矩阵分析课后习题答案(北京理工大学)

矩阵分析第3章习题答案

第三章 1、 已知()ij A a =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间n C 中向量 1212(,,,),(,, ,)n n x x x y y y αβ==定义内积为(,)H A αβαβ= （1） 证明在上述定义下，n C 是酉空间； （2） 写出n C 中的Canchy-Schwarz 不等式。 2、 已知2111311101A --?? =? ? -?? ，求()N A 的标准正交基。 提示：即求方程0AX =的基础解系再正交化单位化。 3、 已知 308126(1)316,(2)103205114A A --?? ?? ????=-=-?? ?? ????----?? ?? 试求酉矩阵U ，使得H U AU 是上三角矩阵。 提示：参见教材上的例子 4、 试证：在n C 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。 5、 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U ，使H U AU 为对角矩阵，已知 1 31(1)612A ????? =????????? ? 01(2)10000i A i -????=??????，434621(3)44326962260i i i A i i i i i +--????=----? ???+--?? 11(4)11A -?? =?? ?? 6、 试求正交矩阵Q ，使T Q AQ 为对角矩阵，已知

220(1)212020A -????=--????-?? ，11011110(2)01111011A -?? ??-? ?=?? -??-?? 7、 试求矩阵P ，使H P AP E =（或T P AP E =），已知 11(1)01112i i A i i +????=-????-??，222(2)254245A -?? ??=-?? ??--?? 8、 设n 阶酉矩阵U 的特征根不等于1-，试证：矩阵E U +满秩，且1 ()() H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。反之，若H 是Hermite 矩阵，则E iH +满秩，且1 ()()U E iH E iH -=+-是酉矩阵。 证明：若||0+=E U ，观察0-=E U λ知1-为U 的特征值，矛盾，所以矩阵E U +满 秩。()()1 1()()()--=-+=-+-H H H H H i E U E U i E U E U ，要H H H =，只要 ()()1 1()()()()()()---+-=-+?--+=+-?-=-H H H H H H i E U E U i E U E U E U E U E U E U U U U U 故H H H = 由()0+=--=E iH i iE H 知i 为H 的特征值。由Hermite 矩阵只能有实数特征值可得 0+≠E iH ，即E iH +满秩。 111111()()()()()()()()()()()()------=+-+-=+-+-=++--=H H H U U E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E 9、 若,S T 分别是实对称和实反对称矩阵，且det()0E T iS --≠，试证： 1()()E T iS E T iS -++--是酉矩阵。 证明： 1111 [()()]()()()()()()----++--++--=++--++--H E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS 11()()()()--=++++----=E T iS E T iS E T iS E T iS E

矩阵分析homework01答案

Homework1 1,show that U={(a,b,0)|a,b∈R}is a subspace of R3by proving it’s the span by vectors in R3.Find at least2sets of span-ning sets. Proof: Let V=span{(1,0,0),(0,1,0)}is a subspace.We want to prove U=V. Since(a,b,0)=a(1,0,0)+b(0,1,0)∈V,?U?V. And?x,y∈R,x(1,0,0)+y(0,1,0)=(x,y,0)∈U,?V?U. In all,U=V. {(1,1,0),(1,0,0)}is also a possible spanning set. 2,show that S={(a,b,1)|a,b∈R}cannot be a subspace. Proof: Take two vectors v1=(a1,b1,1),v2=(a2,b2,1),they are both in the set S. The addition of the two vectors:v1+v2=(a1+a2,b1+b2,2)∈S,?The set S is not closed under linear combination,so it’s not a subspace. 3,What is the dimension of Q={ax+ax2+bx3|a,b∈R}. Solution: The dimension of Q equals the size of a basis of Q(obviously Q is a vector space).Q can be written as span{x+x2,x3}.So the dim(Q) is2. 4,De?ne for p∈P n(a,b),the function N(p)=max a≤x≤b|p′(x)|, show that this is not a norm on P n(a,b). We just need to present an example of p. Let p(x)=1,then N(p)=max a≤x≤b|0|=0.If N(p)is a norm, p(x)=0,contradiction to the?rst property of norm. 5,show that x ∞is a norm. proof: 1.Let x=(x1,...,x n),Obviously, x ∞=max i|x i|≥0 if x ∞=0,|x i|≤0?x i=0,for i=1,...,n.So if x ∞=0,then x=0. 2.Letα∈C, 1

《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后知识题目解析

第1章 线性空间和线性变换（详解） 1-1 证：用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用 ij E (,1,2, ,1)i j i n <=-表示n 阶矩阵中除第i 行，第j 列元素与第j 行第i 列元素 为1外，其余元素全为0的矩阵. 显然，ii E ，ij E 都是对称矩阵，ii E 有(1) 2 n n -个.不难证明ii E ，ij E 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1) 2 n n +个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成 (1) 2 n n +维线性空间. 同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1) 2 n n -. 评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1) 2 n n +维线性空间，只需找出 (1)2n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这(1) 2 n n +个向量线性表示即可. 1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令 解出1234,,,x x x x 即可. 1-3 解：方法一 设11223344x x x x =+++A E E E E 即 123412111111100311100000x x x x ??????????=+++???????????????????? 故 1234 1231211203x x x x x x x x x x +++++?? ??=??? ?+???? 于是 12341231,2x x x x x x x +++=++=

1210,3x x x +== 解之得 12343,3,2,1x x x x ==-==- 即A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --. 方法二 应用同构的概念，22R ?是一个四维空间，并且可将矩阵A 看做(1,2,0,3)T ， 1234,,,E E E E 可看做(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)T T T T .于是有 111111 000 31110201003110000 01021000300011???? ????-??? ?→???? ??? ? -???? 因此A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --. 1-4 解：证：设112233440k k k k αααα+++= 即 12341234123134 12411111110110110110 k k k k k k k k k k k k k k k k k ????????+++???????????????? +++++??==??++++?? 于是 12341230,0k k k k k k k +++=++= 1341240,0k k k k k k ++=++= 解之得 12340k k k k ==== 故1234,,,αααα线性无关. 设

研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二

习题二 1．化下列矩阵为Smith 标准型： （1）222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; （2）2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; （3）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解：（1）对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? ， 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ； （2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为

2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??； （3）对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中，可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子： （1） 21 0021002λλλ--????--????-??； （2）100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ；

研究生矩阵论课后习题答案全习题三

习题三 1．证明下列问题： （1）若矩阵序列{}m A 收敛于A ，则{}T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A ； （2）若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛，则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明：（1）设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1 =m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(，,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim ， 则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ，ij m ij m a a =∞ →)(lim ，n j i ,,2,1, =， 故{} T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ,,,,21m S S S ， 其中m m m A c A c c S +++= 10.

若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛，设其和为S ，即 S A c m m m =∑∞ =0 ，或S S m m =∞ →lim ， 则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ，故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛，且其和为T S ， 即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ，且{} 1-m A ，1 -A 都存在，证明： （1）A A m m =∞ →lim ；（2）{}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明：设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ，有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1 =， 故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1) ()1(lim τ ＝ ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1(τ ， 而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121) ()(2)(1)()1(τ，

矩阵论华中科技大学课后习题答案

习题一 1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11 {()| 0}n ij n n ii i V A a a ?====∑，对矩阵加法和数乘运算； （2）2{|,}n n T V A A R A A ?=∈=-，对矩阵加法和数乘运算； （3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3 ,,0R k R k αα?∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。 解： （1）、（2）为R 上线性空间 （3）不是，由线性空间定义，对0α?≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。 2.求线性空间{|}n n T V A R A A ?=∈=的维数和一组基。 解：一组基 100 010 10 101010000000100............ ......0010010?? ???? ?????? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?????? dim W =n ( n +1)/2 3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ?，证明：U 1=U 2。 证明：因为dim U 1=dim U 2，故设 {}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基 2U γ?∈，有 ()12 r X γγβββ= 而 ()()12 12r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆 于是 ()()()112 12121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈ 由此，得 21 U U ?

矩阵分析课后习题解答版

第一章 线性空间与线性变换 （以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传） （此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别） 1.9.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。 1.10.证明同1.9。 1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数） 1.13.提示：设),)(- ?==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0(K K ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0(K K K ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行） ，代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故 A A T -=，即A 为反对称阵。若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ， 0=+ji ij a a ， 再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0(K K K ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于 0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A 1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)( 1.15.存在性：令2 ,2H H A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==, 唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B H H -==，且C C B B ≠≠11,，由

矩阵分析习题

一，设311202113A -?? ?=- ? ?--?? （1）求矩阵e At . （2）求()At d e dt . 二，（15分）设矩阵1001200-1A ??????=?????? ， （1）求矩阵A 的奇异值。 （2）求矩阵A 的奇异值分解。 三、证明对任何方阵A 和B ，有 A B A B B A e =e e =e e ⊕??，其中A B=A I+I B ⊕??。 四、已知102011121A -?? ?= ? ?--?? （1） 写出A 的若当标准型 （2） 写出A 的最小多项式()A m λ （3）计算矩阵函数At e 五、设矩阵方程为AX XB D +=，其中111020,,02011A B D λ--??????=== ? ? ??????? （1） 当λ为何值时， 矩阵方阵有唯一解 （2） 当=1λ 时，求矩阵的解X 六、设 110021001A ?? ?= ? ??? ,求一个次数不超过3 的矩阵多项式 ()g x , 将矩阵函数 ()cos A 用矩阵多项式 ()g A 表示出来 七、对给定的矩阵5010,1253A B -????== ? ????? , 矩阵空间22 R ?上的线性变换 T 被定义为 : ()22 ,T X AX XB X R ?=+?∈ (a) 求变换 T 在空间 22 R ?的基 {}11211222,,, E E E E 下的变换矩阵P .

(b) 求矩阵P 的特征值 , 讨论P 是否可逆 八、叙述奇异值分解定理（即酉相抵标准形定理）并用其证明方阵的极分解定理： 九、设A 是n 阶不可约非负矩阵，证明：若A 恰有d 个对角元非零,则21n d A O --> . 十、证明分块上三角矩阵为酉矩阵当且仅当其为对角块均为酉矩阵的分块对角阵 十一、试证：如果A 是n 阶正规矩阵，则A 相应于不同特征值的特征向量复正交 十二、设矩阵U 是酉矩阵，()12diag ,, ,n A a a a = 证明UA 的所有特征值λ满足 不等式 {}{}min max i i i i a a λ≤≤ 十三、设A 是正定Hermite 矩阵，B 是斜Hermite 矩阵，证明A B +是可逆矩阵. 十四、证明若A 是Hermite 矩阵，则i A e 为酉矩阵 十五、设A 是正规矩阵，证明A 是酉矩阵的充要条件是A 的特征值的绝对值等于1。 十六、设,A B 均为n 阶半正定阵，证明A B 也是半正定阵. 十七、设,m m n n A C B C ??∈∈ 及m n F C ?∈ ，且,A B 无公共特征值， 证明： B O F A ?? ??? 与B O O A ?? ??? 相似 十八、设A 是n 阶复方阵，(){}12,,,n Spec A λλλ=，证明： ()(){} 1211k k i i i k Spec C A i i n λλλ=≤<<≤ 十九、陈述Perron-Frobenius 系列定理。 二十、陈述关于Hermite 方阵特征值的min-max 原理

矩阵分析第章习题答案

第三章 1、 已知()ij A a =是 n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间n C 中向量 1212(,, ,),(,, ,)n n x x x y y y αβ==定义内积为(,)H A αβαβ= （1） 证明在上述定义下，n C 是酉空间； （2） 写出n C 中的Canchy-Schwarz 不等式。 2、 已知2111311101A --?? =? ?-?? ，求()N A 的标准正交基。 提示：即求方程0AX =的基础解系再正交化单位化。 3、 已知 308126(1)316,(2)103205114A A --?? ?? ????=-=-?? ?? ????----???? 试求酉矩阵U ，使得H U AU 是上三角矩阵。 提示：参见教材上的例子 4、 试证：在n C 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。 5、 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U ，使H U AU 为对角矩阵，已知 1 31(1)612A ????? =????????? ? 01(2)10000i A i -????=??????，434621(3)44326962260i i i A i i i i i +--????=----? ???+--?? 11(4)11A -?? =?? ?? 6、 试求正交矩阵Q ，使T Q AQ 为对角矩阵，已知

220(1)212020A -????=--????-?? ，11011110(2)01111011A -?? ??-? ?=?? -??-?? 7、 试求矩阵P ，使H P AP E =（或T P AP E =），已知 11(1)01112i i A i i +????=-????-??，222(2)254245A -?? ??=-?? ??--?? 8、 设 n 阶酉矩阵U 的特征根不等于1-，试证：矩阵E U +满秩，且 1()()H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。反之，若H 是Hermite 矩阵，则 E iH +满秩，且1()()U E iH E iH -=+-是酉矩阵。 证明：若||0+=E U ，观察0-=E U λ知1-为U 的特征值，矛盾，所以矩阵E U +满秩。()()1 1()()()--=-+=-+-H H H H H i E U E U i E U E U ，要H H H =， 只要()()1 1 ()()()()()()---+-=-+?--+=+-?-=-H H H H H H i E U E U i E U E U E U E U E U E U U U U U 故H H H = 由()0+=--=E iH i iE H 知i 为H 的特征值。由Hermite 矩阵只能有实数特征值可得0+≠E iH ，即E iH +满秩。 111111()()()()()()()()()()()()------=+-+-=+-+-=++--=H H H U U E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E 9、 若,S T 分别是实对称和实反对称矩阵，且det()0E T iS --≠，试证： 1()()E T iS E T iS -++--是酉矩阵。 证明： 1111 [()()]()()()()()()----++--++--=++--++--H E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS

矩阵分析复习题2013[1].5

矩阵分析复习题 1.设r V 是n 维线性空间n V 的一个r 维子空间，r ααα,,,21 是r V 的一组基，证明这组向量必可扩充为整个空间的基。即，在n V 中必可找到r n -个向量n r r ααα,,,21 ++，使得n r r αααα,,,,,11 +是n V 的一组基。 2．证明：如果21,V V 是线性空间V 的子空间，那么它们的和21V V +也是V 的子空间. 3.设12,V V 是线性空间V 的子空间，证明： )dim()dim()dim()dim(212121V V V V V V -+=+. 4.设)10,2,1(1=α，)11,1,1(2-=α，)01,1,2(1-=β，)7,3,1,1(2-=β. {}211,αα=Span V ，{}212,ββ=Span V .求（1）21V V +的基与维数；（2）21V V 的基与维数. 5.设12,V V 是线性空间V 的两个子空间，证明以下论断等价： （1）12V V +是直和； （2）零向量分解式唯一（即，若1211220,,,V V α+α=α∈α∈则120α=α=.）； （3）{}120V V = ； （4）dim （12V V +）=dim （1V ）+ dim （2V ）. 6.设线性变换T 在两组基n ααα,,,21 与n βββ,,,21 下的矩阵分别为A 和B ，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵为P ,证明：AP P B 1-=. 7.在线性空间][x C n 中，取两组基 n x x x ,,,,12 （Ⅰ） n x n x x ! 1,,!21,,12 （Ⅱ） D 为微分算子。（1）求由（Ⅰ）到（Ⅱ）的过渡矩阵；（2）求线性变换D 在两组基下的矩阵。

《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案讲课讲稿

《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案

第1章 线性空间和线性变换（详解） 1-1 证：用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0 的矩阵.用ij E (,1,2,,1)i j i n <=-L 表示n 阶矩阵中除第i 行，第j 列元素与第j 行第i 列元素为1外，其余元素全为0的矩阵. 显然，ii E ，ij E 都是对称矩阵，ii E 有(1) 2 n n -个.不难证明ii E ，ij E 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1) 2 n n +个矩阵线性表示，此 即对称矩阵组成(1) 2 n n +维线性空间. 同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1) 2 n n -. 评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1) 2 n n +维线性空间， 只需找出(1) 2 n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这 (1) 2n n +个向量线性表示即可. 1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令 解出1234,,,x x x x 即可. 1-3 解：方法一 设11223344x x x x =+++A E E E E 即 123412111111100311100000x x x x ??????????=+++???????????????????? 故 12341231211203x x x x x x x x x x +++++?? ??=????+???? 于是 12341231,2x x x x x x x +++=++= 1210,3x x x +==

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第1章 多元正态分布 1、在数据处理时，为什么通常要进行标准化处理？ 数据的标准化是将数据按比例缩放，使之落入一个小的特定区间。在某些比较和评价的指标处理中经常会用到，去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。其中最典型的就是0-1标准化和Z 标准化。 2、欧氏距离与马氏距离的优缺点是什么？ 欧氏距离也称欧几里得度量、欧几里得度量，是一个通常采用的距离定义，它是在m 维空间中两个点之间的真实距离。在二维和三维空间中的欧氏距离的就是两点之间的距离。 缺点：就大部分统计问题而言，欧氏距离是不能令人满意的。每个坐标对欧氏距离的贡献是同等的。当坐标表示测量值时，它们往往带有大小不等的随机波动，在这种情况下，合理的方法是对坐标加权，使变化较大的坐标比变化较小的坐标有较小的权系数，这就产生了各种距离。当各个分量为不同性质的量时，“距离”的大小与指标的单位有关。它将样品的不同属性之间的差别等同看待，这一点有时不能满足实际要求。没有考虑到总体变异对距离远近的影响。 马氏距离表示数据的协方差距离。为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为Σ的随机变量与的差异程度:如果协方差矩阵为单位矩阵,那么马氏距离就简化为欧氏距离,如果协方差矩阵为对角阵,则其也可称为正规化的欧氏距离。 优点：它不受量纲的影响，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关。由标准化数据和中心化数据计算出的二点之间的马氏距离相同。马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。 缺点：夸大了变化微小的变量的作用。受协方差矩阵不稳定的影响，马氏距离并不总是能顺利计算出。 3、当变量X1和X2方向上的变差相等，且与互相独立时，采用欧氏距离与统计距离是否一致？ 统计距离区别于欧式距离，此距离要依赖样本的方差和协方差，能够体现各变量在变差大小上的不同，以及优势存在的相关性，还要求距离与各变量所用的单位无关。如果各变量之间相互独立,即观测变量的协方差矩阵是对角矩阵, 则马氏距离就退化为用各个观测指标的标准差的倒数作为权数的加权欧氏距离。 4、如果正态随机向量12(,,)p X X X X '=L 的协方差阵∑为对角阵，证明X 的分量是相互独立的随机变量。 解： 因为12(,,)p X X X X '= L 的密度函数为 1/2111(,...,)exp ()()2p p f x x --??'=---????Σx μΣx μ

矩阵论简明教程课后复习题与答案解析

习 题 一 13. 设A ∈ C n n ?是Hermite 矩阵。证明A 是Hermite 正定矩阵的充分必要条件是，存在Hermite 正定矩阵B ，使得A=B 2。 解：若A 是Hermit 正定矩阵,则由定理1.24可知存在n 阶酉矩阵U , 使得 U H AU =???? ?? ? ? ?n λλλO 2 1, i λ﹥0, I =1, 2, ,Λn . 于是 A =U ?? ??? ?? ??n λλλO 21U H = U ??????? ??n λλλO 2 1U H U ?????? ? ? ?n λλλO 2 1U H 令 B =U ?????? ? ? ?n λλλO 2 1 U H 则 A =B 2. 反之,当 A =B 2且B 是Hermit 正定矩阵时,则因Hermit 正定矩阵的乘积仍为Hermit 正定矩阵,故A 是Hermit 正定的. 14. 设A ∈ C n n ?是Hermite 矩阵，则下列条件等价:（1）A 是Mermit 半正定矩阵。（2）A 的特征值全为非负实数。（3）存在矩阵P ∈ C n n ?,使得A=P H P 解：(1)?(2). 因A 是Hermit 矩阵,则存在酉矩阵U,使得 U H AU =diag(n λλλ,,,21Λ) 令x =Uy , 其中 y =e k . 则 x ≠0. 于是 x H Ax =y H (U H AU )y =k λ≧0 (k =1, 2, ,Λn ). (2)?(3). A =U diag(n λλλ,,,21Λ)U H =U diag(n λλλ,,,21Λ)diag(n λλλ,,,21Λ)U H 令 P =diag(n λλλ,,,21Λ)U H , 则 A =P H P . (3)?(1). 任取x ≠0, 有 x H Ax =x H P H Px =22 Px ≧0. 习 题 二

数据分析习题答案

第四章 习题 一、习题 解：（1）通过SAS 的proc princomp 过程对相关系数矩阵R 做主成分分析，得到个主成分的贡献率以及累计贡献率如表1所 表 1 从表中可以得到特征值向量为： ]0.2429 0.4515 0.5396 0.8091 2.8567[=*λ 第一主成分贡献率为： % 第二主成分贡献率为： % 第三主成分贡献率为： % 第四主成分贡献率为： % 第五主成分贡献率为： % 进一步得到各主成分分析结果如表2所示：

（2）由（1）中得到的结果可知前两个主成分的累积贡献率为%，得到第一主成分、第二主成分为： 54212.044215.034702.024571.014636.01x x x x x Y ++++=* 55820.045257.032604.025093.012404.02x x x x x Y ++---=* 由于1*Y 是五个标准化指标的加权和，由此第一主成分更能代表三种化工股票和两种石油股票周反弹率的综合作用效果，1*Y 越大表示各股票的综合周反弹率越大。* 2Y 中关于三种化工股票的周反弹率系数为负，而关于两种石油的系数为正，它放映了两种石油周反弹率和三种化工股票周反弹率的对比，*2Y 的绝对值越大，表明两种石油周反弹率和三种化工股票周反弹率的差距越大。 二、习题 解：（1）利用SAS 的proc corr 过程求得相关系数矩阵如表3：

（2）从相关系数矩阵出发，通过proc princomp过程对其进行主成分分析，表4给出了各主成分的贡献率以及累积贡献率： 表 4 第一主成分贡献率为： % 第二主成分贡献率为： % 第三主成分贡献率为： % 第四主成分贡献率为： % 第五主成分贡献率为： % 第六主成分贡献率为： % 其中前两个主成分的累计贡献率为%