高三数学一模考试试题 文

湖南省岳阳市2017届高三数学一模考试试题 文

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.

1.已知集合{}{}22,0,2|2310A B x x x =-=--≤，则A

B =

A. {}0

B. {}2

C. {}0,2

D.{}2,0-

2.已知复数z 满足2z i i ?=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在的象限是 A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限

3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是

A. 3x y =

B. 2y x =

C. ln y x =

D.y x x = 4.已知,αβ表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，

则“m β⊥”是“αβ⊥”的

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为

A. π

B. 2π

C. 3π

D.6π

6.一程序框图如图2所示，如果输出的函数值在区间[]1,2内，那

么输入实数x 的取值范围是

A. (),0-∞

B.[]1,0-

C. [)1,+∞

D.[]0,1

7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()111,2n n n a a S +==，则2017a =

A. 2016

B. 2017

C. 4032

D.4034

8.函数()f x x α

=满足()24f =，那么函数()()log 1a g x x =+的图象大致是

9.已知直线():10,0x y l a b a b +=>>将圆22:2440C x y x y +--+=平分，则直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值为

A. 8

B. 4

C. 2

D.1

10.已知O 为坐标原点，点A 的坐标为()3,1-，点(),P x y 的坐标满足不等式组21y x y x y a ≤??+≥??-≤?

，若

z OP OA =?的最大值为7，则实数a 的值为

A. B. C. D.

11.已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若4PF =，则双曲线的离心率为

A. 21+

B. ()221+

C. 2

D.22

12.设函数的定义域为D ，若满足条件：存在[],a b D ?，使()f x 在[],a b 上的值域为,22

a b ??

????，则称()f x 为“倍缩函数”.若函数()x f x e t =+为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是

A. 1ln 2,2+?

?-∞- ??? B. 1ln 2,2+??-∞- ??? C. 1ln 2,2+??+∞???? D.1ln 2,2+??+∞ ???

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.平面向量a 与b 的夹角为90，()2,0,1a b ==则2a b += .

14. 在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知60,4,43ABC A b S ?===，则a = .

15.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有 盏灯.

16.把正整数排列成如图4所示的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图5所示的三角形数阵，设ij a 为图5所示三角形数阵中第i 行第j 个数，若2017mn a =，则实数对(),m n 为 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

17.（本题满分12分）已知函数()sin cos .23f x x x ππ????=+

- ? ????? （1）求函数()f x 的最小正周期；

（2）将函数()y f x =的图象向下平移14

个单位，再将图象上各点的纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在0,

3π??????

上的最大值.

18.（本题满分12分）如图6，在四棱锥P ABCD -中，

底面ABCD 是平行四边形，45,2,ADC AD AC O ∠===为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD 且6,PO M =为BD 的中点.

（1）证明：AD ⊥平面PAC ；

（2）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值.

19.（本题满分12分）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规

定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超

过35微克/立方米，PM2.5的24小时

平均浓度不得超过75微克/立方米.我

市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据

，数据统计如右表：

（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；

（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图4.

①求图7中a 的值；

②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由.

20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b

+=>>的两个焦点为1212,,22F F F F =，点,A B 在椭圆上，1F 在线段AB 上，且2ABF ?的周长等于4 3.

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过圆22

:4O x y +=上任意一点P 作椭圆C 的两条切线PM 和PN 与圆O 交于点,M N ，求PMN ?面积的最大值.

21.（本题满分12分）已知函数()()2

ln ,.2

ax f x x x g x == （1）求函数()f x 在x e =处的切线方程；

（2）若至少存在一个[]01,x e ∈使()()00f x g x <成立，求实数a 的取值范围；

（3）设k Z ∈且()()32f x k x k >--+在1x >时恒成立，求整数k 的最大值.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，

请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系

已知曲线C 的极坐标方程为6sin ρθ=，以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为11x at y t

=-+??=+?（t 为参数）.

（1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；

（2）直线l 与曲线C 交于,B D 两点，当BD 取到最小值时，求a 的值.

23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数()2.f x x a a =-+

（1）若不等式()6f x ≤的解集为{}|23x x -≤≤，求实数a 的值；

（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使()()f n m f n ≤--成立，求实数m 的取值范围.