傅里叶变换与反变换

有限离散傅里叶变换DFT和反变换IDFT

设ω=2π/ N (N∈N+ 且N＞1)

旋转因子的周期性：

1.定长矢量r 以步长kω正方向（或负方向）绕圆周步进旋转N次回到原位，

形成的N个等模矢量序列

r (0)，r (1)，r (2)，…，r (n)，…，r (N-1)

k∈(0，1，…，N-1)

a)当k ≠0时，矢量序列均衡分布在圆周上，合矢量为0；

当N为素数时，对于任一k，圆周上总有N个均衡分布的矢量。

当N非素数时，m = Min(k，N-k )，且m N，圆周上有N个均衡分布的矢量。当N非素数时，m = Min(k，N-k )，且m | N，圆周上有N/m 个均衡分布，每个分布位有m个矢量重叠。（m | N 表m可整除N，N是m的倍数）

b)当k = 0时，矢量序列均与r 重合，合矢量为N·r；

2.等模矢量序列r(0)，r(1)，r(2) ，…，r (n)，…，r(N-1)，由r(0)旋转生成

k∈(0，1，…，N-1)

有m ∈(0，1，…，N-1)，分别将r (n)对应旋转nmω后：

a)当m≠k时，r (n) = r(0) e-in(k-m)w，N个矢量均衡分布在圆周上，合矢量

为0；

b)当m = k时，r (n) = r(0) e-in(k-k)w = r(0)，矢量序列r (n)均与r(0)重合，合矢

量为N·r(0)；

3.等模矢量序列r k = {r k(0)，r k (1)，r k (2) ，…，r k (n)，…，r k(N-1)} 遵从

k = 0，1，…，N-1

复合矢量序列Z = { Z (0)，Z (1)，Z (2) ，…，Z (n)，…，Z (N-1) }，存在如下表达：

Z(n) = r0(n) + r1(n) + r2(n) +…+ r k(n) +…+ r N-1(n)

有m∈(0，1，…，N-1)，分别将Z (n)对应旋转nmω，即对每个分矢量r k(n) 作对应nmω旋转：

●当m≠k时，Z (n)中分矢量r k(n) = r k(0) e-in(k-m)w ，Z中分矢量序列r k的N

个矢量均衡分布在圆周上，合矢量为0；

●当m = k时，Z (n)中分矢量r k(n) = r k(0) e-in(k-k)w = r k(0)，r k(n)与r k(0)重合，Z

中分矢量序列r k的N个矢量均与r k(0)重合，合矢量为N·r k (0)；

于是有：

令N·r k (0) = X(k)，离散傅里叶变换DFT公式为：

因为Z(n) = r0(n) + r1(n) + r2(n) +…+ r k(n) +…+ r N-1(n)

离散傅里叶反变换IDFT公式为：