加速度为2m/s2，那么（） A．在任意时间内，物体的末速度一定等于初速度的2倍 B．在任意时间内，物体的末速度一定比初速度大2m/s C．在任意一秒内，物体的末速度一定比初速度大2m/s D．第ns的初速度一定比第（n-1）s的末速度大2m/s 2、物体做匀加速直线运动，初速度v0=2m/s，加速度a=0.1m/s2，求（1）第3s末的速度？ （2）5s末的速度？ 3、质点作匀减速直线运动，加速度大小为3m/s2，若初速度大小为20m/s，求经4s质点的速度？ 4、质点从静止开始作匀变速直线运动，若在3s内速度变为9m/s，求物体的加速度大小？ 5、飞机以30m/s的速度降落在跑道上，经20s停止下来，若加速度保持不变，则加速度大小是？ 6、质点作初速度为零的匀变速直线运动，加速度为3m/s2，则（1）质点第3s的初速度和末速度分别为多少？ 7、汽车在平直的公路上以10m/s作匀速直线运动，发现前面有情况而刹车，获得的加速度大小为2m/s2，则： （1）汽车经3s的速度大小是多少？ （2）经5s汽车的速度是多少？ （3）经10s汽车的速度是多少？ 8、质点从静止开始作匀加速直线运动，经5s速度达到10m/s，然后匀速度运动了20s，接着经2s匀减速运动到静止，则质点在加速阶段的加速度大小是多少？在第26s末的速度大小是多少？ 9、质点在直线上作匀变速直线运动，若在A点时的速度是5m/s，经3s到达B点速度是14m/s，若再经4s到达C点，则在C点的速度是多少？ 10、一物体做直线运动的速度方程为v t=2t+4. (1)说明方程中各字母或数字的物理意义. (2)请画出物体运动的v-t图象. 11、一质点从静止开始以1m/s2的加速度匀加速运动，经5s后作匀速运动，最后2s的时间使质点匀减速到零，则质点匀速运动的速度是多大？减速运动时的加速度是多大？从开始运动到静止的平均速度是多少？ 第 二 章 热 传 导 方 程 §1 热传导方程及其定解问题的提 1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律 dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。 解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。记杆的截面面积4 2 l π为S 。 由假设，在任意时刻t 到t t ?+内流入截面坐标为x 到x x ?+一小段细杆的热量为 t x s x u k t s x u k t s x u k dQ x x x x ????=???-???=?+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻t 到t t ?+在截面为 x 到x x ?+一小段中产生的热量为 ()()t x s u u l k t x l u u k dQ ??-- =??--=11 1124π 又在时刻t 到t t ?+在截面为x 到x x ?+这一小段内由于温度变化所需的热量为 ()()[]t x s t u c x s t x u t t x u c dQ t ????=?-?+=ρρ,,3 由热量守恒原理得： ()t x s u u l k t x s x u k t x s t u c x t ??-- ????=????11 2 24ρ 消去t x s ??，再令0→?x ，0→?t 得精确的关系： ()11 224u u l k x u k t u c -- ??=??ρ 或 ()()11 22 2112244u u l c k x u a u u l c k x u c k t u --??=--??=??ρρρ 其中 ρ c k a =2 2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。 解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt n u D dM ??-=，其中D 为扩散系数，得 ?????= 2 1 t t s dsdt n u D M 浓度由u 变到2u 所需之溶质为 ()()[]???????????ΩΩΩ ??=??=-=2 12 1121,,,,,,t t t t dvdt t u C dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M 两者应该相等，由奥、高公式得： ????????Ω Ω??==????????? ??????+???? ??????+??? ??????=2 12 11t t t t dvdt t u C M dvdt z u D z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。一般情形1=C 。由于21,,t t Ω的任意性即得方程： ?? ? ??????+???? ??????+??? ??????=??z u D z y u D y x u D x t u C 3. 砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的 水化热成正比。以()t Q 表示它在单位体积中所储的热量，0Q 为初始时刻所储的热量，则 Q dt dQ β-=，其中β为常数。又假设砼的比热为c ，密度为ρ，热传导系数为k ，求它在浇后温度u 满足的方程。 解： 可将水化热视为一热源。由Q dt dQ β-=及00Q Q t ==得()t e Q t Q β-=0。由假设，放 热速度为 t e Q ββ-0 它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书71页，(1.7)式得 ??? ? ??-=+??? ? ????+??+??=??-ρρββc k a e c Q z u y u x u a t u t 20222222 2 4. 设一均匀的导线处在周围为常数温度0u 的介质中，试证:在常电流作用下导线的温度满足微分方程 ()2201224.0ρω ρωρc r i u u c P k x u c k t u +--??=?? 其中i 及r 分别表示导体的电流强度及电阻系数，表示横截面的周长，ω表示横截面面积，而k 表示导线对于介质的热交换系数。 解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原71页(1.7)及(1.8)式知方程取形式为 数学物理方程总结 Revised by Jack on December 14,2020 浙江理工大学数学系 第一章：偏微分方程的基本概念 偏微分方程的一般形式：221 1 (,,, ,,,)0n u u u F x u x x x ???=??? 其中12(,,...,)n x x x x =是自变量，12()(,,...,)n u x u x x x =是未知函数 偏微分方程的分类：线性PDE 和非线性PDE ，其中非线性PDE 又分为半线性PDE ，拟线性PDE 和完全非线性PDE 。 二阶线性PDE 的分类（两个自变量情形）： 2221112222220u u u u u a a a a b cu x x y y x y ?????+++++=?????? （一般形式 记为 PDE （1）） 目的：可以通过自变量的非奇异变换来化简方程的主部，从而据此分类 (,) (,)x y x y ξξηη=?? =? 非奇异 0x y x y ξξηη≠ 根据复合求导公式最终可得到： 22211122222 20u u u u u A A A A B Cu ξξηηξη ?????+++++=??????其中： 考虑22111222( )2()0z z z z a a a x x y y ????++=????如果能找到两个相互独立的解 那么就做变换(,) (,)x y x y ξφηψ=??=? 从而有11220A A == 在这里要用到下面两个引理： 引理1：假设(,)z x y φ=是方程22111222( )2()0z z z z a a a x x y y ????++=???? (1)的特解，则关系式(,)x y C φ=是常微分方程：22111222()2()0a dy a dxdy a dx -+= （2）的一般积分。 主 第二章 Volterra 方程的求解 §2.1 第二类Volterra 方程求解 积分方程是近代数学的一个重要分支，它与微分方程、泛函分析、计算数学和有机分析等有着紧密的联系.同时，它也是解决力学、数学物理和工程技术等问题的一种重要工具. 本章首先介绍积分方程的基本概念，其次利用压缩映照原理讨论积分方程的可解性及逐次逼近方法，并扼要介绍Fredholm 定理，讨论一些非线性积分方程的解法. 第二类Volterra 方程一般形式为： ()(,)()()x a x K x t t dt f x ?λ?=+? , (2.1.1) A ． 化为常微分方程求解 例2.1.10().x x t e t dt x ?-=? 解 由0 ()x x t e e t dt x ?-=? ， 得0 ()x t x e t dt xe ?--=?, 求导得(),x x x e x e xe ?---=- 即()1x x ?=-. 例2.1.2 0()().x x x t dt e ??=+? 解 求导得()().x x x e ??'=+ 定解条件0 0(0)() 1.t dt e ??=+=? 化为微分方程 , (0) 1. x e ???'?=+? =? 容易得到()(1)x x x e ?=+. 定理2.1.1 如果第二类Volterra 方程(2.1.1)的核(,)K x t 为()x t -的(1)n -次多项式 01(,)()()() K x t a x a x x t =+-2 2()()2!a x x t +-11()()(1)!n n a x x t n --++ -- , 令 1 1()()()(1)!x n a y x x t t dt n ?-=--?， 第二章 方程求根 教学内容： 1．二分法 2．基本迭代法 3．牛顿法 4．弦位法 5．埃特金法和斯基芬森法 6．重根的情况 教学重点： 各种算法的思路及迭代公式的构造 教学难点： 各种算法的收敛性、收敛速度及误差估计 计划学时：5-6学时 授课提纲： 方程求根就是求函数)(x f 的零点*x ，即求解方程 0)(=x f 这里，0)(=x f 可以是代数方程，也可以不是，如超越方程。 方程的根既可以是实数，也可以是复数；既可能是单根，也可能是重根；即可能要求求出给定范围内的某个根，也可能要求求出方程全部的根。 本章介绍的方法对两类方程都适用，但大部分都是要求知道根在什么范围内，且在此范围内只有一个单根。若有α使得0)(,0)(≠'=ααf f ，则称α是方程0)(=x f 的单根；若有α使得 0)(,0)()()()()1(≠==='=-ααααm m f f f f ， 则称α是方程0)(=x f 的m 重根。 设)(x f 在区间[a,b]连续，若0)()( 2.1.2 二分法思想 区间对分，去同存异 2.1.3 二分法计算步骤 步1：令2/)(0b a x +=，计算)(0x f ； 步2：若0)(0=x f ，令0*x x =，计算结束； 步3：若)(0x f *)(a f >0，令0x a =；否则令0x b =； 步4：若ε≤-||a b ，令2/)(*b a x +=,计算结束；否则转步1。 2.1.4 二分法误差分析和收敛性 记第k 次区间中点为k x ，则有 2/)(0*a b x x -≤-，21*2/)(a b x x -≤-，1*2/)(,+-≤-k k a b x x 故当∞→k 时，*x x k →。 为使ε≤-k x x *，解不等式ε≤-+12/)(k a b ，得 12ln /]ln )[ln(---≥εa b k 2.1.5 二分法的优缺点 ● 算法简单直观，易编程计算； ● 只需)(x f 连续即可； ● 区间收缩速率相同，收敛速度慢； ● 无法求复根和偶重根。 例2-1 p15例1 2.2 迭代法 2.2.1 迭代法原理 0)(=x f ? )(x x ?= )(x f 的根 )(x ?的不动点 2.2.2 迭代法思路 任取初值],[0b a x ∈，令)(01x x ?=，)(12x x ?=，反复迭代，即得 ),2,1,0(),(1 ==+k x x k k ? 直到满足精度要求的k x 来近似*x 。称)(x x ?=为迭代公式，)(x ?为迭代函数，{k x }为迭代序列。 若{k x }收敛时，称迭代公式是收敛的。此时设=∞ →k k x lim *x ，当)(x ?连续时 )()lim ()(lim lim *1*x x x x k k k k k ???====∞ →∞ →+∞ → 亦即0)(*=x f 。若{k x }不收敛，称迭代公式是发散的。 2019年数学物理方程-第二章分离变量法.doc 第二章 分离变量法 分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换 法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论. §2?1 特征值问题 2．1.1 矩阵特征值问题 在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵，A 可视为n R 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程： ,n Ax x x R λ=∈， （1.1） 的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（1.1）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为Jordan 标准型. 若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得 1T AT D -=， （1.2） 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（1.2）可写为如下形式 1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =， 或 , 1.i i i A T T i n λ=≤≤ （1.3） 上式说明，正交矩阵T 的每一列都是实对称矩阵A 的特征向量，并且这n 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定理的形式给出. 定理1.1 设A 为一n 阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题 ,n Ax x x R λ=∈， 则A 的所有特征值为实数，且存在n 个特征向量,1i T i n ≤≤，它们是相互正交的（正交性orthogonality ），可做为n R 的一组基（完备性completeness ）. 特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之. 为简单起见，在下面两个例子中取A 为n 阶非奇异实矩阵，故A 的所有特征值非零，并且假设A 有n 个线性无关的特征向量,i T 相应的特征值为, 1i i n λ≤≤. 例1.1 设n b R ∈，求解线性方程组 Ax b =. 解 由于向量组{1}i T i n ≤≤线性无关，故可做为n R 的一组基. 将,x b 按此 运动学基本公式 一、运动学一般公式 1、 平均速度公式： t x v ??= 2、 加速度定义式：t v a ??= 二、匀变速直线运动公式： 1、 速度和时间关系：at v v +=0 2、 位移和时间关系：202 1at t v x += 3、 速度-位移公式：ax v v t 2202=- 4、 平均速度公式：2 0t v v v += 5、 平均速度位移公式：t v v t v x t 20+= = 6、 中间时刻速度：2 02t t v v v v += = 7、 中间位置速度：2 2202t x v v v += 三、初速度为零的匀变速直线运动公式： （一）一般公式 8、 速度和时间关系：at v = 9、 位移和时间关系：22 1at x = 10、速度-位移公式： ax v t 22= 11、平均速度公式：2 t v v = 12、平均速度位移公式：t v t v x t 2 == 13、中间时刻速度：2 2t t v v v = = 14、中间位置速度：2 2t x v v = （二）自由落体公式： 15、速度和时间关系：gt v = 16、位移和时间关系：22 1gt h = 17、速度-位移公式：gh v t 22= 18、中间时刻速度：2 2t t v v v = = 19、中间位置速度： 2 2t h v v = 四、初速度为零的匀变速直线运动的四个重要比例式： 20、速度比：n v v v v n :.......:3:2:1:......:::321= 21、位移比：2321:.......:9:4:1:......:::n x x x x n = 22、在相同时间内通过的位移比： )12(:.......:5:3:1......::: III II I -=n x x x 23、经过相同位移所用的时间比： ） （）（）（1:.......:2-3: 1-2:1:......:::321--=n n t t t t n 第三章 蒸发条件下土壤水分运动 土壤水分蒸发可以发生在土壤表面和植物体上。植物体的蒸发一般称为蒸腾，土壤表面蒸发称为土面蒸发。本章主要讨论土面蒸发条件下土壤水分运动。 土面蒸发所消耗的水分来自两部分，一部分是指直接消耗地下水面以上土层中水分，一部分消耗地下水，消耗地下水部分称为潜水蒸发。土壤水分蒸发有稳定蒸发和不稳定蒸发两种状态，当土壤水分的蒸发量与地下水补给量相平衡时为土壤水分的稳定蒸发状态，一般在连续干旱期，且地下水有侧向补给时，会出现这种情况；当土壤水蒸发量不等于地下水补给量时，土壤水分为不稳定蒸发状态，在降雨或灌水后的蒸发初期或地下水无侧向补给时，常处于这种状态。 土壤水蒸发一方面决定于外界（大气）蒸发能力（常以水面蒸发表示），另一方面决定于土层从地下水面向地表输水的能力，其输水能力大小一方面取决于土质条件，同时也决定于表土含水率。由于土壤水蒸发的水分是从土表散失，因此为了研究土壤水蒸发问题首先必须了解表土蒸发规律。 第一节 表土蒸发 一、形成干土层前的表土蒸发过程 由于表土蒸发的主要影响因素不同，其蒸发过程可以分为以下两个阶段。 1．表土蒸发保持稳定阶段 表层土壤水分的蒸发主要是由于土壤水汽压力与地表大气中水汽压力有一定差值，在压力梯度作用下，土壤中水汽向大气中扩散而产生的。压力差越大，土壤中水汽扩散的水量越大。在这一阶段，表土含水率越高（在某一定值以上），土壤水汽压力基本不随含水率的变化而改变，其数值趋近于饱和水汽压力。在这种情况下，土壤水分蒸发主要取决于外界条件（温度、湿度、风速等）。在外界条件不变的情况下，土壤水分的蒸发将不随含水率降低而变化，因此这一阶段称为稳定蒸发阶段，蒸发强度可用下式表示： )(0101P P -=βε （2-3-1） 式中：1ε––––稳定蒸发阶段土壤水分蒸发强度（m 3/d ·m 2 或 m/d ）； 0β––––质量交换系数，与外界条件有关； 1P ––––土壤表层的水汽压力（Pa ）； 0P ––––大气中的水汽压力（Pa ）。 在这一阶段内土壤水蒸发强度接近水面蒸发强度，而与土壤含水率无关。此阶段土壤含 水率的下限（临界含水率）即是蒸发强度与土壤毛管输水能力保持平衡之点；临界含水率即 第二章答案 一、 简述 1． 简述状态空间描述与输入/输出描述的不同。 解：输入/输出描述是系统的外部描述，是对系统的不完全描述，用微分方程及其对应传递函数表征；状态空间描述是系统的内部描述，是对系统的完全描述，用状态空间表达式表征。 2． 线性定常系统经非奇异线性变换哪些量和性质不变？（至少列举3项） 解：特征值不变，传递矩阵不变，可控性及可观测性不变。 二、 多选题 1.对于n 阶线性定常系统 x Ax Bu =+&，下列论述正确的是（ ABD ） A 当系统矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量12,,,n υυυL 时，则矩阵A 可化为对角线规范形； B 系统矩阵A 的n 个特征值12,,,n λλλL 两两互异，则矩阵A 可化为对角 线规范形； C 系统矩阵A 有重特征值，则矩阵A 不能化为对角线规范形； D 系统矩阵A 有重特征值，但重特征值的几何重数等于其代数重数，则 矩阵A 可以化为对角线规范形。 三、 求状态空间描述 1、 给定系统的传递函数为 1 ()(4)(8)G s s s s = ++ （1）写出系统的可控标准型状态空间描述。 解：由传递函数 32 11 ()(4)(8)1232g s s s s s s s ==++++ 可写出原系统的能控标准形 01000010032121u ???????????? ????--????x =x +& 2．已知系统的传递函数为 2325 ()1510 s s G s s s ++=++ 分别写出系统的能控、能观状态空间表达式。 解： 能控标准型： 01000010101501[521]x x u y x ???? ????=+????????--????=& （2分） 能观标准型： 00105101520101[0 01]x x u y x -???? ????=-+????????????=& 3．已知系统的传递函数为 2323 ()510 s s G s s s ++=++ 分别写出系统的能控、能观状态空间表达式。 解：能控标准型： 0100001010501[321]x x u y x ???? ????=+????????--???? =& （2分） 能观标准型： 010*********[0 01]x x u y x -???? ????=-+???????????? =& 3．已知系统的传递函数为 32 20 ()43G s s s s = ++ （1）写出系统的可控标准型状态空间描述。 解：（1）由传递函数 3220 ()43G s s s s =++可写出原系统的可控标准型 []01 00001003412000u y x ???? ????????????--????=&x =x + 4．已知系统的传递函数为 210 ()1 G s s = + 1 第二章作业 问题描述： 不同温度的两种流体进入混合器混合，流出时具有相同的温度。流体A 和B 的热容（单位：cal/(mol ·K)）分别为： 2623.381 1.80410 4.30010pA c T T --=+?-? 1528.592 1.29010 4.07810pB c T T --=+?-? 焓变（单位：cal/mol ）为2 1 T p T H c dT ?= ? 。 A 进入混合器的温度为400℃， B 进入混合器的温度为700℃，A 的量（mol ）是B 的量（mol ）的两倍，试确定流体离开混合器的温度。 问题分析： 初始情况下，气体A 的温度比气体B 的温度低，故在混合过程中，气体A 温度升高，气体B 温度降低。由于没有外界加热或者做功，混合气体整体的焓变应该为零。 设A 有2mol ，B 有1mol ，根据焓变公式计算得到： 2 1 -262400 -22632= 6.762+3.608108.60010)6.762 1.80410 2.867105407.712T T A pA T H c dT T T dT T T T --?=?-?=+?-?-??（ 2 1 -152700 -1253=+1.29010 4.07810)0.64510 1.3591032958.030 T T B pB T H c dT T T dT T T T --?=?-?=+?-?-??（8.5928.592 而0A B H H ?+?=，故该问题最后变成求解方程 2263()15.3548.2541016.4571038365.742f T T T T --=+?-?- 的根的问题。接下来将采用二分法、试位法以及牛顿法进行改方程的求解。方程保存为f.m ，可在压缩文件中找到。 一、 二分法 二分法的基本思想为，确定有根区间，然后不断将区间二等分，通过判断f(x)的符号，逐步将区间缩小，直到有根区间足够小，便可满足精度要求的近似根。 本例中，可以清楚的得到有根区间为(400,700)。取容限误差为-3 0.510%?，可以保证5 位有效数字。程序编写存储于bisec.m 。 其中，bisec 函数定义为： function bisec(f_name,a,c,xmin,xmax,n_points) 调用时： >> bisec('f',400,700,400,700,1000) 相当于取了a=400;c=700;作图时横坐标取得是从400~700的范围，采样点为1000个。 3.1写出下列各量的数学表达式： （1）单位时间内以n 为法向的面积元dA 上的流体体积流量； [解] 设流速为V ，单位时间令为“1”，则解为dA n ν? （2）t ?时间内经固定不动空间τ的表面S 净流入τ的质量； [解] 设流体密度为ρ，n 为其单位法向量，流速为ν，则解为t dA n ??- ?νρ （3）流体体积τ内的动量、动能的随体导数。 [解] 动量的随体导数：() ?τνρτd Dt D 动能的随体导数：??? ? ???τνρτd Dt D 22 3.2 求各种坐标系下的连续性方程（用微六面体）： （1）柱坐标； [解] （2）球坐标； （3）一般曲线坐标。 [解] 将连续性方程推广到一般曲线坐标系下，建立微元体如下图： 在1u 轴向：单位时间内 3.3 下列各种流体运动中，哪个方向速度分量为零，然后写出连续性方程： （1）流体质点在每一平行平面上作径向运动； （2）流体质点在空间作径向运动； （3）流体质点在每一个都交于z 轴的平面上运动； （4）流体质点在同心的球面上运动； （5）流体质点在共轴的圆柱面上运动。若再加上无轴向运动，又如何？ （6）流体质点在共轴且有共同顶点的锥面上运动。 3.5 在流体中取一任意形状的控制体，由此求连续性方程。 [解] 取一任意形状控制体（流场中），其体积为τ，表面积为Ｓ，密度为()t z y x ,,,ρ，左方流入流体质量dA n s νρ??-1，右方流出流体质量dA n s νρ? ?2， 净流量为dA n s νρ??-1－dA n s νρ? ?2＝dA n s νρ??- 据质量守恒有：dA n d t p s νρττ???-=??，即0=?+????dA n d t p s νρττ 3.6 流体作有自由面的三维波动，底面为平面且流体等深，波动幅度小，求连续性方程。 [解] 取一控制体（如上图）： ｘ方向：左端流入 ()t dy h u ?+ξρ，右端流出()()()x t dy h u t dy h u ??+?+?+ξρξρ， 净流量()()t dxdy h u x ?+?? ξρ 第五讲补充常微分方程求解相关知识。 第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 （第六讲） §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==>< 第二章 热传导方程 § 1 热传导方程及其定解问题的提 1. 一均匀细杆直径为 l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热 交换，服从于规律 dQ k 1(u u 1 )dsdt 又假设杆的密度为 ，比热为 c ，热传导系数为 k ，试导出此时温度 u 满足的方程。 解：引坐标系：以杆的对称轴为 x 轴，此时杆为温度 u u( x,t) 。记杆的截面面积 l 2 为 S 。 t 到 t t 内流入截面坐标为 x 到 x x 一小段细杆的热量为 4 由假设，在任意时刻 dQ u s t k u 2u s x t k x s t k 1 x x x x x 2 x t 到 t t 在截面为 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻 x 到 x x 一小段中产生的热量为 4k 1 dQ 2 k 1 u u l x t u u s x t 1 l 1 又在时刻 t 到 t t 在截面为 x 到 x x 这一小段内由于温度变化所需的热量为 dQ c u x,t t u x,t s x c u s x t 由热量守恒原理得： 3 t t c u s x t k 2u s x t 4k 1 u u s x t t t x 2 x l 1 消去 s x t ，再令 x 0 ， t 2 u 0 得精确的关系： c u k 4k 1 u u t x 2 l 1 u k 2u 4k a 2 2 u 4k 或 t c x 2 c 1 u u 1 x 2 c 1 u u 1 l l 其中 a 2 k c 2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。 解：在扩散介质中任取一闭曲面 s ，其包围的区域 为 ，则从时刻 t 1 到 t 2 流入此闭曲面的溶 质，由 dM D u dsdt ，其中 D 为扩散系数，得 n t 2 D u dsdt M t 1 s n t 2 t 2 C u dvdt M 1 C u x, y, z, t 2 u x, y, z, t 1 dxdydz C u dtdv t 1 t t 1 t 两者应该相等，由奥、高公式得： t 2 u u u t 2 C u dvdt M D D D dvdt M 1 t 1 x x y y z z t 1 t 其中 C 叫做孔积系数 =孔隙体积。一般情形 C 1。由于 , t 1 , t 2 的任意性即得方程： C u D u D u z D u t x x y y z 3. 砼 ( 混凝土 ) 内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的 水化热成正比。以 Q t 表示它在单位体积中所储的热量， Q 0 为初始时刻所储的热量，则 dQ Q ，其中 为常数。又假设砼的比热为 c ，密度为 ，热传导系数为 k ，求它在浇后温 dt 度 u 满足的方程。 解： 可将水化热视为一热源。由 dQ Q 及 Q t 0 Q 0 得 Q t Q 0e t 。由假设，放 dt 热速度为 Q 0 e t 它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书 71 页，式得 u a 2 2 u 2 u 2 u Q e t a 2k t x 2 y 2 z 2 c c 4. 设一均匀的导线处在周围为常数温度 u 0 的介质中，试证 : 在常电流作用下导线的温度满 足微分方程 u k 2 u k 1P u 0 0.24i 2 r t c x c u c 2 其中 i 及 r 分别表示导体的电流强度及电阻系数， 表示横截面的周长， 表示横截面面积， 而 k 表 示导线对于介质的热交换系数。 解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原 71 页及式知方程取形式为 u a 2 2u f x,t k t x 2 其中 a 2 , f x, t F x, t / c , F x,t 为单位体积单位时间所产生的热量。 c 由常电流 i 所产生的 F 1 x, t 为 0.24i 2 r / 2 。因为单位长度的电阻为 r ，因此电流 i 作功为 i 2 r 浓度由 u 变到 u 2 所需之溶质为 乘上功热当量得单位长度产生的热量为 0.24i 2 r / 其中为功热当量。运动学四个基本公式
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