2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)(陕西卷)
第Ⅰ卷
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共
12小题,每小题5分,共60分)1.设不等式2
0x x -≤的解集为M ,函数()ln(1||)f x x =-的定义域为N ,则M N ?为
(A )[0,1) (B )(0,1) (C )[0,1] (D )(-1,0]答案:A
解析:不等式2
0x x -≤的解集是{}01x ≤≤,而函数()ln(1||)f x x =-的定义域为{}11x -<<,所以M N ?的交集是[0,1),故选择A 2.已知z 是纯虚数,
2
1i
z +-是实数,那么z 等于(A )2i (B)i (C)-i (D)-2i 答案:D
解析:代入法最简单
3.
函数()4)f x x =≥的反函数为(A )1
21()2(0)2f
x x x -=
+≥ (B) 121
()2(2)2f x x x -=+≥(C )121()4(0)2f x x x -=+≥ (D) 1
21()4(2)
2
f x x x -=+≥答案:
B
11
2()4)2,():4, 2.1()4)2,()2,2
2
f x x y f x y x B f x x y f x x x --=≥?≥≥≥=≥?≥=+≥解析1:逐一验证,知正确。
解析2:
4.过原点且倾斜角为60?的直线被圆22
40x y y +-=所截得的弦长为
(A (B )2 (C (D )答案:D
2222
4024x y y x y +-=?+-=∴∴?解析:(),
A(0,2),OA=2,A 到直线ON 的距离是1,弦长5.若3sin cos 0αα+=,则
2
1
cos sin 2αα
+的值为F
(A )
103 (B )53 (C )2
3
(D) 2-答案:A
22222
1
3sin cos 0cos 0tan 3
1cos sin 1tan 10
cos sin 2cos 2sin cos 12tan 3
ααααααααααααα+=?≠?=-
++===+++解析:
6.若20092009012009(12)()x a a x a x x R -=+++∈ ,则200912
22009222
a a a +++ 的值为(A )2 (B )0 (C )1- (D) 2
-答案:C
解析:200920092009(1)12r r
r r r a C --=-??则12,r a a a K 都能表示出来,则200912
22009
222a a a +++ 等于20092009
(1)r r
C --,再利用倒序相加法求得。 7.“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的
(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件
(C )充要条件 (D) 既不充分也不必要条件答案:C
解析:0m n >>说明0b a >>
8.在ABC ?中,M 是BC 的中点,AM=1,点P 在AM 上且满足2AP PM =
,则()PA PB PC ?+ 等
于
(A )49-
(B )43- (C )43 (D) 4
9
答案:A
222244
()()3399
PA PM P AM PA PB PC PA PH AM AM AM =??+=?=-=-=-
解析:是的一个三等分点,延长PM 到H ,使得MH=MP,
9.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位
数的个数为
(A)300 (B)216 (C) 180 (D)162
答案:C
解析:分类讨论思想:
第一类:从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为
24
3472C A =
第二类:取0,此时2和4只能取一个,0还有可能排在首位,组成没有重复数字的四位数的个数为
21433243[]108C C A A -=
共有,180个数10
(B)
(C) (D)
2
3
答案:B
解析:正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥,该棱锥的高时正方体
高的一半,底面面积是正方体一个面面积的一半,
111
2[
322
V=???= 11.若x,y满足约束条件
1
1
22
x y
x y
x y
+≥
?
?
-≥-
?
?-≤
?
,目标函数2
z ax y
=+
则a的取值范围是
(A) (1-,2 )(B) (4-,2 )(C) (4,0]
-
答案:B
解析:根据图像判断,目标函数需要和1
x y
+≥,22
x y
-≤
由图像知函数a的取值范围是(4
-,2 )
12.定义在R上的偶函数()
f x满足:对任意
的
1212
,(,0]()
x x x x
∈-∞≠,有
2121
()(()())0
x x f x f x
-->.
则当*
n N
∈时,有
(A)()(1)(1)
f n f n f n
-<-<+(B) (1)()(1)
f n f n f n
-<-<+
(C) (C)(1)()(1)
f n f n f n
+<-<-(D) (1)(1)()
f n f n f n
+<-<-
答案:C
12122121
2121
,(,0]()()(()())0
()()()(,0]
()()(0]
(1)()(1)(1)()(1)
x x x x x x f x f x
x x f x f x f x
f x f x
f n f n f n f n f n f n
∈-∞≠?-->
?>>?-∞
?+∞
∴+<<-?+<-<-
解析:
时,在为增函数
为偶函数在,为减函数
而n+1>n>n-1>0,
2009年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修Ⅱ)(陕西卷)
第Ⅱ卷
二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题4分,共16分).
13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若6312a S ==,则2
lim
n
n S n →∞= .
答案:1
611223112512211(1)lim lim 11212
2n n n n n a a d a S S n n S n n s a d d n n n n →∞→∞=+==???++???=+?=?==???=+==???解析: 14.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4
答案:8
15.如图球O 的半径为2,圆1O 是一小圆,1OO A 、B 是圆1O 上两点,若A ,B 两点间的球面距离为23
π
,则1AO B ∠答案:
2
π 16.设曲线1
*()n y x
n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =,
则1299a a a +++ 的值为 . 答案:-2
1*1112991299()'(1)'|11(1)(1)1
1298991
...lg ...lg ...lg 2
2399100100
n n n x n y x n N y x y n x y n y n x n
x n a a a x x x ++==∈∴==+?=+?-=+-=
++++====- 解析:点(1,1)在函数的图像上,(1,1)为切点,的导函数为切线是:令y=0得切点的横坐标:
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共74分)
17.(本小题满分12分) 已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈(其中0,0,02
A π
ω?>><<)的图象与x 轴的交
点中,相邻两个交点之间的距离为
2
π,且图象上一个最低点为2(,2)3M π
-.
(Ⅰ)求()f x 的解析式;(Ⅱ)当[,]122
x ππ
∈,求()f x 的值域.
17、解(1)由最低点为2(
,2)3
M π
-得A=2. 由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2
π,即T π=,222T ππ
ω
=== 由
点
2(
,2
)
3
M π
-在图像
上
的
242sin(2)2,)133
ππ???
+=-+=-即sin( 故
42,32k k Z ππ?π+=-∈ 1126
k π?π∴=- 又(0,
),,()2sin(2)266f x x π
ππ
??∈∴=
=+故
(2)7[,],2[,]122636
x x πππππ
∈∴+∈
当26x π+
=2π,即6x π=时,()f x 取得最大值2;当7266x ππ+= 即2
x π
=时,()f x 取得最小值-1,故()f x 的值域为[-1,2]
18.(本小题满分12分)
如图,在直三棱柱111A B C A B C -中, AB =1,
1AC AA =ABC=600.
(Ⅰ)证明:1
AB AC ⊥; (Ⅱ)求二面角A —1AC —B 的大小。
18.(本小题满分12分)
解答一(1)证: 三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱,
1AB AA ∴⊥
在ABC ?中,01,60AB AC ABC ==∠=,由正弦定理
030ACB ∠=
090BAC ∴∠=AB AC ⊥即
11AB ACC A ⊥平面,又1AC ?平面11ACC A 1AB AC ⊥即
(2)解如图,作1AD AC ⊥交1AC 于点D 点,连结BD , 由三垂线定理知1BD AC ⊥
ADB ∴∠为二面角1A AC B --的平面角
在111AA AC Rt AAC AD AC ??=
==
中,
133
Rt BAD A AC B ?=∴∠--AB 中,tanADB=AD ADB=arctan
即二面角的大小为arctan
解答二(1)证 三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱,
11AB AA AC AA ∴⊥⊥,
Rt ABC ?
,01,60AB AC ABC ==∠=,
由正弦定理0
30ACB ∠=
090BAC ∴∠=AB AC
⊥即如图,建立空间直角坐标系, 则
1(0,0,0),
(1,0(0,,(0,0,3)
A B C A
1
11
(1,0,0),1*00*(0AB AC AB AC AB AC ∴==?=+=∴⊥
(2) 解,如图可取(1,0,0)m AB ==
为平面1
AAC 的法向量 设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =,
则10,0,BC n AC n BC ?=?==
-
又()
0,0
l l n m ?-=?∴∴===
不妨取1,,1)m n ==则
cos ,m n m n m n ?<>=
==?
1A AC BD
∴--二面角的大小为5
19.(本小题满分12分)
某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示,椐统计,随机变量ξ的概率分布如下:
(Ⅰ)求a 的值和ξ的数学期望;
(Ⅱ)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费
者投诉2次的概率。
19题,解(1)由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1,解答a=0.2
ξ∴的概率分布为
0*0.11*0.32*0.43*0.2 1.7E ξ∴=+++=
(2)设事件A 表示“两个月内共被投诉2次”事件1A 表示“两个月内有一个月被投诉2次,另外一个月被投诉0次”;事件2A 表示“两个月内每月均被投诉12次” 则由事件的独立性得
11222212()(0)2*0.4*0.10.08
()[(1)]0.30.09
()()()0.080.090.17
P A C P P A P P A P A P A ξξ========∴=+=+=
故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17 20.(本小题满分12分)
已知函数1()ln(1),01x
f x ax x x
-=++
≥+,其中0a > ()I 若()f x 在x=1处取得极值,求a 的值; ()II 求()f x 的单调区间;
(Ⅲ)若()f x 的最小值为1,求a 的取值范围。
20. 解(Ⅰ)222
22
'(),1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-=-=++++
∵()f x 在x=1处取得极值,∴2'(1)0,120,f a a =+-= 即解得 1.a =
(Ⅱ)22
2'(),(1)(1)ax a f x ax x +-=++
∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +>
①当2a ≥时,在区间(0,)'()0,f x +∞>上,∴()f x 的单调增区间为(0,).+∞ ②当02a <<时,
由'()0'()0f x x f x x >>
<<解得由解得
∴()f x +∞的单调减区间为(0). (Ⅲ)当2a ≥时,由(Ⅱ)①知,()(0)1;f x f =的最小值为
当02a <<时,由(Ⅱ)②知,()f x 在x =
处取得最小值(0)1,f f <= 综上可知,若()f x 得最小值为1,则a 的取值范围是[2,).+∞
21.(本小题满分12分)
已知双曲线C 的方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>,离心率2
e =
(I )求双曲线C 的方程; (II)如图,P 是双曲线C 上一点,A ,B 两点在双曲线C 的两条渐
近线上,且分别位于第一、二象限,若1
,[,2]3
AP PB λλ=∈ ,
求AOB ?面积的取值范围。
21.(本小题满分14分)
已知双曲线C 的方程为22
221(0,0),y x a b a b
-=>>
离心率e =
(Ⅰ)求双曲线C 的方程;
(Ⅱ)如图,P 是双曲线C 上一点,A,B 两点在双曲线C 的两条渐近线上,且分别位于第一,
二象限.若1
,[,2],3
AP PB λλ=∈ 求△AOB 面积的取值范围.
解答一(Ⅰ)由题意知,双曲线C 的顶点(,)O a
到渐近线0ax by -=的距离为
5
ab c =
=即
由2222ab c
c
a
c a b ?=????=???=+???
得2,
1,a b c ?=?=??=?
∴双曲线C 的方程为2
2 1.4
y x -= (Ⅱ)由(Ⅰ)知双曲线C 的两条渐近线方程为2.y x =±
设(,2),(,2),0,0.A m m B n n m n ->>
由AP PB λ= 得P 点的坐标为2()
(
,),11m n m n λλλλ
-+++ 将P 点坐标代入22
1,4y x -=化简得2(1).4n mn λλ
+= 设∠AOB 114
2,tan()2,tan ,sin ,sin 2.2225
π
θθθθθ=-=∴=== 又
4||||111
||||sin 22() 1.22AOB
OA OB S OA OB mn θλλ
-
+
==∴===++
记111()()1,[,2],23
S λλλλ=++∈ 由89
'()01,),(2),34
S S λλ====1得又S(1)=2,S(3
当1λ=时,△AOB 的面积取得最小值2,当13λ=时,△AOB 的面积取得最大值8
3.
∴△AOB
面积的取值范围是8
[2,].3
解答二(Ⅰ)同解答一
(Ⅱ)设直线AB 的方程为,y kx m =+由题意知||2,0.k m <>
由
{
2y kx m
y x
=+= 得A 点的坐标为2(,),22m
m k k
-- 由
{2y kx m y x =+=- 得B 点的坐标为2(
,).22m m
k k
-++ 由AP PB λ= 得P 点的坐标为121(
(),()),122122m m k k k k
λλ
λλ-++-++-+ 将P 点坐标代入2222
24(1)1.44y m x k λλ
+-==-得 设Q 为直线AB 与y 轴的交点,则Q 点的坐标为(0,m ).
111|||||||8|()222
AOB AOQ BOQ S S S OQ XA OQ x m xA xB ===
+=- =22
11411()() 1.222242m m m m k k k λλ
+==++-+- 以下同解答一.
22.(本小题满分12分)
已知数列{}n x 满足, *1111
,21n n
x x n N x ∈++’=
=. ()I 猜想数列{}n x 的单调性,并证明你的结论;
(Ⅱ)证明:1
112
|()
65
n n n x x -+-|≤。
22题 证(1)由1n+1244n 112513
213821
x x x x x x =
==+==
+及得, 由246x x x >>猜想:数列{}2n x 是递减数列 下面用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,已证命题成立 (2)假设当n=k 时命题成立,即222k k x x +> 易知20k x >,那么232122242123212311
11(1)(1)
k k k k k k k k x x x x x x x x ++++++++--=
-=
++++ =
222
22122230(1)(1)(1)(1)
k k k k k k x x x x x x ++++->++++
即2(1)2(1)2k k x x +++>
也就是说,当n=k+1时命题也成立,结合(1)和(2)知,命题成立 (2)当n=1时,1211
6
n n x x x x +-=-=
,结论成立 当2n ≥时,易知11111
01,12,12
n n n n x x x x ---<<∴+<=
>+
111115
(1)(1)(1)(1)212
n n n n n x x x x x ----∴++=+
+=+≥+
111111
11(1)(1)
n n n n n n n n x x x x x x x x -+---∴-=-=
++++
2n -1
11221
n -12225551265n n n n x x x x x x ---≤
-≤-≤≤-= ()()()