x ≤1
2019 年高考押题
卷
6.若变量 x, y 满足不等式组 x ≥y
,则 x,y 的整数解有(
x y 2≥ 0
A .6
B .7
C .8
D .9
文 科 数 学(二)
本试题卷共 6 页, 23 题 (含选考题 )。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟
第Ⅰ卷
7.某几何体的三视图如图所示,设正方形的边
长为
a ,则该三棱锥的表面积为
(
A .a 2
B . 3a 2
C . 3
2
a
6
D . 2 3a 2
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 A . x|0≤ x ≤
1 x
B . x|0 x 1
C . 0 D
2. 已知复数 z 满足 z1 i z1 则复数 z 在复平面内对应点在( )
A . 第一、二象限
B . 第三、四象限
C .实轴
D .虚轴 1.已知集合 A y y 0 ,集合 B x x 1 x 0 ,则 A e R B ( ) x 8.已知等差数列 a n 的前 n 项和为
和
T 9 为( )
A . 8
B . 20 3.为了得到函数 y cos2x 的图像,可将函数 y sin 2x 的图像( ) 6
9.已知直线 l : y 2x 1 与圆
S n ,且 S 2= 4,
S 4=16,数列 b n 满足 b n C .180
22
C : x y 1交于两点 A , B ,不在圆上的一点
a n a n 1 ,则数列
b n 的
D .166
M 1,m ,若 MA MB
A .向右平移 个单位长度
B .向右平移 个单位长度 63
C .向左平移 个单位长度
D .向左平移 个单位长度 63 4.某公司准备招聘了一批员工.有 20人经过初试,其中有 5 人是与公司所需专业不对口,其余都是对口专业, 在不知道面试者专业情况下,现依次选取 2 人进行第二次面试,第一个人已面试后,则第二次选到与公司所需专 业不对口的概率是( ) 5111
A .
B .
C .
D . 19 19 4 2 5.《九章算术》中 “开立圆术 ”曰: “置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径” .“开立圆术 则 m 的值为(
10.已知函数 B
.
7
1,
5
C . 1,
7
5
D . 1,
7
5
f x
x 2 2x e x ,关于 f x 的性质,有以下四个推断:
① f x 的定义域是 , ;
②函数 f x 是区间 0,2 上的增函数; ③ f x 是奇函数;
④函数 f x 在 x 2 上取得最小值. 其中推断正确的个数是( 9 3
球的体积为( )
4 4
A .
B .
C .
D . 81 6 81 6 相当于给出了已知球的体积 V ,求其直径 d ,公式为 d 316V .如果球的半径为 1,根据 “开立圆术 ”的方法求 A .0
B .1
C .2
D .3
11.已知椭圆的标准方程
为
22
x 2 y 2
5
1 , F 1, F 2为椭圆的左右焦点, O 为原
点,
4
P 是椭圆在第一象限
则
PF 1 PF 2 的取值范围(
A . 0,2
B . 1,6
C . 0, 5
D . 0,6
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
13.如图所示,在梯形
ABCD 中,∠ A = π, AB 2 , BC =2, AD 3 点 E 为 AB 的中点,则
22
CE BD ___________ .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分 12 分)已知锐角三角形 ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a ,
b ,
c ,且满足
222
cos 2
B cos 2
C sin 2 A
sinA siBn , sin A B cos A B .
( 1)求角 A 、B 、C ; (2)若 a
2 ,求三角形 ABC 的边长 b 的值及三角形 ABC 的面积.
18.(本小题满分 12分)2019年4月 1日,中共中央、国务院决定设立的国家级新区——雄
安新区.雄安新区建 立后,在该区某街道临近的 A 路口和 B 路口的车流量变化情况,如表所示:
12.已知正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为 1,E 为棱CC 1的中点, F 为棱 AA 1上的点,且满足 A 1F:FA 1:2,
点 F 、B 、E 、G 、H 为面 MBN 过三点 B 、E 、F 的截面与正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 在棱上的交点,则下列说法 错误的是( A . HF //BE B . BM 13 2 C . ∠ MBN 的余弦值为 65 65 D .
△ MBN 的面积是 61
4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 第 22~23 题为选考题,考生根据要求作答 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。
15.已知数列
a n 为1,3,7,15,31, ,2n
1,数列 b n 满足 b 1 1,b n
a n a n 1
1
,则数列 前 n 1项
bn
14.执行如图所示的程序框图,若输
出
天数t(单位:天)1日2日3日4日5日
A 路口车流量x(百辆)0.20.50.80.9 1.1
B 路口车流量y(百辆)0.230.220.51 1.5
(1)求前 5 天通过A路口车流量的平均值和通过B路口的车流量的方差,(2)根据表中数据我们认为这两个临近路口有较强的线性相关关系,第10日在A路口测得车流量为 3 百辆时,你能估计这一天B 路口的车流量吗?大约是多少呢?(最后结果保留两位小数)(参考公式:n
x i x y i y
i 1
n 2,a y bx ,)x i x
i7
2
1 a x 1
2)当x≥1时,不等式f x ≥恒成立,求a 的取值范围.
xx
请考生在22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22.(本小题满分10 分)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x 轴非负半轴
x 5cos
标方程为3 cos sin 6 0,圆C 的参数方程为,
y 1 5sin
(1)求直线l 和圆C 的直角坐标系方程;
(2)若相交,求出直线被圆所截得的弦长.
19.(本小题满分12分)如图所示,直棱柱ABCD A1B1C1D1 ,底面ABCD是平行四边形,AA1 AB B1D1 3,BC 2,E是边B1C1的中点,F是边CC1上的动点,
1)当C1F BC 时,求证:BF 平面D1EF ;2)若BE EF ,求三棱锥B D1EF 体积.
22
23.(本小题满分10分)已知点P a,b 在圆C:x2 y2 x y x,y 0, 上,
22 20.(本小题满分12 分)设椭圆C:x2y2 ab
相切.1)求椭圆的标准方程;1 a b 0 的左顶点为2,0 ,且椭圆C与直线y 6
x3
2)过点P 0,1 的动直线与椭圆C 交于A,B 两点,设O 为坐标原点,是否存在常数,使得OA OB PA PB 7 ?请说明理由.
ln x 1 21.(本小题满分12 分)设函数f x
x 1)求曲线y f x 在点e,f e 处的切线方程;
11
1)求 1 1的最小值;ab
2)是否存在a,b ,满足a 1 b 1 4 ?如果存在,请说明理由.
l 的极坐
文科数学(二)答案
第 I 卷
一、选择题:本题共 12
小题,每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。
1.【答案】 C
【解析】根据题意可得, A 0 ,B x|x 1或x 0 ,所以e R B x | 0≤x ≤1 ,所以 A e R B 0 .故 选 C .
2.【答案】 D
z1 【解析】 设复数 z a bi , a,b R ,因为 z 1 i ,所以 zi i z
1,所以 (a 1)i b a bi 1, z1
a 1
b a 0
所以可得 ,解得 ,所以 z i ,所以复数 z 在复平面内对应点 0,1 在虚轴上.故选 D . b a 1 b 1
3.【答案】 D .
【解析】 y cos2x sin 2x sin 2 x ,所以将函数 y sin 2x 的图像向左平移
2
3 6 6 3 个单位.故选 D .
4.【答案】 C .
【解析】 因为有 5 人是与公司所需专业不对口,第二次选到与公司所需专业不对口有 5 种可能,有 20 人经
6.【答案】 D
解析】 如图:
7.【答案】 D
解析】 如图所示,
1 .故选 C . 4
易知:共 9 个整数点. 故选 D .
5.【答
案】 解析】
5 过初试有 20 种可能,所以 P 5
2
3
16
V ,解得 V 1.故选 D . 96
该几何体是正方 体的内 接正三棱锥,所 以三棱 锥的棱长为 2a ,因此此几 何体的表面积 S 4 1 2a sin60 2
3a 2 .故选 D .
2
8.【答案】 C .
【解析】设等差数列
a n 的公差为
d ,因为 b n a n a n1 ,所以 b n 1 a n1 a n 2,两式相减
b n 1
b n a n 1
a n 2
a n a n 1
2d 为常数,所以数列 b n 也为等差数列.因为 a n 为等差数列,且 S 2
=
4 , S 4
=
16 , 所 以
b 1
a 1 a 2
S 2 4 , b 3
a 3
a 4
S 4 S 2
12 , 所 以 等 差 数 列 b n 的
公 差
2d
b3
b1
4,所以前 n 项和公式为 T n 4n n 1 n 4 2n 2 2n ,所以 T 9 180 .故选 C .
22
9.【答案】 A
解析】 将直线 l 的方程与圆 C
的方程联立得 y 2 2x 2 1 ,
x 2 y 2 1
因为 0 x 0 5 ,所以 0 2 5 x 0 2 .故选 A .
5
2
4 化简得 5x 2 4x 0 ,解得 x = 0 或 x
,
5
43
所以 A(0,1), B( 45, 35) ,所以
MA (1,1 m) , MB
(1, 3
m) ,根据 MA 55
MB 1 , 所 以
10.【答案】 C
1 ,化简 5m 2
2m 7 0,解得 m 1 7
或 m 2 1.故选 A .
5
解析】根据题意可得,函
数 f x 的 定 义 域 为 , , 所 以 ① 为 正 确 ; 因 为
f x 2x 2 e x x 2 2x e x x 2 2 e x ,当 2 x 2 时, f x 0 ,所以函数 f x 在
2, 2 为单调递减函数,当 x 2 或 x 2时, f x 0,在
, 2 , 2, 为单调递
增函数,又 y x 2 2x 在 ,0 , 2, 上为正,在 0,2 上为负,所以函数在 x 2上取得最小值,
所以④正确,②错误. f x
x 2 2x e x ,可见 f x 是非奇非偶函数,所以③错误.故选
C .
11.【答案】 A
解析】 设 P x 0, y 0 ,则 0 x 0
5, 因为 c 2
a 2
b 2 1,所以 e 1 5
55
55, PF 1 5 55 x 0,
PF 2 5 5
5
x 0,则 PF 1 PF 2 2 5 x 0,
5
12.【答案】C
cos MBN 2 65 , 所 以 sin MBN 61 ,
解析】因为面 AD 1 / /面BC 1 ,且面 AD 1与面 MBN 的交线为 FH ,面BC 1与面 MBN 的交线为 BE ,所以
HF //BE ,A 正确;因为 A 1F / / BB 1 ,且 A 1F:FA 1: 2,所以 MA 1 : A 1 B 1 1: 2,所以 MA 1
1 1
,所以 2
B 1M 3 ,在 Rt △ BB 1M 中, BM
BB 12 B 1M 2
13
,所以 B 正确; 在 Rt △ BB 1N
中,
22
E 为棱 CC 1
的中点,所以 C 1为棱 NB 1上的中点,所以 C 1N 1,在Rt △ C 1EN 中, EN
C 1E 2 C 1N 2
25
,所以
BN
5 ;因为 MN MB 12 NB 12
2 2 2
5 BM 2 BN 2 MN 2
,在△ BMN 中, cos MBN 2 2BM BN
2 65
,
65
所以
S
B
1
MN
BM BN sin MBN
61
.所以 D 正确.
4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作 第 22~23 题为选考题,考生根据要求作答。 13. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 答
案】 2
解析】 以 B 为原点, BC 为 x 轴,AB 为y 轴建系, C 2,0 ,E 0, 2 2 ,B 0,0 ,D 23
, 2
CE 2, 2 , BD 3, 2 ,所以 CE BD 3 1 2. ∴ CE
353 14.【答案】 353
55
21 解析】 当 n 1 时, S 0 2 1 3 1,
3,
2时,
S
1 4 1 14,
3 5 15
3
时, S 14 81
29 ,
15 7
15
4时, S 29
15 18,
15
9 5
5
时,
S 18 31 353,
5 11 55
当
n 当 n 当 n 当 n
353
n 6 ,输出S 的值为353
55
15.【答案】2 22 n
解析】由数列a n 得通项公式a n 2n1,所以b n a n a n 12n 1 2n 1 1 2n 1,
所以数列1的通项公式为
b n
1 1 1 1
1 1
n 1,由此可知数列是以首项为 1 ,公比为1的等比数
列,
所以其b n
前n 1 项和S n 1111
2
n1
11
2
2 2
2 n
16.【答案】225
解析】在△AMC 中,由余弦定理可得AM 2 AC2 CM 2 2AC CM cos ACM AM 6 2 ,在△AMC 中,由正弦定理AM MC,解得sin MAC
sin ACM sin MAC 72 ,得,所以
πMAC ,
4
25 在△ ABC 中,sin ACB sin π sin
由正弦定理可得AC AB,解得AB 30 2 ,sin ABC sin ACB
所以△ABC 的面积为1 sin BAC AB AC 1 2 30 2 15 225.
2 2 2
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分12 分)
5 6 2 3 3
【答案】(1)A ,B ,C ;(2)b ,S△ABC == .
4 12 3 2△ ABC
4 【解析】(1)因为A,B 均为锐角,sin A B cos A
B ,∴ sin AcosB cos Asin B cos Acos B sin AsinB,∴ sin AcosB sin Asin B cosAcosB cosA sin B ,∴ sinA cosB sinB cosA cosB sinB ∵B 为锐角,∴ cosB sinB 0,
∴ sinA cosA ,则A 的大小为,································· 3 分
4
在△ ABC 中,cos2 B cos2 C sin 2 A sin Asin B ,
∴ 1 sin2 B 1 sin2 C sin2 A sin AsinB ,
∴ sin2 C sin2 B sin2 A sin AsinB ,
19.(本小题满分 12 分)
1)因为底面
A 1
B 1
C 1
D 1是平行四边形,所以 AB B 1D 1 D 1C 1 3,
E 是 B 1C 1的中点,所以 D 1E
⊥
B 1
C 1 .
∴ a 2 b 2 c 2
ab ,
1
∴
cosC ,∴ C ,
23 6分
∴
B
5 .
3 4
12
(2)根据正弦定理
a
sin A
asin B
5π 得
b
2sin
sin A
12
7分
9分
∴ S △ABC = 1 sinC ab 1 3 2 6 2 3 3
2 2 2
12 分
18.(本小题满分 12 分)
答案】(1) 0.70, 0.24;(2)3.86. 解析】(1)由题意可知,
x 0.2 0.5 0.8 0.9 1.1 0.70
2分
y 0.23 0.22 0.5 1 1.5 0.69
百辆)
4分
口的车流量
方差为
s y 2 15 0
2
22 3 2
6 9 0 . 2
2
2 0百辆 .2 ).2 6 9
故前 5 天通过 A 路口车流量的平均值为 0.70百辆和通过 B 路口的车流量的方差为 0.24 百辆 2);
6分
2)根据题意可得,
5
x i x y i y
i 1
5 1.38 ,
(x i x)2
i1
8分
所以 a 0.69 1.38 0.7 0.28 ,
所以 A 路口车流量和 B 路口的车流量的线性回归方程为 y 1.38x 0.28, 10 分
当 x 3 时, y 1.38 3 0.28 3.86 (百辆). 故这一天 B 路口的车流量大约是 3.86百辆.
12 分
答案】
1)见解析;(2) 10 2
9
解析】
1分
b sinB
2sin( π π)
6 2
,
6 4 2
在直棱柱
ABCD A 1B 1C 1D 1 ,因为 CC 1 ⊥底面 A 1B 1C 1D 1, D 1E ?底面 A 1B 1C 1D 1,
所以 D 1E ⊥ CC 1,
又因为 B 1C 1 ∩CC 1 = C 1 ,所以 D 1E ⊥平面 B 1BCC 1,··················· 2分 又 BF? 平面 B 1BCC 1,所以 D 1E ⊥BF .···························· 3 分 在矩形 BB 1C 1C 中,因为 CF C 1E =1, BC C 1F 2, ∴ Rt △BCF ≌Rt △FC 1E . ∴ CFB
FEC 1 , CBF C 1FE ,
∴ BFE 90 ,∴ BF EF ,·································· 5 分 又∵ D 1E EF E , ∴ BF 平面 D 1EF .·········································· 6 分
因为 D 1E 平面 BEF ,所以 D 1E 是三棱锥 B D 1EF 的高,且 D 1E 2 2 ,· 7 分
2)
因为 BE BB 12 B 1E 2
10 ,
8分
因为 BE EF , 所以 Rt △ BB 1E ∽Rt △FC 1E , 所以 EF EC 1
BE BB 1
所以
EF 10
3
10 分
所以
V
三棱锥 B D 1 EF
V
三棱锥 D 1 BEF
1 1
EF BE D 1E 3 2 1
10 2 9
12 分
20.(本小题满分 12 分)
22
答案】(1) x 4 y 3 1,(2)存在,
2.
解析】( 1)根据题意可知 a 2,所以
22
xy
1,
2,
4
b 2
1分
22
x 42 b y 22 1
由椭圆 C 与直线 y 6 x 3 相切,联立得
2
y 6
2x3
消去 y 可得: b 2 6 x 2 12 6x 36 4b 2 0 ,
3分
0,即 12 6 4 b 2 6 36 4b 2 0 ,
解得: b 2 0(舍) 或 3,
x 1,y 1 , x 2,y 2 ,
22
xy
1
联立得 4 3 1,化简
y kx 1
22
3 4k 2 3
x 2 8kx 8 0 ,
当过点 P 的直线 AB 的斜率不存在时,直线即与 y 轴重合,此时 A 0, 3,B 0, 3,所以
OA OB PA PB 3+ [( -3 1) ( -3 1) ] 3 ,2 所以当 2时, OA OB
PA PB 7 ;
综上所述,当 2时,OA OB PA PB 7 .·······
21.(本小题满分 12 分)
【答案】( 1) x e 2 y 3e 0;(2) a|a ≤0 .
2
解析】( 1)根据题意可得, f e ,
e
2 1 2
x e ,即 x e 2y 3e 0 .··· 5 分
所以
x 1x 2 8k x 1 x 2 2 1 2 4k 2 3 8 2
4k 2 3
≥
0 恒成立 7分
所以
OA OB PA PB
x 1x 2+y 1y 2+ [ x 1x 2+( y 1-1)(y 2-1)] 1 1 k 2 x 1x 2 k x 1 x 2 1 22 8(1+ )(1+k 2) 8k 2 21 4k 2
3 2 4k 2 3 2
4 4 4k 2 3 2 4k 2 3 2
4k 2 3 22 4
2 3 , 4k 2 3
所以当
2时,OA OB PA PB 7; 10 分
所以椭圆的标准方程为
2
y2
1
.
3
5分
2)当过点 P 的直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y kx 1,设 A 、B 两点的坐标分别为
12 分
1分
f ' x
ln
2
x
,所以f ' e
ln
2
e
xe
11
2,即k 2,ee 3分
所以在点e,f e 处的切线方程为 2
ee
所以 g (x) 在 1, 2a 上
g (x) 0 ,在
11
a ,令 h a ln a a , aa
a 2
a 1 1
g (x)≤0在 1, 上恒成立,所以函数 y g(x) 在 1, 上是单调递
减, 所以 g(x)≤g 1 0
1
显然 a ≥ 不符合题意;
2
2)根据题意可得, f x
22
1
a x 1 lnx a x 1 ≥0 在 x ≥1恒成
立, x
xx
令 g(x) ln x a x 2 1 , x ≥
1 , 1 所以 g (x) 1 * 1
2 2ax , x
6分
当a ≤
0时, g(x) 0 ,所以函数 y g(x)在 1, 上是单调递增, 所以 g(x)≥g 1 0 ,
所以不等式 f x a x 1 成立,即 a ≤0 符合题意;
x
8分
当a 0时,令 1x 2ax 0,解得 x
21
a ,令
1,解得 a 1 ,
2
1, 1
①当
0 a< 时,
2 所以函数 y g(x) 在 1, 上单调递增,
在
上单调递减, 1
1
②当
a ≥ 时, 2
11
h' a 2 1 aa
所以 h a h 1 2
10 分
,+ 上 g (x) 0 ,
请考生在 22、 23 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分
22.(本小题满分 10 分)
【答案】(1) x 3 y 1 2 5,3x y 6 0;(2) 10 .
【解析】(1)将圆 C 的参数方程化为直角坐标系方程: x 2 y 2 2y 4 0,
化为标准方程是 x 2 y 1 2 5 ,···································· 3 分 直线 l : 3x y 6 0.
2)由 x 2 y 1 2 5 ,所以圆心 C 0,1 ,半径 r 5 ; 23.(本小题满分 10 分) 【答案】( 1) 2;( 2)存在.
当且仅当 a b 1 时,等号成立. 11
所以
的最小值为 2.································ 5 分 ab ( 2)存在.
因为 a 2 b 2≥2ab ,所以 a b ≤2 a 2 b 2 =2 a b ,
所以
a b 2 a b ≤ 0 , 又 a,b 0, ,所以 0 a b ≤2 .
从而有 a 1 b 1 ≤ a 1 b 1 ≤ 2 2 2 4, 22
因此存在 a 1, b 1,满足 a 1 b 1 4 .···················· 10 分
16.如图:已知 △ABC , AC 15 , M 在 AB 边上,且 CM 3 13 , cos ACM 3 *
13
, sin 2 5 ,
13 5
为锐角),则 △ABC 的面积为
1
1
1 2
g( ) ln a 1 ln a a a a
2 0 恒成立,又 0 a , a2 ln 1 2 1 ln 2 1 2 0 ,
3
综上所述, a 的取值范围为 a|a ≤0 .
12 分
5分
所以圆心 C 到直线 l : 3x y 6 0 的距离是
10
10.10 分
2
解析】(
1)
1 1 a b
a b ab
22
a 2
b 2 2ab
≥ 2 ,
ab ab
3 0 1 1 6 10
直线 l 被圆 C 所截得的弦长为
2 2 2
1
g(1) 0 ,
a
1
不符合题意;