高一数学平面向量知识点及典型例题解析
高一数学 第八章 平面向量
第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念
①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a
；坐标表示法),(y x j y i x a 。
向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a
|。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.
②零向量：长度为0的向量，记为0
，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区
别） ③单位向量｜
a
｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b
⑤相等向量记为b a
。大小相等，方向相同)
,(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算
（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.
如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB u u u r
a ，BC u u u r
b ，则向量AC 叫做a 与b
的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r
特殊情况：
a
b
a
b a+b
b
a
a+b
(1)
平行四边形法则三角形法则C
B
D
C
B
A
A
a
b
b
b
a A
A
B
C C
)
2()
3(
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
L ，但这时必须“首尾相连”。
②向量减法： 同一个图中画出a b a b r r r r
、
要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点. （3）实数与向量的积
3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a
共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。
二．【典例解析】
题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确
(1)零向量没有方向 (2)b
a b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a ，c b ，则c a ； (7)若b a //，c b //，则c a // (8) b a 的充要条件是||||b a 且b a //；
(9) 若四边形ABCD 是平行四边形,则DA BC CD B ,A
练习. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD 中，“AB →＝2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的 A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律 例2 化简)()(BD AC CD AB =
练习1.下列命题中正确的是
A ．OA O
B AB u u u r u u u r u u u r B ．0AB BA u u u r u u u r
C ．00AB r u u u r r
D ．AB BC CD AD u u u r u u u r u u u r u u u r
2.化简AC u u u r BD u u u r CD u u u r AB u u u r
得
A ．A
B u u u r
B ．DA
C ．BC
D ．0r
3．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则
( )
A.AD →＋BE →＋CF →＝0
B.BD →－CF →＋DF →＝0
C.AD →＋CE →－CF →＝0
D.BD →－BE →－FC →＝0
题型三: 结合图型考查向量加、减法
例3在ABC 所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB u u u r u u u r u u u r u u u r
，则PBC 与ABC 的面
积之比是( )
A ．13
B ．12
C ．23
D ．34
例4重心、垂心、外心性质
练习: 1．如图，在ΔABC 中，D 、E 为边AB 的两个三等分点，CA →
=3a ，CB → =2b ，求CD → ，CE → ． 2已知
a b a b
r r r r =求证a b r r
3若O 为ABC 的内心，且满足()(2)0OB OC OB OC OA u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，则ABC 的形状为
（ ）
A.等腰三角形
B.正三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
4．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →
＝( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →
C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB → 5．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →－3OB →＋2OC →
＝0，则|AB →||BC →|等于________．
6．已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →
，则( )
A ．点P 在△ABC 外部
B ．点P 在线段AB 上
C ．点P 在线段BC 上
D ．点P 在线段AC 上
A
B
C
D E
7．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →
，则λ等于( ) A.23 B.13 C ．－13 D ．－23 题型四: 三点共线问题
例 4 设21,e e 是不共线的向量,已知向量2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB ,若A,B,D 三点共线,求k 的值
例5已知A 、B 、C 、P 为平面内四点， A 、B 、C 三点在一条直线上 PC → =mPA → +nPB →
，求证： m+n=1．
练习：1．已知：2121212CD ,B C
),(3e e e e e e AB ，则下列关系一定成立的是（ ）
A 、A ，
B ，
C 三点共线 B 、A ，B ，
D 三点共线 C 、C ，A ，D 三点共线 D 、B ，C ，D 三点共线
2．(原创题)设a ，b 是两个不共线的向量，若AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋b ，CD →
＝2a －b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于________．
第2讲 平面向量的基本定理与坐标表示 一．【要点精讲】
1．平面向量的基本定理
如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对
实数21, 使：
2211e e a 其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的_单
位向量_ i r 、j r 作为基底任作一个向量a r
，有且只有一对实数x 、y ，
B
C A
O
M D
使得a xi yj r …………○1，把),(y x 叫做向量a r 的（直角）坐标，记作(,)a x y r …………○2
其中x 叫做a r 在x 轴上的坐标，y 叫做a r
在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示与a r
相等的向量的坐标也为,(y x 特别地，(1,0)i r ，(0,1)j r ，0(0,0) r
特别提醒：设yj xi ，则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对
实数唯一表示
3．平面向量的坐标运算
（1）若
11(,)a x y r ，22(,)b x y r ，则a b r r =1212(,)x x y y ，a b r r
= 1212(,)x x y y （2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB u u u r
（3）若(,)a x y r 和实数 ，则
a r
(,)x y
4．向量平行的充要条件的坐标表示：设a
=(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) 其中b a
a ∥
b (b
)的充要条件是12210x y x y
二．【典例解析】
题型一. 利用一组基底表示平面内的任一向量
[例1] 在△OAB 中，21,41 ，AD 与BC 交于点M ，
设OA =a r ，OB =b r ，用a r ,b r
表示OM .
练习:1．若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( ) A ．1e 与—2e B ．31e 与22e C ．1e ＋2e 与1e —2e D ．1e 与21e 2．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →
，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.
题型二: 向量加、减、数乘的坐标运算 例 3 已知A （—2,4）、B （3,—1）、C （—3,—4）且
3 ,2 ,求点M 、N 的坐标及向量的坐标.
练习:1. (2008年高考辽宁卷)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →
＝2AD →
，则顶点D 的坐标为( )
A ．(2，72)
B ．(2，－1
2) C ．(3,2) D ．(1,3)
2．若M(3, -2) N(-5, -1) 且
12MP
u u u r MN , 求P 点的坐标；
3．若M(3, -2) N(-5, -1)，点P 在MN 的延长线上，且 12MP MN
u u u r u u u u r
,
求P 点的坐标；
4.(2009年广东卷文)已知平面向量a =,1x （） ，b =2
,x x （－）， 则向量 a b ( )
A 平行于x 轴
B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于y 轴
D.平行于第二、四象限的角平分线
5．在三角形ABC 中，已知A (2,3)，B (8，－4)，点G (2，－1)在中线AD 上，且AG →＝2GD →
， 则点C 的坐标是( )
A ．(－4,2)
B ．(－4，－2)
C ．(4，－2)
D ．(4,2)
6．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )
A ．(2,6)
B ．(－2,6)
C ．(2，－6)
D ．(－2，－6)
7．已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →
，则实数a 等于( ) A ．2 B ．1 C.45 D.5
3 题型三: 平行、共线问题
例4已知向量(1sin ,1) a ，1
(,1sin )
2 b ，若a ∥b ，则锐角 等于（ ）
A ．30
B ． 45
C ．60
D ．75
例5．（2009北京卷文）已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ， 如果//c d 那么
( )
A ．1k 且c 与d 同向
B ．1k 且c 与d 反向
C ．1k 且c 与d 同向
D ．1k 且c 与d 反向
练习：1．若向量a
=(-1,x)与b =(-x, 2)共线且方向相同，求x
2．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及AB t OA OP ，
求(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限。
(2)四边形OABP 能否构成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由。
3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( ) A ．－1 B ．－12 C.1
2 D ．1
4．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m
n 等于( ) A ．－12 B ．2 C.1
2 D ．－2
5．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →
＝(m ＋1，m －2)，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件是( )
A ．m ≠－2
B ．m ≠1
2 C ．m ≠1 D ．m ≠－1
6．已知点)6,2(),4,4(),0,4(C B A ,试用向量方法求直线AC 和OB （O 为坐标原点）交点P 的坐标。
题型四：平面向量综合问题
例6． 已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b u r ， (sin ,sin )n B A r
，
(2,2)p b a u r
.
（1） 若m u r //n r
，求证：ΔABC 为等腰三角形；
（2） 若m u r ⊥p u
r ，边长c = 2，角C = 3 ，求ΔABC 的面积 .
练习已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C 、D 的坐标和CD →
的坐标．
第三讲 平面向量的数量积及应用 一．【要点精讲】
（1）两个非零向量的夹角
已知非零向量a 与a ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠A ＯA ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b 的夹角； 说明：两向量的夹角必须是同起点的，范围0 ≤ ≤180 。
（2）数量积的概念
非零向量a r 与b r ， a r ·b r =︱a r ︱·︱b r ︱cos 叫做a r 与b r
的数量积（或内积）。规定00a r r ；
向量的投影：︱b r ︱cos =||a b
a r r r
∈R ，称为向量b r 在a r 方向上的投影。投影的绝对值称为射影；
（3）数量积的几何意义： a r ·b r 等于a r
的长度与b r 在a r 方向上的投影的乘积.
C
注意：⑴只要a ⊥b 就有a ·b =0，而不必a =0或b =0．
⑵由a ·b =a ·c 及a ≠0却不能推出b =c ．得|a |·|b |cos θ
1=|
a |·|c |cos θ2及|a |≠0，只能得到|
b |cos θ1=|
c |cos θ2，即b 、
c 在a 方向上投影相等，而不能得出b =c (见图)．
⑶ (a ·b )c ≠a (b ·c )，向量的数量积是不满足结合律的．
⑷对于向量a 、b ，有|a ·b |≤|a |·|b |，等号当且仅当a ∥b 时成立． （4）向量数量积的性质
①向量的模与平方的关系：22
||a a a a r r r r 。
②乘法公式成立
2
222a b a b a b a b
r r r r r r r r ；
2222a b a a b b r r r r r r 222a a b b r r r r ； ③向量的夹角：cos =
cos ,a b a b a b ? ?r
r r r r
r =
22
2221212
121y
x y x y y x x 。
（5）两个向量的数量积的坐标运算
已知两个向量
1122(,),(,)a x y b x y r r ，则a r ·b r =1212x x y y 。 （6）垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r
。
两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b
＝O 02121 y y x x
（7）平面内两点间的距离公式设),(y x a ，则2
22||y x a 或22||y x a 。 2
21221)()(||y y x x a (平面内两点间的距离公式) .
二．【典例解析】
题型一：数量积的概念
例1．判断下列各命题正确与否：
（1）00a r ；（2）00a r r ； （3）若0,a a b a c r r r r r ，则b c r r ；
（4）若a b a c r r r r ，则b c r r 当且仅当0a r
r 时成立；
θθ1
2
b c
a
（5）()()a b c a b c r r r r r r 对任意,,a b c r r r
向量都成立；
题型二. 求数量积、求模、求夹角的简单应用 例2
23120o a b a b r r r r 已知，，与的夹角为，求
2212323a b a b a b a b r r r r r r r r （）；（）；（）（）（）；4a b r r （）
题型三：向量垂直、平行的判定
例3．已知向量)3,2( a ，)6,(x ，且b a //，则 x 。 例4．已知
4,3a r
，
1,2b r
，
,m a b r r r 2n a b r r r ，按下列条件求实数 的值。 （1）m n r r ；（2）//m n r r ；(3)m n
r r 。
例5．已知： 、、是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2） （1） 若||52 ，且//，求的坐标；
（2）若||=,
25且2 与b a 2垂直，求与的夹角 .
练习1 若非零向量 u r 、 u r 满足 u r u r u r u r ，证明: u r u r
2 在△ABC 中，=(2, 3)，AC =(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 值
3．已知向量)1
, 1( ，) , 2(n ，若 ||，则n （ ） A ．3 B ．1 C ．1 D ．3
4.12a b a b a a b r r r r r r r 已知，，且与垂直，求与的夹角。
5．知a b c ，，为ABC △的三个内角
A B C ，，的对边，向量
(31)(cos sin )A A ，，，m n ．若 m n ，且cos cos sin a B b A c C ，则角A B ，的
大小分别为（ ） A ．
ππ
63
， B ．
2ππ
36
， C ．
ππ36
， D ．
ππ33
，
题型四：向量的夹角
例6已知向量a =(cos ,sin ),b =(cos ,sin ),且a b ，求b a 与b a 的夹角
练习1已知两单位向量a r 与b r 的夹角为0
120，若2,3c a b d b a r r r r r r ，试求c r 与d r 的夹角。
2．| a |=1，| b |=2，c = a + b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为 （ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
3．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30°
4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝5
2，则a 与c 的夹角为( ) A ．30°或150° B ．60°或120° C ．120° D ．150°
5.过△ABC 的重心任作一直线分别交AB ，AC 于点D 、E ．若AD xAB u u u r u u u r ，AE y AC u u u
r u u u r ，0xy ，
则
11x y
的值为（ ）
（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1
解析：取△ABC 为正三角形易得
11x y
＝3．选B ．
4. 设向量a 与b
的夹角为 ，)3,3( a ，)1,1(2 a b ，则cos ．
5．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →
|2，则三角形ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形 .
6已知向量)2,(sin a 与)cos ,1( b 互相垂直，其中(0,)
2 ．
（1）求 sin 和 cos 的值；
（2）若
10sin()2
，求cos 的值．
题型五：求夹角范围
例7已知||2||0a b r r ,且关于x 的方程2
||0x a x a b r r r 有实根,则a r 与b r 的夹角的取值范
围是
A.[0,6 ]
B.[,]3
C.2[,]33
D.[,]
6
练习1．设非零向量a = x x 2,，b = 2,3x ，且a ，b 的夹角为钝角，求x 的取值范围 2．已知)2,(
a ，)2,3(
b ,如果 a 与
b 的夹角为锐角,则 的取值范围是
3．设两个向量1e 、2e ，满足2||1 e ，1||2 e ，1e 、2e 的夹角为60°，若向量21
72e e t 与向量21e t e
的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.
4．如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问与 的夹角 取何值时 的值最大？并求出这个最大值.
（以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立坐标系）
题型六：向量的模
例8．已知向量a r 与b r 的夹角为120o
，3,a a b r r r 则b r 等于（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．1
练习1平面向量a 与b 的夹角为0
60，a ＝(2,0), | b |＝1，则 | a ＋2b |等于
（ ）
C.4
D.12
2．已知平面上三个向量a 、b 、c
的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，
（1）求证：)(b a ⊥c
；（2）若
1|| c b a k )(R k ，求k 的取值范围.
3．平面向量,a b r r 中，已知(4,3),||1a b r r ，且5a b r r ，则向量b r ______.
4．已知||=||=2，与的夹角为600，则+在上的投影为 。
5．设向量,a b r r
满足
||||1,|32|3a b a b r r r r ，则|3|a b r r 。
6．已知向量,a b r r
的方向相同，且
||3,||7a b r r ，则|2|a b r r ___ ___。
A C
a
7、已知O ，N ，P 在ABC 所在平面内，且
,0
OA OB OC NA NB NC ，且
PA PB PB PC PC PA ? ? ?，则点O ，N ，P 依次是ABC 的
（ )
A.重心 外心 垂心
B.重心 外心 内心
C.外心 重心 垂心
D.外心 重心 内心
题型七：向量的综合应用
例9．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上一点P ，使AP →·BP →
有最小值，则P 点的坐标是________．
练习1．已知向量a 与向量b 的夹角为120°，若向量c ＝a ＋b ，且a ⊥c ，则|a |
|b |的值为( )
A.12
B.23
3 C ．2 D. 3
2．已知圆O 的半径为a ，A ，B 是其圆周上的两个三等分点，则OA →·AB →
＝( )
A.32a 2 B ．－32a 2 C.32a 2 D ．－3
2a 2
4．(原创题)三角形ABC 中AP 为BC 边上的中线，|AB →|＝3，AP →·BC →＝－2，则|AC →
|＝________.
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知m ＝(cos 3A 2，sin 3A 2)，n ＝(cos A 2，sin A 2)，且满足|m ＋n |＝ 3. (1)求角A 的大小；
6．在ABC 中，0 AC AB ，ABC 的面积是415
，若3|| AB ，5|| AC ，则
BAC ( )
()A 6 ()B 32
()C 43 ()D 65
7．已知O 为原点，点,A B 的坐标分别为)0,(a A ，),0(a B ，其中常数0 a ，点P 在线段AB 上，且有AB t AP )10( t ，则OP OA 的最大值为（ ）
()A a ()B a 2 ()C a 3 ()D 2a
8．已知向量
33(cos ,sin )22a x x r ， (cos ,sin )
22x x
b r 。 （1）当
]
2,0[ x ，求,||a b a b r r r r ； （2）若||2)(b a m b a x f ≥23
对一切实数x 都成立，求实数m 的取值范围。
9. 若正方形ABCD 边长为1，点P 在线段AC 上运动，则)( 的取值范围
是 ．[-2，41
]
10. 已知,a b 是两个互相垂直的单位向量, 且1 c a ,1 c b
,|| c 则对任意的正实数
t ,1
||t t c a b 的最小值是
.
各区期末试题
10. 在矩形ABCD
中，AB 1BC ，E 是CD 上一
点，且1AE AB u u u r u u u r
，则AE AC u u u r u u u r 的值为（ ）
D
19.如图，点P 是以AB 为直径的圆O 上动点，P 是点P 关于
AB 的对称点，2(0)AB a a .
（Ⅰ）当点P 是弧?
AB 上靠近B 的三等分点时，求AP AB u u u r u u u r
的
值；
（Ⅱ）求AP OP u u u r u u u r
的最大值和最小值.
（6）如图所示，点C 在线段BD 上，且3BC CD =，则AD =u u u r
（ ） （A ）32AC AB u u u r u u u r （B ）43AC AB u u u r u u u r
（C ）4133AC AB u u u r u u u r （D ）1233AC AB
u u u r u u u r
(16) 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,3)A ，(5,1)B ，(2,1)P ，点M 是直线OP 上的一个动点. （Ⅰ）求
PB PA
-u u u r u u u r 的值；
（Ⅱ）若四边形APBM 是平行四边形，求点M 的坐标；
（Ⅲ）求MA MB ×u u u r u u u r
的最小值.
3已知A 、B 、C 三点的坐标分别为
30A ，、
03B ，、
cos sin C ，，且
π
3π2
2 ，
.
⑵ 若
AC BC
u u u r u u u r ，求角 的值；
⑵ 若1AC BC u u u r u u u r
，求2
2sin sin 21tan 的值
.
A
B
2已知二次函数
f x 对任意x R ，都有
11f x f x 成立，设向量
1sin 22sin cos21122a x b x c x d
，，，，，，，，当 0πx ，时，求不等式
f a b f c d 的解集.
2.若点M 是ABC 所在平面内一点，且满足3143AM AB AC u u u u r u u u r u u u r
，则:ABM ABC
S S 等于
（ ）
A.12
B. 13
C. 1
4 D. 15
6.已知O 为一平面上的定点，A ，B ，C 为此平面上不共线的三点，若
(2)0BC OB OC OA u u u r u u u r u u u r u u u r
， 则ABC 的形状是 .
8.已知向量
3
(sin ,)
2x a ，(cos ,1)x b . （1）当a ∥b 时，求2
cos sin 2x x 的值；
（2）设
1
x ，
2
x 为函数
2
()()f x
a b b 的两个零点，求12x x 的最小值．
(5)如图，用向量e 1，e 2表示向量a -b 为 ( )
(A)-2e 2-4e 1 (B)-4e 2-2e 1 (C)e 2-3e 1 (D)-e 2+3e 1
(12)已知OM u u u u r =23OA u u u r +13OB uuu r ，设AM u u u u v
=λAB u u u r ，那么实数λ的值是____________．
(16)已知向量a =(1
)，b =(-2，0)．
(Ⅰ)求向量a -b 的坐标以及a -b 与a 的夹角；(Ⅱ)当t ∈[-1，1]时，求|a -t b |的取值范围．
平面向量经典例题讲解
平面向量经典例题讲解 讲课时间:___________姓名：___________课时：___________讲课教师：___________ 一、选择题（题型注释） 1． 空间四边形OABC 中，OA a =u u u r r ,OB b =u u u r r , OC c =u u u r r ,点M 在OA 上，且MA OM 2=，N 为BC 的 中点，则MN u u u u r =（ ） A C 【答案】B 【解析】 试 题 分 析 ： 因 为 N 为 BC 的中点，则 ， ，选 B 考点：向量加法、减法、数乘的几何意义； 2．已知平面向量a ，b 满足||1= a ，||2= b ，且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角是（ ） （A （B （C （D 【答案】D 【解析】 试题分析：2()()00a b a a b a a a b +⊥∴+?=∴+?=r r r r r r r r r Q ，||1=a ，||2=b ，设夹角为θ，则 考点：本题考查向量数量积的运算 点评：两向量垂直的充要条件是点乘积得0，用向量运算得到cos θ的值，求出角 3．若OA u u r 、 OB u u u r 、OC uuu r 三个单位向量两两之间夹角为60u u r 【答案】D 【解析】 试题分析 ：ΘOA u u r 、OB u u u r 、OC uuu r 三个单位向量两两之间夹角为 60° 6= r 考点:向量的数量积. 4．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F , 若AC a =u u u r r ，BD b =u u u r r ，则AF =u u u r ( ) A.1142a b +r r B.1233a b +r r C.1124a b +r r D.2133 a b +r r 【答案】D 【解析】 试题分析：由题意可知，AEB ?与FED ?相似，且相似比为3:1，所以由向量加减法 的平行四边形法则可知，,AB AD a AD AB b +=-=u u u r u u u r r u u u r u u u r r ，解得，故D 正确。 考点：平面向量的加减法 5．在边长为1的等边ABC ?中，,D E 分别在边BC 与AC 上，且BD DC =u u u r u u u r ，2 AE EC =u u u r u u u r 则AD BE ?=u u u r u u u r （ ） A ．【答案】A 【解析】 试题分析：由已知,D E 分别在边BC 与AC 上，且BD DC =u u u r u u u r ， 2AE EC =u u u r u u u r 则D 是BC 的中轴点，E 为AC 的三等分点，以D 为坐标原点，DA 所在直线为y 轴，BC 边所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系， ，设),(y x E ，由EC AE =2可得：
高一数学必修一综合测试题(含答案)
满分：120分 考试时间：90分钟 一、选择题（每题5分，共50分） 1、已知集合{}{}0,1,2,2,M N x x a a M ===∈，则集合 M N =（ ） A 、{}0 B 、{}0,1 C 、{}1,2 D 、{}0,2 2、若()lg f x x =，则()3f = （ ） A 、lg 3 B 、3 C 、3 10 D 、103 3、函数2 1 )(--= x x x f 的定义域为（ ） A 、[1，2)∪(2，+∞） B 、(1，+∞） C 、[1，2) D 、[1，+∞) 4．设 12 log 3a =，0.2 13b =?? ???，1 32c =，则（ ）. A a b c << B c b a << C c a b << D b a c << 5、若210 25x =，则10x -等于 （ ） A 、15- B 、15 C 、150 D 、 1 625 6．要使1 ()3 x g x t +=+的图象不经过第二象限，则t 的取值范围为 （ ） A. 1t ≤- B. 1t <- C.3t ≤- D. 3t ≥- 6、已知函数()2 13f x x x +=-+，那么()1f x -的表达式是 （ ） A 、259x x -+ B 、23x x -- C 、259x x +- D 、 21x x -+ 7、函数2,0 2,0 x x x y x -?????≥=< 的图像为（ ）
8．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( )． A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞) C ．(3，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) 9、若() 2 log 1log 20a a a a +<<，则a 的取值范围是 （ ） A 、01a << B 、1 12 a << C 、 102a << D 、1a > 10．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且当x ∈[1,0]-时()12x f x ?? = ??? ， 则2(log 8)f 等于 （ ） A ． 3 B ． 18 C ． 2- D ． 2 二、填空题（每题4分，共20分） 11．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 . 12．函数y ＝－(x －3)|x |的递减区间为________． 13 、在2 2 1,2,,y y x y x x y x ===+=四个函数中，幂函数有 个. 14、已知 ()()2 212f x x a x =+-+在(],4-∞上单调递减，则a 的取值的集合是 ． 15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时， 2 ()2f x x x =-,则()y f x =在x<0时的解析式为 ．
高一数学集合练习题及答案-经典
升腾教育高一数学 满分150分 姓名 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 8、设集合A=} { 12x x <<，B=} { x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤ 9、 满足条件M U }{1=}{ 1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4
二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式 19、已知集合{}1,1A =-，B=} { 2 20x x ax b -+=，若B ≠?，且A B A ?= 求实数 a ， b 的值。
平面向量经典习题_提高篇
平面向量： 1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－ 2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－13 C ．－1 D ．－23 [答案] C [解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)， ∵λa ＋b 与c 共线， ∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与 c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－3 D ．1 [答案] C [解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0， ∴k ＝－3. (理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－611 B ．－116
C.6 11D. 11 6 [答案] C [解析] a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a＋b与a－λb垂直， ∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ ＝6 11 . 3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、 b间的夹角为( ) A．150° B．120° C．60° D．30° [答案] B [解析] 如图，在?ABCD中， ∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形， ∴∠BAD＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故选B.
(理)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3 2，a 与b 的夹角为60°， 则|b |＝( ) A.12 B.1 3 C.1 4 D.15 [答案] A [解析] ∵|a －b |＝32，∴|a |2＋|b |2 －2a ·b ＝34， ∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°， 设|b |＝x ，则1＋x 2 －x ＝34，∵x >0，∴x ＝1 2 . 4. 若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 [答案] B [解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形． 5. (文)若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示 c 为( ) A ．－a ＋3b B ．a －3b
高一数学平面向量知识点及典型例题解析
高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
高一数学函数经典习题及答案
函 数 练 习 题 班级 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)111 y x x =+-++ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，数m 的取值围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y =⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y ⑽ 4y = ⑾y x =-
6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y =⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；
高一数学圆的方程经典例题
典型例题一 例1圆9 )3 ( )3 (2 2= - + -y x上到直线0 11 4 3= - +y x的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线 1 l、 2 l的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆9 )3 ( )3 (2 2= - + -y x的圆心为)3,3( 1 O，半径3 = r． 设圆心 1 O到直线0 11 4 3= - +y x的距离为d，则3 2 4 3 11 3 4 3 3 2 2 < = + - ? + ? = d． 如图，在圆心 1 O同侧，与直线0 11 4 3= - +y x平行且距离为1的直线 1 l与圆有两个交点， 这两个交点符合题意． 又1 2 3= - = -d r． ∴与直线0 11 4 3= - +y x平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个． 解法二：符合题意的点是平行于直线0 11 4 3= - +y x，且与之距离为1的直线和圆的交点． 设所求直线为0 4 3= + +m y x，则1 4 3 11 2 2 = + + = m d， ∴5 11± = + m，即6 - = m，或16 - = m，也即 6 4 3 1 = - +y x l：，或0 16 4 3 2 = - +y x l：． 设圆9 )3 ( )3 (2 2 1 = - + -y x O：的圆心到直线 1 l、 2 l的距离为 1 d、 2 d，则 3 4 3 6 3 4 3 3 2 2 1 = + - ? + ? = d，1 4 3 16 3 4 3 3 2 2 2 = + - ? + ? = d． ∴ 1 l与 1 O相切，与圆 1 O有一个公共点； 2 l与圆 1 O相交，与圆 1 O有两个公共点．即符合 题意的点共3个． 说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
平面向量典型题型大全
平面向量 题型1.基本概念判断正误： 例2 （1）化简：①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ___；②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u r ____；③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r _____ （2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则||a b c ++r r r ＝_____ （3）若O 是ABC V 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC V 的形状为_ 9．与向量a =（12，5）平行的单位向量为 （ ） A ．125,1313??- ??? B ．12 5,1313??-- ??? C ．125125,,13131313????-- ? ?????或 D ．125125,,13131313???? -- ? ????? 或 10．如图，D 、E 、F 分别是?ABC 边AB 、BC 、CA 上的 中点，则下列等式中成立的有_________： ①+-=u u u r u u u r u u u r FD DA AF 0 ②+-=u u u r u u u r u u u r FD DE EF 0 ③+-=u u u r u u u r u u u r DE DA BE 0 ④+-=u u u r u u u r u u u r AD BE AF 0 11.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r ，则（ ） A.0PA PB +=u u u r u u u r r B.0PC PA +=u u u r u u u r r C.0PB PC +=u u u r u u u r r D.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r 12.已知点(3,1)A ，(0,0)B ，(3,0)C ．设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC CE λ=u u u r u u u r ，其中λ等于 （ ） A.2 B. 1 2 C.-3 D.－13 13.设向量a=(1, －3),b=(－2,4),c =(－1,－2)，若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c ),d 的有向线段首尾相接能构成四边形， 则向量d 为 ( ) A.(2,6) B.(－2,6) C.(2,－6) D.(－2,－6) 14.如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r ，则 x = ，y = . 图2 15、已知O 是ABC △所在平面内一点D 为BC 边中点且20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 题型3平面向量基本定理 F E C B A
高中数学典型例题解析平面向量与空间向量
高中数学典型例题分析 第八章 平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作||。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和。 记作a +b 。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则向量BA 叫做a 与b 的差。 记作a -b 。 7.实数与向量的积： （1）定义： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，并规定： ①λa 的长度|λa |=|λ|·|a |； ②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同； 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa =0 （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa )=(λμ) a ②(λ+μ) a =λa +μa ③λ(a +)=λa +λ 8.向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa 。 另外，设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a //b x 1y 2－x 2y 1=0 9.平面向量基本定理： 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ 2 使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e 叫做表示这一
高一数学集合练习题及答案-经典
选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2|20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A= }{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈，{}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U= {}22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________.
高一数学集合典型例题、经典例题
《集合》常考题型 题型一、集合元素的意义+互异性 例.设集合 ｛0｝ 例.已知A ＝{2，4，a 3－2a 2－a ＋7}，B ＝{1，a ＋3，a 2－2a ＋2，a 3＋a 2＋3a ＋7}，且A ∩B ＝{2，5}，则A ∪B =____________________________ 解：∵A∩B＝{2，5}，∴5∈A. ∴a 3－2a 2－a ＋7＝5解得a ＝±1或a ＝2. ①若a ＝－1，则B ＝{1，2，5，4}，则A∩B＝{2，4，5}，与已知矛盾，舍去． ②若a ＝1，则B ＝{1，4，1，12}不成立，舍去． ③若a ＝2，则B ＝{1，5，2，25}符合题意．则A ∪B ＝{1，2，4，5，25}． 题型二、空集的特殊性 例.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-，且BA ， 则实数m 的取值范围为_____________ 例.已知集合{}R x x ax x A ∈=++=，012，{} 0≥=x x B ，且φ=B A I ， 求实数a 的取值范围。 解：①当0a =时，{|10,}{1}A x x x R =+=∈=-，此时{|0}A x x ≥=ΦI ； ②当0a ≠时，{|0}A x x ≥=ΦQ I ，A ∴=Φ或关于x 的方程2 10ax x ++=的根均为负数. （1）当A =Φ时，关于x 的方程210ax x ++=无实数根， 140a ?=-<，所以14a > . （2）当关于x 的方程210ax x ++=的根均为负数时， 12121401010a x x a x x a ???=-≥??+=-?? 140a a ?≤?????>?104a <≤. 综上所述，实数a 的取值范围为{0}a a ≥. 题型三、集和的运算 例.设集合S ＝{x |x >5或x <－1}，T ＝{x |a 平面向量： 1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－1 3 C ．－1 D ．－23 [答案] C [解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)， ∵λa ＋b 与c 共线， ∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－3 C ．－3 D ．1 [答案] C [解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0， ∴k ＝－3. (理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－611 B ．－116 C.611 D.116 [答案] C [解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a＋b与a－λb垂直， ∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝6 11 . 3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b间的夹角为( ) A．150° B．120° C．60° D．30° [答案] B [解析] 如图，在?ABCD中， ∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形， ∴∠BAD＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故选B. (理)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝ 3 2 ，a与b的夹角为60°，则|b|＝( ) A.1 2 B. 1 3 C.1 4 D. 1 5 [答案] A [解析] ∵|a－b|＝ 3 2 ，∴|a|2＋|b|2－2a·b＝ 3 4 ， 平面向量基本定理 一．教学目标： 了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件； 教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习 1.已知=(x,2)，=(1,x)，若//，则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 2 2.下列各组向量，共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-=r r ()B (2,3),(3,2)a b ==r r ()C (1,2),(7,14)a b =-=r r ()D (3,2),(6,4)a b =-=-r r 3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且?=?=2,3,则=MN ____ 4．已知点(1,5)A -和向量=(2,3),若=3,则点B 的坐标为 三.知识归纳 1. 平面向量基本定理：如果12,e e u r u u r 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+r u r u u r 成立。其中12,e e u r u u r 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________； 2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ?，j ? 作基底， 则对任一向量a ?，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a ???+=、就把_________叫做向量a ? 的坐标，记作____________。 3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量的坐标为＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为 高一数学第一次月考测试 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，满分60分) 1．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是() A．一个算法只能含有一种逻辑结构 B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构 C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构 D．一个算法可能含有上述三种逻辑结构 2．下列赋值语句正确的是() A．M＝a＋1B．a＋1＝M C．M－1＝a D．M－a＝1 3．学了算法你的收获有两点，一方面了解我国古代数学家的杰出成就，另一方面，数学的机械化，能做许多我们用笔和纸不敢做的有很大计算量的问题，这主要归功于算法语句的() A．输出语句B．赋值语句 C．条件语句D．循环语句 4.如右图 其中输入甲中i＝1，乙中i＝1000，输出结果判断正确的是() A．程序不同，结果不同 B．程序不同，结果相同 C．程序相同，结果不同 D．程序相同，结果相同 5．程序框图(如图所示)能判断任意输入的数x的奇偶性，其中判断框内的条件是() A．m＝0? B．x＝0? C．x＝1? D．m＝1? 6．228和1995的最大公约数是() A．84 B．57 C．19 D．28 7．下列说法错误的是（） A．在统计里，把所需考察的对象的全体叫做总体 B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大 8．1001101(2)与下列哪个值相等() A．115(8)B．113(8) C．114(8)D．116(8) 9．下面程序输出的结果为() 实用文档 文案大全高中数学典型例题第八章平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、、疑难知识导析 1．向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量” 向量是既有大小，又有方向的量．向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的，由于方向不能比较大小，所以向量是不能比大小的．两个向量的模相等，方向相同，我们称这两个向量相等，两个零向量是相等的，零向量与任何向量平行，与任何向量都是共线向量； 2．在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点； 3．对于坐标形式给出的两个向量，在运用平行与垂直的充要条件时，一定要区分好两个公式，切不可混淆。因此，建议在记忆时对比记忆； 4．定比分点公式中则要记清哪个点是分点；还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开计算的； 5．平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的坐标给出，同时注意顺序。 二知识导学 1.模（长度）：向量AB的大小，记作|AB|。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a?长度相等，方向相反的向量叫做a?的相反向量。记作-a?。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知a?，b?。在平面内任取一点，作AB=a?，BC=b，则向量AC 叫做a与b?的和。记作a?+b?。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知a?，b?。在平面内任取一点O，作OA=a?，OB=b?，则向量BA 叫做a?与b?的差。记作a?-b?。 7.实数与向量的积： （1）定义：实数λ与向量a?的积是一个向量，记作λa?，并规定： ①λa?的长度|λa?|=|λ|·|a?|； ②当λ＞0时，λa?的方向与a?的方向相同； 当λ＜0时，λa?的方向与a?的方向相反； 当λ＝0时，λa?=0? （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa?)=(λμ) a? 高一数学 试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，满分 50分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的,把正确的答案填在指定位置上.） 1. 若角αβ、满足9090αβ-<< 新课标必修3概率部分知识点总结及典型例题解析 ◆ 事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不 可能事件( impossible event ) ? 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈ 说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 ? 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P ② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件 ()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和 ? 古典概率（Classical probability model ）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n 1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()n m A P = ? 几何概型（geomegtric probability model ）：一般地，一个几何区域D 中随机地取一点， 记事件“改点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ()的侧度 的侧度D d A P = （ 这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ） 几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多 颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D 内随机地取点，指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。 互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件 平面向量典型例题 平面向量经典例题： 1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－13 C ．－1 D ．－23 [答案] C [解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa ＋b 与c 共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－3 D ．1 [答案] C [解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0，∴k ＝－3. (理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－611 B ．－116 C.611 D.116 [答案] C [解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a ＋b 与a －λb 垂直， ∴(a ＋b )·(a －λb )＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝6 11. 3. 设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 间的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° [答案] B [解析] 如图，在?ABCD 中， ∵|a |＝|b |＝|c |，c ＝a ＋b ，∴△ABD 为正三角形，∴∠BAD ＝60°，∴〈a ，b 〉＝120°，故选B. (理)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3 2 ，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( ) A.12 B.13 C.14 D.15 [答案] A [解析] ∵|a －b |＝ 32，∴|a |2＋|b |2－2a ·b ＝34 ，∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°， 设|b |＝x ，则1＋x 2－x ＝34，∵x >0，∴x ＝1 2 .平面向量经典习题-提高篇61861
平面向量基本定理及经典例题
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