图形平移和旋转专题
二、几种常见的类型
(一)正三角形类型
在正ΔABC中,P为ΔABC内一点,将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600,使得AB与AC重合。经过这样旋转变化,将图(1-1-a)中的PA、PB、PC三条线段集中于图(1-1-b)中的一个ΔP'CP中,此时ΔP'AP也为正三角形。
例1、如图:(1-1):设P是等边ΔABC内的一点,PA=3,PB=4,PC=5,∠APB的度数是________.(二)正方形类型
在正方形ABCD中,P为正方形ABCD内一点,将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转900,使得BA与BC重合。经过旋转变化,将图(2-1-a)中的PA、PB、PC三条线段集中于图(2-1-b)中的ΔCPP'中,此时ΔBPP'为等腰直角三角形。
例2 、如图(2-1):P是正方形ABCD内一点,点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1,PB=2,PC=3。求此正方形ABCD面积。
(三)等腰直角三角形类型
在等腰直角三角形ΔABC中,∠C=Rt∠, P为ΔABC内一点,将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900,使得AC与BC重合。经过这样旋转变化,在图(3-1-b)中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。
例3、如图,在ΔABC中,∠ACB =900,BC=AC,P为ΔABC内一点,且PA=3,PB=1,PC=2。求∠BPC 的度数。
例4、如图,将ΔABC绕顶点A顺时针旋转60o后得到ΔAB′C′,且C′为BC的中点,则C′D:DB′=()
A.1:2 B.1:C.1: D.1:3
例5、如图,将矩形ABCD沿AE折叠,若∠BAD′=30°,则∠AED′等于()
A.30°B.45°C.60°D.75°
例6、D、E为AB的中点,将△ABC沿线段DE折叠,使点A落在点F处。若∠B=50°,则∠BDF=__例7、如图,已知长方形ABCD 的周长为20,AB=4,点E在BC上,且AE
⊥EF,AE=EF,求CF的长。
1. (2012江西南昌3分)如图,正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合,将△AEF绕顶点A旋转,在旋转过程中,当BE=DF时,∠BAE的大小可以是.
2. (2012吉林省3分)如图,在等边△ABC中,D是边AC上一点,连接BD.将△BCD
绕点B逆时针旋转60°得到△BAE,连接ED.若BC=10,BD=9,则△AED的周长
是_ ____.
3、(2009年泸州)如图1,P是正△ABC内的一点,若将△PBC绕点B旋转到△P’BA,则∠PBP’的度数是()A.45° B.60° C.90° D.120°
4、(2009
年陕西
省) 如图,∠AOB=90°,∠B=30°,
△A’OB’可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的,
若点A’在AB上,则旋转角α的大小可以是()
A.30°B.45°C.60°D.90°
5、(2009年桂林市、百色市)如图所示,在方格纸上建立的平面直角坐标系中,将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°,得A B O
''
△,则点A'的坐标为().
A.(3,1)B.(3,2)C.(2,3)D.(1,3)
6、(2009年四川省内江市)已知如图1所示的四张牌,若将其中一张牌旋转180O后得到图2,则旋转的牌是()
图1
图2 A.B.C.D.
x
y
1
2
4
3
-1
-2
-3123
A
B
7、(2009年崇左)已知点A 的坐标为()a b ,,O 为坐标原点,连结OA ,将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转90°得1OA ,则点1A 的坐标为( ).A .()a b -, B .()a b -, C .()b a -, D .()b a -, 三、解答题(每小题10 分,共50分)
8.如图,ABC ?的∠BAC=120o,以BC 为边向形外作等边BCD ?,
把ABD ? 绕着D 点按顺时针方向旋转60o后到ECD ?的位置。若2,3==AC AB ,求∠BAD 的度数和AD 的长.
9、在矩形ABCD 中,2AD AB =,E 是AD 的中点,一块三角板的直角顶点与点E 重合,将三角板绕点
E 按顺时针方向旋转.当三角板的两直角边与AB BC ,分别交于点M N ,时,观察或测量BM 与CN 的
长度,你能得到什么结论?并证明你的结论.
10、已知正方形ABCD 中,E 为对角线BD 上一点,过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ,连接DF ,G 为DF 中点,连接EG ,CG .(1)求证:EG =CG ;(2)将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45o,如图②所示,取
DF 中点G ,连接EG ,CG .问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理
由.(3)将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)
E
D
C
B
A
11、复习“全等三角形”的知识时,老师布置了一道作业题:“如图①,已知在△ABC 中,AB =AC ,P 是
△ABC 内部任意一点,将AP 绕A 顺时针旋转至AQ ,使∠QAP =∠BAC ,连接BQ 、CP ,则BQ =CP .”
小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图①的分析,证明了△ABQ ≌△ACP ,从而证得BQ =CP 之后,将点P 移到等腰三角形ABC 之外,原题中的条件不变,发现“BQ =CP ”仍然成立,请你就图②给出证明.
12、已知:正方形ABCD 中,45MAN ∠=,MAN ∠绕点A 顺时针旋转,它的两边分别交CB DC ,(或它们的延长线)于点M N ,.
当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时(如图1),易证BM DN MN +=.
(1)当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时(如图2),线段BM DN ,和MN 之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明.
(2)当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时,线段BM DN ,和MN 之间又有怎样的数量关系?请直接
写出你的猜想.
13、已知:如图1,E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点,且∠EAF =45°.
D
图①
D
E
图② 图③ 图①
Q
P
B
A
A
Q
B
P
C
图②
B
B
M B
C
N
C
N
C
N
M 图1
图2
图3
A A A D
D D
求证: BE +FD =EF
14、四边形ABCD 、DEFG 都是正方形,连接AE 、CG .
(1)求证:AE =CG ;
(2)观察图形,猜想AE 与CG 之间的位置关系,并证明你的猜想.
15、如图,E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上一点,且BE +DF =EF ,求∠EAF
16、如图,正方形ABCD 的边长为1,AB 、AD 上各有一点P 、Q ,如果APQ ?的周长为2,求PCQ ∠的
度数。
Q
B
C
A D
17. (2012四川南充8分)在Rt△POQ 中,OP=OQ=4,M 是PQ 中点,把一三角尺的直角顶点放在点M 处,以M 为旋转中心,旋转三角尺,三角尺的两直角边与⊿POQ 的两直角边分别交于点A 、B , (1)求证:MA=MB
(2)连接AB ,探究:在旋转三角尺的过程中,△AOB 的周长是否存在最小值,若存在,求出最小值,若不存在。请说明理由。
18.如图1,小明将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片(如图2),量得他们的斜边长为10cm ,
较小锐角为30°,再将这两张三角纸片摆成如图3的形状,但点B 、C 、F 、D 在同一条直线上,且点C 与点F 重合(在图3至图6中统一用F 表示)
图6
(图1)(图2)(图3)
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮助解决。
(1)将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置,使点B与点F 重合,请你求出平移的距离;(2)将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置,A1F交DE于点G,请你求出线段FG的长度;
(3)将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置,AB1交DE于点H,请证明:AH﹦DH
(图4)(图5)(图6)