第二十九课时矩形、菱形、正方形
一、复习目标
1. 掌握菱形、矩形、正方形的概念,了解它们之间的关系.
2. 掌握菱形、矩形、正方形、的有关性质和常用的判别方法.
3. 进一步掌握综合法的证明方法,能够证明与矩形、菱形以及正方形等有关的性质定理及判定定理,并能够证明其他相关的结论.
4. 体会在证明过程中,所运用的归纳、转化等数学思想方法
二、教学重点与难点
(一)教学重点:菱形、矩形、正方形的概念及其性质
(二)教学难点:数学思想方法的体会及其运用。
三、复习过程
(一)知识梳理
1.性质:
(1)矩形:①矩形的四个角都是直角.②矩形的对角线相等.③矩形具有平行四边形的所有性质.④对称性:矩形是轴对称图形也是中心对称图形.
(2)菱形:①菱形的四条边都相等.②菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.③具有平行四边形所有性质.④对称性:菱形是轴对称图形也是中心对称图形.(3)正方形:①正方形的四个角都是直角,四条边都相等.②正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.③正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.④对称性:正方形是轴对称图形也是中心对称图形.
2.判定:
(1)矩形:①有一个角是直角的平行四边形是矩形.②对角线相等的平行四边形是矩形.③有三个角是直角的四边形是矩形.
(2)菱形:①对角线互相垂直的平行四边形是菱形.②一组邻边相等的平行四边形是菱形.③四条边都相等的四边形是菱形.
(3)正方形:①先判定一个四边形是矩形,再判定出有一组邻边相等;②先判定一个四边形是菱形,再判定出有一个角是直角.
3.面积计算:
(1)矩形:S=长×宽;
(2)菱形:121
2
S l l =
?(12l l 、是对角线) (3)正方形:S=边长2
(二)经典例题:
例1、(2012贵州六盘水,22,12分)如图,已知E 是ABCD 中BC 边的中点,连接AE 并延长AE 交DG 的延长线于点F. (1)求证:△ABE ≌△FCE.
(2)连接AC 、BF ,若∠AEC=2∠ABC ,求证:四边形ABFC 为矩形. 分析: (1)由ABCD 为平行四边形,根据平行四边形的对边平行得到AB 与DC 平行,根据两直线平行内错角相等得到一对角相等,
由E 为BC 的中点,得到两条线段相等,再由对应角相等,利用ASA 可得出三角形ABE 与三角形FCE 全等;
(2)由△ABE 与△FCE 全等,根据全等三角形的对应边相等得到AB=CF ;再由AB 与CF 平行,根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ABFC 为平行四边形,根据平行四边形的对角线互相平分得到AE=EF ,BE=EC ;再由∠AEC 为三角形ABE 的外角,利用外角的性质得到∠AEB 等于∠ABE+∠EAB,再由∠AEC=2∠ABC,得到∠ABE=∠EAB,利用等角对等边可得出AE=BE ,可得出AF=BC ,利用对角线相等的平行四边形为矩形可得出ABFC 为矩形. 解:证明:(1)∵四边形ABCD 为平行四边形, ∴AB∥DC, ∴∠ABE=∠ECF, 又∵E 为BC 的中点, ∴BE=CE,
在△ABE 和△FCE 中,
∵ABE ECF BE CE AEB FEC ∠=∠??
=??∠=∠?
, ∴△ABE≌△FCE(ASA ); (2)∵△ABE≌△FCE, ∴AB=CF,又AB∥CF, ∴四边形ABFC 为平行四边形, ∴BE=EC,AE=EF ,
又∵∠AEC=2∠ABC,且∠AEC为△ABE的外角,
∴∠AEC=∠ABC+∠EAB,
∴∠ABC=∠EAB,
∴AE=BE,
∴AE+EF=BE+EC,即AF=BC,
则四边形ABFC为矩形.
点评:此题考查了矩形的判定,平行四边形的性质,三角形的外角性质,等腰三角形的判定与性质,以及全等三角形的判定与性质,熟练掌握判定与性质是解本题的关键.
例2、如图所示,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点且∠AEF=90°,EF交正方形外
角平分线CF于点F,取边AB的中点G,连接EG.G
D
F
C
E
B
A
(1)求证:EG=CF;
(2)将△ECF绕点E逆时针旋转90°,请在图中直接画出旋转后的图形,并指出旋转后CF 与EG的位置关系.
【分析】(1)G、E分别为AB、BC的中点,由正方形的性质可知AG=EC,△BEG为等腰直角三角形,则∠AGE=180°﹣45°=135°,而∠ECF=90°+45°=135°,得∠AGE=∠ECF,再利用互余关系,得∠GAE=90°﹣∠AEB=∠CEF,可证△AGE≌△ECF,从而得出结论。
(2)旋转后,∠C′AE=∠CFE=∠GEA,根据内错角相等,两直线
平行,可判断旋转后CF与EG平行。
解:(1)证明:∵正方形ABCD,点G,E为边AB、BC中点,
∴AG=EC,即△BEG为等腰直角三角形。∴∠AGE=180°﹣
45°=135°。
又∵CF为正方形外角平分线,∴∠ECF=90°+45°=135°。∴∠
AGE=∠ECF。
∵∠AEF=90°,∴∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF。
∴△AGE≌△ECF(ASA)。
∴EG=CF 。
(2)画图如图所示:旋转后CF 与EG 平行。
例3、如图,已知平行四边形ABCD 中,对角线AC BD ,交于点O ,E 是BD 延长线上的点,且ACE △是等边三角形. (1)求证:四边形ABCD 是菱形;
(2)若2AED EAD ∠=∠,求证:四边形ABCD 是正方形. 证明:(1) 四边形ABCD 是平行四边形,AO CO ∴=. 又ACE △是等边三角形,EO AC ∴⊥,即DB AC ⊥.
∴平行四边形ABCD 是菱形;
(2)ACE △是等边三角形,60AEC ∴∠=
.
EO AC ⊥ ,1
302
AEO AEC ∴∠=
∠= . 2AED EAD ∠=∠ ,15EAD ∴∠= .45ADO EAD AED ∴∠=∠+∠= .
四边形ABCD 是菱形,290ADC ADO ∴∠=∠= ∴四边形ABCD 是正方形.
例4、(2012呼和浩特,20,7分)(7分)如图,四边形ABCD 是正方形,点G 是BC 边上任意一点,DE ⊥AG 于E ,BF ∥DE ,交AG 于F 。 (1)求证:AF –BF =EF ;
(2)将△ABF 绕点A 逆时针旋转,使得AB 与AD 重合,记此时点F 的对应点为点F ’。若正方形边长为3,求点F ’与旋转前的图中点E 之间的距离。
【分析】(1)利用正方形的性质证明△AED ≌△BFA (AAS ),得到对应边相等,即BF =AE ,AF =ED ,等量代换AF –BF =AF –AE =EF 。
(2)根据(1)中△AED ≌△BFA ,可得对应角相等,即∠2=∠F ’AD ,∠ABF =∠ADF ’=∠3,即易得∠F ’AE =∠EDF ’=90°,又因为AE #⊥ED ,所以四边形AEDF ’为矩形,EF ’=AD =3. 解:(1)证明: ∵正方形ABCD ∴AB =AD ,∠2+∠3=90° ∵DE ⊥AG
∴∠AED =90°
E
B A
∴∠1+∠3=90° ∴∠1=∠2 又∵BF ∥DE ∴∠AFB =∠AED =90°
在△AED 和△BFA 中
12AED BFA AD AB ∠=∠??
∠=∠??=?
∴△AED ≌△BFA ∴BF =AE ∵AF –AE =EF
∴AF –BF =EF
(2)如图,根据题意可知:∠FAF ’=90°,DE =AF ’=AF ∴可判断四边形AEDF ’为矩形
∴EF ’=AD =3
【点评】本题考查了利用正方形的性质证明全等三角形的判定和性质,全等之后的对应线段相等;第(2)问中利用(1)中全等三角形的结论来证明矩形,并考查了矩形的性质。 例5、如图,在平面直角坐标系中,已知四边形ABCD 为菱形,且A (0,3),B (-4,0). (1)求经过点C 的反比例函数解析式;
(2)设P 是(1)中所求函数图象上的一点,以P 、O 、A 为顶点的三角形的面积与△COD 的面积相等,求点P 的坐标。
【分析】(1)根据菱形的性质可得菱形的边长,进而可得点C 的坐标,代入反比例函数解析式可得所求的解析式;
(2)设出点P 的坐标,易得△COD 的面积,利用点P 的横坐标表示出△PAO 的面积,那么可得点P 的横坐标,就求得了点P 的坐标. 解:(1)由题意知,OA=3,OB=4 在Rt △AOB 中,AB=2
2
43+=5 ∵四边形ABCD 为菱形, ∴AD=BC=AB=5,
F'
A G
∴C (-4,-5)
设经过点C 的反比例函数的解析式y=x
k
,∴54-=-k ,k=20 ∴所求反比例函数解析式为y=
x
20
(2)设P (x ,y ) ∵AD=AB=5,OA=3 ∴OD=2,∴S =4422
1
=?? 即
4x 2
1
=??OA , ∴38x =,x=38±
当x=38时,y=215;
当x=-38时,y=-215;
∴P (38,215)或(-38,-2
15)
【点评】综合考查反比例函数及菱形的性质;注意根据菱形的性质得到点C 的坐标;点P 的横坐标的两种情况.
例6、(2009南平)如图12,已知抛物线:x x y 22
12
1+-= (1)求抛物线1y 的顶点坐标.
(2)将1y 向右平移2个单位,再向上平移1个单位,得到抛物线2y ,求2y 的解析式. (3)抛物线2y 的顶点为P ,x 轴上有一动点M ,在1y 、2y 这两条抛物线上是否存在点N ,使O 、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形?
00
图12 图13 解:(1)1y 的顶点坐标是(2,2)
(2)2y =542
12
-+-
x x (3)假设x 轴上动点M 坐标为(),0m .有已知条件易得P ()4,3
下面探究以O 、P 、M 三点为顶点(OP 为边)的平行四边形第四个顶点N 的坐标. 如图13,因为P 为抛物线1y 、2y 的最高点,若以PM 为对角线,有PN ∥OM ,则点N 不可能在抛物线1y 或2y 上,故不可能存在满足条件的点;若以OM 为对角线,用平移坐标法看出点N 坐标为()4,3m --.
若点N 在抛物线1y 上,可得:42m -=42m -=
若点N 在抛物线2y 上,可得:44m -=-44m -=+ ∴存在满足条件的N 点有四个:
1(23)N -、2(23)N 、3(43)N +-、4(43)N --.
点评:①本题中N 点可以在抛物线1y 上,也可以在抛物线2y 上,运动的范围较大,学生难以探索,用平移坐标法不必分析复杂的图形,降低了分析的难度,体现了平移坐标法强大的解题功效. ②本题中因确定了以OP 为一边,所以只有两种情况需要探究. 三、作业:
1、《考试指南》P90-91
2、《新中考》P59-62
1.矩形ABCD对角线是10cm,那么矩形的周长最大是_______,此时两条对角线分成的四个小三角形的周长的和是 2.如图矩形ABCD中,AE⊥BD于E,∠BAE=30°,BE=1cm,那么DE的长为_ 3、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm,则它的面积为___ 4.如图,△ABC中,∠ACB=90度,点D、E分别为AC、AB的中点,点F在BC 延长线上,且∠CDF=∠A,求证:四边形DECF是平行四边形; 5.已知:如图,在△ABC中,∠BAC≠90°∠ABC=2∠C,AD⊥AC,交BC或CB的延长线D。试说明:DC=2AB. 6、在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD=BD,PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F。求证:DE=DF 7、如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M、N 分别是边AB、BC的中点,则PM+PN的最小值是_______. 8.若菱形的周长为24 cm,一个内角为60°,则菱形的面积为__。 9、菱形的周长为40cm,两条对角线长的比是3:4。求两对角线长分别是。 10、已知如图,菱形ABCD中,E是AB的中点,且DE⊥AB,AE=2。 求(1)∠ABC的度数;(2)对角线AC、BD的长;(3)菱形ABCD的面积。 11、已知:如图,AD平分∠BAC,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.求证:四边形AEDF是菱形; 12、如图,边长为a的菱形ABCD中,∠DAB=60度,E是异于A、D两点的动点,F是CD 上的动点,满足AE+CF=a。证明:不论E、F怎样移动,△BEF总是正三角形。 13、如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,DE垂直平分BC,垂足为D,交AB于E,又点F在DE的延长线上,且AF=CE,求证:四边形ACEF是菱形。
/ 平行四边形、矩形、菱形、正方形 1.已知:如图,在?ABCD中,点E、F是对角线AC上的两点,且AE=CF.求证:BF∥DE. 2.如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,EF过点O且与BC、AD分别交于点E、F.试猜想线段AE、CF的关系,并说明理由. ` 3.如图,四边形ABCD是平行四边形,E、F分别是BC、AD上的点,∠1=∠2.求证:AF=CE. "4.已知:如图,在平行四边形ABCD中,点M在边AD上,且AM=DM.CM、BA的延长线相交于点E.求证: (1)AE=AB; (2)如果BM平分∠ABC,求证:BM⊥CE. / 5.如图,在?ABCD中,点E、F在BD上,且BE=AB,DF=CD. 求证:四边形AECF是平行四边形. ,
6.在?ABCD中,E,F分别是AB,DC上的点,且AE=CF,连接DE,BF,AF.(1)求证:四边形DEBF是平行四边形; (2)若AF平分∠DAB,AE=3,DE=4,BE=5,求AF的长. } 7.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于点E,点E是BD的中点,延长CD到点F,使DF=CD,连接AF, (1)求证:AE=CE; (2)求证:四边形ABDF是平行四边形; ; (3)若AB=2,AF=4,∠F=30°, 则四边形ABCF 的面积为.8.如图,在?ABCD中,E,F分别是AC上两点,BE⊥AC于E,DF⊥AC于F.求证:四边形BEDF 为平行四边形. ~ 9.已知:如图,点E、F在线段BD上,AB=CD,∠B=∠D,BF=DE. 求证:(1)AE=CF;(2)AF∥CE. ~
第19章 矩形、菱形与正方形测试题 一、选择题(每小题3分,共30分) 1、关于四边形ABCD ①两组对边分别平行;②两组对边分别相等;③有一组对边平行且相等;④对角线AC 和BD 相等;以上四个条件中可以判定四边形ABCD 是平行四边形的有( )。 (A ) 1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个 2、若顺次连结四边形ABCD 各边中点所得四边形是矩形,则四边形ABCD 必定是( ) A 、菱形 B 、对角线相互垂直的四边形 C 、正方形 D 、对角线相等的四边形 3、如图1,大正方形中有2个小正方形,如果它们的面积分别是S 1、S 2,那么S 1、S 2的大小关系是( ) A.S 1 > S 2 B.S 1 = S 2 C.S 1矩形、菱形与正方形-专题训练
矩形、菱形与正方形专题训练(含答案) 班级________姓名________成绩________ 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°, 则矩形ABCD的面积是( ) A.12 B.24 C.12 3 D.163 第1题图第2题图第3题图第4题图 2.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A.14 B.15 C.16 D.17 3.如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使点C与点C′重合.若AB=2,则C′D的长为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图,在△ABC中,AC=BC,点D,E分别是边AB,AC的中点.将△ADE绕点E旋转180°得△CFE, 则四边形ADCF一定是( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形 5.由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线,以各垂足为顶点的四边形是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 6.如图,?ABCD的周长为16 cm,AC,BD相交于点O,OE⊥AC交AD于点E,则△DCE的周长为( ) A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm 第6题图第9题图第10题图 7.菱形的周长为8 cm,高为1 cm,则菱形两邻角度数比为( ) A.3∶1 B.4∶1 C.5∶1 D.6∶1 8.用两块完全相同的直角三角形拼下列图形:①平行四边形,②矩形,③菱形,④正方形,⑤等 腰三角形,⑥等边三角形,一定能拼成的图形是( ) A.①④⑤ B.②⑤⑥ C.①②③ D.①②⑤ 9.如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+ S2的值为( ) A.16 B.17 C.18 D.19 10.如图,F为正方形ABCD的边AD上一点,CE⊥CF交AB的延长线于点E,若正方形ABCD的面积 为64,△CEF的面积为50,则△CBE的面积为( )
华师大版八年级下册第19章矩形菱形正方形单元复习题 一、选择题(4分×12=48分) 1、下列图形中,是中心对称但不一定是轴对称图形的是(D) A.等边三角形B.矩形C.菱形D.平行四边形 2、下列命题正确的是(D) A.一组对边相等,另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 B.对角线相等的四边形一定是矩形 C.两条对角线互相垂直的四边形一定是正方形 D.两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 3、矩形,菱形,正方形都具有的性质是(C) A.每一条对角线平分一组对角B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 4、如图,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是(D) A.当AB=BC时,它是菱形B.当AC⊥BD时,它是菱形 C.当∠ABC=90°时,它是矩形D.当AC=BD时,它是正方形 5、如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2cm,E、F分别是BC、CD的中点,连接AE、EF、AF,则△AEF的周长为(B) A.2cm B.3cm C.4cm D.3cm 6、菱形的周长为8cm,高为1cm,则该菱形两邻角度数比为(C) A.3:1 B.4:1 C.5:1 D.6:1
7、如图,已知矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于E,AD=8, AB=4,则DE的长为(C) A.3 B.4 C.5 D.6 8、平行四边形ABCD中,AB≠BC,其四个内角的角平分线所围成的四边形一定是(D)A.有一个角为30°的平行四边形 B.有一个角为45°的平行四边形 C.有一个角为60°的平行四边形 D.矩形 9、(2015辽宁省朝阳)如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=7,点E为BC上一动点,把△ABE 沿AE折叠,当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时, 则点B′到BC的距离为(A) A.1或2 B. 2或3C. 3或4D. 4或5 10、如图,在菱形ABCD中,M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为(C) A.28°B.52°C.62°D.72°
(第10 F A B C D H E ① ② ③ ④ ⑤ 矩形、菱形与正方形 练习题 一、选择题 1.如图,①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH (不重叠无缝隙).若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2 ,四边形ABCD 面积是11cm 2 ,则①②③④四个平行四边形周长的总和为( ) (A )48cm (B )36cm (C )24cm (D )18cm 2.图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形,菱形边长为等边三角形边长的一半,以此为基本单位,可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形(如图2),依此规律继续拼下去(如图3),……,则第n 个图形的周长是 (A )2n (B )4n (C )12n +(D )22n + 3.如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S 1,S 2,则S 1+S 2的值为 A.17 B.17 C.18 D.19 4.如图,点O 是矩形ABCD 的中心,E 是AB 上的点,沿CE 折叠后,点B 恰好与点O 重合,若BC =3,则折痕CE 的长为 A.2 3 B. 33 2 C. 3 D.6 5.(2011浙江衢州,1,3新颜,如图为一农村民居侧面截图,屋坡AF AG 、分别架在墙体的点B 、点C 处,且AB AC =,侧面四边形BDEC 为矩形,若测得 100FAG ∠=?,则FBD ∠=( ) A. 35° B. 40° C. 55° D. 70° 6.如图,在矩形ABCD 中,对角线AC ,BD 交于点O .已知∠AOB = 60°,AC =16,则图中长度为8的线段有( ) A .2条 B .4条 C .5 条 D .6条 图1 图2 图3 ……
已知:在矩形ABCD 中,AE ⊥BD 于E , ∠DAE=3∠BAE ,求:∠EAC 的度数。 已知:直角梯形ABCD 中,BC=CD=a 且∠BCD=60?,E 、F 分别为梯形的腰AB 、 DC 的中点,求:EF 的长。 已知:在等腰梯形ABCD 中,AB ∥DC , AD=BC ,E 、F 分别为AD 、BC 的中点,BD 平分∠ABC 交EF 于G ,EG=18,GF=10 求:等腰梯形ABCD 的周长。 如图所示,矩形ABCD 中,M 是BC 的中点,且MA ⊥MD ,若 _ E _ F _ A _ B _ D _ C _ G _ A _ B _ D _ C _ E _ F
矩形的周长为36cm ,求此矩形的面积。 已知:梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AC ⊥CB , AC 平分∠A ,又∠B=60?,梯形的周长是 20cm, 求:AB 的长。 已知:如图,平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ,F ,G ,H ,求证:四边形EFGH 是矩形。 _ A _ B _ D _ C
如图,在矩形ABCD 中,E 是AD 上一点,F 是AB 上一点,EF CE =,且 ,2EF CE DE cm ⊥=,矩形ABCD 的周长为16cm ,求AE 与CF 的长. 已知,在矩形ABCD 中,AE ⊥BD ,E 是垂足, ∠DAE ∶∠EAB=2∶1,求∠CAE 的度数。 如图所示,已知菱形ABCD 中,E 、F 分别在BC 和CD 上,且∠B=∠EAF=60°,∠BAE=15°,求∠CEF 的度数。 如图,在△ABC 中,AB=BC ,D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 上的中点,(1)求证四边形BDEF 是菱形。(2)若AB=12cm ,求菱形BDEF 的周长? A B D C E O
矩形、菱形、正方形(解答题) 1.如图,在平行四边形ABCD中,BC=2AB=4,点E、F分别是BC、AD的中点.(1)求证:△ABE≌△CDF; (2)当四边形AECF为菱形时,求出该菱形的面积. 2.如图,四边形ABCD是菱形,CE⊥AB交AB的延长线于点E,CF⊥AD交AD 的延长线于点F,求证:DF=BE. 3.如图,将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开,得到△ACD,再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置,若平移开始后点D′未到达点B时,A′C′交CD于E,D′C′交CB于点F,连接EF,当四边形EDD′F为菱形时,试探究△A′DE的形状,并判断△A′DE与△EFC′是否全等?请说明理由. 4.已知:如图,在菱形ABCD中,点E、F分别为边CD、AD的中点,连接AE,CF,求证:△ADE≌△CDF. 5.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点D作对角线BD的
垂线交BA的延长线于点E. (1)证明:四边形ACDE是平行四边形; (2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长. 6.如图,把△EFP放置在菱形ABCD中,使得顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上,已知EP=FP=6,EF=6,∠BAD=60°,且AB>6. (1)求∠EPF的大小; (2)若AP=10,求AE+AF的值; (3)若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动,请直接写出AP长的最大值和最小值. 7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别为AC,AB的中点,BF∥CE交DE 的延长线于点F. (1)求证:四边形ECBF是平行四边形; (2)当∠A=30°时,求证:四边形ECBF是菱形. 8.如图,AE∥BF,AC平分∠BAE,且交BF于点C,BD平分∠ABF,且交AE于点D,AC与BD相交于点O,连接CD (1)求∠AOD的度数; (2)求证:四边形ABCD是菱形.
矩形的习题精选 性质 1、下列性中,矩形具有而质平行四边形不一定具有的是() A、对边相等 B、对角相等 C、对角线相等 D、对边 平行 2. 在矩形ABCD 中,/ AOD=130 °,则/ ACB=_ _ 3?已知矩形的一条对角线长是8cm,两条对角线的一个交角为60 °,则矩 形的周长为_______ 4?矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形的周长 的和是86cm,对角线是13cm,那么矩形的周长是 _______________ 5?如图所示,矩形ABCD中,AE丄BD于E,/ BAE=30 BE=1cm,那么DE的长为_______ 6、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm, 则它的面积为7、已知,在Rt△ ABC中,BD为斜边AC上的中线,若/ A=35 °,那么 / DBC= &如图,矩形ABCD中,AC与BD交于O点,BE丄AC于E, CF丄BD 于F. 求证:BE=CF.
9?如图,△ ABC 中,/ ACB=90度,点D 、E 分别为AC 、AB 的中点,点 F 在BC 延长线上,且/ CDF= / A ,求证:四边形DECF 是平行四边形; F c B 10. 已知:如图,在△ ABC 中,/ BAC 工90° / ABC=2 / C , AD 丄 AC ,交 11、在厶 ABC 中,/ C=90O , AC=BC , AD=BD , PE 丄 AC 于点 E , PF 、判定 1、下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是( C ) C .用曲尺测量门框的三个角, 是否都是直角 是否互相垂直 2、平行四边形 ABCD , E 是CD 的中点,△ ABE 是等边三角形,求证: 四边形ABCD 是矩形 BC 或CB 的延长线 D 。试说明:DC=2AB. 丄BC 于点F 。求证:DE=DF A .测量两条对角线,是否相等 是否互相平分 B .测量两条对角线, D .用曲尺测量对角线, A
矩形的习题精选 一、性质 1、下列性质中,矩形具有而平行四边形不一定具有的是( C ) A 、对边相等 B 、对角相等 C 、对角线相等 D 、对边平行 2.在矩形ABCD 中,∠AOD=130°,则∠ACB=_25度_ _ 3.已知矩形的一条对角线长是8cm ,两条对角线的一个交角为60°,则矩形的周长为__14cm____ 4.矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形的周长的和是86cm , 对角线是13cm ,那么矩形的周长是_____60cm_______ 5.如图所示,矩形ABCD 中,AE ⊥BD 于E ,∠BAE=30°,BE=1cm ,那么DE 的长为_3cm____ 6、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm 和6cm ,则它的面积为15cm___ 7、已知,在Rt △ABC 中,BD 为斜边AC 上的中线,若∠A=35°,那么∠DBC= 35度 。 8、如图,矩形ABCD 中,AC 与BD 交于O 点,BE ⊥AC 于E ,CF ⊥BD 于F. 求证:BE=CF.
9.如图,△ABC中,∠ACB=90度,点D、E分别为AC、AB的中点,点F在BC延长线上,且∠CDF=∠A,求证:四边形DECF 是平行四边形; 10.已知:如图,在△ABC中,∠BAC≠90°∠ABC=2∠C,AD⊥AC,交BC或CB的延长线D。试说明:DC=2AB. 11、在△ABC中,∠C=90O,AC=BC,AD=BD,PE⊥AC于点E,PF ⊥BC于点F。求证:DE=DF 二、判定 1、下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是(C ) A.测量两条对角线,是否相等B.测量两条对角线,是否互相平分 C.用曲尺测量门框的三个角,是否都是直角D.用曲尺测量对角线,是否互相垂直 2、平行四边形ABCD,E是CD的中点,△ABE是等边三角形,求证: