2020-2021学年高二数学上学
期期末考试试题 (IV)
xx.01
注意事项:
1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效.
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)
1. 命题“(0,
)2
x π
?∈,sin 1x <”的否定是 ▲ .
2. 已知直线l 过点()()11
20A ,B ,、,则直线l 的斜率为 ▲ . 3. 一质点的运动方程为210S t =+(位移单位:m ;时间单位:s ),则该质点在3t =时
的瞬时速度为 ▲ /m s .
4. 课题组进行城市空气质量调查,按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数分别为4128、、, 若用分层抽样的方法抽取6个城市,则丙组中应抽取的城市数为 ▲ 个.
5. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线28y x =的准线方程为 ▲ .
6. 执行如图所示的伪代码,若输出的y 的值为10,则输入的x 的值 是 ▲ .
7.若R a ∈,则“3a =-”是“直线1l :10ax y +-=与2l :
()1240a x ay +++=垂直”的 ▲ 条件.
(注:在“充要”、“既不充分也不必要”、“充分不必要”、“ 必要不充分”中选填一个) 8. 函数()332f x x x =-+的单调递减区间为 ▲ .
9. 已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>左焦点为F 1,左准线为l ,若过F 1且垂直于x 轴的弦的
长等于点F 1到l 的距离,则椭圆的离心率是 ▲ .
10. 有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1234,,,.将此木块在水平桌面上 抛两次,则两次看不到...
的数字都大于2的概率为 ▲ . 11. 在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线
22
11
x y m m -=+的一个焦点为()30,,则双曲线 的渐近线方程为 ▲ .
Read x
If x <3 Then 2y x ← Else
2
1y x ←+ End If Print y
(第6题)
12. 已知可导函数()f x 的定义域为R ,()12f =,其导函数()f x '满足()23f x x '>,则不 等式()3281f x x <+的解集为 ▲ .
13. 已知圆()2
2:16C x y +-=,AB 为圆C 上的两个动点,且22AB =,G 为弦AB
的中点.直线20l :x y --=上有两个动点PQ ,且2PQ =.当AB 在圆C 上运动时,
PGQ ∠恒为锐角,则线段PQ 中点M 的横坐标取值范围为 ▲ .
14.函数()x
f x x e a =-在(1,2)上单调递增,则实数a 的取值范围是 ▲ .
二、解答题:(本大题共6道题,计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)
已知m 为实数.命题p :方程
22
1313x y m m +=--表示双曲线;命题q :对任意x R ∈,29
(2)04
x m x +-+
>恒成立. (1)若命题p 为真命题,求实数m 的取值范围; (2)若命题“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题,求实数m 的取值范围.
16.(本小题满分14分)
某商场亲子游乐场由于经营管理不善突然倒闭。在进行资产清算时发现有3000名客户办理的充值会员卡上还有余额. 为了了解客户充值卡上的余额情况,从中抽取了300名客户的充值卡余额进行统计.其中余额分组区间为[)500,600,[)600,700,[)700,800,[)800,900,
[]900,1000,其频率分布直方图如图所示,请你解答下列问题:
(1)求a 的值;
(2)求余额不低于900元的客户大约为多少人?
(3)根据频率分布直方图,估计客户人均损失多少?(用组中值代替各组数据的平均值).
17.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy 中,直线:420l kx y k ---=,k R
∈
(1)直线l 是否过定点?若过定点,求出该定点坐标,若不过定点,请说明理由;
(2)已知点(2,0),(1,0)A B -,若直线l 上存在点P 满足条件2PA PB =,求实数k 的取值范围.
18.(本小题满分16分)
xx 扬州市政府打算在如图所示的某“葫芦”形花坛中建一喷泉,该花坛的边界是两个半径为12米的圆弧围成,两圆心1O 、2O 之间的距离为12米.在花坛中建矩形喷泉,四个顶点A ,
B ,
C ,
D 均在圆弧上,12O O AB ⊥于点M .设2AO M
,
(1)4
当
时, 求喷泉ABCD 的面积S ;
(2) 求cos θ为何值时,可使喷泉ABCD 的面积S 最大?.
19.(本小题满分16分)
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为22,离心率为22
.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)过动点(0,)(0)M m m >的直线交x 轴于点N ,交椭圆C 于点A ,P (P 在第一象限),且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交椭圆C 于另一点Q ,延长QM 交椭圆C 于点
B .
①设直线PM 、QM 的斜率分别为,'k k ,证明
k
k '
为定值; ②求直线AB 斜率取最小值时,直线PA 的方程. 20.(本小题满分16分)
已知函数ln ()1x
f x x =
+ ,
()(1)()x m x f x x ?=+- ()m R ∈ (1) 求()f x 在1=x 处的切线方程;
(2) 当0m >时,求()x ?在[]1,2上的最大值; (3) 求证:()f x 的极大值小于1.
扬州市xx 第一学期期末调研测试试题
高二 数 学 参 考 答 案
一、填空题:
1. (0,)2x π
?∈,sin 1x ≥ 2.-1 3.6 4. 2 . 5. 2x =- 6. 3
7.充分不必要 8.()1,1- (写成[]1,1-[)(]1,1,1,1--也算对) 9.
1
2
10.
14 .11.52y x =±
12. 12,?
?-∞ ??
? 13. ()()03,,-∞+∞ 14(]
)23,e e ,?-∞+∞?..
二、解答题:
15.解:(1)若命题p 为真命题,则()()3130m m --<,即m 的取值范围是
1
33
m <<. …………………………………………………………………4分
(2)若命题q 为真命题,则0?<,解得15m -<<.即()1,5m ∈-.…………7分 ∵命题“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题,∴p 和q 中有且仅有一个正确.
若p 真q 假,则1
3315m m m ?<
??≤-≥?或,解得m φ∈; ………………………………10分
若p 假q 真,则13
3
15m m m ?
≤≥???-<
或,解得113m -<≤或35m ≤<.………………13分 所以,综上所述:m 的取值范围为[)11,3,53
??- ?
?
?
.………………………………14分
16. 解:(1)由()1000.00050.0020.0040.0011a ?++++=,解得0.0025a =……4分 (2)余额在[]900,1000之间的频率为0.1,故可估计余额不低于900元的客户大约为
30000.1300?=(人) ………………………………………………………………………8分
(3) 客户人均损失的估计值为:
5500.056500.27500.48500.259500.1765?+?+?+?+?=(元)…………………14分
(注: 若仅有列式,没有前面文字说明,必需要答,否则扣1分) 17.解:(1) 解:假设直线l 过定点(,)a b ,
则420,k(2)40ka b k a b ---=---=即
关于k R ∈恒成立, ………2分
2040
a b -=?∴?+=?,
24a b =?∴?=-?, ………4分 所以直线l 过定点,定点坐标为(2,4)- ………6分 (2) 已知点(2,0),(1,0)A B -,设点(,)P x y , 则2
2
2
2
2
2
(2),(1)PA x y PB x y =++=-+,
2PA PB =,224PA PB ∴=, 2222(2)4[(1)]x y x y ∴++=-+
所以点(,)P x y 的轨迹方程为圆2
2
(2)4x y -+=, ………10分 又点(,)P x y 在直线:420l kx y k ---=上,
所以直线:420l kx y k ---=与圆2
2
(2)4x y -+=有公共点, ………12分 设圆心到直线的距离为d ,则2
|2042|
21
k k d r k ---=
≤=+,
解得实数k 的范围为3k ≤-或3k ≥. ……… 14分
18.解: (1) 在直角2AO M Δ中,12sin
=624
AM π
=,212cos =12cos
=624
O M π
θ=,
则12212AD =+,B 2AM=122A = ………2分 所以AB AD=122(122+12)=288+1442S =? (平方米) ………3分 答:矩形ABCD 的面积S 为288+1442平方米. ………4分 (2)在直角2AO M Δ中,12sin AM θ=,212cos O M θ=,则24cos 12AD θ=+,
所以矩形ABCD 的面积24sin (24cos 12)288(2sin cos sin )S θθθθθ=+=+,………8分
3
………10分
令()2sin cos sin f θθθθ=+,0
3
,
则2'()2cos2cos 4cos cos 2f θθθθθ=+=+-, ………12分 令'()0f θ=,得331cos 8θ-=.设0331cos 8
θ-=,且0
3
,
列表如下:
θ
()00,θ
0θ
0(,)3
πθ
'()f θ +
0 -
()f θ
↗ 极大值 ↘
所以当0θθ=时, ()f θ最大, 即S 最大.
此时0331cos 8θ-= ………………15分
答:当331cos 8θ-为时,喷泉ABCD 的面积S 最大 ………………16分
19. 解: (1)由题意得: 2222,
2
c a a == 222,1,211a c b a c ===-=-=所以 ………2分
2
212
x y +=故椭圆方程为, ………4分
(2) ①设0000(,),(0,0)P x y x y >>,由M(0,m),可得00(,2),(,2)P x m Q x m - 所以直线PM 的斜率002m m m k x x -=
= ,直线QM 的斜率00
23'm m m
k x x --==-.……6分 此时
13k k =-',所以k k '为定值1
3
-. ………8分 ②设1122(,),(,)A x y B x y ,直线PA 的方程为y kx m =+,直线QB 的方程为
3y kx m =-+.
联立22
12
y kx m x y =+???+=??,整理得
222
2+14220k x kmx m ++-=(), 由22222012168(1)(21))02221k m m k m x x k ??=--+>??-=
?+?
,可得2
1202221m x k x -=+() ,2112
22
21m y kx m k m k x -=+=++() 同理222022181m x k x -=+(),22220
22
33181m y kx m k m k x -=-+=-++(). ………10分
所以221222032(1)(21181k m x x k k x --=++)(),221222
00
2222
318121m m y y k k k x k x ---=+++()(), 222
2122222
00244612(1)8(1)2118121181k k y y k m k m k k x k k x ++-=-=-++++()()()(),
所以212126111
(6)44AB
y y k k k x x k k
-+===+- , ………12分 由00,0m x >>,可知0k >,所以1
626k k
+
≥ ,当且仅当66k =时取得等号. 由0(,2)P x m ,00,0m x >>在椭圆C :2
212x y +=上得2028x m =-,2028m m k x m
==-
此时
2
6
6
28m m =
-,即77m =, ………14分
由0?>得,2
2
21m k <+,所以66k =,7
7
m =符号题意. 所以直线
AB
的斜率的最小值,直线
PA
的方程为
67
67y x =
+.
………16分 ②法2:同上可得21202221m x k x -=+();2220
22181m x k x -=+()………10分
因为12
112212
,y ,3AB y y k kx m y kx m x x -=
=+=-+-
所以()()12
121212
33AB
kx m kx m x kx k x x x x +--++==
--222
200222200
22223211812222211m m k k k x k x m m k x k x --+++=---
++()()()(18) 22223211811121181k
k k k k k +++=
-
++()()()()
26111(6)44k k k k
+==+………12分
下面同解法1.
20. 解:(Ⅰ)
2
2
11
(1)ln 1ln ()(1)(1)x x x
x x f x x x +-+-'==++, …………2分 1(1)2f '∴
=,()f x ∴在1=x 处的切线方程为1
(1)(1)2y f x -=-, 即210x y --=
…………4分
(2)()ln x m x x ?=-,(0m >), 令()10m
x x
?'=
-=,得x m =, 在区间(0,)m 上, ()0x ?'>,函数()x ?是增函数;
在区间(,)m +∞上,
()0x ?'<,函数()x ?是减函数; …………6分 故当[]max 0<1,(x)1,2,()(1) 1.m x ???≤==-时在上递减 当max 1<2,(),()()ln .
m x x m m m m ???<==-时先增后减故
当[]max 2,()1,2,()(2)mln2-2.m x x ???≥==时在上递增此时 …………10分
(3)
2
1
1ln ()(1)+
-'=+x
x f x x ,令1()1ln =+-g x x x , 211()0'=-- ()1ln =+-g x x x 在(0,)+∞上单调递减,(1)20=>g , 221 ()10=- ,所以存在唯一的20(1,)∈x e , …………12分 当0(0,)∈x x 时,()0'>f x , 当0(,)∈+∞x x 时,()0' 是0(,)+∞x ,其中20(1,)∈x e ,所以函数()f x 有极大值. …………14分 函数()f x 的极大值是000ln ()1 = +x f x x ,由0()0'=f x ,得001 1ln 0+-=x x , 所以000000 1 1ln 1 ()11+ ===++x x f x x x x ,因为20(1,)∈x e ,所以011 所以()f x 的极大值小于1. …………16分 【感谢您的阅览,下载后可自由编辑和修改,关注我 每天更新】