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2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(陕西.理)含详解

2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)(陕西卷)

第Ⅰ卷

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共

12小题,每小题5分,共60分)1.设不等式2

0x x -≤的解集为M ,函数()ln(1||)f x x =-的定义域为N ,则M N ?为

(A )[0,1) (B )(0,1) (C )[0,1] (D )(-1,0]答案:A

解析:不等式2

0x x -≤的解集是{}01x ≤≤,而函数()ln(1||)f x x =-的定义域为{}11x -<<,所以M N ?的交集是[0,1),故选择A 2.已知z 是纯虚数,

2

1i

z +-是实数,那么z 等于(A )2i (B)i (C)-i (D)-2i 答案:D

解析:代入法最简单

3.

函数()4)f x x =≥的反函数为(A )1

21()2(0)2f

x x x -=

+≥ (B) 121

()2(2)2f x x x -=+≥(C )121()4(0)2f x x x -=+≥ (D) 1

21()4(2)

2

f x x x -=+≥答案:

B

11

2()4)2,():4, 2.1()4)2,()2,2

2

f x x y f x y x B f x x y f x x x --=≥?≥≥≥=≥?≥=+≥解析1:逐一验证,知正确。

解析2:

4.过原点且倾斜角为60?的直线被圆22

40x y y +-=所截得的弦长为

(A (B )2 (C (D )答案:D

2222

4024x y y x y +-=?+-=∴∴?解析:(),

A(0,2),OA=2,A 到直线ON 的距离是1,弦长5.若3sin cos 0αα+=,则

2

1

cos sin 2αα

+的值为F

(A )

103 (B )53 (C )2

3

(D) 2-答案:A

22222

1

3sin cos 0cos 0tan 3

1cos sin 1tan 10

cos sin 2cos 2sin cos 12tan 3

ααααααααααααα+=?≠?=-

++===+++解析:

6.若20092009012009(12)()x a a x a x x R -=+++∈ ,则200912

22009222

a a a +++ 的值为(A )2 (B )0 (C )1- (D) 2

-答案:C

解析:200920092009(1)12r r

r r r a C --=-??则12,r a a a K 都能表示出来,则200912

22009

222a a a +++ 等于20092009

(1)r r

C --,再利用倒序相加法求得。 7.“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的

(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件

(C )充要条件 (D) 既不充分也不必要条件答案:C

解析:0m n >>说明0b a >>

8.在ABC ?中,M 是BC 的中点,AM=1,点P 在AM 上且满足2AP PM =

,则()PA PB PC ?+ 等

(A )49-

(B )43- (C )43 (D) 4

9

答案:A

222244

()()3399

PA PM P AM PA PB PC PA PH AM AM AM =??+=?=-=-=-

解析:是的一个三等分点,延长PM 到H ,使得MH=MP,

9.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位

数的个数为

(A)300 (B)216 (C) 180 (D)162

答案:C

解析:分类讨论思想:

第一类:从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为

24

3472C A =

第二类:取0,此时2和4只能取一个,0还有可能排在首位,组成没有重复数字的四位数的个数为

21433243[]108C C A A -=

共有,180个数10

(B)

(C) (D)

2

3

答案:B

解析:正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥,该棱锥的高时正方体

高的一半,底面面积是正方体一个面面积的一半,

111

2[

322

V=???= 11.若x,y满足约束条件

1

1

22

x y

x y

x y

+≥

?

?

-≥-

?

?-≤

?

,目标函数2

z ax y

=+

则a的取值范围是

(A) (1-,2 )(B) (4-,2 )(C) (4,0]

-

答案:B

解析:根据图像判断,目标函数需要和1

x y

+≥,22

x y

-≤

由图像知函数a的取值范围是(4

-,2 )

12.定义在R上的偶函数()

f x满足:对任意

1212

,(,0]()

x x x x

∈-∞≠,有

2121

()(()())0

x x f x f x

-->.

则当*

n N

∈时,有

(A)()(1)(1)

f n f n f n

-<-<+(B) (1)()(1)

f n f n f n

-<-<+

(C) (C)(1)()(1)

f n f n f n

+<-<-(D) (1)(1)()

f n f n f n

+<-<-

答案:C

12122121

2121

,(,0]()()(()())0

()()()(,0]

()()(0]

(1)()(1)(1)()(1)

x x x x x x f x f x

x x f x f x f x

f x f x

f n f n f n f n f n f n

∈-∞≠?-->

?>>?-∞

?+∞

∴+<<-?+<-<-

解析:

时,在为增函数

为偶函数在,为减函数

而n+1>n>n-1>0,

2009年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修Ⅱ)(陕西卷)

第Ⅱ卷

二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题4分,共16分).

13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若6312a S ==,则2

lim

n

n S n →∞= .

答案:1

611223112512211(1)lim lim 11212

2n n n n n a a d a S S n n S n n s a d d n n n n →∞→∞=+==???++???=+?=?==???=+==???解析: 14.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4

答案:8

15.如图球O 的半径为2,圆1O 是一小圆,1OO A 、B 是圆1O 上两点,若A ,B 两点间的球面距离为23

π

,则1AO B ∠答案:

2

π 16.设曲线1

*()n y x

n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =,

则1299a a a +++ 的值为 . 答案:-2

1*1112991299()'(1)'|11(1)(1)1

1298991

...lg ...lg ...lg 2

2399100100

n n n x n y x n N y x y n x y n y n x n

x n a a a x x x ++==∈∴==+?=+?-=+-=

++++====- 解析:点(1,1)在函数的图像上,(1,1)为切点,的导函数为切线是:令y=0得切点的横坐标:

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共74分)

17.(本小题满分12分) 已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈(其中0,0,02

A π

ω?>><<)的图象与x 轴的交

点中,相邻两个交点之间的距离为

2

π,且图象上一个最低点为2(,2)3M π

-.

(Ⅰ)求()f x 的解析式;(Ⅱ)当[,]122

x ππ

∈,求()f x 的值域.

17、解(1)由最低点为2(

,2)3

M π

-得A=2. 由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2

π,即T π=,222T ππ

ω

=== 由

2(

,2

)

3

M π

-在图像

242sin(2)2,)133

ππ???

+=-+=-即sin( 故

42,32k k Z ππ?π+=-∈ 1126

k π?π∴=- 又(0,

),,()2sin(2)266f x x π

ππ

??∈∴=

=+故

(2)7[,],2[,]122636

x x πππππ

∈∴+∈

当26x π+

=2π,即6x π=时,()f x 取得最大值2;当7266x ππ+= 即2

x π

=时,()f x 取得最小值-1,故()f x 的值域为[-1,2]

18.(本小题满分12分)

如图,在直三棱柱111A B C A B C -中, AB =1,

1AC AA =ABC=600.

(Ⅰ)证明:1

AB AC ⊥; (Ⅱ)求二面角A —1AC —B 的大小。

18.(本小题满分12分)

解答一(1)证: 三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱,

1AB AA ∴⊥

在ABC ?中,01,60AB AC ABC ==∠=,由正弦定理

030ACB ∠=

090BAC ∴∠=AB AC ⊥即

11AB ACC A ⊥平面,又1AC ?平面11ACC A 1AB AC ⊥即

(2)解如图,作1AD AC ⊥交1AC 于点D 点,连结BD , 由三垂线定理知1BD AC ⊥

ADB ∴∠为二面角1A AC B --的平面角

在111AA AC Rt AAC AD AC ??=

==

中,

133

Rt BAD A AC B ?=∴∠--AB 中,tanADB=AD ADB=arctan

即二面角的大小为arctan

解答二(1)证 三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱,

11AB AA AC AA ∴⊥⊥,

Rt ABC ?

,01,60AB AC ABC ==∠=,

由正弦定理0

30ACB ∠=

090BAC ∴∠=AB AC

⊥即如图,建立空间直角坐标系, 则

1(0,0,0),

(1,0(0,,(0,0,3)

A B C A

1

11

(1,0,0),1*00*(0AB AC AB AC AB AC ∴==?=+=∴⊥

(2) 解,如图可取(1,0,0)m AB ==

为平面1

AAC 的法向量 设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =,

则10,0,BC n AC n BC ?=?==

-

又()

0,0

l l n m ?-=?∴∴===

不妨取1,,1)m n ==则

cos ,m n m n m n ?<>=

==?

1A AC BD

∴--二面角的大小为5

19.(本小题满分12分)

某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示,椐统计,随机变量ξ的概率分布如下:

(Ⅰ)求a 的值和ξ的数学期望;

(Ⅱ)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费

者投诉2次的概率。

19题,解(1)由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1,解答a=0.2

ξ∴的概率分布为

0*0.11*0.32*0.43*0.2 1.7E ξ∴=+++=

(2)设事件A 表示“两个月内共被投诉2次”事件1A 表示“两个月内有一个月被投诉2次,另外一个月被投诉0次”;事件2A 表示“两个月内每月均被投诉12次” 则由事件的独立性得

11222212()(0)2*0.4*0.10.08

()[(1)]0.30.09

()()()0.080.090.17

P A C P P A P P A P A P A ξξ========∴=+=+=

故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17 20.(本小题满分12分)

已知函数1()ln(1),01x

f x ax x x

-=++

≥+,其中0a > ()I 若()f x 在x=1处取得极值,求a 的值; ()II 求()f x 的单调区间;

(Ⅲ)若()f x 的最小值为1,求a 的取值范围。

20. 解(Ⅰ)222

22

'(),1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-=-=++++

∵()f x 在x=1处取得极值,∴2'(1)0,120,f a a =+-= 即解得 1.a =

(Ⅱ)22

2'(),(1)(1)ax a f x ax x +-=++

∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +>

①当2a ≥时,在区间(0,)'()0,f x +∞>上,∴()f x 的单调增区间为(0,).+∞ ②当02a <<时,

由'()0'()0f x x f x x >>

<<解得由解得

∴()f x +∞的单调减区间为(0). (Ⅲ)当2a ≥时,由(Ⅱ)①知,()(0)1;f x f =的最小值为

当02a <<时,由(Ⅱ)②知,()f x 在x =

处取得最小值(0)1,f f <= 综上可知,若()f x 得最小值为1,则a 的取值范围是[2,).+∞

21.(本小题满分12分)

已知双曲线C 的方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>,离心率2

e =

(I )求双曲线C 的方程; (II)如图,P 是双曲线C 上一点,A ,B 两点在双曲线C 的两条渐

近线上,且分别位于第一、二象限,若1

,[,2]3

AP PB λλ=∈ ,

求AOB ?面积的取值范围。

21.(本小题满分14分)

已知双曲线C 的方程为22

221(0,0),y x a b a b

-=>>

离心率e =

(Ⅰ)求双曲线C 的方程;

(Ⅱ)如图,P 是双曲线C 上一点,A,B 两点在双曲线C 的两条渐近线上,且分别位于第一,

二象限.若1

,[,2],3

AP PB λλ=∈ 求△AOB 面积的取值范围.

解答一(Ⅰ)由题意知,双曲线C 的顶点(,)O a

到渐近线0ax by -=的距离为

5

ab c =

=即

由2222ab c

c

a

c a b ?=????=???=+???

得2,

1,a b c ?=?=??=?

∴双曲线C 的方程为2

2 1.4

y x -= (Ⅱ)由(Ⅰ)知双曲线C 的两条渐近线方程为2.y x =±

设(,2),(,2),0,0.A m m B n n m n ->>

由AP PB λ= 得P 点的坐标为2()

(

,),11m n m n λλλλ

-+++ 将P 点坐标代入22

1,4y x -=化简得2(1).4n mn λλ

+= 设∠AOB 114

2,tan()2,tan ,sin ,sin 2.2225

π

θθθθθ=-=∴=== 又

4||||111

||||sin 22() 1.22AOB

OA OB S OA OB mn θλλ

-

+

==∴===++

记111()()1,[,2],23

S λλλλ=++∈ 由89

'()01,),(2),34

S S λλ====1得又S(1)=2,S(3

当1λ=时,△AOB 的面积取得最小值2,当13λ=时,△AOB 的面积取得最大值8

3.

∴△AOB

面积的取值范围是8

[2,].3

解答二(Ⅰ)同解答一

(Ⅱ)设直线AB 的方程为,y kx m =+由题意知||2,0.k m <>

{

2y kx m

y x

=+= 得A 点的坐标为2(,),22m

m k k

-- 由

{2y kx m y x =+=- 得B 点的坐标为2(

,).22m m

k k

-++ 由AP PB λ= 得P 点的坐标为121(

(),()),122122m m k k k k

λλ

λλ-++-++-+ 将P 点坐标代入2222

24(1)1.44y m x k λλ

+-==-得 设Q 为直线AB 与y 轴的交点,则Q 点的坐标为(0,m ).

111|||||||8|()222

AOB AOQ BOQ S S S OQ XA OQ x m xA xB ===

+=- =22

11411()() 1.222242m m m m k k k λλ

+==++-+- 以下同解答一.

22.(本小题满分12分)

已知数列{}n x 满足, *1111

,21n n

x x n N x ∈++’=

=. ()I 猜想数列{}n x 的单调性,并证明你的结论;

(Ⅱ)证明:1

112

|()

65

n n n x x -+-|≤。

22题 证(1)由1n+1244n 112513

213821

x x x x x x =

==+==

+及得, 由246x x x >>猜想:数列{}2n x 是递减数列 下面用数学归纳法证明:

(1)当n=1时,已证命题成立 (2)假设当n=k 时命题成立,即222k k x x +> 易知20k x >,那么232122242123212311

11(1)(1)

k k k k k k k k x x x x x x x x ++++++++--=

-=

++++ =

222

22122230(1)(1)(1)(1)

k k k k k k x x x x x x ++++->++++

即2(1)2(1)2k k x x +++>

也就是说,当n=k+1时命题也成立,结合(1)和(2)知,命题成立 (2)当n=1时,1211

6

n n x x x x +-=-=

,结论成立 当2n ≥时,易知11111

01,12,12

n n n n x x x x ---<<∴+<=

>+

111115

(1)(1)(1)(1)212

n n n n n x x x x x ----∴++=+

+=+≥+

111111

11(1)(1)

n n n n n n n n x x x x x x x x -+---∴-=-=

++++

2n -1

11221

n -12225551265n n n n x x x x x x ---≤

-≤-≤≤-= ()()()

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